Momenti e II eq. Cardinale

FISICA a.a. 2009-2010
Prof. G. Della Valle
Momenti e II eq. Cardinale
1. Momento di una forza, momento angolare, II equazione
cardinale della dinamica del punto materiale
Momento di un vettore
!
Dati un vettore applicato a ed un punto O, detto polo, si dice momento
il vettore:
!
! !
M = r !a,
!
!
dove r è il vettore che va da O al punto di
M
!
O
applicazione di a . Come conseguenza della
definizione, il momento è ortogonale al piano
!
d
individuato da a e da O ed ha per modulo
M = r ! a ! sin " = d ! a ,
!
!
dove ! è l’angolo compreso tra r ed a , d è la
!
distanza della retta di applicazione di a dal polo
!
!
O. Se trasliamo il vettore applicato a lungo la sua
M
retta di applicazione, il momento rispetto allo
O
stesso polo O non cambia:
d
!
!
! !
! !
!
r1
M 2 = r2 ! a = ( r1 + r12 ) ! a =
!
!
!
! ! ! !
! !
r12
a
= r1 ! a + r12 ! a = r1 ! a = M 1
! !
! !
essendo r12 || a " r12 ! a = 0 .
!
!
M di a rispetto ad O
!
r
!
r2
!
a
!
!
a
Momento di una forza
!
!
!
In particolare, dati una forza F ed un polo O, si definisce momento ! della forza F rispetto
ad O il vettore:
!
! !
" = r!F ,
!
!
dove r è il vettore che va da O al punto di applicazione di F . Le dimensioni del momento di
una forza sono:
2
"2
[! ] = [r ] [ F ] = [ L ] [ M ] [T ]
Nel S.I. il momento di una forza si misura in N ! m .
Momento della quantità di moto
!
Dati un punto materiale P, avente quantità di moto p , ed un polo O, si definisce momento
!
della quantità di moto o momento angolare L di P rispetto ad O il vettore
!
! !
L = r! p,
!
dove r è il vettore che va da O a P.
!
!
Il momento angolare risulta così ortogonale al piano individuato dal vettore p (ovvero da v ,
!
che è parallelo a p ) e dal punto O. Abbiamo quindi la seguente fondamentale proprietà:
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Prop. Se un punto materiale compie un moto piano, ed anche il polo O viene scelto nel piano
!
del moto, allora il momento angolare L è ortogonale al piano del moto, e quindi la sua
direzione resta costante nel tempo.
Vale anche il viceversa:
!
Prop. Se il momento angolare L di un punto materiale P ha una direzione costante, allora il
!
moto di P è un moto piano che si svolge nel piano ortogonale a L e passante per il polo O
!
rispetto al quale L è definito.
Esempi
a) Moto circolare
Consideriamo il moto lungo una circonferenza
di raggio R e centro O: il momento angolare di
P rispetto al centro O vale
!
!
O
!
! !
!
L = m r ! v = m R 2"
!
r
!
p
b) Moto piano non circolare
Conviene utilizzare le coordinate polari, e scomporre la velocità secondo le componenti:
dr
d"
vr =
; v" = r
= r!
y
dt
dt
!
!
vr
v
Il momento angolare rispetto all’origine, allora, vale:
!
!
!
v!
! !
!
r
L = m r # v = m r # (v r uˆ r + v" uˆ" ) =
!
!
!
!
!
= m [v r # uˆ + v r # uˆ ] = m v r # uˆ = m r 2!
r
r
"
"
"
"
O
!
essendo r ! uˆ r = 0 .
x
c) Moto non piano
Anche in un moto non piano, ad ogni istante si può definire un piano (istantaneo) del moto
come il piano del cerchio osculatore alla traiettoria nell’istante considerato. Detto C il centro
!
istantaneo del cerchio osculatore, RC il suo raggio istantaneo ed !C la velocità angolare di
rotazione istantanea del punto materiale intorno a C, possiamo vedere il moto non piano come
un moto istantaneamente circolare, e quindi, riconducendoci al caso a) precedentemente
trattato, trovare ! che il momento angolare del punto materiale rispetto al polo C è
!
semplicemente LC = m RC 2!C . Tale momento angolare tuttavia non risulta di particolare
utilità inquanto il polo rispetto al quale è calcolato è in moto con il punto materiale stesso!
