Potenziale

Nicola GigliettoA.A. 2013/14
Parte I
2.1 - Potenziale
2.1 - Potenziale
In questo capitolo consideriamo gli aspetti di lavoro ed energia connessi con
i campi elettrici. Il lavoro infinitesimo per muovere una carica q0 di uno
spostamento infinitesimo d~
s è dato da
~ · d~
~ · d~
dW = F
s = q0 E
s = q0 Eds cos θ = q0 Es ds
~ e d~
~ in direzione di d~
con θ l’angolo tra E
s e con Es la componente di E
s.
Per uno spostamento finito tra A e B quello che si deve fare è dividere il
cammino ad esempio su un cammino curvo C1 in tanti tratti infinitesimi e
sommare i contributi del lavoro. Questo significa in altri termini calcolare
l’integrale:
Z
Z
Z
~ · d~
~
E
s
F · d~
s = q0
W1 =
dW1 =
C1
C1
C1
In questo caso il vettore d~
s è tangente alla curva C1 in ogni punto e l’integrale
1
viene detto curvilineo. Possiamo definire il rapporto W
q0 come tensione
elettrica tra i punti A e B e relativa al percorso C1 ed in generale
se l’agente che sposta le cariche ha natura qualunque il lavoro dipenderà
dal Rpercorso scelto
R ovvero andando da A a B su un altro percorso C2 si
~
~ · d~
ha C1 F · d~
s 6= C2 F
s Se il percorso è chiuso ad esempio percorrendo
la curva
C
da
A
a
B
e
poi
1
H
R
R tornando in RA percorrendo
R C2 si ottiene che
~
~
~
~
~ · d~
W = F · d~
s = C1 F · d~
s + −C2 F · d~
s = C1 F · d~
s − C2 F
s = W1 − W2
da cui l’integrale su un percorso chiuso (detto circuitazione è in generale
diverso da zero e viene posto
I
I
~
~ · d~
W = F · d~
s = q0 E
s = q0 E
la quantità
E=
I
~ · d~
E
s
viene definita forza elettromotrice (f.e.m.) del campo elettrico e malgrado il nome non è una forza La forza elettrostatica è invece conservativa
Cap2-Parte II-Potenziale elettrico
1
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quindi il lavoro necessario a spostare una carica è indipendente dal percorso
e il lavoro su un percorso chiuso è sempre nullo. Possiamo quindi introdurre l’ energia potenziale elettrica ∆U = Uf − Ui = −Wel Di regola l’energia
potenziale è riferita ad un livello cui attribuiamo valore di en. potenziale
nullo, e spesso si sceglie un punto ad ∞ come riferimento di potenziale. Ma
come in tutte le situazioni che fanno uso del concetto di energia potenziale,
sono solo le differenze di potenziale quelle che si usano.
Potenziale elettrico
Naturalmente l’energia potenziale dipende sia dalla carica che genera il
campo che da quella (di prova) che mettiamo in un qualunque punto dello
spazio. Se, come per il concetto di campo, definiamo una energia potenziale
per unità di carica troviamo una quantità che dipende solo dalla carica che
genera il campo. Definiamo allora il potenziale elettrico o potenziale il
rapporto tra V = qU0 che è una quantità scalare. Pertanto la differenza di potenziale (d.d.p.) tra due punti dello spazio è data da ∆V =
Uf −Ui
q
= Vf −Vi .
Rf
~ · d~
Dalla definizione discende anche che ∆V = Vf − Vi = −W/q = − i E
s.
In altre parole abbiamo che il lavoro svolto dalla forza elettrostatica
Inoltre la scelta tipica per
per portare q0 da “i” a “f” è W = −q0 ∆V
il potenziale di riferimento (nullo ad ∞) equivale a dire che prendendo la
carica da infinito (Vi = 0) si ha Vf = − Lq∞ ovvero che il potenziale in
un punto qualunque corrisponde al lavoro svolto dal campo elettrico
sulla carica di prova (e diviso per tale valore) per spostarla da infinito al punto considerato.
L’unità di misura del potenziale nel SI è il
Volt (V) per cui 1 volt = 1 joule/1 coulomb. Tramite la nuova unità
di misura possiamo ridefinire anche l’unità di misura del campo elettrico.
