Microsoft PowerPoint - lezione04_updated

Forze
Dinamica
• Sistema: corpo o corpi di cui vogliamo studiare il
moto (es. un solo corpo puntiforme )
• Tutto il resto dell’universo lo chiamiamo
ambiente
• Tra sistema e ambiente in generale sono
possibili interazioni
• le forze descrivono interazioni tra sistemi e tra
sistema ed ambiente
• Scopo della dinamica: studiare moto del sistema
sottoposto ad interazioni dell’ambiente
2
Le forze
• Cosa sono secondo te le forze? Fai alcuni
esempi
• Quali sono le principali proprietà o attributi
delle forze?
• Come fa una persona ferma ad iniziare a
muoversi?
• Come fa un oggetto fermo a iniziare a
muoversi?
3
Cosa non è la forza
• Non sono esercitate solo dagli esseri
animati
• Negli esseri animati non sono dovute ai
muscoli
• Non esistono solo quando c’è movimento
• Non causano il movimento
• Non sono sinonimo di energia
4
Cosa non sono le forze
• Non sono sinonimo di potenza, lavoro,
pressione …
• Non agiscono solo nel contatto
• Non sono “contenute” negli oggetti
inanimati né li spingono a muoversi
• Non si conservano
• Non provocano variazioni di posizione,
cioè velocità
5
Idee comuni non corrette
• Un corpo sottoposto ad una forza costante
si muove con velocità costante. In
assenza di forze, ogni oggetto rimane a
riposo
• Un corpo inizialmente fermo viene messo
in moto da una “forza di spinta”, che si
consuma durante il moto. Il moto termina
quando la forza di spinta è dissipata
6
Idee comuni non corrette
• Un corpo, una volta in moto, possiede una
forza interna (“impetus”, “capitale di
forza”). In assenza di attrito è costante,
altrimenti diminuisce finché il corpo si
ferma
7
Idee comuni non corrette
• Il tempo impiegato da un corpo a percorrere
una certa distanza quando agisce una forza
su di esso è proporzionale all’inverso
dell’intensità della forza stessa
• Una forza non può muovere un corpo
fintanto che essa è minore del peso del
corpo
• L’inerzia (talvolta è chiamata anche “peso”
o “massa”) è la resistenza intrinseca di un
corpo al moto
8
Idee comuni non corrette
• Il corpo che causa il moto di un altro corpo
esercita forza maggiore, perché deve
superarne l’inerzia
• Il corpo di massa maggiore esercita forza
maggiore
9
La forza
• Forza è “schematizzazione delle
interazioni fra sistemi o tra sistema ed
ambiente”
• Schematizzazione modello matematico
• Nel SI la forza e` una grandezza derivata
la cui unità è il newton (N)
10
Come agiscono le forze
• Deformazioni (es. spugne, palline…)
– corpi sono deformabili o non deformabili
(corpi rigidi)
• Forze a contatto e a distanza
– contatto: si manifestano solo quando si fa
qualcosa sul sistema (reazioni vincolari,
deformazioni, impulsi)
– distanza: il sistema risente della presenza
nella spazio di un altro sistema (sorgente)
11
12
Modelli di interazione
• Detti anche leggi di forze:
– Elastica
– Gravitazionale
– Elettrica
– Magnetica
–…
• Necessità di descrivere l’interazione nello
spazio le forze sono descritte da vettori
13
Trattazione matematica delle
forze
• Si applicano tutte le regole dei vettori
(somma, sottrazione, prodotto scalare e
vettoriale)
• Fondamentale saper scomporre le forze
lungo assi scelti per descrivere la
situazione
15
Esercizi
• 1) scomporre la forza peso in direzione parallela
e perpendicolare ad un piano inclinato
y
α
α
