La Matematica del Mondo dei Quanti

La Matematica del Mondo dei Quanti
Gerardo Morsella
Dipartimento di Matematica
Scienza Orienta 2017
Università di Roma Tor Vergata
13 febbraio 2017
Gerardo Morsella (Mat)
La Matematica del Mondo dei Quanti
Scienza Orienta 2017
1 / 19
La crisi della fisica classica
La radiazione di corpo nero
1/2
Corpo nero: “scatola” contenente radiazione elettromagnetica in
equilibrio termico a temperatura T
Problema: calcolare la densità di energia elettromagnetica per unità di
volume e di intervallo di frequenza ν
Soluzione della fisica classica (elettromagnetismo e termodinamica):
u(ν, T ) =
8πν 2
kT
c3
(legge di Rayleigh-Jeans, 1900)
u
teoria
Paradossi:
In accordo con
esperimenti solo per
piccole frequenze
energia totale infinita
(catastrofe ultravioletta)
esperimenti
ν
Gerardo Morsella (Mat)
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Scienza Orienta 2017
2 / 19
La crisi della fisica classica
La radiazione di corpo nero
1/2
Corpo nero: “scatola” contenente radiazione elettromagnetica in
equilibrio termico a temperatura T
Problema: calcolare la densità di energia elettromagnetica per unità di
volume e di intervallo di frequenza ν
Soluzione della fisica classica (elettromagnetismo e termodinamica):
u(ν, T ) =
8πν 2
kT
c3
(legge di Rayleigh-Jeans, 1900)
u
Paradossi:
5
teoria
4
In accordo con
esperimenti solo per
piccole frequenze
energia totale infinita
(catastrofe ultravioletta)
3
2
esperimenti
1
0
1
2
3
4
5
6
7
ν
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2 / 19
La crisi della fisica classica
La radiazione di corpo nero
2/2
Soluzione di Planck (1900)
Planck ipotizzò che la radiazione a frequenza ν non potesse avere una
qualunque energia, ma solo energia quantizzata
0, hν, 2hν, 3hν, ..., nhν, ...
con h nuova costante universale con dimensioni J · s = kg m2 s−1
(azione)
Rifacendo il calcolo della densità di energia:
u(ν, T ) =
8πhν 3
hν
c 3 (e kT − 1)
in accordo con dati sperimentali se h = 6, 6 · 10−34 J · s costante di
Planck. Per luce visibile ν ' 5 · 1011 Hz ⇒ hν ' 3 · 10−22 J
Ma perché solo valori discreti??
Gerardo Morsella (Mat)
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3 / 19
La crisi della fisica classica
La radiazione di corpo nero
2/2
Soluzione di Planck (1900)
Planck ipotizzò che la radiazione a frequenza ν non potesse avere una
qualunque energia, ma solo energia quantizzata
0, hν, 2hν, 3hν, ..., nhν, ...
con h nuova costante universale con dimensioni J · s = kg m2 s−1
(azione)
Rifacendo il calcolo della densità di energia:
u(ν, T ) =
8πhν 3
hν
c 3 (e kT − 1)
in accordo con dati sperimentali se h = 6, 6 · 10−34 J · s costante di
Planck. Per luce visibile ν ' 5 · 1011 Hz ⇒ hν ' 3 · 10−22 J
Ma perché solo valori discreti??
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La crisi della fisica classica
La radiazione di corpo nero
2/2
Soluzione di Planck (1900)
Planck ipotizzò che la radiazione a frequenza ν non potesse avere una
qualunque energia, ma solo energia quantizzata
0, hν, 2hν, 3hν, ..., nhν, ...
con h nuova costante universale con dimensioni J · s = kg m2 s−1
(azione)
Rifacendo il calcolo della densità di energia:
u(ν, T ) =
8πhν 3
hν
c 3 (e kT − 1)
in accordo con dati sperimentali se h = 6, 6 · 10−34 J · s costante di
Planck. Per luce visibile ν ' 5 · 1011 Hz ⇒ hν ' 3 · 10−22 J
Ma perché solo valori discreti??
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La crisi della fisica classica
L’effetto fotoelettrico
Esperimenti di irraggiamento di metalli con radiazione ultravioletta
(Hertz, 1887):
il metallo emette elettroni solo se la frequenza ν della radiazione
incidente è sopra una certa soglia
il numero di elettroni emessi è proporzionale all’intensità della
radiazione, ma non alla frequenza
l’energia degli elettroni emessi è proporzionale alla frequenza, ma
non all’intensità
Inspiegabile classicamente: energia della radiazione proporzionale
all’intensità, non alla frequenza
Spiegazione di Einstein (1905)
la radiazione di frequenza ν è formata di particelle (fotoni), ognuna
delle quali ha energia hν, in numero proporzionale all’intensità
Conferma ipotesi di Planck
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La crisi della fisica classica
L’effetto fotoelettrico
Esperimenti di irraggiamento di metalli con radiazione ultravioletta
(Hertz, 1887):
il metallo emette elettroni solo se la frequenza ν della radiazione
incidente è sopra una certa soglia
il numero di elettroni emessi è proporzionale all’intensità della
radiazione, ma non alla frequenza
l’energia degli elettroni emessi è proporzionale alla frequenza, ma
non all’intensità
Inspiegabile classicamente: energia della radiazione proporzionale
all’intensità, non alla frequenza
Spiegazione di Einstein (1905)
la radiazione di frequenza ν è formata di particelle (fotoni), ognuna
delle quali ha energia hν, in numero proporzionale all’intensità
Conferma ipotesi di Planck
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La crisi della fisica classica
L’atomo di idrogeno
1/2
Modello di Rutherford dell’atomo di idrogeno (1911): elettrone
(negativo) orbita attorno al protone (positivo) attratto dalla forza di
Coulomb, proporzionale a 1/r 2 (come la gravità)
Problemi:
non spiega lo spettro di emissione di radiazione,
fatto di righe con frequenze
!
