ARITMETICA N 0,1,2,3,4,...n.... I NUMERI NATURALI PRIORITA’ delle QUATTRO OPERAZIONI SOMME e SOTTRAZIONI hanno la stessa priorità, se ho solo somme e sottrazioni le eseguo in fila da sinistra a destra 10 5 3 8 15 3 8 12 8 20 MOLTIPLICAZIONI e DIVISIONI hanno la stessa priorità, se ho solo moltiplicazioni e divisioni le eseguo in fila da sinistra a destra 30 : 3 5 : 2 10 5 : 2 50 : 2 25 MOLTIPLICAZIONI e DIVISIONI hanno la precedenza su SOMME e SOTTRAZIONI, in una espressione prima bisogna eseguire le moltiplicazioni e le divisioni poi le somme e le sottrazioni 12 20 :10 4 5 2 1 12 2 4 10 1 14 4 10 1 10 10 1 0 1 1 e 100 50 : 5 2 4 2 100 10 2 8 100 20 8 80 8 88 PROPRIETA’ delle POTENZE 25 2 2 2 2 2 32 base 5 2 esponente ”due alla quinta” 5 volte moltiplico la base tante volte quanto è indicato dall’esponente. Le potenze hanno la priorità sulle operazioni: prima le potenze, dopo le altre operazioni. 3 2 3 : 2 1 5 2 1 32 2 2 : 2 3 8 : 2 1 25 1 9 4 : 2 Esempio: 3 4 1 25 1 36 : 2 3 4 1 25 1 18 14 Le potenze godono delle seguenti proprietà 23 22 = 2 3 + 2 = 25 Somma degli esponenti Moltiplicazione di due potenze con uguale base 1 310: 37 = 310- 7 = 33 Sottrazione degli esponenti Divisione di due potenze con uguale base ( 22 )3 = 2 23 = 26 Moltiplico gli esponenti Potenza di potenza 50 = 40 = 880 = … = 1 Qualsiasi numero elevato alla zero dà come risultato UNO OSSERVAZIONE 1) Se si deve calcolare una moltiplicazione o divisione di due potenze con stesso esponente si può prima eseguire la moltiplicazione o divisione e dopo la potenza esempi: 153 : 53 15 : 5 33 27 e 2 2 32 2 3 6 2 36 3 2 2) Se ci sono somme o sottrazioni si devono sempre eseguire prima le potenze esempi: 4 3 2 3 5 2 8 34 8 3 e 5 4 409681 4015 54 625 3 1258133 73 343 LO ZERO Sommare o sottrarre zero: il numero al quale si somma o sottrae zero non cambia Es: 5 + 0 = 5 o 3 – 0 = 3 cioè vale sempre n 0 n e n 0 n n N Moltiplicare per zero: qualsiasi numero moltiplicato per zero dà sempre come risultato zero Es: 4 0 = 0 o 1256 0 = 0 cioè vale sempre n 0 0 Dividere: zero diviso un qualsiasi numero dà sempre zero NON si può invece dividere un numero per zero n N es: 0 : 4 = 0 infatti 0 4 = 0 es: 4 : 0 = ? NESSUNA SOLUZIONE Infatti non può esistere un numero che moltiplicato per zero dà 4 o un qualsiasi altro numero. 2 LE PARENTESI Le parentesi servono, in un’espressione aritmetica contenente più operazioni, a indicare la priorità delle operazioni da svolgere; in generale si svolgono PRIMA le operazioni delle parentesi più interne. …. …. …. …. …. 1e tonde 2e quadre 3e graffe 6 2 : 4 : 10 : 5 7 3 : 3 3 : 2 7 3 : 3 3 : 16 7 3 : 3 27 : 9 3 : 3 3 3 : 3 3 : 3 3 3 3 3 4 4 2 4 4 2 3 Esempio: 4 2 4 2 5 2 4 2 4 3 32 2 5 2 10 10 10 10 310 : 310 1 MINIMO COMUNE MULTIPLO (m.c.m) Fra un gruppo di due o più numeri è il più piccolo fra i multipli comuni. Esempio: 4, 30, 54 m.c.m (4, 30, 54) = ? MULTILPLI di 4 : (4 1) (4 2) 4 8 MULTILPLI di 30 : (30 1) 30 (4 3) (4 4) (4 5) ………… 12 16 20 …… (30 2) (30 3) (30 4) (30 5) ……. 60 90 120 150 …… MULTILPLI di 54 : (54 1) (54 2) (54 3) (54 4) 54 108 162 216 (54 5) ……. 270 …… (4 135) …. 540 …. (30 18) …. 540 …. (54 10) …. 540 …. 