Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
Cristina Davino
L verifica
La
ifi
d
delle
ll ipotesi
i t i
In molte circostanze il ricercatore si trova a dover decidere quale,
quale tra
le diverse situazioni possibili riferibili alla popolazione, è quella
meglio sostenuta dalle evidenze empiriche.
Ipotesi statistica: supposizione riguardante:
un parametro della popolazione
la forma della distribuzione della popolazione
Un’ipotesi è un’affermazione che
viene considerata vera a meno che
l’evidenza empirica porti ad avere
seri dubbi sulla sua validità e
suggerisca
i
che
h essa è ffalsa
l
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
Cristina Davino
L verifica
La
ifi
d
delle
ll ipotesi
i t i
Cristina Davino
U esempio
Un
i
La durata delle lampadine prodotte da una certa azienda ha media pari a 2000
ore e deviazione standard pari a 250 ore.
ore
Verifica delle ipotesi: processo utilizzato per stabilire, sulla base
delle osservazioni campionarie,
p
, se l’ipotesi
p
formulata si può considerare esatta o meno
Test statistico: regola che consente di discriminare tra i risultati
campionari che portano ad accettare l’ipotesi e
quelli
lli che
h portano
t
a rifiutarla
ifi t l
La produzione dell’ultima settimana è stata effettuata impiegando un nuovo tipo di
materiale sulla cui qualità il responsabile della produzione avanza seri dubbi.
Prima di mettere in vendita le lampadine prodotte si desidera,
desidera dunque,
dunque indagare
sulla qualità del materiale impiegato e, in particolare, verificare se possa avere
influito sulla durata delle lampadine.
Si esamina allora un campione casuale di 100 lampadine prese dalla produzione
settimanale e se ne misura la durata media, che risulta pari a 1955 ore. E’
possibile affermare, con significatività =0,05, che tale riduzione sia imputabile
alla scarsa qualità del materiale utilizzato?
• Le ipotesi (Nulla, H0, e Alternativa, H1)
• Il livello di significatività ()
• La statistica di riferimento
• La regola di decisione
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
Cristina Davino
L iipotesi
Le
t i
Popolazione:
L iipotesi
Le
t i
X f x;θ
Ipotesi nulla (H0): ipotesi sottoposta a verifica
E’ l’ipotesi
p
preesistente rispetto
p
p
all’esperimento
p
campionario,
p
, q
quella che
viene considerata valida fino a prova contraria, e comprende il
sottoinsieme dei valori dello spazio parametrico
che si vuole
sottoporre a test. Tipicamente, ll’ipotesi
ipotesi nulla è un
un’ipotesi
ipotesi di tipo
semplice:
Ipotesi statistica semplice:
si riferisce ad un valore specifico del parametro
Per
P esempio
i θ θ*
H0 : = 0
Ipotesi statistica composta:
si riferisce ad un insieme di possibili valori che il parametro della
popolazione può assumere
Per esempio
Cristina Davino
*
*
θ θ o θ θ
*
θ θ
Ipotesi alternativa (H1): affermazione fatta in antitesi all’ipotesi nulla
E’ costituita da un singolo
g
valore o da un insieme di valori p
possibili p
per
e considerati alternativi a 0 :
H1 : = 1
;
H1 : < 0
;
H1 : > 0
;
H1 :
0
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
Cristina Davino
L iipotesi
Le
t i
Ipotesi nulla (H0): ipotesi sottoposta a verifica
Ipotesi alternativa (H1): affermazione fatta in antitesi all’ipotesi nulla
E bene sottolineare che l’ipotesi
E’
l ipotesi nulla e l’ipotesi
l ipotesi alternativa non
sono equivalenti ai fini della decisione
decisione, nel senso che il test non è
mai conclusivo circa H1, ma concerne solo la possibilità che dal
campione si possa pervenire al rifiuto o al non rifiuto di H0.
L ipotesi
Le
i t i H0 e H1 sono esaustive
ti
e disgiunte:
di i t o vale
l l’una
l’
o vale
l l’altra.
l’ lt
Cristina Davino
T t e regola
Test
l di d
decisione
i i
Una volta formulate le ipotesi, occorre decidere se, sulla base dell’evidenza empirica
campionaria, l’ipotesi nulla H0 debba essere rifiutata o meno. E’ perciò
ò necessario mettere
a punto una regola che permetta di discriminare tra i risultati campionari che portano ad
accettare l’ipotesi nulla e quelli che portano a rifiutarla. Questa regola costituisce il
Il test è dunque una regola che
permette di stabilire se le
p
osservazioni
campionarie
debbano ritenersi coerenti con
l’ipotesi nulla oppure no.
