Aritmetica - Dipartimento di Matematica

Matematica e Statistica
Aritmetica - Appunti v. 10 ottobre
E NRICO R OGORA1
1
Dipartimento di Matematica
”Sapienza”, Università di Roma
Roma, Ottobre 2013
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
I fondamenti della geometria euclidea
La geometria elementare si basa su pochi concetti primitivi: punti,
rette e piani. Tra i concetti primitivi esistono mutue relazioni che
indichiamo con parole quali: parallelo, congruente, tra. La descrizione
completa di queste relazioni segue dagli assiomi della geometria, che
secondo la lezione di Hilbert, si dividono in cinque classi
7 assiomi di connessione (per esempio: due punti distinti determinano
completamente una retta)
5 assiomi di ordine (per esempio: di ogni terna di punti su una retta, ce n’è
sempre uno e uno solo che giace tra gli altri due).
L’assioma di Euclide: In un piano α si può tracciare da ogni punto A esterno ad
ogni retta a una e una sola retta che non interseca a, che si dice retta parallela
ad a condotta dal punto A.
6 assiomi di congruenza (per esempio: se A e B sono due punti su una retta a e
A0 è un qualsiasi punto su una qualsiasi retta a0 , allora, su ognuna delle semirette
determinate da A0 su a0 esiste uno e un solo punto B 0 tale che il segmento AB sia
congruente al segmento A0 B 0 . Inoltreogni segmento è congruente a sè stesso.)
L’assioma di Archimede: sia a una retta, siano A e B due suoi punti e sia A1 un
qualsiasi punto tra AeB di a. Siano A2, A3, A4,..., punti scelti in modo che A1 sia
tra A e A2, A2 sia tra A1 e A3, A3 sia tra A2 e A4, etc. e siano inoltre i segmenti
AA1, A1A2, A2A3, A3A4,... congruenti l’uno all’altro. Allora, in questa serie di
punti, esiste sempre un punto An tale che B sta tra A e An.)
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Matematica e Statistica
La geometria razionale
Dagli enti primitivi e dalle relazioni fondamentali è possibile definire
tutti gli oggetti e le nozioni della geometria elementare: segmenti,
triangoli, perpendicolarità, ecc.
Dagli assiomi è possibile dedurre in maniera puramente logica tutti i
teoremi della geometria elementare, per esempio il
Teorema di Pitagora
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è
equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
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Matematica e Statistica
Matematica logico intuitiva
Ogni parte della matematica può essere fondata su un insieme di enti
primitivi ed assiomi in modo tale che ogni risultato segua logicamente
dagli assiomi. Ma non è possibile e non bisogna insegnare la
matematica partendo dagli assiomi per dimostrare ogni teorema.
Il nostro modo di procedere consisterà invece nel cercare di
sviluppare l’intuizione sugli oggetti e sulle nozioni di base, di illustrare
in esempi alcune proprietà generali e di dimostrare alcune proprietà
generali suggerite dall’intuizione e dagli esempi a partire da altre
proprietà già note o intuitive o che verranno esplicitamente assunte e
che potrebbero essere dimostrate in maniera puramente logica a
partire da un piccolo numero di assiomi.
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Matematica e Statistica
L’aritmetica razionale
L’accento degli sviluppi formali che affronteremo nel corso sarà sugli
aspetti numerici, anche se appoggeremo costantemente la nostra
intuizione sulla geometria. Anche l’aritmetica può essere fondata
assiomaticamente. Presentiamo brevemente un sistema di assiomi
che caratterizzano i numeri naturali, cioè la serie dei numeri uno, due,
tre, quattro, ecc. che utilizziamo da sempre per contare.
Enti primitivi
1
L’insieme dei numeri naturali, N.
2
Il numero uno, 1.
3
La nozione di successivo, che indiceremo s
Assiomi
uno è un numero intero, ovvero a ∈ N.
il successivo di un numero è un numero
uno non è il successivo di alcun numero
se i successivi di due numeri sono uguali, anche i numeri sono uguali
se un sottoinsieme A di N contiene il numero uno e i successivo di ogni suo
elemento, allora A = N.
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Matematica e Statistica
Le operazioni aritmetiche e lo loro proprietà
Nell’ambito della teoria assiomatica di Peano possiamo definire le operazioni
aritmetiche di somma e prodotto e dimostrare le loro proprietà.