1
1
ν=R
−
n12 n22
con n1 , n2 numeri interi (R costante di Rydberg)
cariche accelerate classicamente emettono
radiazione, quindi perdono energia, e quindi
l’elettrone dovrebbe alla fine cadere sul nucleo
(in 10−10 s!!)
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L’atomo di idrogeno
1/2
Modello di Rutherford dell’atomo di idrogeno (1911): elettrone
(negativo) orbita attorno al protone (positivo) attratto dalla forza di
Coulomb, proporzionale a 1/r 2 (come la gravità)
Problemi:
non spiega lo spettro di emissione di radiazione,
fatto di righe con frequenze
!
1
1
ν=R
−
n12 n22
con n1 , n2 numeri interi (R costante di Rydberg)
cariche accelerate classicamente emettono
radiazione, quindi perdono energia, e quindi
l’elettrone dovrebbe alla fine cadere sul nucleo
(in 10−10 s!!)
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La crisi della fisica classica
L’atomo di idrogeno
2/2
Modello di Bohr dell’atomo di idrogeno (1913)
L’elettrone può solo stare su orbite per le quali il momento angolare è
un multiplo della costante di Planck ridotta ~ = h/2π
mvr = n~ ⇒ E = En = −
me4
2~2 n2
L’elettrone può saltare da un’orbita permessa a un’altra assorbendo o emettendo un
fotone di frequenza
!
En1 − En2
me4
1
1
ν=
=−
−
h
4π~3 n12 n22
Ma perché solo queste orbite??
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L’atomo di idrogeno
2/2
Modello di Bohr dell’atomo di idrogeno (1913)
L’elettrone può solo stare su orbite per le quali il momento angolare è
un multiplo della costante di Planck ridotta ~ = h/2π
mvr = n~ ⇒ E = En = −
me4
2~2 n2
L’elettrone può saltare da un’orbita permessa a un’altra assorbendo o emettendo un
fotone di frequenza
!
En1 − En2
me4
1
1
ν=
=−
−
h
4π~3 n12 n22
Ma perché solo queste orbite??
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La crisi della fisica classica
L’atomo di idrogeno
2/2
Modello di Bohr dell’atomo di idrogeno (1913)
L’elettrone può solo stare su orbite per le quali il momento angolare è
un multiplo della costante di Planck ridotta ~ = h/2π
mvr = n~ ⇒ E = En = −
me4
2~2 n2
L’elettrone può saltare da un’orbita permessa a un’altra assorbendo o emettendo un
fotone di frequenza
!
En1 − En2
me4
1
1
ν=
=−
−
h
4π~3 n12 n22
Ma perché solo queste orbite??
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La meccanica ondulatoria
Onde e particelle
De Broglie (1923):
la radiazione è costituita da fotoni (particelle), ma mostra anche
comportamenti ondulatori (interferenza, diffrazione)
analogamente le particelle (elettroni) devono avere un aspetto
ondulatorio
in base alla relazione tra equazione delle onde e ottica
geometrica, a una particella di impulso p si associa una
lunghezza d’onda
h
λ=
p
Esperimento di Davisson-Germer (1927):
si osserva effettivamente interferenza
negli elettroni diffusi da un cristallo
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La meccanica ondulatoria
Onde e particelle
De Broglie (1923):
la radiazione è costituita da fotoni (particelle), ma mostra anche
comportamenti ondulatori (interferenza, diffrazione)
analogamente le particelle (elettroni) devono avere un aspetto
ondulatorio
in base alla relazione tra equazione delle onde e ottica
geometrica, a una particella di impulso p si associa una
lunghezza d’onda
h
λ=
p
Esperimento di Davisson-Germer (1927):
si osserva effettivamente interferenza
negli elettroni diffusi da un cristallo
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La meccanica ondulatoria
L’equazione di Schrödinger
Sviluppando le idee di De Broglie, Schrödinger (1926) propose
l’equazione a cui deve soddisfare l’onda associata a un elettrone di
energia E soggetto ad una forza di energia potenziale V
−
~2 d 2 ψ
(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m dx 2
(in una dimensione). Dove:
ψ(x) è la funziona d’onda
dell’elettrone, ed è un numero
complesso
|ψ(x)|2 si interpreta come la
densità di probabilità di trovare
l’elettrone nel punto x
Permette di spiegare il modello
di Bohr?
