2 - Zanichelli

CAPITOLO
13
OSCILLAZIONI
E ONDE MECCANICHE
1 Oscillazioni armoniche
I moti oscillatori dei corpi, come la corda pizzicata di una chitarra o un lampadario
urtato con la testa, hanno alcune caratteristiche comuni:
●
inizialmente il corpo è fermo in una posizione di equilibrio;
●
quando viene spostato e lasciato libero, il corpo si muove avanti e indietro passando per la posizione di equilibrio.
Joshua David Treisner / Shutterstock
Il moto oscillatorio è un moto periodico, perché si ripete con regolarità nel tempo:
durante un’oscillazione completa il corpo ritorna nella posizione iniziale con la stessa velocità iniziale. Le caratteristiche fondamentali di un moto periodico sono il
periodo e la frequenza:
●
il periodo T è il tempo necessario per compiere un’oscillazione completa;
●
la frequenza f è il numero di oscillazioni che avvengono in un secondo.
Frequenza e periodo sono legati dalla relazione
1
(1)
f=_
T
Nel Sistema Internazionale il periodo si misura in secondi e la frequenza in hertz (Hz):
1 Hz = 1 s−1. Un corpo oscilla con la frequenza di 1 Hz quando compie un’oscillazione al secondo.
LÕoscillatore armonico
Il tipo più importante di moto periodico è il moto armonico, che si presenta in ogni
campo della fisica.
#motoarmonico
Si dice moto armonico il moto di un corpo la cui accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio e ha verso opposto a esso.
Nel capitolo «Le forze e i moti» abbiamo visto che una massa m sottoposta alla
forza di richiamo elastica di una molla si muove di moto armonico.
F
x
x=0
posizione di riposo
2
x
OscillaziOni e Onde meccaniche
13
→
Infatti, se indichiamo con x lo spostamento
della massa dalla posizione di equilibrio,
→
→
sulla massa si esercita una forza F = −k x e per il secondo principio della dinamica
→
→
−k x = m a
ossia
k→
→
(2)
a = − ___ x
m
Poiché k/m è costante, l’accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento e ha verso opposto a esso. Quindi la massa, spostata dalla posizione di equilibrio
e poi lasciata libera, si muove di moto armonico: il sistema massa-molla si dice
pertanto oscillatore armonico.
La costante
ω=
__
k
_
m
√
è detta frequenza angolare o pulsazione del moto. L’unità di misura di ω è s−1;
infatti
1/2
1/2
1/2
N/m
kg·m __
1 ___
1
1
1
____
= _____
= __2 = __ = s−1
2
( kg ) ( s m kg) (s ) s
Il periodo e la frequenza del moto dell’oscillatore sono legati alla pulsazione dalle
relazioni
2π
1 ω
T=_
f=_=_
(3)
ω
T 2π
ossia
__
__
m
1
k
_
_
_
(4)
T = 2π
f=
k
2π m
√
√
Vale il seguente risultato:
la legge oraria di un oscillatore armonico, che parte da x = A con velocità nulla, è
__
k
_
t
(5)
x = A cos
( m )
√
#motoarmonico
#forzaelastica
DENTRO LA LEGGE
●
A è l’ampiezza del moto e si misura in metri.
●
L’argomento della funzione coseno
_ è un numero privo di dimensioni. Infatti
la frequenza angolare ω = √k/m si misura in s−1.
●
La posizione x è una funzione periodica con periodo 2π e assume valori
compresi fra −A e A.
A
0
x
t
0
T
—
4
T
—
2
3T
—
4
T
–A
3
Onde
Consideriamo il caso più generale di un moto armonico in cui l’accelerazione è
→
→
a = − ω2 x
(6)
Se all’istante iniziale x = A e la velocità è nulla, la legge oraria assume la forma seguente:
x = A cos (ωt)
#motoarmonico
PER ESEMPIO
(7)
Le caratteristiche di un oscillatore armonico
Un oscillatore armonico è formato da una massa m = 0,50 kg vincolata all’estremo libero di una molla con costante elastica k = 100 N/m.
▶
Quali sono le principali caratteristiche del suo moto?
Il periodo e la frequenza sono
__
__
m
0,5 kg
T = 2π _ = 2π _ = 0,44 s
k
100 N/m
√
√
1
1
f = _ = _ = 2,3 Hz
T 0,44 s
Se è lasciato partire da x = 0,1 m con velocità iniziale nulla, la sua legge oraria è
__
100
N/m
_
x = (0,1 m) cos
t
⇒ x = (0,1 m) cos [(14 rad/s)] t
0,5 kg )
(
√
0,1
x (m)
0,05
0
t (s)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
–0,05
–0,1
➜ PROBLEMA Un beccheggio armonico • pag. 26
#motoarmonico
MINDBUILDING
Risoluzione numerica dell’equazione del moto
di un oscillatore armonico
Risolvere l’equazione del moto di un oscillatore armonico a = − (k/m) x è molto complesso, perché l’accelerazione e la posizione non sono numeri ma sono funzioni del tempo. Possiamo però determinare una
soluzione numerica per la legge oraria del moto x = x(t) e tracciare il grafico approssimato del suo andamento nel tempo. Per impostare la risoluzione numerica, facciamo le seguenti ipotesi:
●
il tempo è discreto, cioè procede «a scatti» di piccoli intervalli dt a partire dall’istante iniziale t0;
●
le accelerazioni rimangono costanti durante ogni intervallo di tempo (in realtà cambiano con la posizione x);
4
OscillaziOni e Onde meccaniche
●
13
le velocità rimangono costanti durante ogni intervallo di tempo (in realtà cambiano fra gli istanti iniziale e finale di un intervallo di tempo).
Scegliamo di calcolare lo spostamento durante ogni intervallo di tempo utilizzando la velocità che la massa ha all’istante finale dell’intervallo: in questo particolare caso questa scelta evita di accumulare errori
di approssimazione elevati.
Con queste ipotesi si può impostare la risoluzione numerica del problema del moto mediante la seguente
procedura iterativa, in cui il valore di una grandezza è calcolato a partire dai valori precedenti di essa e
delle grandezze da cui dipende.
Procedura iterativa
x0
v0
x1 = x0 + v1 dt
v1 = v0 + a 0 dt
x k+1 = xk + vk+1 dt
v k+1 = vk + ak dt
t0
t1 = t0 + dt
t k+1 = tk + dt
a 0 = − (k/m) x0
a1 = − (k/m) x1
ak+1 = − (k/m) xk+1
Questa procedura può essere eseguita con un foglio elettronico come quello del tabulato A.
◊
1
A
B
C
D
E
F
G
Legge oraria dell’oscillatore armonico
2
A
a=–(k/m)x
3
m=
0,5
kg
4
k=
100
N/m
5
x0=
0,1
m
6
v0=
0
m/s
=0
=$B$5
=$B$6
=-$B$8*E6
=-$B$8*E7
t
x
v
a
7
dt=
0,01
s
=D6+$B$7
=E6+F7*$B$7
=F6+G6*$B$7
8
k/m=
=B4/B3
N/m2
=D7+$B$7
=E7+F8*$B$7
=F7+G7*$B$7
=-$B$8*E8
9
=D8+$B$7
=E8+F9*$B$7
=F8+G8*$B$7
=-$B$8*E9
10
=D9+$B$7
=E9+F10*$B$7
=F9+G9*$B$7
=-$B$8*E10
Il calcolo è relativo a un oscillatore armonico con m = 0,5 kg e k = 100 N/m lasciato partire da x = 0,1 m con
velocità iniziale nulla. Con i dati numerici inseriti, l’aspetto del foglio con i valori al posto delle formule è
quello del tabulato B. Il grafico mostra la legge oraria dell’oscillatore armonico.
