Eserctazione Microeconomia – Duopolio Non Simmetrico
10 Maggio 2014
ESERCIZIO 1: Oligopolio non simmetrico (funzioni di costo diverse)
Su di un mercato oligopolistico operano l'impresa A, la cui funzione di costo è CA = 9xA, e l'impresa
B, la cui funzione di costo è CB = 5xB. La curva di domanda (inversa) di mercato è p = 25 - X, con
X = xA + xB. Determinare prezzo, quantità di equilibrio e profitti:
a) Se le due imprese competono sulle quantità
b) se la competizione avviene sul prezzo
c) se le due imprese formano un'unica impresa, la cui curva di costo totale è TC = 3X + 2
Soluzione
a) Determiniamo innanzitutto le funzioni di reazione. Le funzioni di domanda residuale per
l'impresa A e l'impresa B sono rispettivamente pari a:
p (25 x B ) x A
p (25 x A ) x B
Impostando la condizione di ottimo: R' = C', si ha che:
1
x A 8 xB
MR A MC A
(25 x B ) 2 x A 9
2
MR
MC
(
25
x
)
2
x
5
B
A
B
B
x 10 1 x
A
B
2
xB
16
Dato che le due imprese hanno costi
marginali diversi, le funzioni di reazione
non sono simmetriche, e le quantità
prodotte saranno diverse.
funzione di reazione di A
10
8
EC
funzione di reazione di B
4
8
In particolare, l'impresa con costi
marginali minori (la B) produce la
quantità maggiore
20 x A
Risolvendo il sistema si ottiene:
x A 4
16
X 12 p 13 A
xB 8
B 64
b) Nel modello di Bertrand le due imprese competono sul prezzo. Dato che i costi marginali sono
diversi, la guerra al ribasso avrà termine solo quando l'impresa con il costo marginale più alto
esce dal mercato, e l'altra impresa serve l'intero mercato fissando un prezzo leggermente
1
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10 Maggio 2014
inferiore al costo marginale della rivale. In generale, nel caso di competizione alla Bertrand, la
singola impresa produrrà una quantità pari a:
X ( p ) se p A p B
1
x A X ( p) se p A p B
2
0 se p A p B
In particolare, una volta che A fissa un prezzo p= 9, B contrattacca fissando un prezzo p = 9 - ,
dove è un numero positivo piccolo a piacere. A di fatto non riesce più ad abbassare il prezzo, ed è
quindi tagliata fuori dal mercato. B serve tutto il mercato, ed ha un margine (assoluto) di guadagno
su ogni singola quantità pari a p - MC = (9-) - 5 = 4-.
Quindi:
p 9
X x B 16
Prima di calcolare il profitto, notate che è un numero molto piccolo, e che quindi può essere
trascurato per quanto riguarda le quantità. Quindi:
B 16(9 ) (5 16) 64
25
Cournot:
I profitti totali sono pari a 80, mentre il
benessere dei consumatori è dato dall'area
ADC = [(25-13)12]/2=72
A
F
14
13
D
9-
E
M
Bertrand:
Il profitto dell'impresa B è pari a 64 - . Il
benessere dei consumatori è pari all'area
AEB = 128+ /2
C
B
11
12
Nuovo Monopolista:
Il profitto della nuova impresa, monopolista
sul mercato, è pari a 119. Il benessere dei
consumatori si riduce rispetto alla
situazione di oligopolio, ed è pari all'area
AFM = [(25-14)11]/2 = 60,5
16+
c) Anche nel caso di un'unica impresa (di fatto monopolista), la condizione di ottimo richiede che
MR=MC:
MRM MC M
25 2 X 3
X 11
p 14
M 119
2
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10 Maggio 2014
Data una curva di domanda negativamente inclinata, un prezzo più alto implica che il surplus dei
consumatori è diminuito, ed è ora pari a 60,5. Il surplus dei consumatori è infatti pari all'area
compresa tra la curva di domanda e la retta orizzontale in corrispondenza del prezzo di equilibrio.
Ovviamente, tale area si riduce man mano che "saliamo" lungo la curva di domanda. (si veda
grafico precedente).
ESERCIZIO 2: oligopolio non simmetrico
Si consideri un mercato in cui operano due impre<a href="***image1:url***"
target=2_blank">METODO DI LAGRANGE</a>se che vendono prodotti omogenei. Le funzioni di
costo totale sono rispettivamente:
TCA 30 20x A 3x A2
TCB 5 16x B 4 x B2
La funzione di domanda (inversa) è pari a p=100-2X, con X=xA+xB. Determinare prezzo di
equilibrio, quantità e profitto:
Cournot;
a) le imprese competano alla
b) le imprese competano alla Stackelberg (sotto l’ipotesi che l’impresa B sia il leader e l’impresa
A sia il follower).
Soluzione
a) Nel caso di competizione alla Cournot le imprese decidono la quantità da produrre, tenendo
conto della quantità prodotta dall'impresa avversaria. Per determinare l'equilibrio dobbiamo
allora ricavare le due funzioni di reazione, che indicano appunto come varia la quantità di
massimo profitto di una impresa, al variare della quantità prodotta dalla concorrente.
Le funzioni di domanda residuale per l'impresa A e l'impresa B sono rispettivamente pari a:
p (100 2 x B ) 2 x A
p (100 2 x A ) 2 x B
e quindi il ricavo marginale:
MR A (100 2 x B ) 4 x A
MRB (100 2 x A ) 4 x B
Infine, il costo marginale è:
MC A 20 6 x A
MC B 16 8 x B
Impostando la condizione di ottimo: R' = C', si ha che:
1
x
8
xB
A
MRA MCA
(100 2x B ) 4 x A 20 6x A
5
MRB MCB
(100 2x A ) 4 x B 16 8x B
x 7 1 x
A
B
6
3
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10 Maggio 2014
Dato che le due imprese hanno costi marginali diversi, le funzioni di reazione non sono
simmetriche, e le quantità prodotte saranno diverse.
Risolvendo il sistema si ottiene:
192
x A 29 6,6
199,9
368
X
12,7 p 74,6 A
29
B 201,1
x 170 5,9
B 29
b) Se l'impresa B agisce come leader, massimizza il profitto tenendo conto della risposta ottimale
A. Sostituendo la funzione di reazione di A nella funzione di domanda residuale
dell'impresa
dell'impresa B, si ha che:
1
2
8
p 100 2x A 2x B 100 28 x B 2x B 100 16 x B 2x B 84 x B
5
5
5
La funzione di ricavo dell'impresa leader è quindi:
8
RTB p.q 84 x B x 2 B
5
da cui il ricavo marginale:
8
16
R'B 84 2x B 84 x B
5
5
Impostando la condizione di ottimo:
MRB MCB 84
16
85
x B 16 8x B x B
6
5
14
Per determinare la quantità prodotta dall'impresa follower basta sostituire la quantità prodotta dalla
leader nella funzione di reazione della follower:
1 95
x A 8 x B
6,8
5 14
La quantità totale è pari a X = xA + xB=12,8, e il prezzo di equilibrio è pari a p = 100 – 2X = 74,4.
I profitti realizzati dalle due imprese sono pari a:
leader B p.q 5 16x B 4 x B2 6 74,4 5 166 4 36 201,4
follower A p.q 30 20x A 3x A2 6,874,4 30 206,8 346,24 201
4