P
x
x
P
y
• 2) scomporre la forza peso di un pendolo nelle
direzioni orizzontale e della fune
16
17
Esercizi
• 3) un corpo su un piano inclinato e` soggetto alla
forza peso P, alla forza d’attrito A e alla reazione
vincolare normale N.
N y
A
α
P
x
• Scomporre la forza risultante in direzione
parallela e perpendicolare al piano inclinato
18
19
Forza e quantità di moto
• Per descrivere le interazioni di un sistema
occorre conoscere come si muove
• Cinematicamente, il moto di un corpo non
dipende dalla sua massa
• Ma quando deve interagire con altri sistemi o
con l’ambiente la sua massa deve
necessariamente entrare in gioco
• Introduciamo quindi la grandezza fisica quantità
di moto:
p = mv
20
Proprietà della quantità di moto
• Un corpo in movimento ha quantità di moto
• Un corpo fermo non ha quantità di moto
• Maggiore la velocità o la massa, maggiore la
quantità di moto
• La quantità di moto può essere trasferita da un
sistema ad un altro oppure distribuire su più
sistemi
21
Proprietà della quantità di moto
• Quando un corpo si ferma la sua quantità di
moto si distribuisce nell’ambiente (es. manto
stradale)
• Ambiente ha usualmente massa molto maggiore
sistema ambiente non comincia a muoversi
• Se il sistema è isolato, ed è fatto da due corpi
essi possono fermarsi perchè quantità di moto è
un vettore
• La massa puo` essere considerata costante a
tutti gli effetti e quindi la quantità di moto di un
corpo che si muove a velocità costante è
costante si conserva
22
Il 1o principio della dinamica
• Conservazione della quantità di moto: se il sistema è
isolato, ed è fatto da un solo corpo esso continuerà a
muoversi con quantità di moto costante
• Primo principio di Newton: “Ciascun corpo persevera nel
proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme,
eccetto che sia costretto a mutare quello stato da forze
impresse”
• Sistemi di riferimento in cui vale questo principio sono
detti sistemi inerziali
• Le leggi della dinamica sono applicabili nella loro forma
piu` semplice solo in questi sistemi
• Per sistemi non inerziali (p.e. la superficie terrestre)
bisogna terner conto di opportune forze inerziali
addizionali
23
Il 1o principio della dinamica
• Affinche’ avvenga un cambiamento di quantita` di moto
(ovvero di velocità) è necessario che l’ambiente
circostante interagisca con il sistema
• Piu` precisamente occorre tenere conto della risultante
di tutte le interazioni tra ambiente e corpo, ovvero la
forza netta
• Se sono presenti forze, ma la loro risultante è nulla, la
quantità di moto non varia nel tempo
• Quindi se osserviamo che la quantità di moto di un corpo
non varia, possiamo dire che il sistema è isolato o
equivalentemente le forze esterne sono nulle
∆p = 0 ⇒ F = 0
p f = pi
24
25
Il 2o principio della dinamica
• Viceversa se la quantità di moto non è
costante, necessariamente è presente una
interazione tra sistema ed ambiente, cioè
forza
• Variazione di quantità di moto variazione di velocità corpo ha
accelerazione
• il 2o principio specifica quantitativamente
la relazione tra forza e accelerazione
26
Il 2o principio della dinamica
• II principio: “Il cambiamento della quantità di moto
di un corpo è proporzionale alla risultante delle
forze esterne ed avviene lungo la direzione lungo
la quale la forza agisce
dp
=F
dt
dp = Fdt