La somma
La definizione è induttiva
1. a + 1 = s(a)
2. a + s(b) = s(a + b)
Il prodotto
La definizione è induttiva
1. a ∗ 1 = a
2. a ∗ s(b) = a ∗ b + a
Utilizzando gli assiomi di Peano è possibile dimostrare le consuete proprietà della
somma e del prodotto: Commutatività della somma m + n = n + m e associatività
della somma (m + n) + q = m + (n + q). Commutatività del prodotto m ∗ n = n ∗ m e
associatività del prodotto (m ∗ n) ∗ q = m ∗ (n ∗ q). Distributività del prodotto rispetto
alla somma (m + n) ∗ q = (m ∗ q) + (n ∗ q).
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Possiamo dimostrare che due più due fa quattro!!
Definiamo innanzitutto
2 = s(1) 3 = s(2) 4 = s(3)
Allora
2 + 2 = 2 + s(1) = (prop. 2. della somma) = s(2 + 1) =
(prop. 1. della somma) = s(s(2)) = s(3) = 4
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Una nota sulla caratterizzazione dei numeri naturali
Gli assiomi di Peano caratterizzano l’insieme dei numeri naturali dal
punto di vista della struttura, non degli elementi, Cosı̀, se chiamiamo
N l’insime dei numeri pari, se chiamiamo uno il numero 2, e se
definiamo s come il numero pari successivo, anche l’insieme dei
numeri pari verifica gli assiomi di Peano. Ma si tratta solo di una
questione di nomi assegnati alle cose. Dal punto di vista strutturale
esiste una sola struttura matematica che verifica gli assiomi di Peano,
ovvero, pur di cambiare il nome agli oggetti possiamo identificare tra
loro due qualsiasi terne (N, 1, s) che verificano gli assiomi di Peano.
È pur sempre vero che l’insieme dei numeri naturali contiene sempre
dei sottoinsiemi propri (per esempio quello dei numeri pari) in cui si
può scegliere un elemento e si può definire una opportuna nozione di
successivo (che non è la restrizione di quella definita sull’insieme
primitivo) in modo da ottenere un nuovo modello degli assiomi di
Peano.
Questo fatto paradossale ha a che fare con la natura dell’infinito
matematico, come già osservò Galieleo riflettendo sul fatto che i
numeri interi sono tanti quanti i loro quadrati.
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Matematica e Statistica
Galileo - sull’infinito
Queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi
facciamo col nostro intelletto finito intorno agli infiniti dandogli quegli
attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che
sia inconveniente, perchè stimo che questi attributi di maggiornaza,
minorità e eguaglità non convenghino a gl’infiniti, de i quali non si può
dire, uno esser maggiore o minore o eguale all’altro. [...] io non veggo
a che ad altra decisione si possa venire, che a dire, infiniti essere tutti
i numeri, infiniti i quadrati, infinite le loro radici, nè la moltitudine dei
quadrati esser minore di quella di tutti i numeri, nè questa maggior di
quella, e in ultima conclusione, gli attributi di eguale, maggiore e
minore non aver luogo ne gli infiniti, ma solo nelle quantità terminate
[Galiei G., Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove
scienze, 1638].
Alla fine del 1800 Cantor mostrò come sia possibile confrontare gli
insiemi infiniti.
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Matematica e Statistica
Nozioni e notazioni insiemistiche
Nell’enunciato degli assiomi di Peano si fa riferimento a semplici
concetti della teoria degli insiemi. Ci guardiamo bene dall’accennare
alla teoria assiomatica degli insiemi, ritenendo più che appropriata
l’idea che ognuno di noi ha di insieme, sottoinsieme, elemento,
appartenenza di un elemento ad un insieme.
Faremo uso senz’altro di semplici notazioni insiemistiche quali
a ∈ A per dire che a appartiene ad A, ovvero che a è un
elemento di B
A ⊆ B per denotare che l’insieme A è un sottoinsieme
dell’insieme B ovvero che tutti gli elementi di A sono anche
elementi di B. Si noti che è improprio utilizzare il simbolo a ⊆ A
perchè un elemento non è un insieme. È invece corretto scrivere
{a} ⊆ A, dove {a} indica l’insieme costituito dal solo elemento a.