540 è il m.c.m. perché è il più piccolo numero che è contemporaneamente multiplo dei tre numeri dati. Come calcolare il m.c.m. Prima occorre FATTORIZZARE (cioè scrivere come prodotto) i numeri dati in NUMERI PRIMI. I numeri primi sono i numeri maggiori di 1, che risultano divisibili esattamente solo per 1 e per se stessi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 … 4 = 22 30 = 2 3 5 54 = 2 33 m.c.m. = moltiplico tutti i fattori, comuni e non comuni, presi con il massimo esponente 3 m.c.m (4, 30, 54) = 22 33 5 = 540 OSSERVAZIONI: il m.c.m. è sicuramente o il numero maggiore fra quelli dati o è maggiore di tutti moltiplicare fra loro i numeri dati fornisce sicuramente un loro multiplo comune, ma non è il minimo (nell’esempio precedente 4 30 54 = 6480 che è maggiore di 540) LE FRAZIONI SIGNIFICATO DI FRAZIONE Sia N D una frazione: N è detto numeratore, D è detto denominatore. Il significato di questa scrittura è: divido l’unità 1 in D parti uguali e ne prendo un numero pari a N. esempi: 2 = divido l’unità in 5 parti e ne prendo 2 5 | 0 2 1 5 la frazione | | 2/5 | | | 1 2 è minore di 1 5 3 = divido l’unità in 2 parti e prendo 3 di queste parti 2 | 0 | | 1 3 3 1 la frazione è maggiore di 1 2 2 4 | 3/2 Da questi esempi segue che se N < D la frazione indica una quantità inferiore a 1 se N > D la frazione indica una quantità maggiore di 1 FRAZIONE IMPROPRIA se N = D la frazione indica sempre 1 FRAZIONE PROPRIA FRAZIONE APPARENTE FRAZIONI E NUMERI DECIMALI Se voglio trasformare una frazione in un numero decimale, dovrò dividere il numeratore per il denominatore, cioè N N:D D Ad esempio 2 2:5 0,4 5 e 3 3:2 1,5 2 SEMPLIFICARE UNA FRAZIONE Due frazioni si dicono equivalenti se rappresentano la stessa quantità, lo stesso numero decimale. Esempio: 4 2 0, 6 6 3 si dirà che 4 2 e sono due frazioni equivalenti. 6 3 Data una frazione, si possono ricavare infinite frazioni ad essa equivalenti moltiplicando numeratore e denominatore per uno stesso numero (non zero !), ad esempio 1 1 2 1 3 1 4 1 n .... .... moltiplico il numeratore ed il denominatore per uno stesso numero 2 2 2 23 2 4 2n 1 2 3 4 n 1 .... .... ottengo tutte le infinite frazioni equivalenti a . 2 4 6 8 2n 2 Semplificare una frazione significa trasformarla in una frazione ad essa equivalente ma con numeratore e denominatore più piccoli; bisogna quindi dividere il numeratore ed il denominatore per uno stesso numero. Se non è possibile, la frazione non è semplificabile e viene detta irriducibile. Esempio: 4 4:2 2 posso semplificare per 2 perché sia 4 sia 6 sono esattamente divisibili per 2 6 6:2 3 25 25 : 5 5 posso semplificare per 3 perché sia 25 sia 15 sono esattamente divisibili per 3 15 15 : 5 3 24 24 : 2 12 12 : 3 4 posso semplificare sia per 2 sia per 3 o in un solo passaggio per 6 42 42 : 2 21 21 : 3 7 4 non posso semplificare perché 4 e 9 non hanno divisori comuni (sono primi fra loro) 9 CONFRONTARE FRAZIONI FRA LORO Mettere in ordine crescente le frazioni Osservo che 1 4 11 3 , , , senza trasformarle in numeri decimali. 4 6 10 5 11 è la maggiore di tutte le altre perché è maggiore di 1 mentre le altre sono tutte minori di 1. 10 Per confrontare le frazioni devo trasformarle in frazioni equivalenti aventi tutte lo stesso denominatore. Il denominatore comune è in m.c.m. fra i denominatori delle frazioni date: 5 m.c.m.(4, 6, 10, 5) = m.c.m.(22, 32, 52, 5) = 2235 = 60 Trasformo le frazioni date in frazioni equivalenti aventi come denominatore 60: 60 : 4 15 60 : 6 10 60 :10 6 60 : 5 12 1 115 15 4 4 15 60 4 4 10 40 allora 6 6 10 60 11 11 6 66 allora 10 10 6 60 3 3 12 36 allora 5 5 12 60 allora prima divido il nuovo denominatore 60 per il vecchio denominatore di una frazione e poi moltiplico il risultato ottenuto per il numeratore. Confronto i nuovi numeratori: 15 36 40 66 allora 1 3 4 11 . 