◊
1
A
B
C
D
E
2
G
H
I
J
K
L
M
N
B
a=–(k/m)x
3
m=
0,5
kg
4
k=
100
N/m
5
x0=
0,1
m
6
v0=
0
m/s
7
dt=
0,01
s
8
F
Legge oraria dell’oscillatore armonico
k/m=
200
N/m
t
2
x
v
0
0,100
0,000
-20,000
a
0,01
0,098
-0,200
-19,600
9
0,02
0,094
-0,396
-18,808
10
0,03
0,088
-0,584
-17,640
11
0,04
0,081
-0,760
-16,119
12
0,05
0,071
-0,922
-14,276
13
0,06
0,061
-1,064
-12,147
14
0,07
0,049
-1,186
-9,775
15
0,08
0,036
-1,284
-7,208
16
0,09
0,022
-1,356
-4,496
17
0,1
0,008
-1,401
-1,695
18
0,11
-0,006
-1,418
1,140
19
0,12
-0,020
-1,406
3,953
Prova tu
Modifica la procedura iterativa utilizzata per il moto armonico in modo da studiare il moto di un pendolo
lungo 25 cm sottoposto alla forza di richiamo F = − mg sen θ. Indica con x la posizione sull’arco e scegli
come condizioni iniziali θ0 = 10° e v0 = 0 m/s.
▶
▶
Dimostra che F = −mg sen (x/L).
Verifica che il pendolo si muove di moto armonico solo per oscillazioni con piccoli angoli.
5
Onde
2 Energia e oscillazioni armoniche
Consideriamo un oscillatore armonico con massa m e costante elastica k che si muove secondo la legge oraria
__
k
_
x = A cos
t
( m )
√
Quando l’attrito è assente o trascurabile, la massa oscilla indefinitamente fra le posizioni x = + A e x = − A. L’energia totale E dell’oscillatore è la somma dell’energia
cinetica K e dell’energia potenziale elastica U:
1
1
E = K + U = _ mv2 + _ k x2
2
2
(8)
La forza elastica è conservativa, per cui l’energia totale dell’oscillatore rimane costante: durante il moto l’energia si trasforma continuamente da potenziale a cinetica
e viceversa.
■ Nei punti x = + A e x = − A in cui si inverte il
K=0
U = –12 kA2
x=0
x = –A
moto, la massa è ferma e l’energia è tutta potenziale.
x=A
■ Nel punto x = 0 la molla non è né allungata né
K = –12 mv2
accorciata, per cui l’energia è tutta cinetica.
U=0
v
x = –A
x=0
x=A
In particolare, nei punti x = + A e x = − A si ha
1
E = _ k A2
2
#motoarmonico
#energia
L’energia totale di un oscillatore armonico è proporzionale al quadrato dell’ampiezza dell’oscillazione.
La velocità è massima per x = 0, dove l’energia è solo cinetica e pari a
1_
m v2max
2
Quindi per la conservazione dell’energia si ha
1_
1
m v2max = _ k A2
2
2
6
(9)
OscillaziOni e Onde meccaniche
da cui si ricava
v max =
13
__
k
_
A
m
√
che in termini della frequenza angolare diviene
v max = ωA
In un generico punto del moto, la conservazione dell’energia stabilisce che
1
_ m v2 + 1
_ k x2 = 1
_ k A2
2
2
2
Il modulo della velocità è quindi
k
v = _ (A2 − x2) ⇒ v =
m
2
cioè
____________
k 2
_
A − x2)
m(
√
____________
v = ω √ (A2 − x2)
(10)
La velocità di un oscillatore che si muove con legge oraria x = A cos (ωt) varia nel
tempo secondo la legge
v = − ωA sen (ωt)
(11)
#motoarmonico
DENTRO LA FORMULA
La velocità v è una funzione periodica con periodo 2π e assume valori compresi fra − ωA e ωA.
ωA
0
v
T
T
—
4
0
T
—
2
3T
—
4
t
–ωA
PER ESEMPIO
Energia e velocità dell’oscillatore
Un oscillatore armonico formato da una massa m = 0,5 kg e da una molla con
costante elastica k = 100 N/m viene lasciato andare dalla posizione x = 0,20 m
con velocità iniziale nulla.
▶
Determina l’energia, la velocità massima e la legge con cui varia la velocità
dell’oscillatore.
La frequenza angolare è
ω=
__
k
_
=
m
__
100 N/m
_
= 14 rad/s
0,50 kg
√ √
7
Onde
L’energia e la velocità massima risultano
1
1
E = _ k x2 = _ (100 N/m) (0,20 m)2 = 2,0 J
2
2
vmax = ωA = (14 s−1) (0,20 m) = 2,8 m/s
La velocità varia nel tempo secondo la relazione
v = − ωA sen(ωt) =
= − (14 s−1) (0,20 m) sen[ (14 s−1) t ] = − (2,8 m/s) sen[ (14 s−1) t ]
Dimostrazione della formula per la velocità
1 La velocità della massa dipende dal punto x in cui si trova. Poiché x = A cos (ωt),
scriviamo la velocità (10) in funzione del tempo:
_____________
_______
____
v = ω √ A2 − A2 cos2(ωt) = ω √ A2[ 1 − cos2(ωt) ] = ωA √ 1 − cos2(ωt)
2 Grazie all’identità trigonometrica fondamentale
sen2(ωt) + cos2(ωt) = 1
⇒
_
sen(ωt) = ± √ 1 − cos2(ωt)
scriviamo la relazione precedente
v = ± ωA sen(ωt)
3 La velocità è positiva quando la massa si muove nel verso positivo dell’asse x e
negativa in verso opposto. Dalla posizione iniziale x = A la massa si muove nel
verso negativo dell’asse x: poiché sen(ωt) è positivo per 0 < t < T/2, si ha
v = − ωA sen(ωt)
➜ PROBLEMA L’ampiezza dell’oscillazione • pag. 28
#motoarmonico
3 Oscillazioni in presenza di attrito
Nella realtà l’attrito non è eliminabile, quindi ogni moto prima o poi cessa. Nel caso
di un moto armonico, l’ampiezza decresce fino a quando il corpo si ferma. Questo
moto è detto moto armonico smorzato. L’energia meccanica iniziale del moto è
dissipata dall’attrito.
Consideriamo moti che avvengono in un fluido e che hanno velocità non troppo
elevate, in modo che si possano trascurare gli effetti di turbolenza generati nel fluido.
In questi casi la forza di attrito ha modulo direttamente proporzionale a quello della
velocità del corpo e verso opposto:
Fa = − βv
L’accelerazione del corpo risulta pertanto
Fe + Fa
k
β
a = _____ = − _ x − _ v
m
m
m
che può essere riscritta come
a = − ω2x − γv
8
OscillaziOni e Onde meccaniche
13
dove
●
●
_
ω = √k/m è la pulsazione dell’oscillatore armonico in assenza di attrito;
γ = β/m è un coefficiente che tiene conto delle caratteristiche dell’attrito che il
fluido esercita sul corpo; γ ha le dimensioni fisiche di un’accelerazione diviso
una velocità, quindi la sua unità di misura è s−1 come per la pulsazione ω.
A seconda del valore di γ, il moto può presentare o meno oscillazioni.
Se l’attrito è piccolo (γ < 2ω), prima di fermarsi il corpo compie varie oscillazioni
di ampiezza decrescente: si parla di smorzamento sottocritico.
x
γ < 2ω
t
La pulsazione delle oscillazioni risulta minore di ω:
_________
_____
2
2
γ
k 1_ _
β
2
__
_
ω′ = ω − =
−
<ω
4
m 4 (m)
√
√
Di conseguenza T > T′: lo smorzamento aumenta il periodo dell’oscillazione.
