Legami costitutivi

Napoli, 18 maggio 2015
Legami costitutivi
Cristoforo Demartino
Università degli Studi di Napoli Federico II
18 maggio 2015
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Napoli, 18 maggio 2015
Outline della lezione
Introduzione
Materiali e legami costitutivi
Ipotesi
Legame elastico lineare diretto
Legame elastico lineare inverso
Espressioni matriciali del legame elastico
Energia elastica
Limiti di validità delle costanti elastiche
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Introduzione
Napoli, 18 maggio 2015
Il problema del legame costitutivo
Proprio nello studio del comportamento delle
molle, la legge fu prima formulata da Robert
Hooke nel 1675, nella forma dell’anagramma
latino ”ceiiinosssttuv”, la cui soluzione fu da
Hooke pubblicata nel 1678 come:
”Ut tensio, sic vis”
che significa ”come l’estensione, cosı̀ la forza”,
cioè l’allungamento prodotto (nella molla) u è
direttamente proporzionale alla forza F
impressa:
Figura : Robert
Hooke.
F = Ku
dove la costante K rappresenta il coefficiente
elastico della molla, espresso in N/m.
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Introduzione
Napoli, 18 maggio 2015
Cos’è un legame costitutivo?
L’equilibrio di forze e tensioni e la congruenza di spostamenti e
deformazioni prescindono dalla natura del materiale che costituisce
la struttura, e le equazioni che ne governano la Statica e
Cinematica si scrivono indipendentemente le une dalle altre.
Per risolvere il problema strutturale, dunque, occorre associare alle
equazioni di equilibrio e di congruenza un ulteriore set di equazioni,
dette di legame costitutivo, che descrivano la legge secondo cui il
materiale
la struttura
si deforma
per effetto
Cristoforo
Demartino costituente
(Università degli Studi
di Napoli Federico
II)
Legamidelle
costitutivi
Materiali e legami costitutivi
Napoli, 18 maggio 2015
Il concetto di rigidezza
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Materiali e legami costitutivi
Napoli, 18 maggio 2015
Tensioni-deformazione o forza-spostamento
I
I
I
P
A
δ
ε=
L
σ = Eε
σ=
Cristoforo Demartino
I
I
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
δ
P
=K
A
L
EA
P=
δ
L
Legami costitutivi
Materiali e legami costitutivi
Napoli, 18 maggio 2015
Qual’è il comportamento reale dei materiali?
I
Acciaio
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Materiali e legami costitutivi
Napoli, 18 maggio 2015
Qual’è il comportamento reale dei materiali?
I
Calcestruzzo
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Materiali e legami costitutivi
Napoli, 18 maggio 2015
Come si determina il comportamento dei materiali?
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Materiali e legami costitutivi
Napoli, 18 maggio 2015
Come posso essere fatti i materiali che utilizziamo?
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Ipotesi
Napoli, 18 maggio 2015
Le ipotesi I
Le ipotesi alla base della teoria dei legami costitutivi (presentati in
questo corso) sono:
I
Materiale elastico
I
Materiale lineare
I
Materiale omogeneo
I
Materiale isotropo
I
Ipotesi di piccoli spostamenti
In questo modo, sono necessari solo due coefficienti per descrivere
il comportamento del materiale!
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Ipotesi
Napoli, 18 maggio 2015
Materiale elastico I
I
I
Il modello schematizza il comportamento di molti dei materiali
correntemente utilizzati nelle applicazioni strutturali
dell’ingegneria solo per valori limitati dello stato tensionale e
deformativo.
La progettazione tende quasi sempre a far sı̀ che i valori della
tensione e della deformazione rientrino in tali limiti!
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Ipotesi
Napoli, 18 maggio 2015
Materiale lineare I
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Ipotesi
Napoli, 18 maggio 2015
Materiale omogeneo I
Per omogeneità si intende che il comportamento meccanico del
mezzo è identico in tutti i suoi punti: formalmente ciò equivale a
dire che la definizione delle caratteristiche elastiche del materiale
non dipende dalle coordinate del punto considerato.
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Ipotesi
Napoli, 18 maggio 2015
Materiale isotropo I
Un materiale si dice isotropo quando ha le stesse proprietà
elastiche in ogni direzione.
Più precisamente, ciò significa che nell’effettuare un esperimento
meccanico su un provino di tale materiale, che induce in esso un
qualsivoglia stato tensionale, la deformazione elastica che viene
misurata è indifferente rispetto ad un’arbitraria rotazione relativa
tra provino e macchina di prova.
Inoltre si dimostra che se un materiale è isotropo, le direzioni
principali di deformazione coincidono con le direzioni principale di
tensione, punto per punto!
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Ipotesi
Napoli, 18 maggio 2015
Ipotesi di piccoli spostamenti I
Si parla di piccoli spostamenti e piccole deformazioni se le
dilatazioni lineari e gli scorrimenti siano molto inferiori all’unità!
Si dimostra che, nella teoria dei piccoli spostamenti, è lecito
confondere, ai fini della scrittura delle relazioni di equilibrio, la
configurazione iniziale indeformata con la configurazione corrente
deformata.
Tuttavia l’ipotesi di piccoli spostamenti è comoda per la trattazione
perché consente di descrivere le deformazione mediante il tensore
della deformazione infinitesima e la sua rimozione introdurrebbe
complessità ben lontane dagli scopi della presente trattazione.
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Legame elastico lineare diretto
Napoli, 18 maggio 2015
Stato tensionale in direzione 1
In ogni punto lo stato tensionale è