Poiché il valore campionario di un test
statistico varia da campione a campione, il test
statistico costituisce una variabile casuale che
può assumere valori compresi in un insieme
che costituisce lo spazio campionario del test
secondo
d una particolare
ti l
di
distribuzione
t ib i
di
probabilità che è la distribuzione campionaria
Da un punto di vista operativo,
del test
un test è una statistica che fa
corrispondere
i
d
ad
d ognii campione
i
casuale
l
(X1, …, Xn)un valore numerico che può essere
classificato secondo due diverse possibilità:
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
Cristina Davino
T t e regola
Test
l di d
decisione
i i
L regola
La
l di d
decisione
i i
e gli
li errorii
Un test statistico da quindi luogo alla ripartizione dello spazio campionario in due
sottoinsiemi complementari: un insieme A costituito dai valori del test che sono
compatibili con l’ipotesi nulla H0, e un insieme C che raggruppa i valori del test
considerati incompatibili con H0.
Quest ultimo insieme è costituito dai
Quest’ultimo
e viene definito la regione critica del test
valori
del
test
che
portano
al
rifiuto
di
A-priori sono possibili quattro eventi incompatibili legati all’ipotesi vera sulla
popolazione ed alla decisione che si prende, a ciascuno di essi è associata una
probabilità a-priori di verificarsi
H0
Situazione vera
H0
Quando il valore campionario di t cade nella regione critica, l’evidenza empirica del
f
fenomeno
studiato
di
porta a ritenere
i
che
h l’ipotesi
l’i
i H0 non possa essere considerata
id
valida,
lid e
quindi che non possa essere accettata come vera.
Regione critica per un test
statistico con ipotesi
alternativa unidirezionale:
Regione di
rifiuto di H0
H0 : = 0
H1 : > 0
t
Regione di
rifiuto di H0
Regione di
accettazione di H0
Regione critica per un test
statistico con ipotesi
alternativa bidirezionale:
Regione di
rifiuto di H0
H1
associata (cioè la probabilità di
rifiutare H0) viene definita livello di
Accetto H0 falsa
H0
Errore II tipo
Rifi to H0 vera
Rifiuto
e a
H1
Errore I tipo
H0 : = 0
H1 : 0
t
Ipotizzando vera H0, la regione critica
significatività
i ifi
i i à del
d l test e iindicata
di
con .
De
ecision
ne
Regione di
accettazione di H0
Cristina Davino
Accettare o rifiutare H0 non può e non
deve essere inteso come una
dimostrazione della verità o meno di
(altre ipotesi,
p
, diverse da H0,
H0 (
avrebbero potuto essere accettate o
rifiutate sulla base dello stesso
campione) ma solo come una
conclusione
l i
che
h l’
l’evidenza
id
empirica
i i
è
favorevole o meno all’ipotesi nulla.
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
Cristina Davino
L regola
La
l di d
decisione
i i
e gli
li errorii
H0
H0
Ipotesi
vera
H1
Conclusione
H1
Decisione giusta
Errore I tipo
1-
Errore II tipo
Decisione giusta
1-
P rifiutare H 0 | H 0 è vera P t x R | 0
P accettare H 0 | H 0 è falsa P t x A | 1
1 P rifiutare H 0 | H 0 è falsa P t x R | 1
Cristina Davino
L verifica
La
ifi
delle
d ll ipotesi
i t i sulla
ll media
di
H 0 : 0
Le ipotesi: H :
1
0
Il livello di significatività:
La statistica test: la v.c. media campionaria
Il criterio di decisione: rifiutare il valore 0 come
X
media della popolazione se la media campionaria
x è molto “distante” dal valore 0 ipotizzato sotto H0
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
Cristina Davino
L verifica
La
ifi
delle
d ll ipotesi
i t i sulla
ll media
di
/2
/2
xI
L verifica
La
ifi
delle
d ll ipotesi
i t i sulla
ll media
di
2.
1.
xS
/2
2
0
z
2.
1.
