Legami costitutivi
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Napoli, 18 maggio 2015 Legami costitutivi Cristoforo Demartino Università degli Studi di Napoli Federico II 18 maggio 2015 Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Napoli, 18 maggio 2015 Outline della lezione Introduzione Materiali e legami costitutivi Ipotesi Legame elastico lineare diretto Legame elastico lineare inverso Espressioni matriciali del legame elastico Energia elastica Limiti di validità delle costanti elastiche Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Introduzione Napoli, 18 maggio 2015 Il problema del legame costitutivo Proprio nello studio del comportamento delle molle, la legge fu prima formulata da Robert Hooke nel 1675, nella forma dell’anagramma latino ”ceiiinosssttuv”, la cui soluzione fu da Hooke pubblicata nel 1678 come: ”Ut tensio, sic vis” che significa ”come l’estensione, cosı̀ la forza”, cioè l’allungamento prodotto (nella molla) u è direttamente proporzionale alla forza F impressa: Figura : Robert Hooke. F = Ku dove la costante K rappresenta il coefficiente elastico della molla, espresso in N/m. Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Introduzione Napoli, 18 maggio 2015 Cos’è un legame costitutivo? L’equilibrio di forze e tensioni e la congruenza di spostamenti e deformazioni prescindono dalla natura del materiale che costituisce la struttura, e le equazioni che ne governano la Statica e Cinematica si scrivono indipendentemente le une dalle altre. Per risolvere il problema strutturale, dunque, occorre associare alle equazioni di equilibrio e di congruenza un ulteriore set di equazioni, dette di legame costitutivo, che descrivano la legge secondo cui il materiale la struttura si deforma per effetto Cristoforo Demartino costituente (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legamidelle costitutivi Materiali e legami costitutivi Napoli, 18 maggio 2015 Il concetto di rigidezza Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Materiali e legami costitutivi Napoli, 18 maggio 2015 Tensioni-deformazione o forza-spostamento I I I P A δ ε= L σ = Eε σ= Cristoforo Demartino I I (Università degli Studi di Napoli Federico II) δ P =K A L EA P= δ L Legami costitutivi Materiali e legami costitutivi Napoli, 18 maggio 2015 Qual’è il comportamento reale dei materiali? I Acciaio Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Materiali e legami costitutivi Napoli, 18 maggio 2015 Qual’è il comportamento reale dei materiali? I Calcestruzzo Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Materiali e legami costitutivi Napoli, 18 maggio 2015 Come si determina il comportamento dei materiali? Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Materiali e legami costitutivi Napoli, 18 maggio 2015 Come posso essere fatti i materiali che utilizziamo? Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Ipotesi Napoli, 18 maggio 2015 Le ipotesi I Le ipotesi alla base della teoria dei legami costitutivi (presentati in questo corso) sono: I Materiale elastico I Materiale lineare I Materiale omogeneo I Materiale isotropo I Ipotesi di piccoli spostamenti In questo modo, sono necessari solo due coefficienti per descrivere il comportamento del materiale! Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Ipotesi Napoli, 18 maggio 2015 Materiale elastico I I I Il modello schematizza il comportamento di molti dei materiali correntemente utilizzati nelle applicazioni strutturali dell’ingegneria solo per valori limitati dello stato tensionale e deformativo. La progettazione tende quasi sempre a far sı̀ che i valori della tensione e della deformazione rientrino in tali limiti! Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Ipotesi Napoli, 18 maggio 2015 Materiale lineare I Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Ipotesi Napoli, 18 maggio 2015 Materiale omogeneo I Per omogeneità si intende che il comportamento meccanico del mezzo è identico in tutti i suoi punti: formalmente ciò equivale a dire che la definizione delle caratteristiche elastiche del materiale non dipende dalle coordinate del punto considerato. Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Ipotesi Napoli, 18 maggio 2015 Materiale isotropo I Un materiale si dice isotropo quando ha le stesse proprietà elastiche in ogni direzione. Più precisamente, ciò significa che nell’effettuare un esperimento meccanico su un provino di tale materiale, che induce in esso un qualsivoglia stato tensionale, la deformazione elastica che viene misurata è indifferente rispetto ad un’arbitraria rotazione relativa tra provino e macchina di prova. Inoltre si dimostra che se un materiale è isotropo, le direzioni principali di deformazione coincidono con le direzioni principale di tensione, punto per punto! Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Ipotesi Napoli, 18 maggio 2015 Ipotesi di piccoli spostamenti I Si parla di piccoli spostamenti e piccole deformazioni se le dilatazioni lineari e gli scorrimenti siano molto inferiori all’unità! Si dimostra che, nella teoria dei piccoli spostamenti, è lecito confondere, ai fini della scrittura delle relazioni di equilibrio, la configurazione iniziale indeformata con la configurazione corrente deformata. Tuttavia l’ipotesi di piccoli spostamenti è comoda per la trattazione perché consente di descrivere le deformazione mediante il tensore della deformazione infinitesima e la sua rimozione introdurrebbe complessità ben lontane dagli scopi della presente trattazione. Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Legame elastico lineare diretto Napoli, 18 maggio 2015 Stato tensionale in direzione 1 In ogni punto lo stato tensionale è σ1 T1 = 0 0 Cristoforo Demartino descritta dal tensore: 0 0 0 0 0 0 (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Legame elastico lineare diretto Napoli, 18 maggio 2015 Stato deformativo in direzione 1 Nel caso di comportamento elastico lineare si ritrova uno stato di deformazione caratterizzato da una dilatazione lineare in direzione 1 uniforme e data da: σ1 ε1 = E e da una dilatazione lineare εt uguale in ogni direzione ortogonale a 1 e pari a: σ1 εt = ε2 = ε3 = −νε1 = −ν E Il modulo E è detto modulo di Young ed ha le dimensioni [E ] = [FL−2] . Il coefficiente ν è detto coefficiente di Poisson ed è adimensionale. Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Legame elastico lineare diretto Napoli, 18 maggio 2015 Stato deformativo in direzione 1 Pertanto il tensore della deformazione infinitesima associato a T è dato da: σ 0 0 1 1 0 E1 = 0 −νσ1 E 0 0 −νσ1 Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Legame elastico lineare diretto Napoli, 18 maggio 2015 Stato tensionale e deformativo in direzione 2 e 3 0 0 T2 = 0 σ2 0 0 0 0 T3 = 0 0 0 0 0 0 1 −νσ2 0 σ2 0 0 E2 = 0 E 0 0 −νσ2 0 0 0 0 1 −νσ3 0 −νσ3 0 0 E3 = E 0 0 σ3 σ3 Si sottolinea in particolare che per l’ipotesi di isotropia il modulo di Young ed il coefficiente di Poisson non dipendono dalla direzione dello stato monoassiale. Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Legame elastico lineare diretto Napoli, 18 maggio 2015 Cosa accade se applico tensione lungo 1, 2 e 3? σ1 0 0 T = T1 + T2 + T3 = 0 σ2 0 0 0 σ3 La deformazione può essere valutata utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti: E = E1 + E2 + E3 σ − ν (σ + σ ) 0 0 1 2 3 1 0 σ2 − ν (σ1 + σ3 ) 0 = E 0 0 σ3 − ν (σ1 + σ2 ) Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Legame elastico lineare diretto Napoli, 18 maggio 2015 Che può essere scritto come... Che scritto in forma scalare diviene: 1+ν ν 1 [σ1 − ν (σ2 + σ3 )] = σ1 − (σ1 + σ2 + σ3 ) E E E 1 1+ν ν ε2 = [σ2 − ν (σ1 + σ3 )] = σ2 − (σ1 + σ2 + σ3 ) E E E 1 1+ν ν ε3 = [σ3 − ν (σ1 + σ2 )] = σ3 − (σ1 + σ2 + σ3 ) E E E γ12 = γ23 = γ13 = 0 ε1 = Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Legame elastico lineare diretto Napoli, 18 maggio 2015 Che può essere scritto come... In forma tensoriale come: ε1 E= 1 γ12 2 1 γ13 2 Cristoforo Demartino 1 γ12 2 ε2 1 γ23 2 1 γ13 2 1 γ23 2 ε3 1 + ν σ1 0 0 ν 0 σ2 0 − tr (T)I = E E 0 0 σ3 (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Legame elastico lineare diretto Napoli, 18 maggio 2015 Quanto valgono E e ν? Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Legame elastico lineare diretto Napoli, 18 maggio 2015 Se sono presenti tensioni tangenziali? Dovendo valere per qualsiasi direzione (isotropia), si ottiene: εx E= 1 γxy 2 1 γxz 2 1 γyz 2 1 + ν σx τxy = E τxz τxy σy τyz τxz ν τyz − tr (T)I E σz 1 γxy εy 2 1 1 γxz γyz εz 2 2 1 0 0 σ τ τ x xy xz 1+ν ν τxy σy τyz − tr (T) 0 1 0 = E E τxz τyz σz 0 0 1 Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Legame elastico lineare diretto Napoli, 18 maggio 2015 Se sono presenti tensioni tangenziali? Che scritto in forma scalare diviene: 1+ν ν σx − (σx + σy + σz ) E E ν 1+ν σy − (σx + σy + σz ) εy = E E 1+ν ν εz = σz − (σx + σy + σz ) E E τxy 2 (1 + ν) γxy = τxy = E G 2 (1 + ν) τxz γxz = τxz = E G 2 (1 + ν) τyz γyz = τyz = E G dove G è detto modulo di elasticità tangenziale. εx = Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Legame elastico lineare diretto Napoli, 18 maggio 2015 Modulo di elasticità volumetrico I Si consideri: E= ν 1+ν T − tr (T)I E E e si calcoli la traccia di E: ν 1+ν 3ν 1+ν tr (T) − tr (T)tr (I) = tr (T) − tr (T) E E E E 1 − 2ν = tr (T) E tr (E) = da cui è possibile ricavare: tr (T) = Cristoforo Demartino E tr (E) 1 − 2ν (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Legame elastico lineare diretto Napoli, 18 maggio 2015 Modulo di elasticità volumetrico II Il rapporto fra tr (T) e tr (E), è spesso indicato con k: k= E tr (T) = tr (E) 1 − 2ν ed è detto modulo di elasticità volumetrico in quanto è il rapporto fra la somma delle tensioni normali agenti su tre facce ortogonali del cubetto elementare e la dilatazione volumetrica Θ, che nell’ipotesi qui fatta di piccoli spostamenti è proprio pari a tr (E). Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Legame elastico lineare inverso Napoli, 18 maggio 2015 Tensioni in funzione delle deformazioni Si sostituisca a tr (T) il termine tr (E): ν 1+ν ν E 1+ν T − tr (T)I = T− tr (E)I E E E E 1 − 2ν da cui è possibile ricavare T: ! ! E E ν E T= E+ tr (E)I 1+ν 1+ν E 1 − 2ν E= che può essere riscritta come: T = 2G E + λtr (E)I dove λ= Eν (1 + ν) (1 − 1ν) Le costanti G e λ sono note come costanti di Lamé. Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Legame elastico lineare inverso Napoli, 18 maggio 2015 Tensioni in funzione delle deformazioni Che scritto in forma scalare diviene: σx = (2G + λ) εx + λ (εy + εz ) σy = (2G + λ) εy + λ (εx + εz ) σz = (2G + λ) εz + λ (εx + εy ) τxy = G γxy τyz = G γyz τxz = G γxz Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Espressioni matriciali del legame elastico Napoli, 18 maggio 2015 Legame costitutivo in forma matricale Il legame elastico inverso può essere espresso come: T = DE Il legame elastico diretto può essere espresso come: E = D−1 T dove D è un operatore elastico del quarto ordine, Di,j,k,l . Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Espressioni matriciali del legame elastico Napoli, 18 maggio 2015 Notazione di Voight La simmetria dei tensori T e E permette di utilizzare una notazione semplificata chiamata notazione di Voigt: invece di rappresentare con le corrispondenti matrici Ti,j e Ei,j è più opportuno usare dei vettori colonna i cui elementi rappresentano le sei componenti indipendenti dello sforzo e deformazione: σx εx σy εy σz εz T= τxy E = γxy τyz γyz τxz γxz in questo modo D è un operatore elastico del secondo ordine, Di,j . Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Espressioni matriciali del legame elastico Napoli, 18 maggio 2015 Legame elastico diretto E = D−1 T εx εy εz γxy γyz γxz Cristoforo Demartino = 1 E ν − E ν − E ν − E 1 E ν − E ν − E ν − E 1 E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 G 0 0 0 0 1 G 0 0 0 0 (Università degli Studi di Napoli Federico II) 0 0 0 0 0 1 G σx σy σz τxy τyz τxz Legami costitutivi Espressioni matriciali del legame elastico Napoli, 18 maggio 2015 Legame elastico inverso T = DE σx σy σz τxy τyz τxz 2G + λ λ λ 0 λ 2G + λ λ 0 ν 2G + λ 0 λ − = E 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 0 0 Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) 0 0 0 0 G 0 0 εx 0 εy 0 εz γxy 0 γyz 0 γxz G Legami costitutivi Energia elastica Napoli, 18 maggio 2015 Stato tensionale uniassiale Si consideri uno stato tensionale uniassiale ed il suo stato deformativo: σ 0 0 σx 0 0 x 1 0 T = 0 0 0 E = 0 −νσx E 0 0 −νσx 0 0 0 In particolare la relazione esistente fra la componente σx e la componente εx è la seguente: σx (εx ) = E εx Si consideri ora l’evoluzione della εx dal valore nullo iniziale ad un valore finale ε̄x . Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Energia elastica Napoli, 18 maggio 2015 Calcolo del lavoro infinitesimo Il lavoro infinitesimo compiuto dalla tensione per il successivo incremento di deformazione dεx vale: d(∆Ldef ,x ) = σx (εx )dεx ∆V dove ∆V è il volume di solido analizzato. Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Energia elastica Napoli, 18 maggio 2015 Calcolo del lavoro totale Nell’intero processo deformativo tra il valore iniziale nullo ed il valore finale il lavoro complessivamente compiuto dalla tensione nel cubetto elementare vale: ε¯ ε¯ ˆx ˆx ∆Ldef ,x = σx (εx )dεx ∆V = E εx dεx ∆V 0 0 1 1 = E ε̄2x ∆V = σ̄x ε̄x ∆V 2 2 Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Energia elastica Napoli, 18 maggio 2015 Calcolo del lavoro sull’intero corpo Il lavoro compiuto sull’intero corpo può essere valutato come: Ldef ,x 1 = 2 ˆ E ε̄2x dΩ 1 = 2 Ω ˆ σ̄x ε̄x dΩ Ω dove con Ω si è indicato il dominio del corpo. Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Energia elastica Napoli, 18 maggio 2015 Calcolo del lavoro sull’intero corpo per uno stato tensionale pluriassiale Il lavoro compiuto sull’intero corpo può essere valutato come: Ldef 1 = 2 ˆ 1 DE ∗ EdΩ = 2 Ω ˆ T ∗ EdΩ Ω con T = 2G E + λtr (E)I. Tale lavoro è detto lavoro di deformazione. Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Energia elastica Napoli, 18 maggio 2015 Potenziale elastico Il legame elastico è conservativo: il lavoro di deformazione è indipendente dal percorso deformativo e dipende solamente dai valori iniziali e finali delle deformazioni e delle tensioni. Nella teoria del potenziale si dimostra che tale ipotesi di conservatività equivale all’esistenza di una funzione φ di E, detta energia elastica specifica o anche potenziale elastico, tale che: ˆ Ldef = φ(E)dΩ Ω dove il potenziale elastico è pari a: 1 1 φ(E) = DE ∗ E = T ∗ E 2 2 La conservatività del legame elastico si traduce dunque nel fatto che il lavoro di deformazione viene immagazzinato sotto forma di energia elastica. Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Limiti di validità delle costanti elastiche Napoli, 18 maggio 2015 Il modulo E Si consideri il legame tra σx e εx : σx (εx ) = E εx si deduce che per avere σx e εx dello stesso segno, in modo che a dilatazione positiva corrisponda una tensione di trazione e ad una contrazione corrisponda una compressione, il modulo di E deve essere positivo. Inoltre considerando: Ldef ,x = 1 2 ˆ E ε̄2x dΩ = Ω 1 2 ˆ σ̄x ε̄x dΩ Ω si deduce che per avere l’energia elastica definita positiva, il modulo di E deve essere positivo. Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Limiti di validità delle costanti elastiche Napoli, 18 maggio 2015 Il modulo G ed il limite inferiore di ν Si consideri il legame tra τxy e εxy : τxy = G γxy si deduce che per avere τxy e εxy dello stesso segno, il modulo di G deve essere positivo. Utilizzando la definizione di G : G= E >0 2 (1 + ν) da cui si ottiene (considerando E > 0): ν > −1 Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Limiti di validità delle costanti elastiche Napoli, 18 maggio 2015 Il limite superiore di ν Si consideri il legame tra tr (T) e tr (E) tr (T) = k tr (E) si deduce che per averetr (T) e tr (E) dello stesso segno, il modulo di k deve essere positivo. Utilizzando la definizione di k: k= E >0 1 − 2ν da cui si ottiene (considerando E > 0): ν< Cristoforo Demartino 1 2 (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Limiti di validità delle costanti elastiche Napoli, 18 maggio 2015 Il modulo ν 1 2 I limiti definiti sono detti teorici in quanto valori negativi di ν sono stati ottenuti solo in laboratorio. Tutti i materiali utilizzati nella grande maggioranza delle applicazioni ingegneristiche presentano valori di ν non negativi. −1 < ν < Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Limiti di validità delle costanti elastiche Napoli, 18 maggio 2015 Significato fisico di ν I I materiali auxetici sono materiali aventi modulo di Poisson negativo: ν < 0. Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi Fine Napoli, 18 maggio 2015 Grazie per l’attenzione Cristoforo Demartino (Università degli Studi di Napoli Federico II) Legami costitutivi