σ1
T1 =  0
0
Cristoforo Demartino
descritta dal tensore:

0 0
0 0 
0 0
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Legame elastico lineare diretto
Napoli, 18 maggio 2015
Stato deformativo in direzione 1
Nel caso di comportamento elastico lineare si ritrova uno stato di
deformazione caratterizzato da una dilatazione lineare in direzione
1 uniforme e data da:
σ1
ε1 =
E
e da una dilatazione lineare εt uguale in ogni direzione ortogonale
a 1 e pari a:
σ1
εt = ε2 = ε3 = −νε1 = −ν
E
Il modulo E è detto modulo di Young ed ha le dimensioni
[E ] = [FL−2] . Il coefficiente ν è detto coefficiente di Poisson ed è
adimensionale.
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Legame elastico lineare diretto
Napoli, 18 maggio 2015
Stato deformativo in direzione 1
Pertanto il tensore della deformazione infinitesima associato a T è
dato da:


σ
0
0
1
1
0 
E1 =  0 −νσ1
E
0
0
−νσ1
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Legame elastico lineare diretto
Napoli, 18 maggio 2015
Stato tensionale e deformativo in direzione 2 e 3

0 0
T2 =  0 σ2
0 0

0 0

T3 = 0 0
0 0


0
0
1 −νσ2 0
σ2
0
0  E2 =  0
E
0
0 −νσ2
0


0
0
0
1 −νσ3


0
−νσ3 0
0
E3 =
E
0
0
σ3
σ3




Si sottolinea in particolare che per l’ipotesi di isotropia il modulo di
Young ed il coefficiente di Poisson non dipendono dalla direzione
dello stato monoassiale.
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Legame elastico lineare diretto
Napoli, 18 maggio 2015
Cosa accade se applico tensione lungo 1, 2 e 3?