Quando il fattore γ che caratterizza l’attrito è molto piccolo rispetto a ω, ossia quando γ << ω, si ha
__
k
ω′≈ ω = _
m
√
e quindi la pulsazione del moto oscillatorio smorzato è praticamente la stessa del
moto armonico senza attrito.
Se l’attrito è grande (γ > 2ω), il corpo raggiunge la posizione di equilibrio senza
alcuna oscillazione: si parla di smorzamento sovracritico o di moto sovrasmorzato.
x
γ > 2ω
t
9
Onde
Terekhov Igor / Shutterstock
Lo smorzamento sovracritico è realizzato
da vari dispositivi che hanno lo scopo di
eliminare rapidamente le oscillazioni non
desiderate. Per esempio, un ammortizzatore (all’interno della molla nella foto) è
costituito da un pistone che si muove
all’interno di un cilindro pieno d’olio. Il
fluido oppone resistenza allo spostamento
del pistone e assicura il necessario smorzamento al telaio della moto.
FISICA
QUOTIDIANA
Gli ammortizzatori
La risonanza
Un oscillatore armonico con massa m e costante elastica k oscilla con la frequenza
__
1
k
f=_ _
2π m
√
detta frequenza propria o naturale. Per mantenerlo in oscillazione in presenza di
forze d’attrito è necessaria una forza esterna che integri l’energia dissipata per attrito. Sotto l’azione di una forza esterna l’oscillatore compie oscillazioni forzate, purché la forza esterna sia periodica, proprio come le spinte necessarie per mantenere
in moto un’altalena.
Il maggior trasferimento di energia all’oscillatore si realizza quando la forza
esterna ha frequenza uguale alla frequenza propria dell’oscillatore.
#risonanza
In questa situazione l’ampiezza A del moto armonico, che è legata all’energia dell’oscillatore dalla relazione E = (1/2) kA2, aumenta nel tempo. Si raggiunge infine
una situazione di regime con oscillazioni di ampiezza costante, per le quali la potenza mediamente dissipata compensa esattamente la potenza immessa attraverso la
forza esterna. Questo fenomeno è detto risonanza.
A seconda dei casi, la risonanza può avere effetti utili o dannosi.
10
■ Il Takoma Narrows Bridge è stato
distrutto dal vento che lo ha sollecitato
con frequenze molto vicine alla sua frequenza propria.
wordpress.com
Cabania / Shutterstock
■ La risonanza permette al padre di
mantenere in moto la bambina con una
piccola forza applicata con la stessa frequenza dell’altalena.
OscillaziOni e Onde meccaniche
13
4 Onde meccaniche
■ Durante un temporale le raffiche di
SVLuina / Shutterstock
vento muovono gli ombrelli: il moto di
traslazione dell’aria trasferisce energia
cinetica agli ombrelli.
Martin Fischer / Shutterstock
■ Il fragore di un tuono mette in movimento i nostri timpani, che non ricevono
energia da un «vento» d’aria che si sposta, ma da un’onda che si propaga per
kilometri.
L’aspetto distintivo di un’onda è proprio questo:
un’onda si propaga nello spazio, trasferendo energia ma non materia.
In tutti i momenti della nostra vita interagiamo con qualche tipo di onda. Attraverso
la vista e l’udito riceviamo segnali dal mondo esterno sotto forma di onde luminose
(luce) e onde sonore (suono).
Pur nella loro diversità, innumerevoli fenomeni naturali sono di tipo ondulatorio:
per esempio, le increspature del mare e i terremoti. L’analisi delle proprietà generali delle onde permette di comprendere le caratteristiche comuni di questi fenomeni.
Caratteristiche delle onde meccaniche
Prendiamo in considerazione le onde meccaniche, cioè le onde che si propagano in
un mezzo materiale. Le particelle del mezzo sono sottoposte a forze di richiamo, che
tendono a riportarle nella loro posizione di equilibrio quando se ne allontanano.
Per esaminare le caratteristiche delle onde, consideriamo un semplice modello di
mezzo materiale: una corda elastica formata da particelle connesse mediante molle.
■ Un agente esterno, detto anche sorgente, sposta alcune particelle dalla posizione
di equilibrio, creando una perturbazione.
forze di richiamo
11
Onde
■ Queste particelle tendono a tornare nella posizione di equilibrio per effetto delle forze di richiamo esercitate dalle particelle vicine. Per reazione, sulle particelle
vicine si esercitano forze che le allontanano dalle posizioni di equilibrio. In questo
modo la perturbazione si propaga nel mezzo.
direzione dell’accelerazione
della particella
■ Ogni particella oscilla attorno alla sua posizione di equilibrio, per cui il suo spostamento medio è nullo. Oscillando, però, la particella trasmette energia alle particelle successive: in questo modo l’energia si trasmette attraverso il mezzo.
direzione dello spostamento
della particella
direzione della propagazione
della perturbazione
Un’onda meccanica è una perturbazione della posizione dei punti del mezzo che
si propaga trasportando energia ma non materia.
Onde trasversali e onde longitudinali
Esistono due tipi fondamentali di onde meccaniche, che possiamo facilmente generare su una molla molto lunga appoggiata su un tavolo.
■ Spostiamo un estremo avanti e indietro in direzione perpendicolare alla molla: si
propaga una perturbazione formata da oscillazioni delle spire in direzione perpendicolare a quella della molla.
direzione dello
spostamento
direzione di propagazione
12
OscillaziOni e Onde meccaniche
13
■ Spostiamo un estremo avanti e indietro in direzione parallela alla molla: in questo
caso la perturbazione consiste in una serie di espansioni e compressioni delle spire
lungo la direzione della molla.
direzione dello
spostamento
direzione di propagazione
In generale si distinguono:
●
onde trasversali, quando le particelle del mezzo oscillano in direzione perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda;
●
onde longitudinali, quando le particelle del mezzo oscillano nella stessa direzione di propagazione dell’onda.
Per esempio le onde che si formano sulla corda di una chitarra sono trasversali,
mentre il suono è costituito da onde longitudinali.
I terremoti generano onde meccaniche, dette onde sismiche, che possono essere
trasversali oppure longitudinali e sono dette rispettivamente onde S e onde P, come
mostrano i disegni.
FISICA
QUOTIDIANA
Onde sismiche
Onde S
Onde P
cresta dell’onda
movimento di una particella
direzione di propagazione
Onde superficiali
Le onde si propagano sulla superficie dei liquidi sotto l’azione di due forze di richiamo: la tensione superficiale e la gravità.
13
Onde
■ Le onde marine sono onde di gravitˆ: la forza di
richiamo è dovuta prevalentemente alla gravità.
Massimo Romeni
Tatiana Grozetskaya / Shutterstock
■ Si formano onde capillari quando la forza di richiamo dominante è la tensione superficiale.
Le onde superficiali interessano solo uno strato di liquido al di sotto della superficie.
La loro descrizione è complessa perché si tratta di una sorta di combinazione di
onde trasversali e onde longitudinali.
Analizziamo il moto delle particelle del liquido nel caso di onde che si propagano
dove la profondità del liquido è molto maggiore della loro lunghezza d’onda (situazione di acque profonde).