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Numeri complessi:
z = x + iy
con x, y ∈ R parte reale
e immaginaria di z, e
i 2 = −1 unità
immaginaria
|z|2 = x 2 + y 2
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La meccanica ondulatoria
La buca di potenziale infinita
1/3
Elettrone soggetto a un potenziale
(
0
se 0 < x < L
V (x) =
+∞ se x ≤ 0 o x ≥ L
V
costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L
(versione super-semplificata dell’atomo di idrogeno,
dove V = −1/r 2 )
L’equazione di Schrödinger diventa
( 2
~
− 2m
ψ 00 (x) = Eψ(x)
ψ(0) = ψ(L) = 0
Soluzione:
d2
d
sin(kx) =
k cos(kx) = −k 2 sin(kx) ⇒ k =
2
dx
dx
Analogamente per ψ(x) = cos(kx)
Gerardo Morsella (Mat)
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0
√
L
x
2mE
~
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La buca di potenziale infinita
1/3
Elettrone soggetto a un potenziale
(
0
se 0 < x < L
V (x) =
+∞ se x ≤ 0 o x ≥ L
V
costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L
(versione super-semplificata dell’atomo di idrogeno,
dove V = −1/r 2 )
L’equazione di Schrödinger diventa
( 2
~
− 2m
ψ 00 (x) = Eψ(x)
ψ(0) = ψ(L) = 0
Soluzione:
d2
d
sin(kx) =
k cos(kx) = −k 2 sin(kx) ⇒ k =
2
dx
dx
Analogamente per ψ(x) = cos(kx)
Gerardo Morsella (Mat)
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0
√
L
x
2mE
~
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La buca di potenziale infinita
1/3
Elettrone soggetto a un potenziale
(
0
se 0 < x < L
V (x) =
+∞ se x ≤ 0 o x ≥ L
V
costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L
(versione super-semplificata dell’atomo di idrogeno,
dove V = −1/r 2 )
L’equazione di Schrödinger diventa
( 2
~
− 2m
ψ 00 (x) = Eψ(x)
ψ(0) = ψ(L) = 0
Soluzione:
d
d2
k cos(kx) = −k 2 sin(kx) ⇒ k =
sin(kx) =
2
dx
dx
Analogamente per ψ(x) = cos(kx)
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0
√
L
x
2mE
~
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La buca di potenziale infinita
1/3
Elettrone soggetto a un potenziale
(
0
se 0 < x < L
V (x) =
+∞ se x ≤ 0 o x ≥ L
V
costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L
(versione super-semplificata dell’atomo di idrogeno,
dove V = −1/r 2 )
L’equazione di Schrödinger diventa
( 2
~
− 2m
ψ 00 (x) = Eψ(x)
ψ(0) = ψ(L) = 0
Soluzione:
d
d2
k cos(kx) = −k 2 sin(kx) ⇒ k =
sin(kx) =
2
dx
dx
Analogamente per ψ(x) = cos(kx)
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0
√
L
x
2mE
~
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La buca di potenziale infinita
1/3
Elettrone soggetto a un potenziale
(
0
se 0 < x < L
V (x) =
+∞ se x ≤ 0 o x ≥ L
V
costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L
(versione super-semplificata dell’atomo di idrogeno,
dove V = −1/r 2 )
L’equazione di Schrödinger diventa
( 2
~
− 2m
ψ 00 (x) = Eψ(x)
ψ(0) = ψ(L) = 0
Soluzione:
d
d2
k cos(kx) = −k 2 sin(kx) ⇒ k =
sin(kx) =
2
dx
dx
Analogamente per ψ(x) = cos(kx)
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0
√
L
x
2mE
~
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La buca di potenziale infinita
1/3
Elettrone soggetto a un potenziale
(
0
se 0 < x < L
V (x) =
+∞ se x ≤ 0 o x ≥ L
V
costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L
(versione super-semplificata dell’atomo di idrogeno,
dove V = −1/r 2 )
L’equazione di Schrödinger diventa
( 2
~
− 2m
ψ 00 (x) = Eψ(x)
ψ(0) = ψ(L) = 0
Soluzione:
d
d2
k cos(kx) = −k 2 sin(kx) ⇒ k =
sin(kx) =
2
dx
dx
Analogamente per ψ(x) = cos(kx)
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0
√
L
x
2mE
~
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La buca di potenziale infinita
1/3
Elettrone soggetto a un potenziale
(
0
se 0 < x < L
V (x) =
+∞ se x ≤ 0 o x ≥ L
V
costretto a muoversi nel segmento 0 < x < L
(versione super-semplificata dell’atomo di idrogeno,
dove V = −1/r 2 )
L’equazione di Schrödinger diventa
( 2
~
− 2m
ψ 00 (x) = Eψ(x)
ψ(0) = ψ(L) = 0
Soluzione:
d
d2
k cos(kx) = −k 2 sin(kx) ⇒ k =
sin(kx) =
2
dx
dx
Analogamente per ψ(x) = cos(kx)
Gerardo Morsella (Mat)
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0
√
L
x
2mE
~
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La meccanica ondulatoria
La buca di potenziale infinita
2/3
La soluzione più generale è dunque
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx),
E=
~2 k 2
2m
ma inoltre ψ(0) = ψ(L) = 0:
ψ(0) = B = 0 ⇒ B = 0
nπ
ψ(L) = A sin(kL) = 0 ⇒ k =
, n = 1, 2, 3, ...