1 V·N
1 N
V
Infatti si ha: [E] = 11 N
Quindi il campo elettriC = 1 J = N·m = m .
1 V
co può misurarsi anche in V/m. Altra unità di misura usata per l’energia (soprattutto quando si parla di semiconduttori o di energie di legame)
è l’elettronvolt (eV) che rappresenta il lavoro necessario a portare un
elettrone da infinito al potenziale elettrico di 1 V. Dalla definizione allora
1eV = 1.6 · 10−19 · 1V = 1.6 · 10−19 J
Lavoro svolto da una forza esterna
Lavoro svolto da una forza esterna
Se spostiamo tramite una forza esterna una carica q in campo elettrico E, da
un punto “i” ad un punto “j” si ha che in questo spostamento anche il campo
Cap2-Parte II-Potenziale elettrico
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compie lavoro e si avrà ∆Ek = Wext + Wcampo per il teorema del lavoroenergia cinetica- Se lo spostamento è fatto partendo con la carica ferma in
“i” e ferma anche in “j” questa relazione si riduce a Wext + Wcampo = 0 cioè
Wext = −Wcampo . Ma il campo elettrico è conservativo per cui Wcampo =
−∆U = −(Uf − Ui ) per cui Wext = Uf − Ui = qVf − qVi = +q∆V Pertanto qualunque sia il tipo di forza esterna possiamo sempre dire che il
lavoro necessario a spostare una carica ferma da una posizione all’altra è
Wext = +q∆V
2.2- Calcolo del potenziale elettrostatico
2.2- Calcolo del potenziale elettrostatico
E
ds
dr
u
Dimostriamo che il campo elettrostatico di
qualunque distribuzione di cariche è conservativo. Se la carica è puntiforme il lavoro
~ per un generico spostamento
della forza F
è
qq0 û · d~
s
qq0 dr
~ · d~
~ · d~
dW = F
s = q0 E
s=
=
⇒
4πǫ0 r2
4πǫ0 r2
qq0 dr
~ · d~
E
s=
4πǫ0 r2
con dr che è la proiezione dello spostamento infinitesimo nella direzione û del campo.
pertanto la funzione integranda risulta dipendere soltanto dalla variabile r
ed integrando otteniamo
Z rB
Z B
q
1
1
dr
q
~
=−
(
−
)
E · d~
s=
2
4πǫ
r
4πǫ
r
r
0 rA
0
B
A
A
il lavoro di conseguenza (ottenuto moltiplicando il potenziale per q0 ) non
dipende dal percorso seguito e potremo dire inoltre che
q
q
VB − VA =
−
4πǫ0 rB
4πǫ0 rA
Dal momento che l’energia potenziale e quindi il potenziale sono definiti a
meno di una costante possiamo scrivere:
q
V (r) =
+A
4πǫ0 r
qq0
U (r) =
+B
4πǫ0 r
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e con la scelta detta prima (E(∞) → 0, Fel (∞) → 0, U (∞) → 0, V (∞) →
0) si ottiene
Z r
q
~ · d~
E
s=
V(r) = −
(1)
4πǫ0 r
∞
espressione del potenziale elettrico generato da una carica
puntiforme
Z r
qq0
~ · d~
E
s=
U (r) = q0 V (r) = −q0
4πǫ0 r
∞
I risultati appena trovati permettono l’estensione alla situazione di un
campo generato da un sistema discreto di cariche utilizzando il principio
di sovrapposizione. Infatti il lavoro per uno spostamento da A a B è
Z B
Z B
~
~ · d~
W =
F · d~
s = q0
E
s
A
A
e se consideriamo la somma vettoriale dei campi di ciascuna carica si ottiene:
Z B X
Z B
~ i ) · d~
~
(
E
s=
E · d~
s=
A
A
XZ
i
B
A
~ i · d~
E
s=
XZ
i
i
B
A
qi
ûi · d~
s
4πǫ0 ri2
avendo utilizzato per ognuno dei termini l’espressione del potenziale della carica puntiforme dell’eq.(1) e di conseguenza essendo ogni campo delle
singole cariche conservativo si ha:
X
X
qi
qi
VB − VA = (
−
)
4πǫ0 r(B,i)
4πǫ0 r(A,i)
i
i
X
X
q0 qi
q0 qi
−
)=
W = −q0 (VB − VA ) = (
4πǫ0 r(B,i)
4πǫ0 r(A,i)
i
i
−∆Ue
Per cui per il generico punto nello spazio P(x,y,z)
Z P
X qi
~ · d~
V (x, y, z) = −
E
s=
4πǫ0 ri
∞
i
che in altre parole dice che il potenziale elettrostatico di un sistema di
cariche si ottiene sommando i potenziali di ciascuna delle cariche.