d
mv
(
)
dp
dv
=
=m
= ma = F
dt
dt
dt
27
Il 2o principio della dinamica
• E si ottiene il 2o principio nella forma
1 a= F
m
• Il che significa che l’accelerazione di un corpo è
proporzionale alle forze esterne tramite una
costante propria del corpo che è l’inverso della
massa del corpo
• Per sistema composto da più corpi:
R
Fi 1
a = ∑ ai = ∑ = ∑ Fi =
m i
m
i
i m
Ciascuna forza agisce indipendentemente dalle altre
28
Equilibrio statico
• Se la risultante R delle forze agenti su un corpo
è nulla e il corpo ha inizialmente velocita` nulla,
esso rimane in quiete equilibrio statico
• L’annullarsi di R equivale all’annullarsi di tutte le
sue componenti
• Per un sistema cartesiano R = ∑ F = 0 significa:
i
i
Rx = ∑ Fix = 0
i
R y = ∑ Fiy = 0
i
Rz = ∑ Fiz = 0
i
29
Il 3o principio della dinamica
• Se spostiamo l’attenzione dal sistema all’insieme
sistema + ambiente otteniamo che la risultante
delle forze esterne è sempre nulla quantità di
moto totale si conserva cioè
• Ma allora:
dptot
=0
dt
dptot dpsistema dpambiente
dpsistema
dpambiente
=
+
=0⇒
=−
dt
dt
dt
dt
dt
dpsistema
= Fambiente→ sistema
dt
dpambiente
= Fsistema →ambiente
dt
Fambiente→ sistema = − Fsistema →ambiente
30
31
Esercizi
• 1) due corpi di massa m1 e m2 sono posti su un
piano orizzontale e sono a contatto
F
1
2
• Applicando una forza F, parallela al piano, al
corpo 1, i due corpi, mantenendosi in contatto, si
mettono in moto con una accelerazione a
• Trovare a e la forza di interazione tra i due corpi
32
33
Legge di forza elastica
• Una molla non sollecitata ha una
lunghezza a riposo x0
• Sollecitata da una forza T si allunga (o
si comprime)
• La forza coniugata a T secondo la 3a
legge, generata dalla molla, è la forza
elastica Fe
• Per una molla ideale, l’allungamento (o
accorciamento) e l’intensita` della forza
sono proporzionali
F = k (x − x ) = k∆x
Fe
T
0
• Ove k e` la costante elastica della molla
34
Legge di Hooke
F = −k ( x − x0 ) = −k∆x
• In termini vettoriali:
• Il segno meno indica che la forza, pur avendo
ugual direzione, e` sempre diretta in verso
opposto allo spostamento
∆x
Fe
∆x
FT
FC
Fe
• Per ogni molla ciò è valido in un intervallo
limitato di intensita` di forza che non superi il
cosiddetto limite elastico della molla
35
Ancora sul moto armonico
• Studiamo il moto di un
corpo
soggetto ad
2
d x
una forza F: ma = m 2 = F
dt
F
=
−
k
x
−x )
(
• Se F e` la forza di Hooke
• Se il moto è in una dimensione, possiamo
scrivere l’equazione
0
d 2x
m 2 = −k (x − x0 )
dt
36
Ancora sul moto armonico
• Ponendo
d 2 y d 2x
y=x-x0 2 = 2
dt
dt
2
d
• L’equazione del moto diviene m y = −ky
dt 2
k
• Dividendo i membri
per m e ponendo ω =
2
m
d y
2
= −ω y
• Otteniamo
2
dt
2
• Forze di tipo elastico provocano un moto
armonico
37
Approfondimento
• In termini di quantità di moto:
d p=F
dt
• Legge di forza
F = −k q
pɺ = −kq
38
Approfondimento
• Per definizione: p = mqɺ ⇒ pɺ = mqɺɺ
• L’equazione del moto diviene mq
ɺɺ = −kq
• Dividendo i membri per m e ponendo ω 2 = k
m
• Otteniamo
qɺɺ = −ω q
2
39
Approfondimento
qɺɺ = −ω 2 q ⇒ q = q0 sin (ωt )
2
qɺ = q0ω cos (ωt )
 p 
q +
 =
 mω 
p = mqɺ = mq0ω cos (ωt )
= ( q0 sin (ωt ) ) + ( q0 cos (ωt ) ) = q0 2
p
= q0 cos (ωt )
mω
2
2
2
2
2
q  p 
  +
 =1
 q0   q0 mω 
1 2 2 1 2 1
2 2
mq ω +
p = mq0 ω
2
2m
2
= costante
40
2
2
q  p 
2
2
+
=
1
⇒
x
+
y
=1
  