La direzione della velocità v di una particella cambia nel tempo a seconda della
porzione d’onda in cui si trova.
v
direzione di propagazione
dell’onda
v
v
v
Questo accade perché i liquidi sono incomprimibili: le particelle si devono muovere
spostandosi su traiettorie non rettilinee. In prossimità della superficie queste traiettorie sono circonferenze.
v
14
OscillaziOni e Onde meccaniche
FISICA
QUOTIDIANA
Onde in spiaggia
Anjo Kan / Shutterstock
Korkut Kazcin / Shutterstock
Quando le onde si avvicinano alla costa, la profondità del mare diminuisce e il moto
delle particelle diventa molto più complesso perché viene influenzato dagli attriti
col fondale. Agli effetti dell’interazione delle particelle d’acqua col fondale si devono, per esempio, le ondine di sabbia che si formano in prossimità delle spiagge.
Inoltre quando il fondale è basso le parti più alte delle onde si muovono con velocità maggiore delle altre, con il risultato che le onde si «rompono» e si trasformano
nelle onde che vediamo in prossimità delle coste.
13
5 Dall’oscillazione delle particelle del mezzo
alla propagazione dell’onda
In un’onda bisogna distinguere due moti che coinvolgono le particelle del mezzo in
cui l’onda si propaga:
●
il moto globale di avanzamento dell’onda, che è l’effetto combinato dei moti
delle singole particelle del mezzo;
●
il moto locale di oscillazione di ciascuna particella del mezzo.
Per descrivere le caratteristiche di un’onda sono utili due diverse rappresentazioni:
la rappresentazione spaziale e la rappresentazione temporale.
Rappresentazione spaziale dell’onda
Ritrae il moto globale dell’onda: dà la forma dell’onda in un dato istante e corrisponde a una «fotografia» dell’onda.
λ
y
cresta
A
x
A
λ
ventre
In essa si distinguono:
●
●
l’ampiezza A dell’onda, cioè il massimo spostamento dalla posizione di equilibrio delle particelle del mezzo;
la lunghezza d’onda λ, cioè la distanza fra due punti identici e successivi
dell’onda, come per esempio due creste o due ventri: dopo una lunghezza uguale
a λ, l’onda si ripete identica.
15
Onde
Rappresentazione temporale dell’onda
Ritrae il moto locale di oscillazione: dà lo spostamento di una singola particella del
mezzo in funzione del tempo. In altri termini, è la legge oraria del moto di una particella del mezzo investita dall’onda.
T
y
A
t
A
In essa si distinguono:
●
l’ampiezza A dell’onda, cioè il massimo spostamento dalla posizione di equilibrio della particella;
●
il periodo T, che è l’intervallo di tempo in cui la particella compie un’oscillazione completa.
I grafici seguenti mettono a confronto le due rappresentazioni.
■ Rappresentazione temporale. La
legge oraria durante un’oscillazione
completa di una particella P del mezzo
a partire dalla posizione iniziale di coordinate x = 0 e y = A.
■ Rappresentazione spaziale. Fotografie della forma dell’onda in corrispondenza degli istanti di tempo indicati
nella legge oraria (a sinistra): notiamo
l’oscillazione della particella P sulla retta x = 0.
y
P
y
A
–14 T
–12 T
–34 T
Tt
y
A
–14 λ
–34 λ
λ x
y
t
y
A
P
x
y
t
x
P
y
y
A
t
y
A
P
x
y
P
t
16
–21 λ
x
OscillaziOni e Onde meccaniche
13
Notiamo nel grafico a destra che la cresta dell’onda, inizialmente in un punto con
ascissa x = 0, si trova in un punto con ascissa x = λ dopo un tempo T uguale al periodo con cui oscilla ogni particella del mezzo. Questo permette di determinare la
velocità di avanzamento dell’onda nel mezzo, detta anche velocità dell’onda:
λ
v=_
T
(12)
#velocitˆonda
Ricordando che la frequenza è legata al periodo dalla relazione f = 1/T si ha
v = λf
(13)
Le relazioni precedenti valgono per qualsiasi tipo di onda periodica.
6 La rappresentazione matematica
delle onde armoniche
Un’onda si dice armonica quando i punti del mezzo in cui l’onda si propaga si
muovono di moto armonico attorno alla posizione di equilibrio.
Una sorgente genera un’onda armonica su una corda quando ne muove una porzione
con moto armonico.
Supponiamo di muovere l’estremo di una corda, lungo un asse y perpendicolare a
essa, con moto armonico di ampiezza A e periodo T. All’istante t = 0 s la corda ha la
forma spaziale rappresentata in figura.
y
A
–14 λ
–12 λ
–34 λ
x
λ
In questo istante, l’equazione che lega lo spostamento y di un punto della corda alla
sua ascissa x è
2π
y(x) = A cos _ x
(λ )
(14)
A causa del transito dell’onda nel verso positivo dell’asse x, lo spostamento y di
ogni punto cambia anche col passare del tempo. Vogliamo determinare la relazione
che lega lo spostamento y sia al tempo t sia alla posizione x lungo la corda.
■ Considera la cresta dell’onda che nell’istante t = 0 si trova
nel punto di ascissa x(0). La
cresta si propaga con la velocità dell’onda v.
y
v
A
x (0)
x
17
Onde
■ Al tempo t la cresta si trova
nel punto di ascissa x(t) dopo
aver percorso una distanza vt.
Quindi
x(t) = x(0) + vt
v
y
vt
x (0)
x (t)
x
da cui
x(0) = x(t) − vt
La velocità dell’onda è legata alla lunghezza d’onda λ e al periodo T dalla relazione
v = λ/T, quindi
λ
x(0) = x(t) − _ t
T
Abbiamo ricavato questa relazione facendo riferimento al moto di una cresta dell’onda, ma lo stesso risultato vale per qualsiasi punto dell’onda del quale si segua lo
spostamento.
Sostituendo la precedente espressione per x(0) al posto della variabile x nell’equazione (14), che si riferisce all’istante t = 0, troviamo infine
#ondaarmonica
2π
λ
y(x, t) = A cos _ x − _ t
[ λ ( T )]
(15)
x t
y(x, t) = A cos 2π _ − _
[ (λ T ) ]
(16)
o, in modo equivalente,
L’argomento della funzione coseno è detto fase dell’onda.
DENTRO LA FORMULA
●
Se fissiamo un istante t, la (15) e la (16) forniscono la rappresentazione
spaziale dell’onda, cioè descrivono il profilo dell’onda in quell’istante.
●
Se fissiamo un punto x, la (15) e la (16) forniscono la rappresentazione
temporale dell’onda in quel punto, cioè stabiliscono la legge oraria con cui
il mezzo oscilla in quel punto.
Fronti d’onda
Nel caso di onde che si propagano in due o in tre dimensioni,
si dice fronte d’onda l’insieme dei punti dell’onda che hanno la stessa fase.
DONOT6_STUDIO / Shutterstock
In altri termini: in tutti i punti di un fronte d’onda la grandezza che oscilla nell’onda,
per esempio lo spostamento dalla posizione di equilibrio, assume lo stesso valore in
ogni istante.
Per esempio, le gocce di pioggia che cadono sulla superficie di una pozzanghera
generano onde i cui fronti d’onda sono circonferenze, mentre l’esplosione di un
fuoco d’artificio genera fronti d’onda che sono superfici sferiche. In entrambi i casi
si parla di onde sferiche e di fronti d’onda sferici.
18
OscillaziOni e Onde meccaniche
13
Allontanandosi dall’origine dell’onda, i fronti d’onda che giungono in una piccola
regione di spazio sono approssimabili con linee rette o piani. In queste situazioni si
parla di onde piane e di fronti d’onda piani.
