2b_EAIEE_CALCOLO VETTORIALE

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO
ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_2b
(ultima modifica 30/09/2015)
M. Usai
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L’integrale  A  d s
S
è un integrale superficiale ed è un integrale doppio in due
dimensioni. Esso è il flusso del vettore A attraverso la
superficie di area S.
Il versore d s normale alla superficie S
• è uscente dalla superficie se la superficie è chiusa e
• dipende dalla direzione nella quale è percorso il contorno
della superficie se la superficie è aperta e si determina con al
regola della mano destra.
an
an
an
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Le grandezze elettromagnetiche generalmente sono grandezze
scalari e vettoriali che dipendono dal tempo e dal punto o posizione
( coordinate spaziali), ossia complessivamente dipendono da
quattro variabili:
•il tempo e
•le tre coordinate spaziali.
Sono quindi importanti i metodi per definire la velocità spaziale
di variazione di un campo scalare per un tempo stabilito.
Si devono sviluppare le derivate parziali rispetto alle tre coordinate
e poiché la velocità di variazione può essere diversa nelle diverse
direzioni, sarà necessario introdurre un vettore che definisca la
velocità spaziale di cambiamento del campo scalare in un
determinato punto e un determinato tempo.
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V(u1,u2,u3)
Gradiente di un campo scalare
V è una grandezza scalare funzione di tre
coordinate ui ( potenziale elettrico, temperatura ,
pressione, tasso di umidità).
P2

dl
P1 d n
P3
an
V+dV
V
dV
Per la stessa variazione dV, la velocità di variazione è dl diversa
lungo d l , perché d n è il percorso più piccolo per passare dalla
superficie a potenziale V a quella a potenziale V+dV.
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Sulla base di queste considerazioni sorge l’esigenza di definire
un vettore che rappresenti sia l’ampiezza che la direzione della
massima velocità spaziale di incremento di una grandezza
scalare come; gradiente della grandezza scalare,
ossia il vettore che rappresenta il rapporto massimo fra la
variazione di V, dV e la lunghezza dl
dV
grad V   V  a n
dn
dV dV dn
dV
dV


cosα 
an  al
dl
dn dl
dn
dn




  a x x  a y y  a z z

in coordinate cartesiane

 V   a x   a y   a z  V

y
z 
 x
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Si definisce divergenza di un vettore di campo A in un punto,
il flusso netto uscente dalla superficie S per unità di volume,
quando il volume tende a zero:
A d s

div A    A  lim
S
Δv 0
In coordinate cartesiane:
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Δv
Ax Ay Az
  A  div A 


x
y
z
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La divergenza in coordinate cilindriche:
1 r Ar 1 A Az
  A  div A 


r r
r 
z
La divergenza in coordinate sferiche :
1  R 2 AR 
1   A sin 
1 A
  A  div A  2


R
R
R sin

R sin 
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Teorema della divergenza
Il flusso totale di un vettore A uscente da una superficie chiusa
qualunque S è uguale all’integrale della divergenza del vettore,
esteso al volume V racchiuso dalla superficie stessa:
 A  d s   div A dv
S
V
Se la divergenza è uguale a zero in tutti i punti del campo, il
campo è solenoidale.
Se il campo è solenoidale, il flusso attraverso una qualunque
superficie contenuta nel campo è uguale a zero.
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Integrale lineare di un vettore
L’integrale lineare di un vettore A lungo un tratto di curva
delimitato da due punti M e N é:
N
N
 A  d l   A cosβ dl
M
M
Il valore dell’integrale dipende :
• dal tratto di curva percorso tra M e N
• dalle posizioni di punti M e N
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A
P

t
N
M
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Il campo è irrotazionale quando l’integrale lineare tra due punti
qualsiasi appartenenti al campo, non dipende dal tratto di curva
che unisce i due punti M e N, ma solo dalla posizione dei due
punti:
N
 A  dl  k per qualsialsi percorso M N
M
in particolare
N
M
M
N
 A  dl    A  dl
inoltre
 A  dl  0
dove l é un percorso chiuso
l
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Se A è irrotazionale ammette un potenziale scalare V, ossia:
dV  A  d l
N
VM  V N    dV
M
A   gradV
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Il rotazionale o rotore di un vettore A nel punto P é:
rot A    A
ossia, é un vettore la cui
•ampiezza è la massima circuitazione del vettore A per unità di
area, quando questa tende a zero e
•la cui direzione è normale alla direzione dell’area orientata che
rende massima la circuitazione.
In coordinate cartesiane:
 Az A y 
 Ay Ax 
 Ax Az 
  a y 
  A  a x 




  az
z 
x 
y 
 z
 x
 y
ax

 A 
x
Ax
M. Usai
ay

y
Ay
az

z
Az
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Il rotore in coordinate cilindriche:
ar
1 
 A 
r r
Ar
a r


rA
az

z
Az
Il rotore in coordinate sferiche:
aR
1

 A  2
R sin R
AR
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a R a  R sin




RA RsinA
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Il rot A gode delle seguenti importanti proprietà:
I° Identità nulla: rot (grad (V))    ( V)  0
Il rotore del gradiente di un campo scalare è uguale a zero.
II° Identità nulla: div (rot (A))    ( A)  0
La divergenza del rotore di un campo vettoriale é uguale a zero.
Teorema di Stokes:




A

d
s

A

d
l


S
C
L’integrale superficiale del rotore di un campo vettoriale su una
superficie aperta è uguale all’integrale lineare del vettore lungo
la linea chiusa che delimita il contorno della superficie.
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Nello studio dei campi vettoriali è conveniente rappresentare le
variazioni di campo graficamente con linee di campo
direzionali o orientate chiamate linee di campo o linee di
flusso.
Esse danno una visione della distribuzione del campo, indicando
in ciascun punto:
• la direzione del campo vettoriale con il verso delle linee
• l’ampiezza attraverso la densità delle linee ( nei punti dove le
linee sono più fitte il campo è più intenso).
La superficie di un volume definito all’interno di un campo,
racchiude una sorgente (source), se le linee di flusso sono
uscenti.
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Campi particolari
Se la divergenza di una grandezza vettoriale che definisce
un campo è nulla, il campo è solenoidale:
 divA dv   A  ds  0
V
S
Se il rotore di una grandezza vettoriale che definisce un
campo è nullo, il campo è irrotazionale:
   A ds   A  dl  0
S
C
I campi vettoriali possono essere classificati in base al fatto
che essi siano solenoidali, irrotazionali e non.
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Campi generali
Un campo vettoriale generico ha sia la divergenza che il
rotore diversi da zero e può essere considerato come la somma
di un campo solenoidale e di un campo irrotazionale.
Teorema di Helmhotz
Un campo vettoriale (funzione vettoriale puntuale) è
determinato dalla somma della divergenza del potenziale
scalare e del rotore del potenziale vettoriale, quando la sua
divergenza e il suo rotore sono ovunque definiti:
F  V    A
M. Usai
o
F   div V  rot A
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I campi possono essere classificati in :
• Campi variabili rapidamente: nei quali i fenomeni di
propagazione spaziale non sono trascurabili;
• Campi Statici: nei quali le grandezze che caratterizzano il
campo sono costanti al variare del tempo. Essi sono tempoinvarianti e in essi sono nulle le correnti di spostamento e le
f.e.m indotte;
• Campi quasi statici: nei quali le grandezze variano lentamente,
ossia:
- le derivate temporali delle grandezze di campo sono trascurabili
rispetto alla loro velocità di propagazione nello spazio e
- le grandezze che caratterizzano il campo variano nello stesso
modo in un qualunque punto dello spazio.
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I campi quasi statici si classificano in:
• Campi tempovarianti con legge armonica stazionaria
(sinusoidale). Per essi è conveniente rappresentare le variabili in
forma vettoriale.
• Campi tempovarianti con legge non armonica stazionaria.
• Nel caso di campi quasi statici le leggi di Maxwell si riducono
alle equazioni di diffusione.
Saranno trattati campi statici e quasi statici.
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Lo studio dei campi statici o quasi statici trova applicazione
nello studio delle:
•
•
•
•
•
•
•
macchine elettriche rotanti;
trasformatori;
attuatori (relé contattori);
testine magnetiche;
schermature;
bobine per acceleratori e macchine da fusione;
potenziali elettrostatici: isolatori, passanti, connettori.
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Lo studio dei campi rapidamente variabili o dinamici trova
applicazione per esempio nello studio di:
• Guide d’onda,
• Antenne,
• Cavità risonanti,
• Filtri
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Un generico problema di campo può essere risolto attraverso
l’applicazione di metodi analitici oppure a metodi numerici.
I metodi analitici sono particolarmente indicati nel caso dello
studio di sistemi bidimensionali ed in presenza di mezzi lineari
omogenei ed isotropi. Essi sono stati ampiamente sviluppati
durante il secolo scorso e quando risultano applicabili,
consentono di ottenere delle soluzioni esatte.
I principali metodi analitici utilizzati per la risoluzione di
problemi di campo elettromagnetico sono:
• metodo delle immagini;
• soluzioni in forma chiusa delle equazioni di Maxwell
espresse in forma di serie convergenti;
• metodi di trasformazioni conformi.
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I metodi numerici sono applicabili anche nel caso tridimensionale
e nel caso di mezzi non lineari, non omogenei ed anisotropi.
Essi consentono di ottenere delle soluzioni approssimate e si sono
sviluppati con l'avvento dei calcolatori elettronici, quindi da circa
trent'anni, ma solo negli ultimi venti anni hanno trovato uno
sviluppo nell'ambito progettuale-industriale.
I principali metodi numerici utilizzati per la risoluzione di
problemi di campo elettromagnetico sono:
• metodo delle differenze finite
• metodo degli elementi finiti
• metodo BEM ( Boundary Elements Method ).
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Il problema della risoluzione di equazioni integrodifferenziali di campo è comune alle diverse aree
scientifiche dell’ingegneria e della fisica.
Gli studi e i risultati ottenibili per un sistema fisico
diventano spendibili per la modellazione e lo studio
in termini di campi di fenomeni fisici di natura
diversa, quando questi presentino forti analogie ed in
particolare con il fenomeno della trasmissione del
calore.
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