 q0   q0 mω 
q
p
p
x= ;y=
≡
q0
q0 mω p0
41
Misura di k
Progettare un
esperimento con
l’apparato in
figura
42
Forza gravitazionale
• Due corpi qualunque esercitano tra loro una forza del
tipo:
m1m2
F = −G 2 rˆ
r
ove m1 e m2 sono le masse dei due corpi e r la loro
distanza e G e` la costante di gravitazione universale
• Si assume che le dimensioni dei corpi siano trascurabili
rispetto alla loro distanza, altrimenti questa non sarebbe
definita
• Questa forza e` sempre attrattiva
43
Forza gravitazionale
• Nel caso della forza di gravita` agente su un corpo di
massa m, possiamo scrivere
F = −G
Mm
( RT + h )
2

M
rɵ =  −G 2
RT


m
rɵ 
≡
mg
2

h 
1 +

 RT 

M ɵ
−
G
r

2
R
T
 ≅ G M − rɵ ⇒ g ≅
g=
2
RT 2

h 
1 +

 RT 
( )
• L’accelerazione di gravità g non dipende dal corpo, ma
solo dalla massa e raggio della Terra e dalla posizione
del corpo sulla Terra (altitudine e latitudine)
44
Vincoli
• Un vincolo e` una qualunque limitazione
dell’ambiente al moto del corpo
• Questa limitazione avviene per contatto tra
corpo e vincolo
• Esempi:
– una fune
– una superficie d’appoggio o rotaia
– un asse fisso
– un punto fisso
45
Reazioni vincolari
• Il contatto tra corpo e vincolo produce un’interazione che
si può modellizzare con una forza
• Per il 3o principio, la forza con cui il corpo agisce sul
vincolo e` uguale e contraria a quella, detta reazione
vincolare, con cui il vincolo agisce sul corpo
• Generalmente si suppone, almeno in prima
approssimazione, che il vincolo sia indeformabile, cioè
che riesca a generare la reazione senza deformarsi
apprezzabilmente
• Le forze vincolari non sono in generale note a priori, ma
si possono dedurre a posteriori esaminando il
comportamento del sistema
46
Reazioni vincolari
• Esempio: corpo vincolato in equilibrio statico
• Supponiamo che il corpo sia soggetto, oltre alla
forza di vincolo V, ad altre forze di risultante R
diversa da zero
• Se il corpo e` in equilibrio statico, allora la
risultante di tutte le forze, compresa quella di
vincolo, dev’esser nulla:
Rtot = R + V ≡ 0
• Da questa relazione possiamo calcolare, a
posteriori, la forza di vincolo:
V = −R
47
Reazione vincolare di una superficie
di appoggio o di una rotaia
• È comodo talvolta scomporre la forza V
esercitata dal vincolo nelle componenti
parallela e perpendicolare al vincolo
• La componente tangente t è
usualmente dovuta all’attrito
con la superficie (scabra)
• La componente N è
usualmente l’unica presente
V
N
t
48
Fili e funi
• Sono oggetti
che
trasmettono
la forza solo
in trazione
49
Fili e funi
• Spesso supporremo per semplicita` che le
funi siano
– inestensibili (cioe` la lunghezza non cambi)
– di massa trascurabile
50
Tensione di una fune in quiete
• Sia data una fune in equilibrio statico, tesa
mediante due forze Fs e Fd applicate ai suoi capi
Fd
Fs
• Consideriamo due sezioni arbitrarie A e B e sia
dm la massa della fune compresa tra le due
sezioni
TA
A
dm
B
TB
51
Tensione di una fune in quiete
a = 0 ⇒ TA + TB = 0
• Ne segue che le tensioni TA (sezione A) e TB
(sezione B) devono essere uguali in modulo e
opposte in verso
TA = −TB
• Se A B le tensioni sui due lati di una sezione
sono uguali e contrarie
A≡B
-T
T
52
Tensione di una fune in quiete
• Dall’arbitrarieta` di A e B, segue che la tensione
statica di una fune ha ugual valore T (in modulo)
in ogni punto della stessa
• In particolare cio` vale anche alle estremita`, per
cui
Fs = Fd = T
• Cioe` le forze esterne che tendono la fune sono
uguali, in modulo, alla tensione della fune
53
Tensione di una fune in
movimento
• Ripetendo il ragionamento
per una fune in movimento,
abbiamo
TA + TB = ma
• Ora le tensioni nelle due sezioni non sono piu` uguali fra
loro: cio` è dovuto al fatto che per accelerare la fune e`
necessario che una tensione sia maggiore dell’altra
• Se A e B coincidono, pero`, le tensioni sui due lati di una
sezione sono uguali e contrarie anche nel caso dinamico
• Solo se ipotizziamo che la massa della fune sia
trascurabile, possiamo imporre che la tensione abbia
ugual valore in ogni punto della fune, come nel caso
statico
54
Inestensibilità
• Questa ipotesi due punti arbitrari della
fune A e B mantengono la loro distanza
indipendentemente dal fatto che siano in
quiete o in moto (accelerato)
• Questo implica che abbiano velocita`
uguali e accelerazioni uguali
v A = vB
a A = aB
55
Macchina di Atwood semplice
Ascissa curvilinea
m1a1 = T
v1 = v2
a1 = a2
m2 a2 = −T + m2 g
a
g
m1a + m2 a = m2 g ⇒ a =
m2
m1 + m2
m2
T = m1
g
m1 + m2
g
m1 + m2
m2
56
Macchina di Atwood semplice
Carrucola priva di
massa
v1 = v2
a1 = a2
m1a1 = −m1 g + T m2 a2 = −T + m2 g
m1a + m2 a = ( m2 − m1 ) g ⇒
g
a=
( m2 − m1 )
m1 + m2
( m1 − m2 ) a = 2T − ( m1 + m2 ) g
2T = ( m1 − m2 ) a + ( m1 + m2 ) g
m2 − m1 )