ONDE SFERICHE
ONDE PIANE
fronti d’onda sferici
fronti d’onda piani
7 Onde su una corda
Molte delle caratteristiche delle onde meccaniche possono essere analizzate con un
semplice modello fisico: la corda elastica.
Velocitˆ di propagazione
La velocità con cui un’onda si propaga dipende dalle caratteristiche del mezzo. In
generale due fattori importanti sono:
●
la forza di richiamo: intensità maggiori danno luogo ad accelerazioni maggiori
delle particelle che oscillano e che trasmettono la perturbazione;
●
la massa degli elementi che oscillano: a parità di forza di richiamo masse maggiori subiscono accelerazioni minori e quindi oscillano più lentamente.
Nel caso di una corda, i fattori determinanti sono:
●
●
→
la tensione T della corda: se la corda è sottoposta a una grande tensione fra gli
elementi di essa si esercitano forze di richiamo molto intense; nel caso limite in
cui la tensione è nulla, sulla corda viene meno ogni forza di richiamo e quindi
non si propaga nessuna onda;
la densità lineare µ della corda, ossia la massa per unità di lunghezza: se un
piccolo elemento di corda ha una grande massa, la forza di richiamo lo accelera
poco; al contrario, se lo stesso elemento di corda ha una massa molto piccola, la
sua accelerazione è grande.
La velocità di propagazione v di un’onda trasversale su una corda con densità
lineare µ e sottoposta a una tensione T è
__
T
(17)
v= _
µ
√
#ondasucorda
19
Onde
PER ESEMPIO
Onde su una corda
Una corda con densità lineare 0,1 kg/m è sottoposta a una tensione di 80 N.
▶
Con quale velocità si propagano le onde sulla corda?
__
80 N
v = _ = 30 m/s
0,1 kg/m
√
La riflessione
Quando un’onda raggiunge un estremo della corda, essa si riflette, cioè inverte il
senso del moto e torna indietro. Le caratteristiche dell’onda riflessa cambiano se
l’estremo è fisso o libero di muoversi.
Consideriamo un impulso che viaggia lungo una corda.
■ Estremo fisso. Quando l’impulso arriva all’estremo fisso esercita una forza verso l’alto contro il gancio
cui la corda è fissata. Per reazione, il gancio esercita
una forza uguale e opposta che dà luogo a un impulso
riflesso invertito.
■ Estremo libero. L’estremo libero della corda è
messo in movimento dall’impulso. Quando ha raggiunto il massimo spostamento dalla posizione di
equilibrio, la forza di richiamo della corda lo sposta
verso la sua posizione di equilibrio. Si crea cosi un
impulso identico a quello incidente che viaggia però
in verso opposto.
Quando un’onda arriva sul punto di congiunzione di due tratti di corda diversi, in
parte viene riflessa e in parte viene trasmessa. Bisogna distinguere se l’onda proviene dal tratto di corda con densità lineare minore o maggiore.
20
OscillaziOni e Onde meccaniche
■ Quando l’impulso proviene dal tratto di corda
con densità lineare minore, l’impulso riflesso è invertito.
corda leggera
corda pesante
13
■ Quando l’impulso proviene dal tratto di corda con
densità lineare maggiore, l’impulso riflesso non è invertito.
corda pesante
corda leggera
impulso riflesso
impulso trasmesso
impulso riflesso
impulso trasmesso
L’impulso riflesso e quello trasmesso sono generati nello stesso intervallo di tempo.
Però la loro velocità aumenta al diminuire della densità lineare del tratto di corda su
cui si muovono. Questo spiega perché gli impulsi sul tratto di corda più leggero sono
più estesi.
Interferenza
Il fenomeno dell’interferenza si presenta quando due o più onde della stessa natura
attraversano la stessa regione nello stesso istante.
■ Consideriamo l’interferen-
za fra due impulsi che si propagano in verso opposto lungo una corda.
■ Nella zona in cui gli impulsi si sovrappongono, lo spostamento di ogni punto della
corda è la somma degli spostamenti provocati da ciascuno degli impulsi.
■ Dopo la sovrapposizione i
due impulsi si propagano invariati.
21
Onde
Akaiser / Shutterstock
Le caratteristiche viste nel caso di impulsi su una corda si presentano in tutti i tipi di onde che considereremo, per i quali vale quindi il principio di sovrapposizione:
nella regione in cui si sovrappongono due o più
onde, la perturbazione totale è la somma delle perturbazioni che ciascuna di esse produrrebbe da sola.
8 Onde stazionarie su una corda con estremi fissi
Consideriamo una corda con gli estremi fissi, come per esempio la corda di una
chitarra. Quando viene pizzicata si formano onde che si muovono in entrambi i versi e si riflettono avanti e indietro negli estremi. Le onde interferiscono tra loro dando
luogo a particolari configurazioni, dette onde stazionarie perché non si propagano
lungo la corda ma si ripetono con regolarità. Le fotografie mostrano tre onde stazionarie su una corda.
In un’onda stazionaria si distinguono:
#ondastazionaria
●
i nodi, cioè i punti stazionari che rimangono sempre fermi;
●
i ventri o antinodi, cioè i punti che oscillano con l’ampiezza massima.
f1
ventri
© Richard Megna / Fundamental Photographs
2f1
nodi
3f1
Gli estremi della corda sono fissi e quindi sono necessariamente nodi dell’onda stazionaria. La successione dei punti rossi mostra come varia nel tempo la posizione di
un punto della corda in corrispondenza del quale si forma un ventre.
Onde progressive e onde stazionarie
Le onde esaminate nei paragrafi precedenti sono perturbazioni che si propagano
sulla corda e per questo sono dette anche onde progressive. Al contrario, nel caso
22
OscillaziOni e Onde meccaniche
13
delle onde stazionarie non vi è alcuna propagazione. Questo implica che le onde
stazionarie non trasportano energia: l’energia fornita dalla sorgente esterna è accumulata nel moto di oscillazione dei punti della corda.
Nelle due sequenze sono visualizzati i profili di una corda in tre istanti successivi
(t = 0, t = T/4, t = T/2) nel caso di un’onda progressiva e di un’onda stazionaria.
■ Onda progressiva. I punti della corda oscillano
tutti con la stessa ampiezza ma con fasi diverse. I
fronti d’onda, come quello marcato con un pallino,
si muovono lungo la corda con la velocità dell’onda.
■ Onda stazionaria. I punti della corda oscillano tutti con la stessa fase ma con ampiezze differenti. La
corda oscilla in blocco in modo coordinato: su di essa
non c'è propagazione.
t=0
t=0
t = –14 T
t = –14 T
t = –12 T
t = –12 T
I modi normali di oscillazione
Le onde stazionarie su una corda sono dette anche modi normali di oscillazione
della corda. A ogni modo normale corrisponde una configurazione della corda, a
seconda del numero di nodi. La lunghezza d’onda λ di un modo normale è il doppio
della distanza fra due nodi successivi.
Per determinare la serie armonica della corda, cioè l’insieme delle lunghezze d’onda e delle frequenze dei suoi modi normali, osserviamo che ogni modo normale
deve avere due nodi in corrispondenza degli estremi fissi della corda.
■ Il primo modo normale ha due
soli nodi negli estremi della corda:
■ Il secondo modo normale ha tre
nodi:
■ Il terzo modo normale ha quattro nodi:
λ1 = 2L
λ2 = L
2
λ3 = _ L
3
λ1 = 2L
λ2 = L
λ3 = –23 L
L
23
Onde
#ondastazionaria
Le lunghezze d’onda dei modi normali di una corda di lunghezza L sono:
2L
n = 1, 2, 3, ...