/2
z
Cristina Davino
/2
xI
2
/2
/2
/2
z
xS
0
2
z
2
I valori critici:
P x < x I + P x > xS
oppure standardizzando
Il confronto
x
x-0
x-0
P
< -z + P
> z
2
2 sotto H0
n
n
con
x I e x S oppure
z
x 0
x-
n
con -z 2 e +z 2
La decisione
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
Cristina Davino
U esempio
Un
i
La durata delle lampadine prodotte da una certa azienda ha media pari a 2000
ore e deviazione standard pari a 250 ore.
ore
La produzione dell’ultima settimana è stata effettuata impiegando un nuovo tipo di
materiale sulla cui qualità il responsabile della produzione avanza seri dubbi.
Prima di mettere in vendita le lampadine prodotte si desidera,
desidera dunque,
dunque indagare
sulla qualità del materiale impiegato e, in particolare, verificare se possa avere
influito sulla durata delle lampadine.
Si esamina allora un campione casuale di 100 lampadine prese dalla produzione
settimanale e se ne misura la durata media, che risulta pari a 1955 ore. E’
possibile affermare, con significatività =0,05, che tale riduzione sia imputabile
alla scarsa qualità del materiale utilizzato?
Cristina Davino
U esempio
Un
i
La produzione dell’ultima settimana è stata effettuata impiegando un nuovo tipo di materiale
sulla cui qualità il responsabile della produzione avanza seri dubbi. Prima di mettere in vendita le
lampadine prodotte si desidera,
desidera dunque,
dunque indagare sulla qualità del materiale impiegato e,
e in
particolare, verificare se possa avere influito sulla durata delle lampadine.
Si esamina allora un campione casuale di 100 lampadine prese dalla produzione settimanale e se
ne misura la durata media, che risulta pari a 1955 ore. E’ possibile affermare, con significatività
=0,05,
0 05 che tale riduzione sia imputabile alla scarsa qualità del materiale utilizzato?
=2000
=250
H0: = 2000
H1: < 2000
x 1955
n =100
= 0,05
X ~N
z = -1,645
1.
• Le ipotesi (Nulla, H0, e Alternativa, H1)
• Il livello di significatività ()
• La statistica di riferimento
n
1955 Z
c
1975
2000
2
2.
1
Zc
-1
0
Z
Rifiuto H0 se:
;
X
n
x 0
z
n
1955 2000
1, 8
250
100
-1,8 < -1,645
X
5%
• La regola di decisione
=0,05
Rifiuto H0
Valore critico
non standardizzato: 0 1, 645
n
1955 < 1958,9
Rifiuto H0
1958, 9
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
Cristina Davino
U esempio
Un
i
L verifica
La
ifi
delle
d ll ipotesi
i t i sulla
ll media
di
La durata delle lampadine prodotte da una certa azienda ha media pari a 2000 ore e deviazione standard pari a
250 ore.
L produzione
La
d i
d ll’ lti
dell’ultima
settimana
tti
è stata
t t effettuata
ff tt t impiegando
i
i
d un nuovo tipo
ti
di materiale
t i l di cuii sii ignorano
i
l
le
performance. Prima di mettere in vendita le lampadine prodotte si desidera, dunque, indagare sulla qualità del
materiale impiegato e, in particolare, verificare se possa influire sulla durata delle lampadine.
Si esamina allora un campione casuale di 100 lampadine prese dalla produzione settimanale e se ne misura la
durata media, che risulta pari a 2010 ore. E
E’ possibile affermare, con significatività =0,05,
0,05, che tale variazione sia
imputabile al nuovo materiale utilizzato?
H0:
= 2000
H1: 2000
=2000
= 0,05
0 05
=250
2,5%
2000
z
z 1, 96
1.
2
0
z
2.
Z
2
;
X
n
x 0
=0,05
z
n
2
2010 2000
0, 4
250
100
|0,4| < 1,96
2 5%
2,5%
2
Rifiuto H0 se:
x 2010
X
2049
2 5%
2,5%
X ~N
n =100
2,5%
1951
Cristina Davino
Non rifiuto H0
Valori critici
non standardizzati:
d d
1951 2010 2049
0 1,
1 96
n
1951, 0
L azienda Package utilizza un procedimento tecnologico per
L'azienda
l'inscatolamento di uno dei suoi prodotti tarato per ottenere scatole con
peso medio di 10Kg e uno s.q.m. pari a 0,3Kg. Durante il controllo
periodico del funzionamento del meccanismo di inscatolamento risulta
che il peso medio del prodotto inscatolato in un campione di 10 scatole
estratte a caso dalla catena di montaggio è pari a 10,19 Kg.
a) Sulla base dei risultati campionari, il responsabile della produzione
sospetta che il meccanismo sia guasto e produca scatole con peso medio
diverso da quello previsto. Supponendo che il peso del prodotto
inscatolato dall'azienda si distribuisca normalmente, sulla base dei
p
, si p
può ritenere che ci sia effettivamente un g
guasto nel
risultati campionari,
sistema di inscatolamento? Effettuare il test sia ad un livello di
significatività del 5% che dell'1%.