L’estensione a distribuzioni continue di cariche è ovvia:
Z
Z
dq
1
V(P) = dV =
4πǫ0 V r
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avendo inteso l’integrale sulla forma dell’oggetto carico (volume,superficie,
linea) e dq la carica dell’elemento infinitesimo, r la distanza tra P e l’elemento
infinitesimo. Infine come ultimo risultato per le distribuzioni di cariche
considerando percorsi chiusi si ha
I
~ · d~
E= E
s=0
in altre parole la forza elettromotrice è nulla per campi elettrostatici
Unità di misura del potenziale
Dalla definizione del potenziale le unità di misura delle differenza di potenziale sono quelle del lavoro diviso la carica ovvero J/C che viene definito
volt:
1V =
J
C
e introdotta questa nuova unità di misura possiamo utilizzarla anche per il
campo elettrico che può essere misurato (anzi è preferibile)
anche nelle unità
R
~ · d~
V/m come conseguenza della definizione (V = − E
s)
2.3 Energia potenziale elettrostatica
2.3 Energia potenziale elettrostatica
Per costruire un sistema di cariche collocate in vari punti dello spazio usiamo
la definizione e concludiamo che l’energia necessaria (e.potenziale) a creare
un sistema di cariche è pari al lavoro necessario da parte di un agente esterno
per portare il sistema nella configurazione data, ovvero quello necessario a
portare ciascuna carica dall’infinito alla posizione finale. Abbiamo visto
infatti che il lavoro per muovere una carica q è Wext = +q∆V in pratica
supponiamo di voler spostare una carica q > 0 dall’infinito, dove il potenziale
è nullo, verso una regione con V > 0 ovvero in presenza di cariche positive,
in questo caso ∆V > 0 il lavoro risulterà positivo perchè dobbiamo vincere
la repulsione tra le due cariche; viceversa se le cariche sono discordi risulterà
un lavoro negativo.La procedura seguita ci da un criterio per capire qual’è
l’energia necessaria a creare un sistema di cariche puntiformi: consideriamo
un processo di costituzione del sistema prendendo una carica alla volta e
aggiungendolo al resto, otteniamo che l’energia complessiva del sistema
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sarà:
Ue (sistema) =
1 X qi qj
2
4πǫ0 rij
i6=j
somma estesa a tutte le coppie di punti (il fattore 1/2 tiene conto del fatto
che nella sommatoria del doppio conteggio dei termini simmetrici tipo ij e
ji), mentre per una carica esterna q0 distinta dalle precedenti, risulterà
che la sua energia potenziale è la somma delle energie potenziali dovuta
alle cariche del sistema:
n
X
qi q0
Ue (q0 ) =
4πǫ0 ri
i
e l’energia complessiva del sistema sarà
Ue = Ue (sistema) + Ue (q0 )
esempio 2.2
esempio 2.2
esempio 2.2
Tre cariche sono disposte ai vertici di un triangolo equilatero di lato l=12
cm. Se le cariche sono q1 , q2 e q3 qual’è l’energia potenziale elettrostatica di
questo sistema? Qual’è il lavoro necessario a mettere una carica q0 al centro
del triangolo?
Il lavoro per piazzare la prima carica è nullo perchè non vi sono campi
q2 q1
elettrici inizialmente. Il lavoro per la seconda è L2 = U12 = 4πǫ
. La
0l
terza carica si trova con entrambi i campi 1-2 e L3 = U13 + U23 quindi
q3 q1
q3 q2
q2 q1
+ 4πǫ
+ 4πǫ
L’energia potenziale della carica q0 invece
Ue (sistema) = 4πǫ
0l
0l
0l
sarà
q1 q0
q2 q0
q3 q0
Ue (q0 ) =
+
+
4πǫ0 r 4πǫ0 r 4πǫ0 r
√
con r = l/ 3 l’energia del sistema non cambia nello spostamento quindi il
lavoro è W = −∆Ue (q0 ) = Ue (q0 )
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Parte II
Moto di una carica in campo elettrostatico
Moto di una carica in campo elettrostatico
~ ConsideSupponiamo di avere una carica q0 in un campo elettrostatico E.