(
g
T = ( m1 − m2 )
+ ( m1 + m2 )  =
2
m1 + m2

g
( m1 + m2 )2 − ( m2 − m1 )2  = 2 gm1 m2
 (m + m )
2 ( m1 + m2 ) 
1
2
T
2gm1
m1 + m2
m2
57
Pendolo semplice
⌢
aT = Rα ( t ) uT
L
τ
θ
⌢
2
aN = Rω ( t ) uN
m
n
θ
Ascissa curvilinea
mg
t
2
ɺ
man = mRθ = τ − mg cos (θ )
ma = mRθɺɺ = −mg sin (θ )
t
Attenzione al segno – nell’accelerazione
tangenziale dovuto al fatto che la forza è di
richiamo (come nella molla!)
58
Pendolo semplice
Lθɺɺ ≅ − gθ ;θ ≅ ( 5 − 6 ) °
g
θɺɺ = − θ
L
 g

θ = θ 0 sin 
t + φ 
L


59
Periodo del pendolo semplice
L
T = 2π
g
indipendente dalla massa m del pendolo:
“isocronismo” del moto;
dalla misura di T ⇒ determinazione di g
Masse collegate tra loro in serie
• Quattro corpi di massa m1, m2, m3, m4,
sono disposti come in figura e collegati
tramite ganci
4
3
2
1
F
• Al corpo 1 viene applicata una forza F
• Trovare: a) l’accelerazione del sistema; b)
la tensione agente sui ganci; c) la forza
agente su ciascun corpo
61
4
3
2
1
F
• a) l’accelerazione del sistema:
m1a = F − τ 1
m2 a = τ 1 − τ 2
m3a = τ 2 − τ 3
m4 a = τ 3
a ( m1 + m2 + m3 + m4 ) = F − τ 1 + τ 1 − τ 2 + τ 2 − τ 3 + τ 3 = F
• b) la tensione agente sui ganci;
m1a = F − τ 1 ⇒ τ 1 = F − m1a = a ( m2 + m3 + m4 )
m2 a = τ 1 − τ 2 ⇒ τ 2 = τ 1 − m2 a = a ( m3 + m4 )
m3 a = τ 2 − τ 3 ⇒ τ 3 = τ 2 − m3 a = a ( m4 )
62
4
3
2
1
F
• c) la forza agente su ciascun corpo
m1
m1a = F − τ 1 = F − a ( m2 + m3 + m4 ) = F
( m1 + m2 + m3 + m4 )
m2
m2 a = τ 1 − τ 2 = am2 = F
( m1 + m2 + m3 + m4 )
m3
m3 a = τ 2 − τ 3 = F
( m1 + m2 + m3 + m4 )
m4
m4 a = F
( m1 + m2 + m3 + m4 )
63
Scomposizione delle tensioni
64
Soluzione
65
http://www.fisica.uniud.it/~giannozz/Corsi/FisI/Slides/Forces.pdf
66
Attrito su superficie o rotaia
• Che il corpo sia in quiete (caso statico) o in moto
(caso dinamico), il fenomeno dell’attrito ha origine
dalle forze di coesione che si stabiliscono nel
contatto tra i materiali di cui sono costituiti il corpo
e la superficie d’appoggio, premuti l’uno contro
l’altro (dalla forza peso del corpo o da altre forze
opportune)
F
P
67
Attrito statico su superficie
• Ad un corpo posto su un piano orizzontale
applichiamo una forza F parallela al piano
F
• Sperimentalmente si vede che il corpo non
si mette in movimento fintanto che
l’intensita` di F non diventa maggiore di un
valore di soglia minimo
68
69
Attrito statico su superficie
• La forza di attrito puo`
essere dovuta tutta o in
parte alla componente della
forza peso parallela
(localmente) alla superficie
F
F
F
P
70
Attrito statico su superficie
• Se un corpo è tale che a= 0, per il
terzo principio, la superficie agisce
sul corpo con una forza Fs uguale
e contraria a F in modo tale che
garantisca l’equilibrio statico del
corpo
• Tale forza è detta d’attrito statico
• Non e` nota a priori, ma si ricava
dalla condizione di equilibrio
statico F + Fs = 0 da cui:
Fs = − F
As
F
71
Attrito statico su superficie
• Il valore di soglia minimo di F corrisponde al massimo
valore della la forza di attrito che la superficie puo`
sviluppare Fsmax
• Si trova sperimentalmente che, almeno in prima
max
F
approssimazione, s = µ s N