σ1 0 0
T = T1 + T2 + T3 =  0 σ2 0 
0 0 σ3
La deformazione può essere valutata utilizzando il principio di
sovrapposizione degli effetti:
E = E1 + E2 + E3


σ
−
ν
(σ
+
σ
)
0
0
1
2
3
1

0
σ2 − ν (σ1 + σ3 )
0
= 
E
0
0
σ3 − ν (σ1 + σ2 )
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Legame elastico lineare diretto
Napoli, 18 maggio 2015
Che può essere scritto come...
Che scritto in forma scalare diviene:
1+ν
ν
1
[σ1 − ν (σ2 + σ3 )] =
σ1 − (σ1 + σ2 + σ3 )
E
E
E
1
1+ν
ν
ε2 = [σ2 − ν (σ1 + σ3 )] =
σ2 − (σ1 + σ2 + σ3 )
E
E
E
1
1+ν
ν
ε3 = [σ3 − ν (σ1 + σ2 )] =
σ3 − (σ1 + σ2 + σ3 )
E
E
E
γ12 = γ23 = γ13 = 0
ε1 =
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Legame elastico lineare diretto
Napoli, 18 maggio 2015
Che può essere scritto come...
In forma tensoriale come:

ε1



E=


1
γ12
2
1
γ13
2
Cristoforo Demartino
1
γ12
2
ε2
1
γ23
2
1
γ13
2
1
γ23
2
ε3




 1 + ν σ1 0 0
ν

 0 σ2 0  − tr (T)I
=

E
E
0 0 σ3

(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Legame elastico lineare diretto
Napoli, 18 maggio 2015
Quanto valgono E e ν?
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Legame elastico lineare diretto
Napoli, 18 maggio 2015
Se sono presenti tensioni tangenziali?
Dovendo valere per qualsiasi direzione (isotropia), si ottiene:

εx



E=


1
γxy
2
1
γxz
2
1
γyz
2



 1 + ν σx

 τxy
=

E
τxz

τxy
σy
τyz

τxz
ν
τyz  − tr (T)I
E
σz
1
γxy
εy
2
1
1
γxz
γyz
εz
2  2



1
0
0
σ
τ
τ
x
xy
xz
1+ν
ν
 τxy σy τyz  − tr (T)  0 1 0 
=
E
E
τxz τyz σz
0 0 1
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Legame elastico lineare diretto
Napoli, 18 maggio 2015
Se sono presenti tensioni tangenziali?
Che scritto in forma scalare diviene:
1+ν
ν
σx − (σx + σy + σz )
E
E
ν
1+ν
σy − (σx + σy + σz )
εy =
E
E
1+ν
ν
εz =
σz − (σx + σy + σz )
E
E
τxy
2 (1 + ν)
γxy =
τxy =
E
G
2 (1 + ν)
τxz
γxz =
τxz =
E
G
2 (1 + ν)
τyz
γyz =
τyz =
E
G
dove G è detto modulo di elasticità tangenziale.
εx =
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Legame elastico lineare diretto
Napoli, 18 maggio 2015
Modulo di elasticità volumetrico I
Si consideri:
E=
ν
1+ν
T − tr (T)I
E
E
e si calcoli la traccia di E:
ν
1+ν
3ν
1+ν
tr (T) − tr (T)tr (I) =
tr (T) − tr (T)
E
E
E
E
1 − 2ν
=
tr (T)
E
tr (E) =
da cui è possibile ricavare:
tr (T) =
Cristoforo Demartino
E
tr (E)
1 − 2ν
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Legame elastico lineare diretto
Napoli, 18 maggio 2015
Modulo di elasticità volumetrico II
Il rapporto fra tr (T) e tr (E), è spesso indicato con k:
k=
E
tr (T)
=
tr (E) 1 − 2ν
ed è detto modulo di elasticità volumetrico in quanto è il rapporto
fra la somma delle tensioni normali agenti su tre facce ortogonali
del cubetto elementare e la dilatazione volumetrica Θ, che
nell’ipotesi qui fatta di piccoli spostamenti è proprio pari a tr (E).
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Legame elastico lineare inverso
Napoli, 18 maggio 2015
Tensioni in funzione delle deformazioni
Si sostituisca a tr (T) il termine tr (E):
ν
1+ν
ν E
1+ν
T − tr (T)I =
T−
tr (E)I
E
E
E
E 1 − 2ν
da cui è possibile ricavare T:
!
!
E
E
ν E
T=
E+
tr (E)I
1+ν
1+ν
E 1 − 2ν
E=
che può essere riscritta come:
T = 2G E + λtr (E)I
dove
λ=
Eν
(1 + ν) (1 − 1ν)
Le costanti G e λ sono note come costanti di Lamé.
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Legame elastico lineare inverso
Napoli, 18 maggio 2015
Tensioni in funzione delle deformazioni
Che scritto in forma scalare diviene:
σx = (2G + λ) εx + λ (εy + εz )
σy = (2G + λ) εy + λ (εx + εz )
σz = (2G + λ) εz + λ (εx + εy )
τxy = G γxy
τyz = G γyz
τxz = G γxz
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Espressioni matriciali del legame elastico
Napoli, 18 maggio 2015
Legame costitutivo in forma matricale
Il legame elastico inverso può essere espresso come:
T = DE
Il legame elastico diretto può essere espresso come:
E = D−1 T
dove D è un operatore elastico del quarto ordine, Di,j,k,l .
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Espressioni matriciali del legame elastico
Napoli, 18 maggio 2015
Notazione di Voight
La simmetria dei tensori T e E permette di utilizzare una notazione
semplificata chiamata notazione di Voigt: invece di rappresentare
con le corrispondenti matrici Ti,j e Ei,j è più opportuno usare dei
vettori colonna i cui elementi rappresentano le sei componenti
indipendenti dello sforzo e deformazione:




σx
εx
 σy 
 εy 




 σz 
 εz 



T=
 τxy  E =  γxy 




 τyz 
 γyz 
τxz
γxz
in questo modo D è un operatore elastico del secondo ordine, Di,j .
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Espressioni matriciali del legame elastico
Napoli, 18 maggio 2015
Legame elastico diretto
E = D−1 T









εx
εy
εz
γxy
γyz
γxz
Cristoforo Demartino


 


 
 
 
=
 
 
 






1
E
ν
−
E
ν
−
E
ν
−
E
1
E
ν
−
E
ν
−
E
ν
−
E
1
E
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
0 


0 



0 




0 



0 

1 
G
σx
σy
σz
τxy
τyz
τxz








Legami costitutivi
Espressioni matriciali del legame elastico
Napoli, 18 maggio 2015
Legame elastico inverso
T = DE








σx
σy
σz
τxy
τyz
τxz

2G + λ
λ
λ
0

λ
2G
+
λ
λ
0
 
 
ν
 
2G + λ 0
λ
−
=
E
 
 
0
0
0
G
 

0
0
0
0
0
0
0
0

Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
0
0
0
0
G
0

0 
εx
0 
  εy


0 
  εz
  γxy

0 
  γyz
0 
γxz
G
Legami costitutivi








Energia elastica
Napoli, 18 maggio 2015
Stato tensionale uniassiale
Si consideri uno stato tensionale uniassiale ed il suo stato
deformativo:




σ
0
0
σx 0 0
x
1
0 
T =  0 0 0  E =  0 −νσx
E
0
0
−νσx
0 0 0
In particolare la relazione esistente fra la componente σx e la
componente εx è la seguente:
σx (εx ) = E εx
Si consideri ora l’evoluzione della εx dal valore nullo iniziale ad un
valore finale ε̄x .
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Energia elastica
Napoli, 18 maggio 2015
Calcolo del lavoro infinitesimo
Il lavoro infinitesimo compiuto dalla tensione per il successivo
incremento di deformazione dεx vale:
d(∆Ldef ,x ) = σx (εx )dεx ∆V
dove ∆V è il volume di solido analizzato.
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Energia elastica
Napoli, 18 maggio 2015
Calcolo del lavoro totale
Nell’intero processo deformativo tra il valore iniziale nullo ed il
valore finale il lavoro complessivamente compiuto dalla tensione nel
cubetto elementare vale:
 ε¯