2 −
riamo il moto alla luce del teorema dell’energia cinetica: ∆Ek = 12 mvB
1
2
2 mvA = W e d’altra parte sappiamo che il lavoro è W = −∆Ue = −q0 ∆V =
2 + q V che rappresenta
−(q0 VB − q0 VA ) per cui uguagliando si ha 12 mvA
0 A
la conservazione dell’energia la somma di en. cinetica e potenziale si
conserva
2.5 Superfici equipotenziali
2.5 Superfici equipotenziali
Definiamo superficie equipotenziale il luogo dei punti aventi il medesimo potenziale ovvero una superficie delimitata dalla condizione V(x,y,z)=cost.
In base alla definizione non è necessario compiere alcun lavoro per muover-
si su una superficie equipotenziale.
Le superfici equipotenziali per una carica puntiforme sono tante sfere concentriche alla carica stessa, come in figura, e osserviamo che le linee di
campo sono perpendicolari alle superfici equipotenziali. Infatti se
non fosse cosı̀ , una componente del campo elettrico, che è tangente alla linea
di forza, si troverebbe lungo la superficie equipotenziale. Ma se fosse cosı̀
muovendo una carica lungo la superficie risulterebbe che il lavoro per spostare una carica sarebbe diverso da zero, cosa che contraddice la proprietà
vista prima delle superfici equipotenziali. Questa proprietà consente anche
di ricavare la direzione del campo elettrico nota la superficie equipotenziale.
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2.4-Campo come gradiente del potenziale
2.4-Campo come gradiente del potenziale
Vediamo come ricavare il campo elettrico se conosciamo l’espressione del potenziale utilizzando la relazione locale che si può
scrivere invece che la versione integrale che lega il potenziale al campo
elettrico. Supponiamo di muovere la carica di prova q0 : il lavoro per uno
~ = dxuˆx + dy uˆy + dz uˆz che mi porti dalla sup. equipotenspostamento ds
ziale V a quella V+dV è dW = −q0 dV (dalla def. di potenziale). Possiamo
~ per cui
~ · ds
però anche dire dalla definizione di lavoro che dW = (q0 E)
otteniamo −q0 dV = q0 (Ex dx + Ey dy + Ez dz) e inoltre possiamo scrivere il
differenziale totale della funzione V:
dV =
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
per cui confrontando si ha:
Ex = −
∂V
∂V
∂V
, Ey = −
, Ez = −
∂x
∂y
∂z
che permette di trovare tutte le componenti di E noto il potenziale e che si
può sinteticamente indicare come:
~
~ = −gradV
E
(2)
Il campo elettrostatico è in ogni punto uguale al gradiente del potenziale
elettrico in quel punto e cambiato di segno. L’equazione (2) è la relazione
locale che permette con un calcolo di derivazione di ottenere l’espressione
del campo elettrico. Si può rappresentare l’operazione appena fatta anche
introducendo un operatore vettoriale del cosı̀ definito:
~ = ∂ uˆx + ∂ uˆy + ∂ uˆz
∇
∂x
∂y
∂z
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un oggetto che si comporta formalmente come un vettore ma acquista significato solo se applicato ad una funzione scalare o vettoriale. Applicandolo
formalmente al potenziale si ottiene infatti:
~
~ = ∂V uˆx + ∂V uˆy + ∂V uˆz = gradV
∇V
∂x
∂y
∂z
Nel seguito vedremo l’effetto dell’applicazione dell’operatore ai vettori.
sumendo quanto trovato abbiamo:
Rias-
~ · d~
~ · d~
dV = −E
s = ∇V
s
quindi
VB − VA = −
Z
B
A
~ · d~
E
s=
Z
B
A
~ · d~
∇V
s
Da cui quello che viene detto Teorema del gradiente
Z B
~ · d~
∇V
s
VB − VA =
A
È possibile esprimere il gradiente anche in coordinate polari; basta condierare spostamenti infinitesimi:
d~
s = drûr + rdθûθ
Da cui il campo elettrostatico in coordinate polari risulterà :
~ θ) = − ∂V ûr − 1 ∂V ûθ
E(r,
∂r
r ∂θ
Esempio 2.6 Campo e potenziale anello carico
Esempio 2.6 Campo e potenziale anello carico
Consideriamo un anello carico, avente una carica q uniformemente distribuita, di raggio R. Calcoliamo potenziale e campo lungo l’asse dell’anello.