L
Quindi tutte le soluzioni possibili sono
r
nπx 2
ψn (x) =
sin
,
L
L
E = En =
~2 π 2 2
n
2mL2
Solo valori discreti dell’energia sono possibili, come nell’atomo di
Bohr!
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La meccanica ondulatoria
La buca di potenziale infinita
2/3
La soluzione più generale è dunque
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx),
E=
~2 k 2
2m
ma inoltre ψ(0) = ψ(L) = 0:
ψ(0) = B = 0 ⇒ B = 0
nπ
ψ(L) = A sin(kL) = 0 ⇒ k =
, n = 1, 2, 3, ...
L
Quindi tutte le soluzioni possibili sono
r
nπx 2
ψn (x) =
sin
,
L
L
E = En =
~2 π 2 2
n
2mL2
Solo valori discreti dell’energia sono possibili, come nell’atomo di
Bohr!
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La buca di potenziale infinita
2/3
La soluzione più generale è dunque
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx),
E=
~2 k 2
2m
ma inoltre ψ(0) = ψ(L) = 0:
ψ(0) = B = 0 ⇒ B = 0
nπ
ψ(L) = A sin(kL) = 0 ⇒ k =
, n = 1, 2, 3, ...
L
Quindi tutte le soluzioni possibili sono
r
nπx 2
ψn (x) =
sin
,
L
L
E = En =
~2 π 2 2
n
2mL2
Solo valori discreti dell’energia sono possibili, come nell’atomo di
Bohr!
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La buca di potenziale infinita
2/3
La soluzione più generale è dunque
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx),
E=
~2 k 2
2m
ma inoltre ψ(0) = ψ(L) = 0:
ψ(0) = B = 0 ⇒ B = 0
nπ
ψ(L) = A sin(kL) = 0 ⇒ k =
, n = 1, 2, 3, ...
L
Quindi tutte le soluzioni possibili sono
r
nπx 2
ψn (x) =
sin
,
L
L
E = En =
~2 π 2 2
n
2mL2
Solo valori discreti dell’energia sono possibili, come nell’atomo di
Bohr!
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La buca di potenziale infinita
2/3
La soluzione più generale è dunque
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx),
E=
~2 k 2
2m
ma inoltre ψ(0) = ψ(L) = 0:
ψ(0) = B = 0 ⇒ B = 0
nπ
ψ(L) = A sin(kL) = 0 ⇒ k =
, n = 1, 2, 3, ...
L
Quindi tutte le soluzioni possibili sono
r
nπx 2
ψn (x) =
sin
,
L
L
E = En =
~2 π 2 2
n
2mL2
Solo valori discreti dell’energia sono possibili, come nell’atomo di
Bohr!
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La buca di potenziale infinita
2/3
17
La soluzione più generale è dunque
16
15
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx),
~2 k 2
E=
2m
14
13
L=π
~2
2m
=1
12
11
ma inoltre ψ(0) = ψ(L) = 0:
10
9
ψ(0) = B = 0 ⇒ B = 0
nπ
ψ(L) = A sin(kL) = 0 ⇒ k =
, n = 1, 2, 3, ...
L
8
7
6
5
4
3
Quindi tutte le soluzioni possibili sono
r
nπx 2
ψn (x) =
sin
,
L
L
2
1
0
~2 π 2 2
E = En =
n
2mL2
0,5π
π
Solo valori discreti dell’energia sono possibili, come nell’atomo di
Bohr!
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La buca di potenziale infinita
2/3
17
La soluzione più generale è dunque
16
15
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx),
~2 k 2
E=
2m
14
13
L=π
~2
2m
=1
12
11
ma inoltre ψ(0) = ψ(L) = 0:
10
9
ψ(0) = B = 0 ⇒ B = 0
nπ
ψ(L) = A sin(kL) = 0 ⇒ k =
, n = 1, 2, 3, ...
L
8
7
6
5
4
3
Quindi tutte le soluzioni possibili sono
r
nπx 2
ψn (x) =
sin
,
L
L
2
1
0
~2 π 2 2
E = En =
n
2mL2
0,5π
π
Solo valori discreti dell’energia sono possibili, come nell’atomo di
Bohr!
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La buca di potenziale infinita
2/3
Ogni altra funzione d’onda si può scrivere come una somma infinita
delle ψn
+∞
X
cn ψn (x)
ψ(x) =
n=1
Un elettrone con questa funzione d’onda non ha un’energia ben
definita. L’unica cosa che si può dire è che ha energia En con
probabilità |cn |2 .