Si noti anche che l’uguaglianza di insiemi A = B equivale alle
due condizioni A ⊆ B e B ⊆ A e quindi per verificare
l’uguaglianza di due insiemi bisogna verificare che tutti gli
elementi del primo appartengono al secondo e tutti gli elementi
del secondo appartengono al primo.
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Altri simboli e notazioni
Simboli logici
∃, esiste; ∀, per ogni; ⇒, implica; ⇔, se e solo se.
Simboli logici
∪, unione; ∩, intersezione; ×, prodotto cartesiano; \, differenza; ⊂
sottoinsieme; ∅, insieme vuoto; ∈, appartiene.
Alfabeto greco
α, alfa; β, beta; γ, gamma; δ, delta; , epsilon; ζ, zeta; η, eta; θ, teta;
ι, iota; κ, kappa; λ, lambda; µ, mi; ν, ni; ξ, xi; o, omicron; π, pi; ρ, ro;
σ, sigma; τ , tau; υ, upsilon; φ, fi; χ, chi; ψ, psi; ω, omega;
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Matematica e Statistica
Il numero zero
L’esigenza del contare porta all’introduzione dei numeri interi.
L’esigenza di suddividere porta all’introduzione delle frazioni.
L’esigenza di conteggi più astratti porta all’introduzione dei numeri
relativi e dello zero. L’esigenza di misurare porta all’introduzione dei
numeri reali.
L’introduzione dello zero è necessaria per contare l’assenza. Questa
idea sta alla base deil sistemi di numerazione decimale. La notazione
1432 per il numero millequattrocentotrentadue indica che tale numero
è composto da una migliaia, quattro centinaia, tre decine e due unità.
Lo zero è necessario per esprimere numeri quali 1020, costituito da
una migliaia, nessuna centinaia, due decine e nessuna unità.
La nostra notazione decimale può essere sostituita da notazioni in
base diverse, come quella in base due o in base sedici, che sono
importanti nei sistemi elettronici di gestione dell’informazione.
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Matematica e Statistica
Rappresentazione dei numeri naturali sulla retta
Per rappresentare i numeri naturali sulla retta è necessario fissare un
punto origine O e un punto unità U.
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Rappresentazione dei numeri interi sulla retta
Proseguendo la costruzione anche a sinistra del punto origine, si
rappresentano sulla retta i numeri interi, cioè i numeri
. . . ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,. . . . Indicheremo con Z l’insieme dei numeri
interi.
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Matematica e Statistica
Operazioni aritmetiche e ordinamento dei numeri interi
Si daranno per scontate le capacità di svolgere correttamente le
operazioni aritmetiche sui numeri naturali e le conoscenze relative
all’ordinamento degli stessi. Notiamo semplicemente che è possibile
definire le operazioni sui numeri interi in maniera completamente
geometrica.
Somma e prodotto
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Matematica e Statistica
Algoritmo per la divisione
La notazione posizionale in base dieci permette di introdurre
procedure efficaci per operare sui numeri. Sono ben noti dalla scuola
elementare gli algoritmi per eseguire somme e prodotti in colonna e
per eseguire la divisione con il resto.
1
− 1
3
2
5 7
6
9 7
− 8 4
1 3
2
6
1
4
Per eseguire questi algoritmi bisogna saper calcolare le somme e i
prodotti degli interi 0, 1, . . . , 9 e saper separare le unità dalle decine
per i riporti. Il risultato della divisione di un dividendo m per un
divisore n è un quoziente q e un resto r determinati dalle condizioni
m =n·q+r
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0 ≤ r < n.
Matematica e Statistica
Suddivisione di una unità in parti uguali
nasce spesso l’esigienza di suddividere una unità in parti uguali. La
procedura per la suddivisione di un segmento in n parti uguali è
fattibile con riga e compasso ed è illustrata nella figura seguente.
L’esigenza di suddividere un numero in parti uguali viene risolta
introducendo l’insieme dei numeri razionali, che indicheremo con Q.
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Definizione formale di numero razionale
Q = Z × Z/ ∼, dove (a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc.