consideriamo un punto P sull’asse x dell’anello, ed un elemento dl dell’anello che avrà carica dq = λdl. Il potenziale complessivo si ottiene integrando
spostando l’elemento infinitesimo in modo da ricoprire l’anello:
Z
dl
1
V =
4πǫ0
r
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con r che è la distanza tra P e l’elemento infinitesimo che è uguale per ogni
punto dell’anello per cui si ottiene
Z
λ
λ2πR
q
√
V =
dl =
=
4πǫ0 r
4πǫ0 r
4πǫ0 R2 + x2
Possiamo ora calcolare il campo elettrico usando ilteorema del gradiente:
∂V
∂V
Ex = ∂V
∂x , Ey = ∂y = 0, Ez = ∂z = 0 per cui si ottiene derivando
qx
Ex = ∂V
3 (espressione uguale a quella ricavata direttamente
∂x =
4πǫ0 (R2 +x2 ) 2
dalla definizione del campo elettrico)
Esempio 2.7 Campo e potenziale disco carico
Esempio 2.7 Campo e potenziale disco carico
Consideriamo un disco carico, avente una carica q uniformemente distribuita, di raggio R. Calcoliamo potenziale e campo lungo l’asse del disco.
consideriamo un punto P sull’asse x dell’anello. Il potenziale complessivo si
ottiene integrando spostando l’elemento infinitesimo in modo da ricoprire il
disco e partendo dal risultato dell’anello. Consideriamo la densità di carica
σ = q/(πR2 ), ed un anello infinitesimo di raggio r e carica dq = σ · 2πrdr:
Z
Z
σ2πrdr
dq
√
√
=
dV =
2
2
4πǫ0 r + x
4πǫ0 r2 + x2
con r che è il raggio dell’anello infinitesimo per cui si ottiene, integrando con
estremi r=0 e r=R:
Z R
rdr
σ
√
=
V (x) =
2ǫ0 0
r 2 + x2
σ p 2
( R + x2 − x)
2ǫ0
Infine per il campo elettrito avremo:
Ex = −
Cap2-Parte II-Potenziale elettrico
∂V
σ
x
)
=
(1 − √
2
∂x
2ǫ0
R + x2
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1
PROBLEMA 25.3-SVOLTO
Problema 25.3-svolto
Problema 25.3-svolto
Calcolare il potenziale nel punto al centro di un quadrato di lato
d=1.3 m e supponendo che le cariche sono q1 = +12 nC (in alto
a sinistra), q2 = −24 nC (in alto a destra), q3 = +31 nC (in basso
a sinistra) e q4 = +17 nC (in basso a destra) In qualunque punto
dello spazio il potenziale èPla somma algebrica dei potenziali
√ dovuti alle
q1 +q2 +q3 +q4
varie cariche quindi: V =
Vi =
con r = d/ 2 = 0.919 m
4πǫ0 r
pertanto V ≈ 350 V
2.7 Dipolo elettrico
2.7 Dipolo elettrico
Calcoliamo il potenziale dovuto al dipolo in un generico punto P del piano del dipolo come in figura. Abbiamo che il potenziale
è
V = V+ + V− =
1
q
−q
( +
)=
4πǫ0 r+
r−
q r− − r+
4πǫ0 r+ r−
Il dipolo è una struttura molto frequente ed è ad esempio il campo elettrico generato da un gran numero di molecole. Normalmente si è interessati
al campo a distanze relativamente grandi ossia determinate dalla condizione r >> d. In questo caso possiamo approssimare r− − r+ ≈ d cos θ ed
r− r+ ≈ r 2 . Con queste approssimazioni il potenziale diventa:
V=
Cap2-Parte II-Potenziale elettrico
qd cos θ
p cos θ
=
4πǫ0 r2
4πǫ0 r2
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PROBLEMA 25.3-SVOLTO
Per il campo elettrico possiamo usare l’espressione del gradiente in coordinate polari
∂V
2p cos θ
=
∂r
4πǫ0 r3
∂V
p sin θ
Eθ = −
=
r∂θ
4πǫ0 r3
Er = −
~ = Er ûr + Eθ ûθ =
e di conseguenza il campo elettrico è E
sin θûθ )
p
(2 cos θûr +
4πǫ0 r 3
2.8 Dipolo in campo elettrico esterno uniforme
2.8 Dipolo in campo elettrico esterno uniforme
Supponiamo di avere un dipolo in un campo elettrico esterno.