λn = _
n
(18)
La lunghezza d’onda e la frequenza di un’onda sono legate dalla relazione (13), per cui
v
f=_
λ
dove v è la velocità di propagazione delle onde sulla corda.
Le frequenze dei modi normali di una corda di lunghezza L sono
v
n = 1, 2, 3, ...
fn = n _
2L
(19)
Per n = 1 si ha la frequenza naturale o prima armonica della corda:
__
v _
1 _
F
_
=
f1 =
2L 2L µ
√
per n = 2 la seconda armonica e così via.
PER ESEMPIO
La voce del violino
Una corda di violino è lunga 33 cm e ha una densità lineare di 0,38 g/m. La
corda è sottoposta a una tensione di 72 N.
▶
Qual è la sua frequenza naturale?
__
1 _
F _
1
_
f1 =
=
2L µ 2 (0,33 m)
√
____
72 N
_____
= 660 Hz
3,8 · 10−4 kg
√
Modi normali e risonanza
Le frequenze dei modi normali della corda si chiamano anche frequenze di risonanza perché sono le frequenze naturali a cui oscilla la corda.
Dopo essere stata pizzicata al centro, la corda di una chitarra oscilla con grande
ampiezza alla prima armonica e con ampiezza più piccola alle armoniche superiori.
Come una corda, ogni oggetto rigido ha modi normali di vibrazione, con frequenze
che dipendono dalla forma e dal materiale di cui è fatto. Quando sul corpo agisce
una forza periodica con la frequenza uguale a quella di un suo modo normale, il
corpo oscilla con moti di grande ampiezza.
FISICA
QUOTIDIANA
Vibrazioni a bordo
Questo spiega per esempio le rumorose vibrazioni su un autobus alla fermata: il
motore mette in oscillazione la struttura metallica dell’autobus con frequenza prossima a quella di un modo normale della struttura. Si realizza in questo caso un grande trasferimento di energia dal motore alla carrozzeria dell’autobus. Quando l’autobus riparte, il motore cambia il numero di giri e la sua frequenza si allontana da
quelle di risonanza: il trasferimento netto di energia fra motore e carrozzeria diventa trascurabile.
➜ PROBLEMA SU PIÙ CONCETTI La frequenza naturale di una corda • pag. 33
#ondastazionaria #ondasucorda
24
Oscillazioni e onde meccaniche
LE FORMULE
Oscillatore armonico
Onde meccaniche
■ Pulsazione
■ Velocità
costante elastica
della molla (n/m)
ω=
lunghezza d’onda
__
k _
2π
_
=
m
T
√
massa dell’oscillatore
λ
v = λf = _
T
periodo
periodo
frequenza
■ Onde armoniche
■ Periodo
ampiezza
__
m
T = 2π _
k
√
2π
λ
y(x, t) = A cos _ x − _ t
[ λ ( T )]
spostamento dall’equilibrio
■ Frequenza
1
f=_
2π
__
k
_
m
√
Onde su una corda
■ Velocità
■ Accelerazione
v=
k→
→
a = − ___ x = − ω2 x
m
→
__
T
_
µ
√
tensione
della corda
densità lineare (kg/m)
■ Legge oraria
■ Lunghezze d’onda dei modi normali
ampiezza
__
k
_
x = A cos
t
( m )
√
■ Energia totale
1
1
E = K + U = _ mv2 + _ k x2
2
2
lunghezza della corda
2L
λn = _
n
n = 1, 2, 3, ...
■ Frequenze dei modi normali
v
fn = n _
2L
n = 1, 2, 3, ...
25
13
ESERCIZI
ONLINE
Mettiti alla prova
con 20 esercizi interattivi
1 Oscillazioni armoniche
1
La fase REM del sonno è caratterizzata da oscillazioni dell’attività elettrica del cervello (dette
onde θ) di frequenza compresa tra 4 Hz e 8 Hz.
▶ Tra quali valori è compreso il periodo?
2
1
[Tra 0,13 s e 0,25 s]
2
3
Un moto armonico è descritto dall’espressione
x(t) = (4 m) cos [(5,00 s−1) t] in cui sono sottintese
le unità di misura: x in metri e t in secondi.
▶ Calcola il periodo dell’oscillazione.
[1,26 s]
Considera un moto armonico con velocità iniziale nulla, ampiezza 30,0 cm e frequenza 25,0 Hz.
▶ Scrivi l’espressione del moto.
[x(t) = (0,300 m) cos [(157 s−1) t]]
4
LEGGI IL GRAFICO Il grafico rappresenta la legge
oraria di un corpo che oscilla con moto armonico.
5
PROBLEMA
x (m)
0
t (s)
0
1
2
3
4
5
–1
–2
▶
▶
▶
Stima l’ampiezza e il periodo dell’oscillazione.
Calcola la frequenza e la pulsazione.
Determina il modulo dell’accelerazione
– all’istante t = 2 s;
– all’istante t = 3 s;
– quando il corpo transita per x = 0 m.
[1,5 m, 2,0 s; 0,50 Hz, 3,1 rad/s; −14 m/s2, 14 m/s2, 0 m/s2]
Un beccheggio armonico
#motoarmonico
Una nave viaggia prendendo le onde di prua e ha un moto di beccheggio verticale assimilabile a un moto
armonico. Tra un’onda e l’altra passano 7,0 s, mentre la prua della nave si sposta in tutto di 3,0 m.
▶ Determina la legge oraria del moto verticale della prua.
▶ Quanto vale la sua accelerazione verticale massima?
La situaziOne fisica e iL mOdeLLO
Siamo interessati solo al moto verticale, dovuto al beccheggio. Trascuriamo quindi il moto orizzontale
della nave. Nel caso di un moto armonico descritto dalla legge (6)
→
→
a = − ω2 x
se all’istante t = 0 la velocità è nulla e x = A, allora per la (7) la legge oraria è
x = A cos (ωt)
La risOLuziOne
1. L’ampiezza A è la metà dello spostamento
complessivo ∆s della prua:
∆s
A=_
2
2. La pulsazione è inversamente proporzionale al
periodo:
2π
ω=_
T
3. La legge oraria è x = A cos (ωt), ossia
∆s
2π
x = _ cos _ t
(T )
2
26
4. L’accelerazione massima (verso l’alto quando
la prua è nel punto più basso e verso il basso
quando la prua è nel punto più alto) è
proporzionale al quadrato della pulsazione:
a max = ω2A
quindi risulta
2
2π ∆s 2 π2
amax = _ _ = ____
∆s
(T) 2
T2
OSCILLAZIONI E ONDE MECCANICHE
i dati e iL risuLtatO
T = 7,0 s
∆s = 3,0 m
13
3,0 m
2π
x = _ cos _ t = (1,5 m) cos[ (0,90 s−1) t ]
(7,0 s )
2
2π2
a max = ___2 (3,0 m) = 1,2 m/s2
(7,0 s)
ha sensO?
La sensazione di mal di mare è dovuta anche alle accelerazioni verticali dovute al beccheggio. Tali
accelerazioni hanno valori piuttosto rilevanti, come dimostra il risultato.
6
PROBLEMA SIMILE
Considera la situazione del problema precedente. Il moto ondoso cambia e le onde dimezzano il periodo,
mentre lo spostamento totale della prua durante ogni oscillazione diventa 5,5 m.
▶ Calcola l’accelerazione verticale massima della prua.
[8,9 m/s2]
7
Un oggetto sta effettuando oscillazioni armoniche. Quando si trova a 5,0 cm dalla posizione di
equilibrio l’oggetto è accelerato con a = 10 m/s2.
▶ Calcola l’accelerazione quando l’oggetto si
trova a 8,0 cm dalla posizione di equilibrio.
