ALTEZZE, MEDIANE, BISETTRICI E ASSI: CHE COSA HANNO DI SPECIALE?
Autore: Andrea Maffia1
PRESENTAZIONE
Le attività proposte fanno parte del progetto nazionale PQM (il materiale è
consultabile sul sito risorsedocentipon.indire.it). Il testo qui proposto vuole essere
un esempio di riadattamento delle risorse disponibili online a una realtà d’aula, in
questo caso quella del Laboratorio Scientifico Didattico Pratese e i materiali in esso
disponibili. Tema dell’attività sono i punti notevoli dei triangoli, l’attività è pensata
per la classe prima della scuola secondaria di primo grado.
OBIETTIVI
Localizzare mediane, altezze, bisettrici e assi
Conoscere le proprietà dei punti notevoli dei triangoli
Conoscere le proprietà e le definizioni di mediane, altezze, bisettrici e assi
Disegnare utilizzando strumenti classici e tecnologici
Sviluppare una visione dinamica degli enti geometrici
METODOLOGIA
Si tratta di attività laboratoriali da svolgersi in piccoli gruppi o singolarmente. L’unità
è divisa in diverse attività. Si lavora con le mani per costruire triangoli di diversi tipi
di carta o cartoncino e per individuare le altezze, le bisettrici, le mediane e gli assi. Si
lavora anche al computer utilizzando Geogebra© .
FASI DI LAVORO
FASE 1: Geometria dinamica al computer: le basi
FASE 2: Altezze e mediane ovvero ortocentro e baricentro
FASE 3: Assi e bisettrici ovvero circocentro e incentro
FASE 4: Mettere insieme le conoscenze
1
rielaborazione da un percorso di Stefania Pozio
Segreteria Laboratorio Scientifico
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DESCRIZIONE DELL'ESPERIENZA
FASE 1: Geometria dinamica al computer: le basi (1h)
IN CLASSE CON L’INSEGNANTE
MATERIALE: Geogebra©, Scheda di lavoro
Qualora i ragazzi non conoscano già il programma Geogebra© sarà utile una breve
introduzione all’uso di questo software di geometria dinamica prima di recarsi al
laboratorio. In particolare si consiglia di far sperimentare agli studenti la costruzione
di poligoni a partire da punti e segmenti sulla griglia. Il software può essere scaricato
all’indirizzo http://geogebra.softonic.it .
Si consiglia quindi di far lavorare gli studenti singolarmente o a coppie col pc,
aprendo geogebra sull’ambiente “vista grafica” disattivando gli assi cartesiani e
lasciando attiva la griglia. Si può suggerire agli studenti che si tratta di un ambiente
per disegnare enti e figure geometriche allo stesso modo in cui lo si può fare con
riga e compasso, in questo caso però c’è un pulsante per ogni specifica funzione.
Piuttosto che spiegare il funzionamento dei singoli tasti, può essere utile lasciare che
gli studenti esplorino le funzionalità del programma in modo indipendente,
eventualmente guidandoli con una scheda come quella in allegato (all.1).
NOTA: Alcuni dei comandi si trovano nella stessa tendina (per es. segmento, retta,
semiretta, etc.) questo aspetto potrebbe non essere notato da tutti gli studenti,
pertanto può essere utile esplicitarlo.
NOTA2: Man mano che i ragazzi lavorano, si può far notare che il programma
fornisce loro delle indicazioni per completare la tabella in allegato. Per esempio, in
alto a destra sono scritti gli enti geometrici richiesti per usare il comando
selezionato.
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FASE 2: Altezze e mediane ovvero ortocentro e baricentro (2h)
IN LABORATORIO
MATERIALE:
-
Triangoli di legno forati
Sostegno
Cartoncini
Forbici
Filo a piombo
Spago
Si dividono gli alunni a coppie. A ogni alunno si fa disegnare e ritagliare su un
cartoncino (va bene il cartoncino delle scatole dei cereali per la colazione) tre
triangoli, uno acutangolo, uno rettangolo e uno ottusangolo. Si costruisce un filo a
piombo utilizzando dello spago e un dado di acciaio.
Le dimensioni sono indicative. È meglio che ciascun alunno disegni un triangolo
diverso dai suoi compagni in modo da avere una maggiore quantità di esempi e
poter quindi effettuare delle generalizzazioni. I triangoli devono essere abbastanza
grandi, con lati maggiori di 10-12 cm.