e la forza non dipende dall’area di contatto col vincolo
• µs e` il coefficiente di attrito
statico e N e` il modulo della
N
componente, della reazione
As
vincolare, normale (localmente)
F
alla superficie
• Il coefficiente µs dipende dai
materiali e dalla lavorazione
delle superfici a contatto
72
Attrito statico su superficie
• Attenzione: l’equazione
Fsmax = µ s N
• e` un’equazione tra moduli, che non si estende ai
vettori, e` sbagliato percio` scrivere
max
F s = µs N
• perche’ Fs e N sono sempre perpendicolari fra loro
• Fs ha sempre la stessa direzione e verso opposto a F
• Inoltre l’equazione dice qualcosa solo sul valore
massimo della forza d’attrito, non sul valore che, di
volta in volta, equilibra la forza F
73
Attrito statico su superficie
• Riepilogando avremo due condizioni:
• condizione di equilibrio statico
F ≤ Fsmax = µ s N
• condizione di moto
F > Fsmax = µ s N
74
Attrito dinamico su superficie
• Il valore massimo della forza di attrito statico ci da`
l’importante informazione su quando l’equilibrio statico
non è piu` possibile e il corpo comincia a muoversi
• Abbiamo allora a che fare con una forza d’attrito
dinamico
• Si trova sperimentalmente che, almeno in prima
approssimazione, Fd = µd N
e la forza non dipende dalla velocita` del corpo o
dall’area di contatto col vincolo
• µd e` il coefficiente di attrito dinamico e dipende dai
materiali e dalla lavorazione delle superfici a contatto
75
Attrito dinamico su superficie
• Attenzione: l’equazione Fd = µd N
• è un’equazione tra moduli, che non si estende ai vettori
Fd = µd N
• Perche’ Fd e N sono sempre perpendicolari fra loro
• Fd ha sempre la stessa direzione e verso opposto alla
velocita`
• A differenza del caso statico ora l’equazione dice proprio
il valore della forza d’attrito, che istante per istante
agisce sul corpo
• L’equazione del moto e`:
ma = F − Fd ≡ F − µd N
76
Coefficienti di attrito
• Il coefficiente di attrito statico e` sempre
maggiore di quello dinamico:
µs > µd
• Al momento del distacco la forza d’attrito
dinamico è minore della massima forza
d’attrito statico:
Fsmax > Fd
77
Esercizio
• Trovare le equazioni del moto di un punto
materiale su un piano inclinato soggetto a forza
d’attrito dinamico
max = Fx = Px − Fd
y
N
ma y = Fy = − Py + N
ma y = 0 ⇒ N = Py Fd = µd N = µ d Py
max = Px − Fd = Px − µ d Py
ax = g x − µ d g y
g x = g sin (α )
g y = g cos (α )
ax = g ( sin (α ) − µd cos (α ) )
x
Fd
α
P
1 2
x ( t ) = axt + v0t + s0
2
ATTENZIONE: SI
SOTTINTENDE CHE IL
CORPO SCENDA!!! 78
at 2 + bt + c
a = 0.24 ms −2 ; b = −8.94 ms −1 ; c = 84.04 m
Carrello sale
Carrello inizialmente in basso sale, raggiunge la
quota massima e riscende
79
at 2 + bt + c
a = 0.21 ms −2 ; b = −7.65 ms −1 ; c = 72.02 m
Carrello scende
Carrello inizialmente in basso sale, raggiunge la
quota massima e riscende
80
v = a xdisc t + v0
axdisc = 0.42 ms −2
v = axsal t + v0
axsal = 0.48 ms −2
81
Miglioriamo le equazioni
• Salita
• Discesa
y
y
N
N
x
x
Fd
Fd α
P
α
P
axsal = g ( sin (α ) + µd cos (α ) )
axdis = g ( sin (α ) − µd cos (α ) )
axsal − axdisc
µd =
2 g cos (α )
 axsal + axdisc 
α = arcsin 