4 5 6 10 OPERAZIONI CON LE FRAZIONI SOMME E DIFFERENZE DI FRAZIONI Per sommare o sottrarre due frazioni devo prima avere lo stesso denominatore (come quando faccio il confronto), poi sommo o sottraggo i numeratori. Esempio: m.c.m.(2, 4,3) = 12 allora 1 3 2 (12 : 2 1) (12 : 4 3) (12 : 3 2) 6 9 8 7 2 4 3 12 12 12 calcolo il denominatore comune, cioè il m.c.m. fra i denominatori moltiplico i numeratori come quando faccio il confronto sommo o sottraggo i numeratori MOLTIPLICAZIONI Per moltiplicare due o più frazioni mi basta moltiplicare fra loro tutti i numeratori e tutti i denominatori facendo attenzione alle possibili semplificazioni fra numeratori e denominatori. Esempio: oppure 1 2 9 1 2 9 18 poi semplifico per 18, 2 3 6 2 3 6 36 18 18 : 18 1 36 36 : 18 2 moltiplico tutti i numeratori fra loro semplifico il risultato ottenuto se possibile 1 2 9 1 2 : 2 9 1 1 9 1 1 9 : 3 1 1 3 1 1 3 : 3 1 1 1 1 2 3 6 2 : 2 3 6 1 3 6 1 3:3 6 1 1 6 1 1 6 : 3 1 1 2 2 semplifico il più possibile considerando coppie di un numeratore e un denominatore (semplifico in croce) moltiplico i numeratori fra loro e i denominatori fra loro 6 DIVISIONI Per eseguire una divisione fra due frazioni dovrò trasformarla in una moltiplicazione prendendo il reciproco della seconda frazione, cioè scambiando numeratore e denominatore della seconda frazione. 1 3 1 5 5 4 5 4 3 12 Esempio: (il reciproco di 3 5 è ) 5 3 POTENZA Per elevare ad una potenza una frazione elevo a quella potenza il suo numeratore ed il suo denominatore. 2 22 4 2 2 5 5 25 Esempio: I NUMERI RELATIVI I numeri relativi, o numeri con segno vengono introdotti per risolvere il seguente problema. PROBLEMA: se posso utilizzare solo i numeri naturali N ci sono operazioni che non possono essere eseguite. Facciamo due esempi. es1) 5 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ..... 6 7 8 ..... questa operazione può essere eseguita e dà come risultato 3 ? es2) 2 5 ? 0 1 2 3 4 5 questa operazione non può essere eseguita se ho solo i numeri interi naturali N. Per superare questo problema si introduce l’insieme dei numeri relativi Z, cioè l’insieme formato dai numeri interi preceduti da un segno + o da un segno -. Z = ... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 ... .... -5 -4 -3 -2 negativi (minori di zero) -1 0 zero 1 2 3 4 ...... positivi (maggiori di zero) -5 -1 0 1 2 allora 2 - 5 = -3 .... -4 -3 -2 7 3 4 ...... - 3 segno modulo o valore assoluto L’insieme dei numeri interi relativi Z contiene l’insieme N dei numeri naturali (Z N) 1 2 1 2 5 4 1 3 Allo stesso modo si possono introdurre le “frazioni con segno” : , , , ,.... Tutti questi numeri formato l’insieme dei numeri razionali Q: Q Z N Il loro ordinamento sulla retta è speculare rispetto allo zero: Due numeri relativi si dicono: CONCORDI se hanno lo stesso segno DISCORDI se hanno segno opposto OPPOSTI se hanno stesso modulo e segno opposto UGUALI se hanno stesso modulo e stesso segno esempi: + 5 e +10 ; 2 e – 7 esempi: + 5 e – 10 ; 2 e + 7 esempi: + 5 e – 5 ; 2 e + 2 LE OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI MOLTIPLICAZIONI E DIVISIONI Si ricordi il seguente schema detto “regola dei segni” per e diviso + cioè + + - + CONCORDI se moltiplico o divido due numeri concordi