Si spiegherà agli alunni che in prima battuta si vogliono tracciare le tre altezze dei
triangoli, cioè i tre segmenti che, a partire da un vertice cadono sul lato opposto
formando un angolo di novanta gradi. Per farlo si sfrutterà il filo a piombo che ci
darà la direzione verticale. Si userà il piano del tavolo per avere la direzione
orizzontale: di fatto i tavoli vengono costruiti (solitamente) perché il piano sia
perpendicolare alla verticale e questo ci garantisce che l’angolo così costruito sarà di
90°.
A partire dal triangolo acutagolo, si chiede agli studenti di poggiare il triangolo su un
lato e fa passare il filo a piombo per il vertice opposto; l’altro alunno, con una
matita, segna, sul triangolo, il punto in cui il filo a piombo tocca il lato. Poi, con il
righello, traccia l’altezza unendo il punto trovato con il vertice opposto.
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Si chiede di ripetere lo stesso procedimento per gli altri due lati; In questo modo
dovrebbero aver trovato l’ortocentro. Solo quando tutti gli studenti avranno
completato il triangolo acutangolo si passerà al rettangolo e a l’ottusangolo: di fatto
la posizione delle altezze di questi due triangoli è molto particolare e usualmente
difficilmente individuabile per gli alunni. L’operatore, chiedendo anche aiuto
all’insegnante, avrà cura di girare per i gruppi facendo notare le particolari posizioni
di alcune altezze di questi triangoli (coincidenti con dei lati o esterne) che saranno
immediatamente visualizzabili grazie al filo a piombo.
L’operatore potrebbe avere a disposizione tre grandi triangoli di legno con dei fori in
prossimità dei vertici ai quali possono essere agganciati degli spaghi più grandi, in
questo modo potrà mostrare, anche da lontano, l’attività agli studenti.
A questo punto l’attività si sposterà al pc: si chiederà di ripetere lo stesso
procedimento usando Geogebra©. Tuttavia si spiegherà che la schermata del
computer non può essere ruotata come i triangoli di cartoncino e quindi si dovrà
usare, di volta in volta, come piano del tavolo la retta passante per un lato del
triangolo e come filo a piombo la retta perpendicolare. Fatta questa costruzione si
sarà individuato l’ortocentro. La prima importante osservazione da fare, se non già
emersa nell’attività precedente, è che le tre altezze si incontrano sempre nello
stesso punto, fatto che non è scontato per tre segmenti qualsiasi.
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Successivamente si chiederà agli studenti quali erano le posizioni del punto di
incontro delle altezze nei loro triangoli, dovrà emergere che nel caso del triangolo
ottusangolo non hanno potuto individuare tale punto.
Si suggerirà quindi di usare il tasto “muovi” su uno dei vertici del triangolo per
renderlo rettangolo o ottusangolo e vedere quindi dove va a finire il punto
d’incontro delle altezze (che potremo battezzare ortocentro). Risulta di estrema
importanza notare che la perpendicolarità fra lati e altezze viene sempre conservata
dal programma e che quindi, in tutti i casi, il punto individuato è sempre il punto di
incontro delle tre altezze del triangolo in esame. La discussione dovrà portare a
osservare che l’ortocentro può cadere internamente, esternamente o in un vertice
del triangolo a seconda delle misure degli angoli del triangolo.
La seconda attività di questo laboratorio ha come protagoniste le mediane.
Conviene realizzare dei nuovi triangoli (ancora una volta con le diverse tipologie di
angoli) sui quali gli studenti dovranno tracciare le mediane definite come i segmenti
che uniscono un vertice al punto medio del lato opposto. Molto probabilmente
alcuni studenti noteranno già che, in questo caso, il punto d’incontro è ancora una
volta unico e cade sempre dentro al triangolo.
L’operatore, quando tutti i gruppi avranno individuato il punto, battezzerà il punto
col nome di baricentro, chiederà quindi agli studenti se hanno già sentito questa
parola e se sanno spiegarne il significato. Quasi sicuramente verrà fatto riferimento
al peso e all’equilibrio. Si suggerirà quindi di verificare le proprietà di questo punto
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facendo un piccolo foro sul cartoncino e inserendo un filo per mantenere il triangolo
appeso: si noterà che il triangolo rimane orizzontale quando appeso.
Se i triangoli di legno dell’operatore sono dotati di un foro in corrispondenza del
baricentro, si potranno appoggiare su un sostegno verticale per far vedere che la
proprietà vale anche per triangoli più grandi e pesanti.
Ancora una volta si tornerà a lavorare con Geogebra© usando il comando “punto
medio” per tracciare le mediane e poi il comando “muovi” per avere una prima
verifica della congettura sulla posizione del punto notevole.