Con queste si può riottenere (approssimativamente) il moto classico di
una pallina tra due muri
ψ(x, t) = √1 (ψ1 (x)eit + ψ2 (x)e4it )
2
se si vuole localizzare molto bene l’elettrone bisogna sommare
molte ψn :
50
X
2
ψ(x, t) =
cn ψn (x)ein t
n=1
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La buca di potenziale infinita
2/3
Ogni altra funzione d’onda si può scrivere come una somma infinita
delle ψn
+∞
X
cn ψn (x)
ψ(x) =
n=1
Un elettrone con questa funzione d’onda non ha un’energia ben
definita. L’unica cosa che si può dire è che ha energia En con
probabilità |cn |2 .
Con queste si può riottenere (approssimativamente) il moto classico di
una pallina tra due muri
ψ(x, t) = √1 (ψ1 (x)eit + ψ2 (x)e4it )
2
se si vuole localizzare molto bene l’elettrone bisogna sommare
molte ψn :
50
X
2
ψ(x, t) =
cn ψn (x)ein t
n=1
Gerardo Morsella (Mat)
La Matematica del Mondo dei Quanti
Scienza Orienta 2017
11 / 19
La meccanica ondulatoria
La buca di potenziale infinita
2/3
Ogni altra funzione d’onda si può scrivere come una somma infinita
delle ψn
+∞
X
cn ψn (x)
ψ(x) =
n=1
Un elettrone con questa funzione d’onda non ha un’energia ben
definita. L’unica cosa che si può dire è che ha energia En con
probabilità |cn |2 .
Con queste si può riottenere (approssimativamente) il moto classico di
una pallina tra due muri
ψ(x, t) = √1 (ψ1 (x)eit + ψ2 (x)e4it )
2
se si vuole localizzare molto bene l’elettrone bisogna sommare
molte ψn :
50
X
2
ψ(x, t) =
cn ψn (x)ein t
n=1
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La meccanica ondulatoria
La buca di potenziale infinita
2/3
Ogni altra funzione d’onda si può scrivere come una somma infinita
delle ψn
+∞
X
cn ψn (x)
ψ(x) =
n=1
Un elettrone con questa funzione d’onda non ha un’energia ben
definita. L’unica cosa che si può dire è che ha energia En con
probabilità |cn |2 .
Con queste si può riottenere (approssimativamente) il moto classico di
una pallina tra due muri
ψ(x, t) = √1 (ψ1 (x)eit + ψ2 (x)e4it )
2
se si vuole localizzare molto bene l’elettrone bisogna sommare
molte ψn :
50
X
2
ψ(x, t) =
cn ψn (x)ein t
n=1
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11 / 19
La struttura matematica della meccanica quantistica
Spazio di Hilbert e operatori
ψ3
L’insieme di tutte le funzioni d’onda è uno spazio
a infinite dimensioni (una per ogni ψn ), detto lo
spazio di Hilbert
ψ1
ψ2
Confrontando l’equazione di Schrödinger
~2 d 2 ψ
(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m dx 2
con l’espressione dell’energia classica
−
E=
1
p2
mv 2 + V (x) =
+ V (x)
2
2m
si vede che
la posizione x si identifica con l’operatore ψ(x) → xψ(x)
l’impulso p si identifica con l’operatore ψ(x) → −i~ dψ
dx (x)
Gerardo Morsella (Mat)
La Matematica del Mondo dei Quanti
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12 / 19
La struttura matematica della meccanica quantistica
Spazio di Hilbert e operatori
ψ3
L’insieme di tutte le funzioni d’onda è uno spazio
a infinite dimensioni (una per ogni ψn ), detto lo
spazio di Hilbert
ψ1
ψ2
Confrontando l’equazione di Schrödinger
~2 d 2 ψ
(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m dx 2
con l’espressione dell’energia classica
−
E=
1
p2
mv 2 + V (x) =
+ V (x)
2
2m
si vede che
la posizione x si identifica con l’operatore ψ(x) → xψ(x)
l’impulso p si identifica con l’operatore ψ(x) → −i~ dψ
dx (x)
Gerardo Morsella (Mat)
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Spazio di Hilbert e operatori
ψ3
L’insieme di tutte le funzioni d’onda è uno spazio
a infinite dimensioni (una per ogni ψn ), detto lo
spazio di Hilbert
ψ1
ψ2
Confrontando l’equazione di Schrödinger
~2 d 2 ψ
(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m dx 2
con l’espressione dell’energia classica
−
E=
1
p2
mv 2 + V (x) =
+ V (x)
2
2m
si vede che
la posizione x si identifica con l’operatore ψ(x) → xψ(x)
l’impulso p si identifica con l’operatore ψ(x) → −i~ dψ
dx (x)
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Spazio di Hilbert e operatori
ψ3
L’insieme di tutte le funzioni d’onda è uno spazio
a infinite dimensioni (una per ogni ψn ), detto lo
spazio di Hilbert
ψ1
ψ2
Confrontando l’equazione di Schrödinger
~2 d 2 ψ
(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m dx 2
con l’espressione dell’energia classica
−
E=
1
p2
mv 2 + V (x) =
+ V (x)
2
2m
si vede che
la posizione x si identifica con l’operatore ψ(x) → xψ(x)
l’impulso p si identifica con l’operatore ψ(x) → −i~ dψ
dx (x)
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Relazioni di commutazione
In meccanica classica x e p commutano (sono numeri):
xp − px = 0
In meccanica quantistica non è più vero:
xpψ(x)
pxψ(x) = −i~
d
(xψ(x)) = −i~ψ(x) − i~xψ 0 (x)
dx
Relazioni di commutazione canoniche
xp − px = i~
Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una
riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo
in termini di grandezze osservabili
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13 / 19
La struttura matematica della meccanica quantistica
Relazioni di commutazione
In meccanica classica x e p commutano (sono numeri):
xp − px = 0
In meccanica quantistica non è più vero:
xpψ(x)
pxψ(x) = −i~