Somma
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)
Prodotto
(a, b) ∗ (c, d) = (ac, bd)
Ordine
Se a, b, c, d > 0, allora (a, b) > (c, d) se e solo se ad > bc
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Matematica e Statistica
Tra due numeri razionali ne esiste sempre un terzo
Se a e b sono due numeri razionali, anche (a + b)/2 è un numero
razionale, ed è compreso tra i a e b. Infatti, supponiamo a < b
(altrimenti basta scambiare a con b). Allora
a = a/2 + a/2 < a/2 + b/2 < b/2 + b/2 = b.
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Matematica e Statistica
I punti razionali sono densi sulla retta
Per ogni punto della retta e per ogni > 0, esiste un punto razionale
q che dista da P meno di È una conseguenza dell’assioma di Archimede. Supponiamo che P
sia dalla stessa parte di U rispetto ad O. Sia n1 l’ultimo numero
naturale tale che n0 ≤ P ma (n0 + 1) > P. Allora almeno uno tra i
punti n0 e n0 + 1 dista da P meno di 1.
Suddividiamo ora l’intervallo OU in dieci parti. Sia n1 tale che
n0 + n1 /10 ≤ P ma n0 + (n1 + 1)/10 > P. Allora almeno uno tra i
punti n0 + n1 /10 e n0 + (n1 + 1)/10 distano da P meno di 1/10.
Iterando la suddivisione in dieci parti il segmento già suddiviso al
passo precedente otteniamo due punti razionali,
n0 + n1 /10 + n2 /100 + · · · + nk /10k ≤ P <
< n0 + n1 /10 + n2 /100 + · · · + (nk + 1)/10k
tali che almeno uno dei due dista da P meno di 1/10k . Pur di
prendere k abbastanza grande, 1/10k si può rendere minore di ogni
> 0 fissato.
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Matematica e Statistica
Espansione decimale
Indichiamo il numero n0 + n1 /10 + n2 /100 + · · · + nk /10k con la
notazione decimale n0 , n1 n2 . . . nk .
Abbiamo dimostrato nella slide precedente che ad ogni punto della
retta possiamo associare una espansione decimale infinita, ottenuta
approssimando sempre meglio il punto dato con particolari punti
razionali. Può succedere che ad un certa iterazione il punto
n0 .n1 . . . nk cada esattamente sul punto P. Proseguendo con la
procedura descritta, abbiamo in questo caso che nh = 0 per tutti gli
h ≥ k . Conveniamo di abbreviare la successione
n0 , n1 n2 . . . nk 0000 . . . con n0 , n1 n2 . . . nk .
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Matematica e Statistica
Esistono punti non razionali
La densità dei punti razionali sulla retta pò lasciarci con il dubbio che
tutti i punti della retta siano razionali. Questo infatti venne assunto da
Pitagora e dalla sua scuola agli albori della matematica greca. M A
NON È COS Ì .
Si consideri per esempio il punto P seguente. Si costruisca un
quadrato sul segmento OU e si tracci la circonferenza di centro O e
raggio uguale alla diagonale OX del quadrato appena costruito. Sia
P il punto di intersezione della circonferenza con la retta per O e per
U. Se P fosse un punto razionale x = m/n, per il teorema di Pitagora
sarebbe
m2 = 2n2 .
(1)
Possiamo sempre supporre che n e m siano privi di fattori comuni.
Da (1) segue che m2 è pari e quindi m è pari e m2 è divisibile per 4,
cioè 4q = 2n2 che, dividendo ambo i menmbri per 2, implica n2 pari e
quindi n pari. Ma questo è assurdo, avendo supposto m ed n privi di
divisori comuni. L’assurdo viene dall’aver supposto che P sia
razionale e quindi P non è razionale.
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Matematica e Statistica
Definizione di numero reale
Un numero reale è una qualsiasi espressione decimale infinita.
Abbiamo visto precedentemente come ad ogni punto della retta è
possibile associare una espansione decimale infinita, iterando il
processo di approssimazioni con multipli dell’unità, della decima
parte dell’unità, della centesima parte dell’unità, ecc.
Il viceversa non si può dimostrare. Assumiamo come assioma che ad
ogni espansione decimale infinita sia possibile associare uno ed un
solo punto della retta, con l’eccezione che all’espansione
n0 , n1 . . . nk 0000 . . . corrisponde lo stesso punto
n0 , n1 . . . (nk − 1)9999 . . . (infatti la distanza tra queste espansioni si
può rendere arbitrariamente piccola).