12
qUESItO tROVA IL MODELLO Un nastro reagisce a una torsione di un angolo θ con un momento di forza M proporzionale a θ: M = − kθ. La
costante k (N·m/rad), analoga a quella di una
molla, dipende dalle caratteristiche del
nastro. Al nastro si
appende un oggetto
che ha un momento
d’inerzia I.
▶ Dimostra che le
oscillazioni hanno una pulsazio_
ne ω = √k/I .
13
Un galleggiante è formato da un lungo cilindro di
materiale a bassa densità di sezione A = 4,0 cm2,
appesantito da una sfera di metallo in modo che
galleggi mantenendosi verticale. L’oggetto ha
una massa m = 180 g ed è immerso in acqua
(dH O = 1,00 g/cm3). Se lo immergi un poco e lo
lasci andare, il galleggiante effettuerà alcune
oscillazioni.
▶ Calcola il periodo di queste oscillazioni.
[16 m/s2]
8
Un oggetto attaccato a una molla di costante
k = 300 N/m effettua un moto armonico di periodo T = 0,26 s.
▶ Determina la massa dell’oggetto.
[0,51 kg]
9
La legge oraria di un oscillatore armonico è
x = (1,2 m) cos[ (35 s−1) t ]
▶
▶
Qual è la posizione x nell’istante t = 7,1 s.
E dopo 3,1 periodi dall’istante iniziale?
[−1,1 m; 0,97 m]
10
qUESItO ARGOMENtA Un oggetto appeso a
una molla molto leggera produce un allungamento ∆l.
▶ Dimostra che quell’oggetto attaccato alla molla oscillerà con frequenza
_
√ g/∆l
____
f=
2π
2
[T = 1,3 s]
indipendentemente dalla sua massa.
0
11
Una persona di 80 kg sale su un’automobile di
massa 1200 kg e provoca un accorciamento delle
sospensioni di 3,0 cm. Gli ammortizzatori
dell’auto sono fuori uso.
▶ Con quale frequenza oscillano l’auto e il passeggero?
[0,72 Hz]
x
F
27
ESERCIZI
14
Un tubo a U di sezione A = 1,6 cm2 contiene 100 g di mercurio (densità
13,6 g/cm3). Se sposti il mercurio dalla posizione di equilibrio di un
piccolo tratto x e lasci andare, il mercurio oscillerà su e giù. Trascura gli
attriti.
▶ Quanto vale il periodo di queste oscillazioni?
▶ Se il tubo è di sezione costante e la lunghezza del mercurio nel tubo è
L, mostra che il periodo è
__
2L
T=π _
g
[T = 0,30 s]
x
0
F
√
2 energia e oscillazioni armoniche
15
Le sospensioni di una moto equivalgono a un’unica molla con k = 8 · 104 N/m e oscillano con una
ampiezza massima di 7 cm.
▶ Quanto vale l’energia totale?
[2 · 102 J]
16
Un oggetto di massa m = 0,82 kg è attaccato a
una molla di costante elastica k = 44 N/m e sta
oscillando con ampiezza A = 0,30 m.
▶ Quanto vale l’energia totale del sistema?
▶ Qual è la velocità massima dell’oggetto?
[2,0 J; 2,2 m/s]
17
PROBLEMA
L’ampiezza dell’oscillazione
#motoarmonico
Un oscillatore armonico oscilla con una frequenza f = 0,35 Hz. Nell’istante in cui esso si trova nella posizione x = 4,2 cm rispetto alla posizione di equilibrio, la sua velocità ha modulo v = 0,15 m/s.
▶ Calcola l’ampiezza A del moto.
La situaziOne fisica e iL mOdeLLO
Come conseguenza della conservazione dell’energia meccanica dell’oscillatore, la velocità
dell’oscillatore può essere espressa in funzione della sua posizione e dell’ampiezza delle oscillazioni.
A partire dalla relazione trovata, si determina l’ampiezza del moto.
La risOLuziOne
1. La relazione tra velocità v, posizione x e
ampiezza A è
_________
_________ _________
k 2
k
2
_
v=
A − x ) = _ √ A2 − x2 =
(
m
m
√
√
2. Esplicitiamo l’ampiezza del moto oscillatorio:
_________
_________
v
v = 2πf √ A2 − x2 ⇒ _ = √ A2 − x2 ⇒
2πf
2
v
A2 − x2 = _
(2πf )
_________
_________
= ω √ A2 − x2 = 2πf √ A2 − x2
A=
i dati e iL risuLtatO
v = 0,15 m/s
f = 0,35 Hz
x = 4,2 cm = 0,042 m
18
A=
_
2
v
_
+ x2
(2πf )
√
______________
2
0,15 m/s
___________
+ (0,042 m)2 = 8,0 cm
(2π (0,35 Hz))
√
PROBLEMA SIMILE
Durante il moto, l’oscillatore raggiunge una velocità di modulo 0,11 m/s.
▶ In quale posizione si trova?
28
⇒
[±6,2 cm]
13
OSCILLAZIONI E ONDE MECCANICHE
19
Un oscillatore armonico di massa 25 g è soggetto
a una molla avente costante elastica 0,012 N/m.
L’oscillatore si trova inizialmente fermo nella
posizione 4,3 cm. Considera il punto P che dista
dalla posizione di equilibrio A/4, dove A è l’ampiezza del moto.
▶ Calcola il modulo della velocità della massa
quando transita per P.
[2,9 cm/s]
20
Un oscillatore armonico oscilla con un periodo
di 1,7 s. La sua velocità massima è 8,6 cm/s.
▶ Qual è l’ampiezza del moto?
▶ Qual è la distanza dalla posizione di equilibrio
in cui esso possiede una velocità di 4,1 cm/s?
23
√
24
[2,3 cm; 2,0 cm]
21
22
qUESItO ARGOMENtA Un oscillatore armonico con massa m e molla di costante elastica k
viene portato a una distanza A dalla posizione di
equilibrio e poi lasciato libero.
▶ Dimostra che il modulo della velocità dipende
dallo spostamento x secondo la legge seguente:
_____
x2
v = vmax 1 − __2
A
DISEGNA IL GRAFICO Considera un oscillatore
armonico il cui periodo di oscillazione è 1,0 s e
la cui ampiezza di oscillazione è 10 cm. La posizione iniziale dell’oscillatore è x = 10 cm.
▶ Calcola la velocità massima dell’oscillatore.
▶ Traccia il grafico della velocità dell’oscillatore in m/s facendo variare il tempo tra 0,00 s e
1,00 s con incrementi di 0,05 s. Considera che
nel primo semiperiodo la velocità deve essere negativa, mentre nel secondo semiperiodo
essa è positiva.
[0,63 m/s]
Un cilindro di massa m e raggio r è collegato a
una molla orizzontale di costante elastica k come
illustrato nella figura. Il cilindro oscilla intorno
alla posizione di equilibrio della molla, rotolando senza strisciare sul piano orizzontale di appoggio. Indica con v la velocità del centro di
massa del cilindro e con x la sua posizione rispetto alla posizione di equilibrio della molla. Il momento di inerzia del cilindro è
1
I = _ m r2
2
▶
▶
Un oggetto di massa m = 0,75 kg è attaccato a
una molla di costante elastica k = 120 N/m ed è
fermo. Viene poi colpito e gli viene impressa una
velocità iniziale v0 = 2,4 m/s.
▶ Calcola l’ampiezza dell’oscillazione di questo
oggetto.
[19 cm]
Determina l’espressione dell’energia cinetica
complessiva del cilindro.
