1cm Corso di Psicometria Progredito - 3.2

Le Seadas ... e le ipotesi monodirezionali
Le Seadas ... e il calcolo della potenza
Corso di Psicometria Progredito
3.2 Introduzione all’inferenza statistica
Seconda Parte
Gianmarco Altoè
Dipartimento di Pedagogia, Psicologia e Filosofia
Università di Cagliari, Anno Accademico 2013 - 2014
Le Seadas ... e le ipotesi monodirezionali
Sommario
1
Le Seadas ... e le ipotesi monodirezionali
2
Le Seadas ... e il calcolo della potenza
Le Seadas ... e il calcolo della potenza
Le Seadas ... e le ipotesi monodirezionali
Le Seadas ... e il calcolo della potenza
Le Seadas di Anghelu ... e le ipotesi monodirezionali
E’ noto che il diametro delle Seadas, buonissimo dolce sardo,
può essere considerato una variabile casuale distribuita
normalmente con media pari a 15 cm e deviazione standard
pari a 3 cm. Un gruppo di studenti crede però che il cuoco
Anghelu produca delle Seadas con un diametro maggiore
rispetto a quelle tradizionali.
Per valutare tale ipotesi gli studenti comprano, da Anghelu,
64 Seadas e prima di degustarle, ne misurano il diametro
ottenendo una media pari a 16.2 cm.
Verificare ad un livello di significatività del 5% (α = 0.05)
l’ipotesi sostenuta dal gruppo di studenti.
Le Seadas ... e le ipotesi monodirezionali
Le Seadas ... e il calcolo della potenza
1. La costruzione del sistema di Verifica di Ipotesi
H0 : µ = 15
H1 : µ > 15
Le Seadas ... e le ipotesi monodirezionali
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2. Calcolo del valore osservato della statistica test
Nel caso di verifica di ipotesi sulla media della popolazione, con
varianza nota, la statistica test da utilizzare è la statistica Z:
X−µ
16.2 − 15
= = 3.2
zOSS = σ
3
√
8
n
dove:
X è la media campionaria e µ la media della popolazione
σ è la deviazione standard della popolazione e n la
numerosità campionaria
Dalla teoria sappiamo che se vale H0 la statistica test si
distribuisce normalmente con media 0 e varianza 1.
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Le Seadas ... e il calcolo della potenza
3. Confronto tra valore osservato e valore critico
Per prima cosa determiniamo il valore critico del test per un
livello di significatività critico pari a α = .05
Essendo il test monodirezionale dovremo cercare sulle tavole
statistiche il quantile della distribuzione normale standard
(normale con media 0 e varianza 1) che lascia a destra
un’area totale di .05.
Consultando le tavole si ottiene un valore critico pari a 1.645.
Nota: Se l’ipotesi alternativa fosse stata del tipo
H1 : µ < 15, il valore critico corrispondente sarebbe
naturalmente stato -1.645 (quantile della normale standard
che lascia a sinistra un’area totale di .05).
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Le Seadas ... e il calcolo della potenza
3. Confronto tra valore osservato e valore critico
0.5
Distribuzione normale standard
Rifiuto Ipotesi Nulla
0.3
0.2
0.1
0.0
Densità
0.4
Non Posso Rifiutare Ipotesi Nulla
α = 0.05
0
Z
zCRIT = 1.645
zOSS = 3.2
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3-4. Confronto tra valore osservato e valore critico e
decisione finale
Dall’analisi condotta emerge che il valore osservato della
statistica test è maggiore del valore critico: ZOSS > ZCRIT .
L’ipotesi nulla può essere rifiutata per un livello di
significatività pari al 5%.
... in sostanza, le Seadas di Anghelu hanno un diametro
significativamente maggiore rispetto a quelle tradizionali.
Le Seadas ... e le ipotesi monodirezionali
Le Seadas ... e il calcolo della potenza
Le Seadas di Anghelu ... e il calcolo della potenza
Con riferimento all’esempio precedente, calcolare la potenza del
test utilizzato, in corrispondenza del valore osservato di 16.2 cm.
⇓
Dalla teoria, sappiamo che calcolare la potenza di un test
statistico (1 − β) significa:
calcolare la probabilità di cadere nella regione di rifiuto del
test dato che l’ipotesi alternativa (H1 ) è vera.
Vediamo come procedere ...
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1. Determinazione della regione di rifiuto del test
Ad un livello di significatività del 5%, la regione di rifiuto del test
è costituita dall’insieme degli X che soddisfano la seguente
disequazione:
X−µ
> zCRIT
σ
√
n
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1. Determinazione della regione di rifiuto del test
Sostituendo, nel nostro caso, otteniamo:
X − 15
> 1.645
3
8
3
+ 15
X > 1.645
8
La regione di rifiuto del test è quindi composta dagli X tali che:
X > 15.6
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Densità
2. Rappresentazione grafica della potenza del test
H0
H1
1−α
1−β
α
β
15
15.6
16.2
X
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3. Calcolo della potenza del test
Per calcolare la potenza del test (1 − β) per il valore osservato
16.2, dobbiamo calcolare la probabilità di rifiutare H0 ipotizzando
che H1 sia vera:
P otenz a (16.2) = P r X > 15.6|H1
Standardizzando (dividendo cioè per media e deviazione standard)
entrambi i membri della disequazione otteniamo:


15.6 − 16.2 

P otenza (16.2) = P r z >
 = P r (z > −1.6)
3
8
Consultando le tavole otteniamo: P otenz a (16.2) = 0.945
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4. Conclusioni
Conclusioni
Dall’analisi condotta emerge che la potenza del test è pari a
94.5%.
Ciò significa che, ripetendo l’esperimento e ipotizzando che
H1 sia vera, la probabilità attesa di rifiutare H0 è pari a
94.5%.
Alcune domande
La potenza del test utilizzato può essere considerata
soddisfacente? Perché?
Ipotizzando un livello critico per l’errore di primo tipo pari a
.01, la potenza del test aumenterebbe o diminuirebbe?