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Matematica e Statistica
Divisione con il resto e rappresentazione decimale di
un numero razionale
L’espansione decimale associata ad un punto razionale può essere
calcolata utilizzando l’algoritmo per la divisione intera, abbassando
uno zero per ogni nuova cifra decimale che si vuole calcolare.
Per esempio
1
I 7
I ———–
1 0
I 0.142857
3 0
I
2 0
I
6 0
I
4 0
I
5 0 I
1 I
Si ha allora che 1 = 7 ∗ 0.142857 + 1/1000000. Inoltre, iterando la
procedura i resti si ripetono e la rappresentazione decimale diventa
periodica. Questa proprietà caratterizza le espansioni decimali dei
numeri razionali come quelle periodiche da un certo punto in avanti
(eventualmente con ripetizione infinita di zeri).
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Matematica e Statistica
Rappresentazione dei numeri reali sulla retta
Abbiamo detto che, in conseguenza dell’assioma di Archimede, ad
ogni punto della retta. una volta fissata un’origine e un punto unità,
corrisponde una espressione decimale infinita. Viceversa,
Assioma di completezza
ad ogni espressione decimale infinita, corrisponde un solo punto
della retta
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Matematica e Statistica
Difficoltà della definizione di numero reale
Abbiamo definito un numero reale come una qualsiasi espressione
decimale finita modulo la relazione di equivalenza che identifica
n0 , n1 n2 . . . nk 999999 . . .
con
n0 , n1 n2 . . . (nk + 1)
Questa definizione non pone problemi quando si vuole introdurre un
ordinamento sull’insieme dei numeri reali ma risulta
complicatodefinire le operazioni aritmetiche e dimostrarne le
proprietà. È conveniente, a questo scopo, usare definizioni più
astratte ma più maneggevoli. Non ci interessa entrare nei dettagli di
tali costruzioni e ci limiteremo ad assumere che
Sull’insieme dei numeri reali si possono definire le ordinarie
operazioni aritmetiche che godono di tutte le proprietà di cui
godono nel campo razionale
Sostituendo a due numeri reali α e β loro approssimazioni
decimali αk e βh dal prodotto αk ∗ βh si può trarre una
approssimazione decimale di α ∗ β che, pur avendo in generale
un numero di decimali “esatti” inferiori a quelli di αk e βh può
essere resa arbitrariamente precisa aumentando la precisione di
αk e di βh .
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Matematica e Statistica
Propagazione dell’incertezza
1
2
Se una misura positiva µ è compresa tra due valori, a ≤ µ ≤ b,
l’incertezza della misura è ∆ = b − a.
Date due misure, a ≤ µ ≤ b e a0 ≤ µ0 ≤ b0 come si propagano le
incertezze e le incertezze relative per le operazioni aritmetiche?
+
−
∗
/
a + a0 ≤ µ + µ0 ≤ b + b0
a − b0 ≤ µ − µ0 ≤ b − a0
a ∗ a0 ≤ µ ∗ µ0 ≤ b ∗ b0
a/b0 ≤ µ/µ0 ≤ b/a0
∆µ+µ0 = ∆µ + ∆µ0
∆µ−µ0 = ∆µ + ∆µ0
∆µ∗µ0 = b∆0 + a0 ∆
∆µ/µ0 = (b0 ∆µ + a∆µ0 )/a0 b0
L’ultima uguaglianza si dimostra cosı̀.
∆µ/µ0 = b/a0 − a/b0 = (b0 b − a0 a)/a0 b0 =
(bb0 − ab0 + ab0 − aa0 )/a0 b0 = (b0 ∆µ + a∆µ0 )/a0 b0
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Matematica e Statistica
(2)
Errore assoluto e errore relativo
Le formule per l’incertezza del prodotto e del quoziente di due misure
sono più complicate e asimmetriche rispetto a quelle per l’incertezza
della somma e della differenza. È possibile ottenere formule
approssimate più simmetriche introducendo nuove variabili:
c=
b+a
2
δ=
b−a
2
c0 =
b 0 + a0
2
δ0 =
b 0 − a0
2
In queste nuove variabili
a=c−δ
b =c+δ
a0 = c 0 − δ 0
b0 = c 0 + δ 0 .
δ prende il nome di errore assoluto e δ/c prende il nome di errore
relativo.