il risultato è sempre positivo DISCORDI se moltiplico o divido due numeri discordi il risultato è sempre negativo Esempi: (+2) (+3) = + (2) (3) = +6 (+2) (-5) = - (2) (5) = -10 3 1 3 1 3 2 5 2 5 10 (-3) (-4) = + (3) (4) = +12 (+6) : (-2) = - (6:2) = -12 3 3 5 3 2 3 1 : 4 2 4 5 2 5 10 8 POTENZE Base positiva 22 4 3 2 8 se la base è positiva il risultato è sempre positivo 22 4 Base negativa 3 2 8 positivo se l’ESPONENTE è PARI negativo se l’ESPONENTE è DISPARI se la base è negativa il risultato è: Questo è dovuto alla regola dei segni, infatti indice PARI indice DISPARI le stesse regole si applicano alle frazioni 2 3 4 2 3 9 2 8 2 3 27 1 1 5 25 POTENZE CON ESPONENTE NEGATIVO Cosa significa 2 5 ? L’esponente negativo – 5 significa: prendere il reciproco della base 5 Esempi: 2 5 1 1 1 5 32 2 2 e 2 3 4 4 34 81 3 4 16 2 2 Se le basi sono numeri relativi, bisogna fare attenzione ai segni Esempi: 23 1 3 2 1 8 , 23 1 2 3 1 8 e 24 1 2 4 1 16 SOMME e SOTTRAZIONI Somma CONCORDI 5 2 5 2 7 5 2 5 2 7 stesso segno e somma dei moduli Somma DISCORDI 5 2 5 2 3 5 2 5 2 3 segno del maggiore e differenza dei moduli Sottrazione CONCORDI 5 2 5 2 3 5 2 5 2 3 sottrazione di concordi E’ somma di discordi SOMME ALGEBRICHE 9 Sottrazione DISCORDI 5 2 5 2 7 5 2 5 2 7 sottrazione di discordi E’ somma di concordi Osservazione: secondo la regola dei segni, una parentesi con davanti un segno meno può essere eliminata cambiando i segni di tutti i numeri in essa contenuti, cioè 5 2 8 4 3 1 5 2 8 4 3 1 13 Le stessa regole valgono per le frazioni 1 1 3 1 5 6 3 : 2 1 : 3 2 2 1 2 3 2 2 15 12 : : 6 6 2 Esempio: 3 1 1 : : 6 2 6 3 1 2 : 6 6 1 6 6 PROPORZIONI Una proporzione è un’uguaglianza fra due frazioni equivalenti, cioè frazioni che rappresentano la stessa quantità e lo stesso numero decimale esempio: 1 3 0,5 2 6 1: 2 3 : 6 allora si può scrivere “1 sta a 2 come 3 sta a 6” n1 : d1 = n2 : d2 In generale n1 n2 d1 d 2 medi estremi n1 e d2 sono detti TERMINI ESTREMI della PRPORZIONE n2 e d1 sono detti TERMINI MEDI della PRPORZIONE COME RISOLVERE UNA PROPORZIONE quando uno dei termini è incognito (non noto) I) Se l’incognita è un termine ESTREMO: x : d1 n2 : d 2 esempio: x : 5 20 :10 x=? x 5 20 10 moltiplico i medi e divido per l’estremo noto x d1 n2 d2 10 10 oppure n1 : d1 n2 : x x=? x esempio: 35 : 7 5 : x x d1 n2 n1 7 5 1 35 II) Se l’incognita è un termine MEDIO: moltiplico gli estremi e divido per il medio noto n1 : x n2 : d 2 x=? esempio: 4 : x 100 : 50 x x n1 d 2 n2 x n1 d 2 d1 4 50 2 100 oppure n1 : d1 x : d 2 x=? x esempio: 16 : 4 x : 3 16 3 12 4 PERCENTUALI Una PERCENTUALE è un numero che equivale ad una frazione con il denominatore uguale a 100. x% x 100 Esprimere un rapporto esempio: 16% 16 100 “16 per cento” n in percentuale significa impostare la seguente proporzione d n x d 100 n : d x :100 “n è l’x% di d” Esempi: “3 è il 25% di 12” 3 : 12 = 25 : 100 “il 5% di 40 è 2” 2 : 40 = 5 : 100 3 25 0,25 12 100 2 5 0,05 40 100 Alcune percentuali di uso comune: il 20% equivale a 20 1 un quinto 100 5 11 il 25% equivale a 25 1 un quarto 100 4 il 50% equivale a 50 1 un mezzo 100 2 il 75% equivale a 75 3 tre quarti 100 4 il 100% equivale a 100 1 l’intero 100 Utilizzare le percentuali: I) Calcolare il 15% di 35: x : 35 15 :100 x 35 15 5,25 100 II) Di quale numero 8 è il 20%: 8 : x 20 :100 x 8 100 40 20 III) Quale percentuale è 13 rispetto a 52: 13 : 52 x :100 x 13 100 25 è il 25% 52 12