Si osservi tuttavia che, per costruzione, nel piano istantaneo del moto giace sia il vettore
!
!
infinitesimo d r che il vettore posizione r del punto materiale rispetto all’origine nell’istante
considerato. Osserviamo allora che possiamo ricondurre il moto non piano ad un moto
istantaneamente piano non circolare, cioè al caso b) precedentemente trattato. Definiamo
!
allora una velocità angolare ! (istantanea) il cui modulo sia dato dalla derivata temporale
dell’anomalia ! di P individuata dal raggio vettore nel piano istantaneo del moto, la cui
direzione sia ortogonale al piano istantaneo del moto, ed il verso quello
piedi-testa di un
!
osservatore che vede la rotazione (istantanea) del raggio vettore r avvenire in senso
antiorario. Possiamo in questo
modo esprimere facilmente il momento angolare di P rispetto
!
!
all’origine: sarà di nuovo L = m r 2! .
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La differenza con i casi precedenti è che, in questo caso più generale di moto non piano, il
momento angolare di P rispetto all’origine potrà variare durante il moto non solo in modulo
ma anche in direzione.
La II equazione cardinale della dinamica
Consideriamo un riferimento inerziale, ed un punto materiale P in moto in esso; se deriviamo
rispetto
al tempo l’espressione del momento angolare di P rispetto ad un polo O troviamo:
!
!
!
!
!
dL
d ! !
dr ! ! dp
(r " p ) = " p + r " = v! " p! + r! " F = r! " F = !!
=
dt
dt
dt
dt
! !
! !
essendo v || p " v ! p = 0 .
Resta così derivata la Seconda equazione cardinale o Teorema del momento angolare:
In ogni istante, la derivata temporale del momento angolare di un punto materiale P è pari al
momento della risultante delle forze applicate a P rispetto allo stesso polo O
!
!
dL
= !
dt
Si dice “seconda equazione cardinale” perché la si incontra, nello studio dei sistemi di punti,
preceduta da una! “prima equazione cardinale”. In particolare, se
!
!
dL
" = 0 !
= 0 ! L = cost.
dt
in modulo, direzione e verso, e quindi, in particolare, si ha che il moto è piano, perchè se il
momento angolare è un vettore costante dovrà in particolare essere costante la sua direzione.
Dunque, come conseguenza della II equazione cardinale, si ha che se il momento delle forze
applicate ad un punto materiale P rispetto ad un certo polo O è nullo, allora il momento
!
angolare L di P rispetto ad O è costante, ed il moto del punto materiale avviene nel piano
!
ortogonale a L e passante per O.
Appendice (propedeutica alle esercitazioni)
Cambiamento di polo per il momento angolare
Dati due poli O ed O ! , entrambi fissi, cioè tali che O !O = cost. , avremo:
!
! """"! !
!
! """"! !
! ! """"! !
LO ! = r! " p = r + O!O " p = r " p + O!O " p = LO + O!O " p
(
)
Allora, derivando rispetto al tempo, otteniamo:
!
!
!
!
!
dLO"
dLO
dLO
dp
=
+ O "O !
=
+ O "O ! F
dt
dt
dt
dt
3
O
O !O
O!
!
r
!
r!
!
p
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II equazione cardinale rispetto ad un polo mobile
!
Consideriamo ora un polo O che si muove con velocità vO in un riferimento inerziale. Il
!
!
momento angolare di P rispetto ad O vale:
z
v P || p
P !
!
!
!
!
!
drP drO
! !
!
! !
!
!
!
r !
dr
rP
L = r # p ; r = rP ! rO " v =
=
!
= v P ! vO
vO
dt
dt
dt
O
!
!
!
rO
dLO
!
!
! !
!
! !
dr ! ! !
y
=
" p + r " F = (v P # vO )" p + ! = # vO " p + !
dt
dt
x
!
!
!
!
essendo v P || p " v P ! p = 0 . In conclusione, la II equazione cardinale rispetto ad un
!
polo mobile con velocità vO diventa:
!
dLO !
!
!
+ vO " p = !
dt
4