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Matematica e Statistica
Errore relativo del prodotto I
Indichiamo con [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}. Supponiamo
µ ∈ [c − δ, c + δ]
µ0 ∈ [c 0 − δ 0 , c 0 + δ 0 ]
Allora µ · µ0 ∈ [c · c 0 − δc 0 − δ 0 c + δ · δ 0 , c · c 0 + δc 0 + δ 0 c + δ · δ 0 ]
Si osservi che il punto medio di quest’ultimo intervallo non è c · c 0 a
causa del termine δ · δ 0 . Quando è possibile trascurare questo
termine?
Esperimento
delta1=0.1
delta2=0.2
c1*c2-delta1*c2-delta2*c1
c1*c2-delta1*c2-delta2*c1+delta1*delta2
delta1=0.000001
delta2=0.000002
c1*c2-delta1*c2-delta2*c1
c1*c2-delta1*c2-delta2*c1+delta1*delta2
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Matematica e Statistica
Errore relativo del prodotto II
Conseguenze dell’esperimento
Se gli errori relativi sono molto piccoli, il termine δ · δ 0 è trascurabile.
Calcolo approssimato
Nell’ipotesi che δ · δ 0 sia trascurabile, abbiamo approssimativamente
µ · µ0 ∈ [c · c 0 − δc 0 − δ 0 c, c · c 0 + δc 0 + δ 0 c]
Calcolo approssimativo dell’errore relativo del prodotto
Se il prodotto degli errori assoluti è trascurabile, allora l’errore relativo
del prodotto è CIRCA
(δc 0 + δ 0 c)/c · c 0 = δ/c + δ 0 /c 0
in altre parole L’ ERRORE RELATIVO DEL PRODOTTO È
APPROSSIMATIVAMENTE LA SOMMA DEGLI ERRORI RELATIVI
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Matematica e Statistica
Errore relativo del quoziente
Valgono risultati analoghi per l’errore relativo del quoziente
Calcolo approssimato
Nell’ipotesi che δ · δ 0 e (δ 0 )2 siano trascurabili, abbiamo
approssimativamente
µ/µ0 ∈ [c/c 0 − δc 0 − δ 0 c, c/c 0 + δc 0 + δ 0 c]
Calcolo approssimativo dell’errore relativo del quoziente
Nell’ipotesi che δ · δ 0 e (δ 0 )2 siano trascurabili, allora l’errore relativo
del quoziente è CIRCA
(δc 0 + δ 0 c)/c · c 0 = δ/c + δ 0 /c 0
in altre parole L’ ERRORE RELATIVO DEL QUOZIENTE È
APPROSSIMATIVAMENTE LA SOMMA DEGLI ERRORI RELATIVI
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Matematica e Statistica
Arrotondamento, troncamento
Indichiamo un numero, di cui conosciamo esattamente solo le prime
cifre decimali, con una notazione del tipo 137.4215062. . .
Troncamento
Il troncamento alla i-esima cifra decimale significa semplicemente
sostituire il numero dato con quello che si ottiene eliminando dutte le
cifre successive alla i-esima. Per esempio, il troncamento del numero
dato nell’esempio alla terza cifra è 137.421
Arrotondamento
l’arrotondamento alla i-esima cifra decimale si fa guardano la cifra
(i+1)-esima. Se questa cifra è minore o uguale a 5, l’arrotondamento
coincide con il troncamento, altrimenti la cifra i-esima viene
aumentata di 1. In particolare, se la cifra i-esima è 9, viene sostituita
con 0, aumentando di uno, con la stessa cautela riguardo al 9, anche
la cifra i − 1-esima. Per esempio, l’arrotondamento del numero dato
nell’esempio alla terza cifra è 137.422 e l’arrotondamento di
0.99999 . . . alla terza cifra è 1.000.