Dalla definizione di dipolo e di campo elettrico discende che un dipolo in
un campo elettrico uniforme esterno risente di 2 forze uguali e opposte, ma
come si vede dalla figura esse producono risultante nulla ed un momento di
forze agenti (una coppia). Il momento risultante è
τ = F d/2 sin θ + F d/2 sin θ = F d sin θ =
(qE)d sin θ = pE sin θ
Formalmente questa si può indicare in modo vettoriale, calcolando ad esempio il momento rispetto al CM:
~ 2 = (~
~
~
τ =~
r 1 ∧ F1 + ~
r2 ∧ F
r2 − ~
r 1 ) ∧ F2 = q d~ ∧ E = p
~∧E
che rappresenta il momento torcente sul dipolo elettrico immerso in un
campo (elettrico) esterno ad esso. Il dipolo tende quindi ad allinearsi al
campo elettrico.Il lavoro del momento meccanico è
Z θ
Z θ
W =
τ dθ = −pE
sin θdθ = −pE(cos θ − cosθ0 )
θ0
Cap2-Parte II-Potenziale elettrico
θ0
12
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1
PROBLEMA 25.3-SVOLTO
questa quantità dipende solo dagli estremi per cui si può porre in termini di
energia potenziale W = −∆U (θ) avendo indcato U (θ) = −pE cos θ che può
~
pensarsi come il risultato della operazione vettoriale: U (θ) = −~
p·E
Dipolo in campo elettrico non uniforme
Dipolo in campo elettrico non uniforme
Se il campo elettrico non è uniforme allora la risultante delle forze sul CM
non è più nulla e il dipolo oltre a ruotare per il momento agente sarà accelerato dalla risultante forze agente nel CM. Consideriamo ad esempio il caso in
cui il campo elettrico cresca con la x ed anche il campo elettrico sia diretto
lungo x, ed anche il dipolo sia diretto secondo la x. In questo caso semplice
si ha quindi: Ftot = q(E2 −E1 ) con E2 , E1 i campi calcolati negli estremi del
dipolo. Possiamo approssimare l’espressione come E2 = E1 + ∂E
∂x d per cui
∂E
∂E
Ftot = q ∂x d = p ∂x Da cui concludiamo che la forza risultante è concorde
alla direzione di E se il dipolo blue è concorde al campo e la derivata
di E è positiva
Asta carica
Consideriamo una bacchetta finita di lunghezza L e con carica distribuita
Consideriamo il punto P in figuuniformemente.
ra posto in corrispondenza di uno degli estremi: si considera il generico
elemento infinitesimo dx esso avrà carica dq = λdx e λ = Q/L per cui
dV =
λdx
λdx
= √
4πǫ0 r
4π x2 + d2
Il potenziale risultante si ottiene muovendo dx sino a ricoprire l’intera asta
carica:
Z
Z L
λdx
√
V = dV =
2
2
0 4πǫ0 x + d
Cap2-Parte II-Potenziale elettrico
13
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2
ES. 25-8P
√
L’integrale si risolve (la sostituzione da fare è x2 + d2 = t + x) ed ha per
soluzione
√
Z
λ
L + L 2 + d2
V = dV =
ln
4πǫ0
d
Verificate che se il punto P è sullo stesso asse si trova un’altra espressione
ma con un integrale più semplice.
Disco carico
Consideriamo un generico punto sull’asse z di un
disco carico di raggio R. Individuiamo l’anello come elemento infinitesimo.Tutti i punti dell’anello sono alla stessa distanza r dal punto P per cui
dq
la carica sull’anello è dq = σ(2πR′ )dR′ con
il suo potenziale è dV = 4πǫ
0r
σ la densità sup. di carica sull’anello e R’ il raggio dell’anello. Quindi il
potenziale totale si ottiene integrando:
Z R
Z
1
σ
(z2 + R′2 )− 2 R′ dR′ =
V = dV =
2ǫ0 0
σ p 2
( z + R2 − z)
2ǫ0
2
Es. 25-8P
Es. 25-8P
Calcolo del potenziale elettrico
R f di una sfera isolante uniformemente ca~ con Vi = 0 per r=0 (dalla traccia).