 ε¯

ˆx
ˆx
∆Ldef ,x =  σx (εx )dεx  ∆V =  E εx dεx  ∆V
0
0
1
1
= E ε̄2x ∆V = σ̄x ε̄x ∆V
2
2
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Energia elastica
Napoli, 18 maggio 2015
Calcolo del lavoro sull’intero corpo
Il lavoro compiuto sull’intero corpo può essere valutato come:
Ldef ,x
1
=
2
ˆ
E ε̄2x dΩ
1
=
2
Ω
ˆ
σ̄x ε̄x dΩ
Ω
dove con Ω si è indicato il dominio del corpo.
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Energia elastica
Napoli, 18 maggio 2015
Calcolo del lavoro sull’intero corpo per uno stato tensionale
pluriassiale
Il lavoro compiuto sull’intero corpo può essere valutato come:
Ldef
1
=
2
ˆ
1
DE ∗ EdΩ =
2
Ω
ˆ
T ∗ EdΩ
Ω
con T = 2G E + λtr (E)I. Tale lavoro è detto lavoro di
deformazione.
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Energia elastica
Napoli, 18 maggio 2015
Potenziale elastico
Il legame elastico è conservativo: il lavoro di deformazione è
indipendente dal percorso deformativo e dipende solamente dai
valori iniziali e finali delle deformazioni e delle tensioni.
Nella teoria del potenziale si dimostra che tale ipotesi di
conservatività equivale all’esistenza di una funzione φ di E, detta
energia elastica specifica o anche potenziale elastico, tale che:
ˆ
Ldef = φ(E)dΩ
Ω
dove il potenziale elastico è pari a:
1
1
φ(E) = DE ∗ E = T ∗ E
2
2
La conservatività del legame elastico si traduce dunque nel fatto
che il lavoro di deformazione viene immagazzinato sotto forma di
energia elastica.
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Limiti di validità delle costanti elastiche
Napoli, 18 maggio 2015
Il modulo E
Si consideri il legame tra σx e εx :
σx (εx ) = E εx
si deduce che per avere σx e εx dello stesso segno, in modo che a
dilatazione positiva corrisponda una tensione di trazione e ad una
contrazione corrisponda una compressione, il modulo di E deve
essere positivo.
Inoltre considerando:
Ldef ,x =
1
2
ˆ
E ε̄2x dΩ =
Ω
1
2
ˆ
σ̄x ε̄x dΩ
Ω
si deduce che per avere l’energia elastica definita positiva, il
modulo di E deve essere positivo.
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Limiti di validità delle costanti elastiche
Napoli, 18 maggio 2015
Il modulo G ed il limite inferiore di ν
Si consideri il legame tra τxy e εxy :
τxy = G γxy
si deduce che per avere τxy e εxy dello stesso segno, il modulo di G
deve essere positivo.
Utilizzando la definizione di G :
G=
E
>0
2 (1 + ν)
da cui si ottiene (considerando E > 0):
ν > −1
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Limiti di validità delle costanti elastiche
Napoli, 18 maggio 2015
Il limite superiore di ν
Si consideri il legame tra tr (T) e tr (E)
tr (T) = k tr (E)
si deduce che per averetr (T) e tr (E) dello stesso segno, il modulo
di k deve essere positivo.
Utilizzando la definizione di k:
k=
E
>0
1 − 2ν
da cui si ottiene (considerando E > 0):
ν<
Cristoforo Demartino
1
2
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Limiti di validità delle costanti elastiche
Napoli, 18 maggio 2015
Il modulo ν
1
2
I limiti definiti sono detti teorici in quanto valori negativi di ν sono
stati ottenuti solo in laboratorio. Tutti i materiali utilizzati nella
grande maggioranza delle applicazioni ingegneristiche presentano
valori di ν non negativi.
−1 < ν <
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Limiti di validità delle costanti elastiche
Napoli, 18 maggio 2015
Significato fisico di ν
I
I materiali auxetici sono materiali aventi modulo di Poisson
negativo: ν < 0.
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi
Fine
Napoli, 18 maggio 2015
Grazie per l’attenzione
Cristoforo Demartino
(Università degli Studi di Napoli Federico II)
Legami costitutivi