d
(xψ(x)) = −i~ψ(x) − i~xψ 0 (x)
dx
Relazioni di commutazione canoniche
xp − px = i~
Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una
riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo
in termini di grandezze osservabili
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Relazioni di commutazione
In meccanica classica x e p commutano (sono numeri):
xp − px = 0
In meccanica quantistica non è più vero:
xpψ(x) = −i~ψ 0 (x)
d
pxψ(x) = −i~ (xψ(x)) = −i~ψ(x) − i~xψ 0 (x)
dx
Relazioni di commutazione canoniche
xp − px = i~
Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una
riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo
in termini di grandezze osservabili
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Relazioni di commutazione
In meccanica classica x e p commutano (sono numeri):
xp − px = 0
In meccanica quantistica non è più vero:
xpψ(x) = −i~xψ 0 (x)
d
pxψ(x) = −i~ (xψ(x)) = −i~ψ(x) − i~xψ 0 (x)
dx
Relazioni di commutazione canoniche
xp − px = i~
Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una
riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo
in termini di grandezze osservabili
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Relazioni di commutazione
In meccanica classica x e p commutano (sono numeri):
xp − px = 0
In meccanica quantistica non è più vero:
xpψ(x) = −i~xψ 0 (x)
d
pxψ(x) = −i~ (xψ(x)) = −i~ψ(x) − i~xψ 0 (x)
dx
Relazioni di commutazione canoniche
xp − px = i~
Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una
riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo
in termini di grandezze osservabili
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Relazioni di commutazione
In meccanica classica x e p commutano (sono numeri):
xp − px = 0
In meccanica quantistica non è più vero:
xpψ(x) = −i~xψ 0 (x)
d
pxψ(x) = −i~ (xψ(x)) = −i~ψ(x) − i~xψ 0 (x)
dx
Relazioni di commutazione canoniche
xp − px = i~
Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una
riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo
in termini di grandezze osservabili
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Relazioni di commutazione
In meccanica classica x e p commutano (sono numeri):
xp − px = 0
In meccanica quantistica non è più vero:
xpψ(x) = −i~xψ 0 (x)
d
pxψ(x) = −i~ (xψ(x)) = −i~ψ(x) − i~xψ 0 (x)
dx
Relazioni di commutazione canoniche
xp − px = i~
Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una
riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo
in termini di grandezze osservabili
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Relazioni di commutazione
In meccanica classica x e p commutano (sono numeri):
xp − px = 0
In meccanica quantistica non è più vero:
xpψ(x) = −i~xψ 0 (x)
d
pxψ(x) = −i~ (xψ(x)) = −i~ψ(x) − i~xψ 0 (x)
dx
Relazioni di commutazione canoniche
xp − px = i~
Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una
riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo
in termini di grandezze osservabili
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Relazioni di commutazione
In meccanica classica x e p commutano (sono numeri):
xp − px = 0
In meccanica quantistica non è più vero:
xpψ(x) = −i~xψ 0 (x)
d
pxψ(x) = −i~ (xψ(x)) = −i~ψ(x) − i~xψ 0 (x)
dx
Relazioni di commutazione canoniche
xp − px = i~
Ottenute da Heisenberg, Born, Jordan (1925) attraverso una
riformulazione astratta delle condizioni di quantizzazione di Bohr solo
in termini di grandezze osservabili
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Relazioni di indeterminazione
Le relazioni di commutazione xp − px = i~ implicano le
Relazioni di indeterminazione di Heisenberg (1927)
Se si misurano simultaneamente posizione x e impulso p di un
elettrone, l’inevitabile interazione con l’apparato di misura introduce
perturbazioni imprevedibili ∆x e ∆p nei valori di x e p che devono
soddisfare
∆x∆p ≥ ~
ottenute da Heisenberg tramite esperimenti concettuali
indicano una impredicibilità intrinseca (inerente a ogni modalità di
misura) nel mondo quantistico
poiché ~ è molto piccolo è rilevante solo a livello microscopico:
per un proiettile (p ' 1.5 kg m s−1 ) se ∆p/p = 10−3 allora
∆x ≥ 7 · 10−29 mm (raggio atomi ' 10−7 mm)
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Relazioni di indeterminazione
Le relazioni di commutazione xp − px = i~ implicano le
Relazioni di indeterminazione di Heisenberg (1927)
Se si misurano simultaneamente posizione x e impulso p di un
elettrone, l’inevitabile interazione con l’apparato di misura introduce
perturbazioni imprevedibili ∆x e ∆p nei valori di x e p che devono
soddisfare
∆x∆p ≥ ~
ottenute da Heisenberg tramite esperimenti concettuali
indicano una impredicibilità intrinseca (inerente a ogni modalità di
misura) nel mondo quantistico
poiché ~ è molto piccolo è rilevante solo a livello microscopico:
per un proiettile (p ' 1.5 kg m s−1 ) se ∆p/p = 10−3 allora
∆x ≥ 7 · 10−29 mm (raggio atomi ' 10−7 mm)
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Grandezze compatibili
Più in generale, ogni grandezza misurabile A (posizione, impulso,
energia, momento angolare...) è rappresentata da un operatore