~ · ds
rica di raggio R. Vf − Vi = − i E
Rr
~ e con 0 < r < R ρ = 4 Q e sapendo che dentro la
~ · ds
⇒ Vf = − 0 E
πR3
3
Rr
ρr ′
′
sfera isolante si ha E(r) = 3ǫ0 0 < r < R ⇒ V (r) = Vf = − 0 E(r′ )dr′ =
R r ρr′ ′
′2
ρr 2
Qr2
r
− 0 3ǫ
dr = = − ρr
6ǫ0 |0 = − 6ǫ0 V(r) = − 8πǫ0 R3 il potenziale diminui0
sce con la distanza se Q > 0 e quindi è negativo se scegliamo nullo il
riferimento al centro della sfera NB L’espressione cambia se scegliamo
il rif. nullo all’infinito ma le differenze di potenziale tra 2 punti
qualunque non cambiano
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ES. 25.9
Es. 25.9
Es. 25.9
come prec. ma V (∞) = 0 in questo caso dobbiamo scegliere come punto
di partenza dell’integrale ∞ ed r di arrivo (o viceversa) e tenendo conto che
le espressioni del campo elettrico sono diverse dentro e fuori la sfera ovvero
ρr
E(r) = 3ǫ
= 4πǫqr0 R3 0 < r < R e E(r) = 4πǫq0 r2 r ≥ R considerando
0
Vf = 0 a f = ∞ allora
Z ∞
Z R
Z ∞
E(r)dr =
E(r)dr −
Edr = −
0 − Vi = −
R
r
r
Z R
Z ∞
qr′
q
′
′
−
dr
−
2 dr
3
′
4πǫ
R
4πǫ
r
0
r
R
0
r′ 2 R
q
q
[ ] +[
]∞ =
−
4πǫ0 R3 2 r 4πǫ0 r′ R
qR2
qr2
q
1
−
+
+
(0 − ) = . . . =
3
3
8πǫ0 R
8πǫ0 R
4πǫ0
R
q
Vi =
(3R2 − r2 )
8πǫ0 R3
25.11-Potenziale elettrico di un conduttore isolato
25.11-Potenziale elettrico di un conduttore isolato
Una carica su un conduttore isolato si dispone sulla superficie del conduttore
stesso in modo che tutti i punti del conduttore, sulla superficie e all’inter-
no, sono allo stesso potenziale.
Questo discende
Rf
~
~
dalla definizione del potenziale V = − i E · ds. Poichè all’interno del
conduttore E=0 allora il potenziale è lo stesso su tutti i punti del conduttore. Questo vale anche se il conduttore è semplicemente immerso in un
campo elettrico esterno come in figura. Il conduttore continuerà ad essere
una superficie equipotenziale.
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PROBLEMA 25.47
problema 25.47
problema 25.47
Due sfere metalliche entrambe di raggio R=3 cm, sono distanti tra
loro d=2m. Se la prima ha carica Q1 = 1 · 10−8 C e la seconda ha carica
Q2 = −3·10−8 C, quali sono i potenziali V1,V2 sulle due sfere e VA nel punP qi
to intermedio? VA =
4πǫ0 r (valida sia per i conduttori che per cariche
i
−8
9
−8
9
·9·10
puntiformi) ed è pertanto: VA = 10 d/2
− 3·10 d/2·9·10 = −2·90
= −180 V
1
Per le altre due posizioni invece dobbiamo tenere conto che i conduttori sono
superfici equipotenziali ed inoltre dobbiamo applicare il princ. di sovrapp.:
V1 =
Q1
+
4πǫ0 R1
⇓
Q2
4πǫ0 d
⇓
P otenziale conduttore P otenziale dovuto a
1 rispetto a ∞
V1 =
10−8 ·9·109
3·10−2
−
3·10−8 ·9·109
2
Cap2-Parte II-Potenziale elettrico
′′ 2′′ sul
centro di′′ 1′′
= 3000 − 135 V = +2865 V l’altro V2 = −9000 + 45 = −895
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