2049, 0
Non rifiuto H0
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
Cristina Davino
L verifica
La
ifi
delle
d ll ipotesi
i t i sulla
ll media
di
b) Sulla base dei risultati campionari,
campionari il responsabile della produzione
sospetta che il meccanismo sia guasto e produca scatole con peso medio
maggiore di quello previsto. Supponendo che il peso del prodotto
inscatolato dall
dall'azienda
azienda si distribuisca normalmente,
normalmente sulla base dei
risultati campionari si può ritenere che ci sia effettivamente un guasto nel
sistema di inscatolamento? Effettuare il test sia ad un livello di
significatività
i ifi ti ità del
d l 5% che
h dell'1%.
d ll'1%
Cristina Davino
Ri il
Riepilogo
sulla
ll v.c. media
di campionaria
i
i
n
>30?
SI
c) Risolvere i punti a) e b) nel caso in cui lo s.q.m. del peso delle scatole
prodotte dall’azienda non sia noto ma si conosca lo s.q.m. del peso delle
scatole presenti nel campione di 10 scatole estratte (s=0.35Kg).
NO
X
N?
?
SI
noto?
X N ;
n
NO
SI
NO
X-
tn 1
s
n
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
Cristina Davino
L fasi
Le
f i della
d ll verifica
ifi
d
delle
ll ipotesi
i t i
Cristina Davino
L verifica
La
ifi
delle
d ll ipotesi
i t i su una proporzione
i
In una scommessa con un amico, lanciando 100 volte una moneta
si sono ottenute 54 teste. Abbiamo il sospetto che l’amico ci abbia
ingannati utilizzando una moneta truccata. Si verifichi questa
ipotesi ad un livello di significatività =0,1.
1 Definire l’ipotesi H0
2 Definire l’ipotesi H1
3 Specificare il livello di significatività
H0: = 0,5
,
H1: > 0,5
4 Determinare la dimensione n del campione
5 Determinare la statistica test
n=100
6 Fissare il valore (test unidirezionale) o i valori critici (test
p~N
= 0,10
Rifiuto H0 se:
p 0
0 1 0
10%
n
7 Calcolare il valore campionario della statistica
0,50
8 Confrontare il valore campionario della statistica con il/i valori critici
p
pc
z
n
z 1,28
p =0,54
bidirezionale) che dividono le regioni di rifiuto e di accettazione
p 0
0 1 0
0,80 < 1,28
0 54 0,50
0,54
0 50
0,50 1 0,50
100
0, 80
Non rifiuto H0
10%
9 Prendere una decisione
0
z
p
1
n
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
Università di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
a.a. 2014
2014--2015 La verifica delle ipotesi
Cristina Davino
Dove e come studiare
• S.
S B
Borra, A.
A Di Ci
Ciaccio
i (2004) – Statistica
St ti ti – Metodologie
M t d l i per le
l scienze
i
economiche e sociali – McGraw-HillCap. 13 (escluso paragrafi 13.7,
13.8), Cap. 14 (escluso paragrafi 14.4, 14.5, 14.6).
• D. Piccolo (2004) – Statistica per le decisioni – Il Mulino. Cap. 14
(escluso paragrafi 14.5, 14.8, 14.9, 14.10,14.11, 14.12).
• F. Parpinel, C. Provasi (2004) – Elementi di probabilità e statistica per
le Scienze Economiche – Giappichelli editore. Cap. 7 (escluso pagine
p g
7.3,, 7.5,, 7.6).
)
345-347,, escluso paragrafi
File “esercizi verifica delle ipotesi.pdf”
Riepilogo
La verifica delle ipotesi
p
•
Le ipotesi
•
Le regioni di accettazione e di rifiuto
•
La regola di decisione e gli errori
•
Le fasi di una verifica delle ipotesi
•
L verifica
Le
ifi d
delle
ll iipotesi
t i sulla
ll media
di d
della
ll popolazione
l i
•
La verifica delle ipotesi sulla proporzione
Cristina Davino