2
g


82
Piano inclinato con angolo variabile: fino a quale angolo il corpo resta fermo?
max = Fx = Px − f
ma y = Fy = − Py + N
ma y = 0 ⇒ N = Py
f ≤ Fsmax = µ s N = µ s Py
max = Px − f ⇒ f = Px − max ≤ Fsmax = µ s Py
Px − max ≤ µ s Py ⇒ Px − µ s Py ≤ max = 0 ⇒ Px − µ s Py ≤ 0
sin (θ ) − µ s cos (θ ) ≤ 0 ⇒ tan (θ ) ≤ µ s
83
Piano inclinato con angolo variabile: per quale angolo il corpo comincia a muoversi?
max = Fx = Px − f
ma y = Fy = − Py + N
ma y = 0 ⇒ N = Py
f > Fsmax = µ s N = µ s Py
max = Px − f ⇒ f = Px − max > Fsmax = µ s Py
Px − max > µ s Py ⇒ Px − µ s Py > max = 0 ⇒ Px − µ s Py > 0
sin (θ ) − µ s cos (θ ) > 0 ⇒ tan (θ ) > µ s
84
Forza di attrito viscoso
• La sua direzione è opposta alla direzione del moto
• Il modulo è proporzionale alla velocita` del corpo
β Fv = − β v = − p
m
• Ha luogo nel moto di un corpo in un fluido in particolari
condizioni, generalmente a basse velocita`
• Se il corpo è inizialmente fermo, all’inizio Fv è nulla, poi Fv
aumenta in modulo perchè il corpo accelera e quindi
aumenta v. Ma, man mano che v aumenta anche Fv aumenta
e quindi la velocità non potrà aumentare ma ad un certo
punto le sue variazioni saranno nulle (a = 0)
85
Forza di attrito viscoso
• Troviamo la legge oraria di un corpo che cade nella
glicerina (fluido molto viscoso)
ma = Fp + Fv = mg − β v
•
ma = p = mg − β v = mg −
P−
β
m
p ≡ ζ ⇒ p = (P −ζ )
•
•
p = ( P − ζ )τ ⇒ p = −τ ζ
m
β
β
m
;τ ≡
•
mv = P −
β
m
p
y
m
β
p = P−
β
m
•
•
p ⇒ −τ ζ = ζ ⇔ ζ = −
ζ
τ
t
t
−
−
p
t
(
)
p
ζ
dζ
dt
t