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FASE 3: Assi e bisettrici ovvero circocentro e incentro (2h)
IN LABORATORIO
MATERIALE: Fogli di carta, Geogebra ©
Attività del tutto analoghe a quelle viste in laboratorio possono essere ripetute per
gli assi e le bisettrice, stavolta però saranno sufficienti dei normalissimi fogli di carta.
Si faranno lavorare gli alunni singolarmente o a coppie, a ciascuno di loro si chiederà
di disegnare e ritagliare dei triangoli di carta (uno acutangolo, uno rettangolo, uno
ottusangolo) con dimensioni a piacere, ma sempre abbastanza grandi.
Si chiederà a ciascuno studente di piegare i triangoli in modo che due lati consecutivi
vadano a coincidere, si potranno quindi realizzare tre pieghe per ciascun triangolo.
Si discuterà con tutta la classe sulle proprietà dei segmenti individuati dalle pieghe,
verrà notato che si incontrano tutti in un punto e, se il termine bisettrice è già stato
introdotto in passato, dovrebbero essere riconosciuti facilmente come tali.
Ancora una volta Geogebra sarà utile per esplorare le proprietà di tale punto (il
comando “bisettrice” renderà facile il disegno, altrimenti si può usare il comando
circonferenza per realizzare l’usuale costruzione con riga e compasso): si muoverà
uno dei vertici del triangolo per notare che il punto rimane sempre interno, inoltre si
potrà tracciare una circonferenza centrata nell’incentro e il cui raggio coincida col
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segmento che, dall’incentro, cade perpendicolare su uno dei lati. Volendo si può
anche realizzare uno slider per far ruotare il triangolo su se stesso e attivare la
traccia per far vedere che la proiezione dell’incentro su uno dei lati traccia una
circonferenza tangente ai lati del triangolo.
Un lavoro del tutto analogo può essere fatto per gli assi, che possono essere
ottenuti piegando i fogli di carta in modo che l’estremo di un lato vada a coincidere
con l’altro estremo dello stesso lato (si consiglia di far realizzare dei nuovi triangoli
per non confondersi con le pieghe precedenti).
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Il programma di geometria dinamica permetterà di tracciare gli assi (con l’apposito
comando o come perpendicolari per il punto medio) e di studiarne la posizione
nonché le proprietà geometriche. Anche in questo caso la circonferenza circoscritta
può essere tracciata direttamente (come circonferenza centrata nel circocentro e
passante per un vertice del triangolo) o creando uno slider e attivando la traccia di
uno dei vertici del triangolo.
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FASE 4: Mettere insieme le conoscenze (30min)
IN CLASSE CON L’INSEGNANTE
MATERIALE: Scheda di lavoro
Scopo di questa ultima attività è quello di far confrontare i ragazzi fra di loro su
quanto fatto e provare a riesaminare i punti notevoli nel loro complesso. Questa
attività può anche fornire delle importanti informazioni all’insegnante per valutare il
percorso e il raggiungimento degli obiettivi prefissi.
Si consiglia pertanto di far lavorare gli studenti a piccoli gruppi e di girare per la
classe per ascoltare le discussioni all’interno dei gruppi se non addirittura audioregistrarle per poi riascoltarle in un secondo momento.
L’attività consisterà nella compilazione della scheda di lavoro fornita nell’allegato 2.
Ciascun gruppo avrà il compito di compilare la scheda per intero, si lascia alla
discrezione dell’insegnante la scelta sul numero di schede per gruppo (una sola o
una per ciascun membro). In ogni caso è importante che l’attività sia svolta in
gruppo perché saranno le argomentazioni degli studenti a esplicitare
l’organizzazione personale delle conoscenze acquisite.
RIFERIMENTI
http://risorsedocentipon.indire.it PQM Spazio e Figure
http://risorsedocentipon.indire.it/offerta_formativa/e/index.php?action=materiali&
lms_id=85&profilo=attivita&tag=38&area=a&nome_tag=spazio%20e%20figure
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Allegato 1 - Geometria dinamica al computer: le basi
Tasto
Nome
Nuovo punto
Retta – per due
punti
Cosa fa?
Disegna un punto
nella posizione
specificata col
mouse
Traccia una retta
che passa per due
punti
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Cosa serve?
Niente
Due punti
Allegato 2 – Mettere insieme le conoscenze: scheda di lavoro
Punto di
incontro di…
…altezze
…mediane
…bisettrici
Nome
Disegno
Posizione
(interno,
esterno…)
Proprietà
fisiche o
geometriche
osservate
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…assi