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Matematica e Statistica
Osservazioni sull’arrotondamento
La procedura di arrotondamento è in realtà più complicata di quella
descritta nella slide precedente. Esistono delle specifiche
internazionali descritte nel documento
IEC 60559 standard
reperibile in rete al sito
http://www.iso.org
Informazioni riassuntive si possono ottenere anche da wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_floating_point
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Matematica e Statistica
Arrotondamento e trocancamento con R
e=exp(1)
round(e,4)
#L’operazione di troncamento va definita
tronca=function(x,digits=0){
return(trunc(x*10ˆdigits)/10ˆdigits)
}
tronca(e,4)
È meglio il troncamento o l’arrotondamento? Vediamo come si
comportano nell’approssimazione di e2 .
eˆ2
round(e,4)*round(e,4)
tronca(e,4)*tronca(e,4)
Le regole per l’arrotondamento non sono banali
round(1.5)
round(0.5)
round(0.500001)
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Matematica e Statistica
Calcoli approssimati
Regola pratica per operare con i calcoli approssimati
Step 1, arrotondare tutti i termini allo stesso numero di cifre decimali
di quello che ha il numero minimo di cifre decimali esatte
Step 2 Arrotondare il risultato al numero di cifre decimali di cui allo
step 1
NOTA:
12 ha infinite cifre decimali esatte, uguali a zero. 1.3... ha una cifra
decimale esatta 1.3 ha infinite cifre decimali esatte. Attenzione però
che non si pone spesso cura a differenziare una approssimazione
(1.3...) da un decimale esatto (1.3)
Esempio: Calcolare (1.13...+0.24273..)*7.248+0.1
Il numero minimo di cifre decimali esatte dei diversi termini è 2, quindi
calcolare (1.13+0.24)*7.25+0.1. Il risultato è 10.0325.
arrotondare il risultato alla seconda cifra decimale. Il risultato è 10.03.
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Matematica e Statistica
Approssimazioni per troncamento e arrotondamento
Un numero reale α può essere approssimato con un numero
decimale per troncamento o per arrotondamento. Per esempio, il
troncamento alla quarta cifra decimale del numero di Nepero e è
2.7182 mentre l’arrotondamento alla quarta cifra decimale è 2.78183.
Indicheremo la prima circostanza con la scrittura
e = 2.7182 . . .
e la seconda, con la scrittura
e = 2.7183 · · ·
Dalla prima segue
2.7182 ≤ e < 2.7183
e dalla seconda
2.71825 ≤ e < 2.71835
Essendo
e = 2.718281828 . . .
l’approssimazione per arrotondamento è più vicina al vero valore.
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Calcoli approssimati
Sia a = 2.145 . . . , b = 4.191 . . . e c = 3.154 . . . . Determinare le cifre
decimali esatte del numero
b2 − 3 · a
.
c
Sappiamo che
2.145 ≤ a < 2.146
4.191 ≤ b < 4.192
3.154 ≤ c < 3.155
e quindi
3.526618 =
4.191 ∗ 4.191 − 3 ∗ 2.146
b2 − 3 · a
<
3.155
c
4.192 ∗ 4.192 − 3 ∗ 2.145
<
= 3.531346
3.154
2
= 3.5 . . . in quanto la
Quindi possiamo solo affermare che b −3·a
c
seconda cifra decimale potrebbe essere, con le informazioni di cui
disponiamo, 2 o 3. L’arrotondamento alla seconda cifra decimale è
invece 3.53 · · · .
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Calcoli approssimati (II)
Sia a = 2.145 · · · , b = 4.191 · · · e c = 3.154 · · · . Determinare le cifre
decimali esatte del numero
b2 − 3 · a
.
c
Sappiamo che
2.1445 ≤ a < 2.1455
4.1905 ≤ b < 4.1915
3.1535 ≤ c < 3.1545
e quindi
3.526324 =
4.1905 ∗ 4.1905 − 3 ∗ 2.1455
b2 − 3 · a
<
3.1545
c
4.1915 ∗ 4.1915 − 3 ∗ 2.1445
<
= 3.531052
3.1535
2
= 3.5 . . .
Anche in questo caso possiamo solo affermare che b −3·a
c
in quanto la seconda cifra decimale potrebbe essere, con le
informazioni di cui disponiamo, 2 o 3. L’arrotondamento alla seconda
cifra decimale è invece 3.53 · · · .
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Bibliografia
B. De Finetti, Matematica logico intuitiva, ed. Cremonese, 1959.
P. Halmos, Teoria elementare degli insiemi, Feltrinelli, 1970.
D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, (1899), trad. inglese, The
foundations of Geometry, disponibile su www.gutemberg.net
(EBook n. 17384).
G. Israel, A. Milàn Gasca, Pensare in matematica, Zanichelli,
2012.
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