Processi di nascita e morte:
La maggior parte dei modelli elementari di coda, considerano che le entrate (unità di arrivo) e le uscite
(unità di partenza) dal sistema, si verifichino come un processo di nascita e morte. Il termine nascita
corrisponde all’arrivo e il termine morte all’uscita.
Stato al tempo t
Evento da t a t+Δt
Un’entrata
Un uscita
Eventi multipli
Nessun evento
?
Probabilità
1
∗ ∗
∗
Le nascite e le morti si verificano con una cadenza media che dipende dallo stato:
∆
∗ ∗
∗
1
∗∆
∗
∗∆
∗
∗
∗
Equazione di equilibrio:
Dato uno stato n = (n1,…,nM), l’equazione di equilibrio stabilisce un’uguaglianza tra la probabilità di uscita
dallo stato n e la probabilità di entrata dello stesso stato.
Considerando:
= ( , …… ,
= ( , …… ,
= ( , …… ,
, … … ,
,…… ,
,…… ,
,…… ,
stato in cui c’è un elemento in più in j ed uno in meno a k
stato in cui ho un cliente in più in j
stato in cui ho un cliente in meno in k
∗
!
∗
!
!
!
" ∗ 1
" ∗
#
∗
!
!
" ∗
∗
U=E
Nelle reti chiuse le entrate e le uscite sono sostituite dal centro di carico e scarico, per cui :
∗
!
!
" ∗ 1
#
!
!
" ∗
∗
Caratteristiche sistemi:
1. M/M/1
Tempi di arrivo poissoniani λ
Tempi di servizio distribuiti esponenzialmente μ
1 servente
Coda supposta illimitata
Essendo la coda illimitata ed avendo un solo servente, μ e λ non dipendono dallo stato del sistema.
& )
'
∑*
)+, % (
Affinché
converga
& )
'
∑*
)+- % (
si deve avere λ<μ e si ottiene dunque:
.
/
0
11
1
e
.
2. M/M/S
Tempi di arrivo distribuiti esponenzialmente λ
Tempi di servizio distribuiti esponenzialmente μ
S serventi
Coda supposta illimitata
Essendoci S>1 serventi, μ dipenderà dello stato del sistema.
Affinché
stazionarietà
λ<Sμ
e si ottiene dunque:
.
/
09
11
! 26
& )
'
∑*
)+- % (
34 5 68
34 7 6
converga, è necessario che sia verificata la condizione di
3. M/M/1/K
Tempi di arrivo distribuiti esponenzialmente γ
Tempi di servizio distribuiti esponenzialmente μ
1 servente
Capacità della coda pari a K
Essendo la capacità della cosa K, il sistema può accomodare al più K clienti, dunque
<34 1 = 8
!;
034 7 =
varierà
ilsistemahadunqueunacapacitàdiauto-regolazione:
quandon 7 = non ci sono più arrivi, dunque la coda non esplode e quindi la condizione di stazionarietà
è verificata poiché non è mai maggiore di γ.
Quindi.
/)
0
1
1 1
Si dimostra che λ = εγ, dove ε rappresenta la frazione di clienti effettivamente servita.
Teorema di Jackson
Verificate le ipotesi:
•
•
•
•
•
•
Tempi di servizio distribuiti esponenzialmente
Tempi di arrivo distribuiti esponenzialmente
Buffer illimitato
Disciplina FIFO
La somma delle probabilità di instradamento degli archi uscenti di ogni stazione sia pari a 1
Ogni stazione sia stabile (λ<Sμ)
Allora Jackson afferma che :
P(n) = P(n1,…, nM) = ∏C! C
dove
C
C
C
GH
E
E
I
C
C!
K
L
∗
C!
I 9L
C
F
H K
E
C!
E
D6C ! ∗ 6C L
M, C
9L
∗
M, C
1 6C
7 6C
Ossia la probabilità di un dato stato n è dalla produttoria dei vari stati
come se fosse indipendente.
C
8
C
, trattando quindiogni stazione
Teorema di Gordon
Verificate le ipotesi:
•
•
•
•
•
Tempi di servizio distribuiti esponenzialmente
Buffer illimitato o almeno pari a N-S
Disciplina FIFO
La somma delle probabilità di instradamento degli archi uscenti di ogni stazione sia pari a 1
Xr <Xt
Allora Gordon afferma che:
P(n) = P(n1,…, nM) = ∏C!
QC
G
E
L
C!
RC L
F
E6 ! ∗ 6 L
C
D C
C
Dove
RC
RC
0L
S
L
9L
∗
∑W ∏C! QC
T U, V
NL L
O ,P
C
M, C
C
1 6C
7 6C
8
Fattore di normalizzazione:
rappresenta tutte le probabilità di dare N clienti a M macchine, e fa sì che la P(n) sia un numero compreso
tra 0 e 1, normalizzando, appunto, la produttoria degli QC C . Essendo quest’ultimo un tempo all’ n-esima,
anche G(M,N) è un tempo all’ N-esima.
U
=
NX Y ∗O
O
,P
,P Y
supposto che M sia l’ultima stazione.
Throughput:
Corrisponde alla produttività del sistema e si misura in pezzi/unità di tempo.
Xr è il throughput reale e corrisponde a quanto effettivamente il sistema produce.
Xt è il throughput teorico e corrisponde a quanto il sistema potrebbe produrre.
Reti aperte:
Xr = ∑ 43 4" Z
per aumentare Xr dovrei aumentare i λ esterni (cioè la frequenza di arrivo dall’esterno) al massimo fino a
Xt-ε ( affinché resti valida la condizione Xr<Xt).
Xt = min;
[L ∗0L
\ ossia il
SL
Throughput teorico della stazione più lenta( “collo di bottiglia”).
Per aumentarlo devo aumentare
C
al massimo fino a quando Xt = Xt+1(Seconda stazione collo di bottiglia).
Reti Chiuse:
O ,P
O ,P
Xr =
Per aumentare Xr devo aumentare N (ricordandosi però che Xr<Xt)
Xt = min;
[L ∗0L
\ ossia il
SL
Throughput teorico della stazione più lenta( “collo di bottiglia”).
Per aumentarlo devo aumentare
C
al massimo fino a quando Xt = Xt+1(Seconda stazione collo di bottiglia).