(autoaggiunto) sullo spazio di Hilbert
Teorema
Grandezze fisiche A e B commutano, cioè AB = BA, se e solo se sono
simultaneamente misurabili, cioè si può avere ∆A · ∆B = 0
L’esistenza di grandezze non commutanti è la spiegazione matematica
fondamentale della possibilità di fare solo previsioni probabilistiche sui
valori delle grandezze misurabili (von Neumann, 1933)
Essenza del formalismo matematico della meccanica quantistica
La meccanica quantistica si ottiene da quella classica sostituendo a
grandezze osservabili commutative (numeri) grandezze osservabili
non commutative (operatori)
Gerardo Morsella (Mat)
La Matematica del Mondo dei Quanti
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Grandezze compatibili
Più in generale, ogni grandezza misurabile A (posizione, impulso,
energia, momento angolare...) è rappresentata da un operatore
(autoaggiunto) sullo spazio di Hilbert
Teorema
Grandezze fisiche A e B commutano, cioè AB = BA, se e solo se sono
simultaneamente misurabili, cioè si può avere ∆A · ∆B = 0
L’esistenza di grandezze non commutanti è la spiegazione matematica
fondamentale della possibilità di fare solo previsioni probabilistiche sui
valori delle grandezze misurabili (von Neumann, 1933)
Essenza del formalismo matematico della meccanica quantistica
La meccanica quantistica si ottiene da quella classica sostituendo a
grandezze osservabili commutative (numeri) grandezze osservabili
non commutative (operatori)
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La struttura matematica della meccanica quantistica
Grandezze compatibili
Più in generale, ogni grandezza misurabile A (posizione, impulso,
energia, momento angolare...) è rappresentata da un operatore
(autoaggiunto) sullo spazio di Hilbert
Teorema
Grandezze fisiche A e B commutano, cioè AB = BA, se e solo se sono
simultaneamente misurabili, cioè si può avere ∆A · ∆B = 0
L’esistenza di grandezze non commutanti è la spiegazione matematica
fondamentale della possibilità di fare solo previsioni probabilistiche sui
valori delle grandezze misurabili (von Neumann, 1933)
Essenza del formalismo matematico della meccanica quantistica
La meccanica quantistica si ottiene da quella classica sostituendo a
grandezze osservabili commutative (numeri) grandezze osservabili
non commutative (operatori)
Gerardo Morsella (Mat)
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Sviluppi moderni e prospettive
Sviluppi moderni
Oggi la meccanica quantistica permette di spiegare e comprendere un
grande numero di fenomeni, anche importanti nella vita di ogni giorno:
il laser è descritto da molti fotoni con la stessa funzione d’onda
(coerenti)
i semiconduttori con cui si costruiscono i circuiti integrati dei
computer
i superconduttori, materiali con resistenza elettrica nulla a
bassissime temperature, descritti da (coppie di) elettroni coerenti
la fissione e la fusione nucleare, con cui si produce energia nelle
centrali nucleari e nelle stelle
Gerardo Morsella (Mat)
La Matematica del Mondo dei Quanti
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16 / 19
Sviluppi moderni e prospettive
La teoria quantistica dei campi
Il campo elettromagnetico è una grandezza misurabile, quindi deve
essere rappresentata da un operatore quantistico. Questa
osservazione ha condotto Dirac, Fermi, Wigner ... (anni ’30) a
formulare la teoria quantistica dei campi:
fonde meccanica quantistica e teoria della relatività ristretta di
Einstein (1905)
si è dimostrata in grado di dare una descrizione unificata di tre
delle quattro forze fondamentali della natura (elettromagnetica,
nucleare debole e nucleare forte)
è la teoria fisica verificata con maggiore precisione dagli
esperimenti di fisica delle particelle (ex.: LHC, bosone di Higgs)
Tuttavia non se ne conosce una formulazione matematicamente
rigorosa: i calcoli si fanno usando una procedura poco chiara di
rimozione di infiniti (rinormalizzazione). È stato messo in palio un
premio di un milione di dollari per chi riuscirà a ottenerla
Gerardo Morsella (Mat)
La Matematica del Mondo dei Quanti
Scienza Orienta 2017
17 / 19
Sviluppi moderni e prospettive
La teoria quantistica dei campi
Il campo elettromagnetico è una grandezza misurabile, quindi deve
essere rappresentata da un operatore quantistico. Questa
osservazione ha condotto Dirac, Fermi, Wigner ... (anni ’30) a
formulare la teoria quantistica dei campi:
fonde meccanica quantistica e teoria della relatività ristretta di
Einstein (1905)
si è dimostrata in grado di dare una descrizione unificata di tre
delle quattro forze fondamentali della natura (elettromagnetica,
nucleare debole e nucleare forte)
è la teoria fisica verificata con maggiore precisione dagli
esperimenti di fisica delle particelle (ex.: LHC, bosone di Higgs)
Tuttavia non se ne conosce una formulazione matematicamente
rigorosa: i calcoli si fanno usando una procedura poco chiara di
rimozione di infiniti (rinormalizzazione). È stato messo in palio un
premio di un milione di dollari per chi riuscirà a ottenerla
Gerardo Morsella (Mat)
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17 / 19
Sviluppi moderni e prospettive
Gravità quantistica?