ζ =− ⇒∫
= − ∫ ⇒ ln ζ = − ⇒ ζ ( t ) = ζ 0 e τ ⇒ P −
=  P − 0 e τ
τ
ζ
τ
τ
τ
τ 

•
86
Forza di attrito viscoso
p0  −τt p ( t )

P − P − e =
τ 
τ

t
t
− 
−

p (t )
p
0
τ
τ
P 1 − e  + e =
τ

 τ
t
t
t
− 

−
− 

p ( t ) = p0 e τ + Pτ 1 − e τ  lim p ( t ) = lim p0 e τ + Pτ 1 − e τ  = p0
t →∞



 t →0
t
t
−
− 

Risultante delle
lim p ( t ) = lim p0 e τ + Pτ 1 − e τ  = Pτ = p∞
t →∞
t →∞
forze è nulla!


t
 p0 −τt
− 

β
p
Fv ( t ) = − p = − = −  e + P 1 − e τ  
τ

m
τ




lim Fv ( t ) = − P = −mg
t →∞
p0
mv0
lim Fv ( t ) = −
=−
= − β v0
t →0
m
τ
β
−
t
87
Utile per gli esercizi
CASI PARTICOLARI DELLA
DINAMICA DEL PUNTO
MATERIALE
88
Spingere o tirare?
mb ax = F cos (θ ) − µ N =
= F cos (θ ) − µ ( mb g + F sin (θ ) )
mb ax = F cos (θ ) − µ N =
= F cos (θ ) − µ ( mb g − F sin (θ ) )
mb ax = F ( cos (θ ) − µ sin (θ ) ) − µ mb g mb ax = F ( cos (θ ) + µ sin (θ ) ) − µ mb g
89
Forza centripeta? No grazie
Forza centrifuga? No grazie
Forza centrifuga = forza fittizia
Forza centripeta = forza necessaria a
mantenere un corpo in moto su traiettoria
circolare
90
V max di rotazione
ma = T
Moto circolare
uniforme
2
v
T
a = 0 + aN = =
R m
T < Tmax ⇒ v <
RTmax
m
91
Macchine in curva
ma = f s ≤ µ s mg
v2
a = 0 + aN = ≤ µ s g
R
vmax = Rµ s g
92
Pendolo conico per v = cost
ma = mg + T
ma y = mg − T cos (θ )
maN = T sin (θ )
93
Pendolo conico per v = cost
mg
ma y = mg − T cos (θ ) = 0 ⇒ T =
cos (θ )
2
2
v
v
2
maN = =
= T sin (θ ) ⇒ v = mgL sin (θ ) tan (θ )
r L sin (θ )
94
Massa sospesa verticalmente ad una corda
mat = mg sin (θ )
v2
maN = m = mg cos (θ ) − T
R
v2
95
T = mg cos (θ ) + m
R
Giri della morte
V0
96
Giri della morte
v0 2
maN = m
= N − mg ⇒
r
v0 2
+ mg > mg
N =m
r
2r
V0
97
Giri della morte
V
2r
v2
maN = − m = − N '− mg
r
v2
N ' = m − mg ; N ' ≥ 0
r
vmin 2
→
=g
r
… ma non abbiamo la condizione su
v0! Ci serve qualcosa che tenga
conto del fatto che occorre
“portare” la macchina da giù a su
V0
98