Esercitazioni di Matematica – Esercitazioni X – 12-16/12/2016
Esercitazioni X – 12-16/12/2016
A. Dipendenza, indipendenza lineare, generatori, basi
◮ 1. Si dica se i vettori
v 1 = (1, −2)
v 2 = (−2, 4)
,
v 3 = (0, 3)
e
sono generatori di R2 . Sono una base di R2 ? Nel caso non siano una base, si dica quali tra loro
formano una base di R2 .
◮ 2. Si dica se i vettori
(1, 0, 1)
e
(0, 1, 1)
sono linearmente dipendenti o indipendenti e se sono una base di R3 . Si dica inoltre qual è la
dimensione dello spazio da essi generato.
◮ 3. Si dica se i vettori
(2, 1, −1)
,
(1, 1, 1)
e
(1, 0, −2)
sono linearmente dipendenti o indipendenti e se sono una base di R3 . Si dica in ogni caso quale è la
dimensione dello spazio da essi generato.
◮ 4. Si dica se i vettori
(1, 0, 1)
(−1, 1, 0)
,
e
(0, 1, −1)
sono una base di R3
◮ 5. Si determini la dimensione del sottospazio di R3 generato dai vettori
(1, −1, 1)
e
(−1, 1, −1)
e se ne indichi una base
◮ 6. Si determini la dimensione del sottospazio di R3 generato dai vettori
(1, 2, −1)
,
(−2, −4, 2)
e
(0, 1, 0)
e se ne indichi una base
◮ 7. Si dica se il vettore u = (1, 2, 3) appartiene al sottospazio generato da
v = (1, 3, 2)
e
w = (0, −1, 1).
◮ 8. Si dica se il vettore u = (1, 1, 1) appartiene al sottospazio generato da
v = (1, −1, 1)
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e
w = (−2, 2, −2).
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B. Immagine di una trasformazione lineare
◮ Per le seguenti trasformazioni lineari si determinino la dimensione e una base dell’immagine:
1. T : R3 → R2 definita da
x1
x1 − x2 + x3
T x2 =
−x1 + x2 + 2x3
x3
2. T : R3 → R2 definita da
3. T : R3 → R3 definita da
4. T : R3 → R3 definita da
x1
x
−
2x
−
x
1
2
3
T x2 =
−2x1 + 4x2 + 2x3
x3
x1
x1 − x2
T x2 = x2 + x3
x3
x1 + x3
x1
x1 + x2 − x3
T x2 = −x1 − x2 + x3
x3
x1 + x2 − x3
C. Sistemi lineari
◮ Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi di equazioni lineari. Scrivere le soluzioni nella forma
“soluzione particolare + soluzioni del sistema omogeneo associato”, indicando infine la dimensione
dello spazio delle soluzioni e una base dello spazio delle
soluzioni del sistema omogeneo associato.
x−y =3
2x − y = 1
1.
2.
y+z =2
x − 2y = 2
x + 2z = 1
−x1 + x2 + x3 + 2x4 = 1
x + y + 2z = 2
4.
3.
x1 − x2 + x3 + x4 = 0
−x − y − z = 4
−x − 2y = 3
2x − 3y + z = −1
5.
6.
x−y =2
x − 2y + 2z = 2
2x + y = −1
−x + y + z = 3
2x + y − z = 0
2x3 − x4 = 1
−y − z = 2
8.
7.
x1 + x2 + x3 = 1
x−z =1
−x1 − x2 + x3 − x4 = 0
x + y = −1
D. Esercizi aggiuntivi (sistemi lineari omogenei)
◮ Si risolvano i sistemi lineari omogenei associati alle trasformazioni lineari della sezione E (quindi,
detta A la matrice della trasformazione, si risolva il sistema lineare omogeneo Ax = 0). Per ciascuno
si indichi la dimensione e una base dello spazio delle soluzioni.
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E. Funzioni di 2 variabili – Insiemi di esistenza
◮ Si rappresentino nel piano cartesiano gli insiemi di esistenza delle seguenti funzioni:
√
1. f (x, y) = ln(x − y + 1)
2. f (x, y) = 1 − xy
p
x2 + (y + 1)2 − 4
3. f (x, y) = ln(x + y 2 − 1)
4. f (x, y) =
5. f (x, y) = ln(x2 − y 2 − 1)
r
x+1
7. f (x, y) =
y2 − 1
x+y−1
9. f (x, y) = ln
1 − x2 − y 2
6. f (x, y) = ln(y 2 − x2 − 1) +
√
2y − x
8. f (x, y) = ln x2 y + x
r
x
x2
2−1
10. f (x, y) =
+
y
−
1
+
y
2
4
F. Curve di livello
◮ Per ciascuna delle seguenti funzioni si disegnino le curve di livello indicate.
1. con f (x, y) = ln(x + y + 1) la curva di livello 2
x−y
le curve di livello 0, 1 e 2
2. con f (x, y) =
x+y
√
3. con f (x, y) = 1 − xy le curve di livello 0, 1 e 2
r
x+1
le curve di livello 0 e 1
4. con f (x, y) =
y2 − 1
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