La quarta forza fondamentale è la gravità, descritta alla scala
cosmologica dalla teoria della relatività generale di Einstein (1917).
Permette di spiegare e prevedere fenomeni come i buchi neri, il Big
Bang, la formazione delle galassie, l’espansione dell’universo
Non esiste a tutt’oggi una teoria quantistica della gravitazione
(nemmeno non rigorosa).
molti si aspettano che sia rilevante per descrivere l’origine
dell’universo, quando la gravità era di intensità comparabile con le
altre forze
esistono diverse proposte in competizione tra loro: teoria delle
stringhe, gravità quantistica a loop, spaziotempo quantistico
concordano sul p
fatto che anche lo spaziotempo sia quantizzato
alla scala λP = ~G/c 3 = 1.6 10−32 mm (lunghezza di Planck)
problema principale: nessuna verifica sperimentale, le energie in
gioco sono irraggiungibili dagli acceleratori
Gerardo Morsella (Mat)
La Matematica del Mondo dei Quanti
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18 / 19
Sviluppi moderni e prospettive
Gravità quantistica?
La quarta forza fondamentale è la gravità, descritta alla scala
cosmologica dalla teoria della relatività generale di Einstein (1917).
Permette di spiegare e prevedere fenomeni come i buchi neri, il Big
Bang, la formazione delle galassie, l’espansione dell’universo
Non esiste a tutt’oggi una teoria quantistica della gravitazione
(nemmeno non rigorosa).
molti si aspettano che sia rilevante per descrivere l’origine
dell’universo, quando la gravità era di intensità comparabile con le
altre forze
esistono diverse proposte in competizione tra loro: teoria delle
stringhe, gravità quantistica a loop, spaziotempo quantistico
concordano sul p
fatto che anche lo spaziotempo sia quantizzato
alla scala λP = ~G/c 3 = 1.6 10−32 mm (lunghezza di Planck)
problema principale: nessuna verifica sperimentale, le energie in
gioco sono irraggiungibili dagli acceleratori
Gerardo Morsella (Mat)
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Sviluppi moderni e prospettive
Di nuovo all’inizio
Immagine del fondo cosmico di microonde radiazione fossile che
permea l’universo originatasi 300.000 anni dopo il Big Bang. È una
radiazione di corpo nero a T = 2, 725 K .
Tutto l’universo è un sistema quantistico
Dall’analisi di questa radiazione si deduce che l’energia e la materia
osservabili sono solo il 4% del totale!
C’è molto lavoro per voi!
Gerardo Morsella (Mat)
La Matematica del Mondo dei Quanti
Scienza Orienta 2017
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Sviluppi moderni e prospettive
Di nuovo all’inizio
Immagine del fondo cosmico di microonde radiazione fossile che
permea l’universo originatasi 300.000 anni dopo il Big Bang. È una
radiazione di corpo nero a T = 2, 725 K .
Tutto l’universo è un sistema quantistico
Dall’analisi di questa radiazione si deduce che l’energia e la materia
osservabili sono solo il 4% del totale!
C’è molto lavoro per voi!
Gerardo Morsella (Mat)
La Matematica del Mondo dei Quanti
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Sviluppi moderni e prospettive
Di nuovo all’inizio
Immagine del fondo cosmico di microonde radiazione fossile che
permea l’universo originatasi 300.000 anni dopo il Big Bang. È una
radiazione di corpo nero a T = 2, 725 K .
Tutto l’universo è un sistema quantistico
Dall’analisi di questa radiazione si deduce che l’energia e la materia
osservabili sono solo il 4% del totale!
C’è molto lavoro per voi!
Gerardo Morsella (Mat)
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Sviluppi moderni e prospettive
Di nuovo all’inizio
Immagine del fondo cosmico di microonde radiazione fossile che
permea l’universo originatasi 300.000 anni dopo il Big Bang. È una
radiazione di corpo nero a T = 2, 725 K .
Tutto l’universo è un sistema quantistico
Dall’analisi di questa radiazione si deduce che l’energia e la materia
osservabili sono solo il 4% del totale!
C’è molto lavoro per voi!
Gerardo Morsella (Mat)
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