Confrontando tale espressione con quella
dell’oscillatore armonico, ricava l’espressione
della pulsazione del moto.
k
m
r
3 Oscillazioni in presenza di attrito
Un corpo di massa 100 g è soggetto a una forza
di attrito di 0,01 N quando si muove in un fluido
a 1 cm/s.
▶ Calcola il valore della costante γ.
[10 s−1]
26
Un oscillatore armonico smorzato con una massa
di 235 g è soggetto a una forza di attrito caratterizzata da una costante γ = 2,2 s−1.
▶ Qual è la forza di attrito che agisce sull’oscillatore quando la sua velocità è 2,8 cm/s?
[0,014 N]
27
Un corpo di massa 230 g si muove sotto l’azione
di una molla con costante elastica 0,45 N/m. La
forza di attrito che agisce sul corpo ha modulo direttamente proporzionale a quello della velocità
con costante di proporzionalità β = 0,017 N·s/m.
Il corpo è inizialmente fermo lontano dalla posizione di equilibrio.
▶ Verifica che si ha uno smorzamento sottocritico.
28
qUESItO LEGGI IL GRAFICO Il grafico rappresenta un’oscillazione fortemente sottosmorzata.
25
20
15
10
5
0
0
–5
–10
–15
–20
x (cm)
25
0,1
0,4
0,6
0,8
1,0
t (s)
29
ESERCIZI
Determina i parametri A e ω dell’oscillazione.
La legge oraria del corpo è
▶
dove
ω′ =
γ
−_t
2
x = A e cos (ω′t)
▶
_____
γ2
ω2 − __ =
4
√
________
2
k _1 _
β
_
−
<ω
m 4 (m)
√
Determina il valore del parametro γ.
[20 cm; 25 s−1; 2 s−1]
4 Onde meccaniche
5 dall’oscillazione delle particelle del mezzo alla propagazione dell’onda
29
▶
▶
Un tamburello colpisce una pallina.
Le onde meccaniche che si generano sulla superficie del tamburello sono longitudinali o
trasversali?
34
qUESItO ARGOMENtA Un tuo amico sostiene
che le particelle del mezzo in cui si propaga
un’onda longitudinale si muovono con la legge
x = At.
▶ Ha ragione? Motiva la risposta.
DISEGNA IL GRAFICO Considera la situazione
illustrata nel precedente quesito.
▶ Adottando una scala opportuna, traccia il grafico dell’andamento temporale dell’onda in un
punto fissato.
35
LEGGI IL GRAFICO Il grafico seguente è la rappresentazione temporale del moto di un punto di
una corda sulla quale si propaga un’onda elastica
con velocità 35 m/s.
▶
30
31
Per «vedere» al buio, un pipistrello emette onde
sonore con lunghezza d’onda di circa 3 mm. Le
onde sonore viaggiano nell’aria a 340 m/s.
▶ Qual è la frequenza delle onde?
[100 kHz]
Qual è l’ampiezza dell’onda?
Qual è la frequenza dell’onda?
2,0 y (cm)
1,0
Kirsanov / Shutterstock
32
33
La velocità del suono in aria è 340 m/s, mentre in
acqua è 1440 m/s. Il do medio è una nota con una
frequenza di 262 Hz.
▶ Calcola il valore della lunghezza d’onda di
questa nota quando si propaga in aria e quando si propaga in acqua.
[1,30 m; 5,50 m]
LEGGI IL GRAFICO Il grafico seguente è la rappresentazione spaziale nell’istante t = 1,2 s di
un’onda trasversale che si propaga su una corda
con velocità 11 m/s.
4,0
0
1,5
2,0
2,5
3,0
▶
▶
Qual è l’ampiezza dell’onda?
Qual è la lunghezza d’onda?
36
DISEGNA IL GRAFICO Considera la situazione
illustrata nell’esercizio precedente.
▶ Adottando una scala opportuna, traccia il grafico dell’andamento spaziale dell’onda trasversale in un istante fissato.
37
Una sbarra di alluminio lunga 2,5 m sollecitata
con una vibrazione a 15 kHz contiene 6,0 lunghezze d’onda.
▶ Calcola la velocità del suono nell’alluminio.
[6300 m/s]
x (m)
0
30
1,0
–2,0
y (cm)
0
–4,0
0,5
–1,0
2,0
–2,0
t (ms)
0
0,5
1,0
1,5
2,0
38
Una corda è attraversata da un’onda per cui in un
intervallo di tempo di 14 s sono contenute 11
oscillazioni. La velocità dell’onda lungo la corda è
di 22 m/s, mentre la lunghezza della corda è 35 m.
▶ Quante lunghezze d’onda contiene la corda?
[1,25]
OSCILLAZIONI E ONDE MECCANICHE
39
A pressione ambiente, la velocità del suono in
aria dipende dalla temperatura assoluta secondo
la relazione
_____________
v = √[ 402 m2/(s2·K) ]T
40
La nota mi che si trova sopra al do centrale ha
frequenza 330 Hz.
▶ Calcola la variazione della lunghezza d’onda
del mi in aria tra −50,0 °C e 50,0 °C. [18 cm]
13
qUESItO FAI UN’IPOtESI La velocità di un’onda meccanica è influenzata dalle proprietà del
mezzo in cui si propaga, come per esempio la
densità.
▶ La velocità di propagazione di un’onda meccanica aumenta o diminuisce all’aumentare
della densità del mezzo?
6 La rappresentazione matematica delle onde armoniche
41
Un’onda trasversale di ampiezza A = 150 μm si
propaga alla velocità v = 5100 m/s. L’onda ha
frequenza f = 35 Hz.
▶ Determina l’espressione matematica dell’onda nell’ipotesi che essa sia approssimativamente un’onda armonica.
42
L’espressione analitica di un’onda è
y = A cos [(20 m−1) x − (6800 rad/s) t]
▶ Determina la frequenza, la lunghezza d’onda e
la velocità dell’onda.
[1,08 kHz; 31,4 cm; 340 m/s]
[y = (150 μm) cos [(0,043 m ) x − (220 rad/s) t]]
−1
43
LEGGI IL GRAFICO I grafici che seguono sono le rappresentazioni spaziale e temporale di un’onda armonica.
▶
Scrivi l’equazione dell’onda armonica.
2
y
1,5
2
y
1,5
1
1
0,5
0,5
0
44
x (m)
0 0,05
0,1 0,15
0,2
0,25
0,3
0
–0,5
–0,5
–1
–1
–1,5
–1,5
–2
–2
t (s)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
L’espressione analitica di un’onda è
y (x, t) = (0,44 m) cos [(2,4 m−1) x − (13 rad/s) t]
Supponi che l’origine x = 0 m dell’asse x venga traslata verso sinistra di ∆x = λ/8.
Determina la nuova espressione y (x, t) dell’onda.
▶
7 Onde su una corda
45
La corda del la normale (440 Hz) del pianoforte
è lunga circa 40 cm e ha una massa lineare di
circa 5 g/m. Su di essa le onde si propagano a
circa 350 m/s.
▶ Quanto vale la tensione della corda?
[600 N]
46
Una corda d’acciaio è lunga 1,5 m e ha massa
6,6 g. Su di essa un impulso si propaga a
300 m/s.
▶ A quale tensione è sottoposta la corda?
[400 N]
31
ESERCIZI
47
Un’onda si muove a 180 m/s su una corda tesa.
Se ne aumenta la tensione del 50%.
▶ Con quale velocità si muove ora un’onda sulla
corda?
[220 m/s]
48
Un pesce di massa 2 kg è appena stato pescato
con una lenza che ha una densità lineare di 2 g/m.
▶ Qual è la velocità di un’onda sulla lenza?
[99 m/s]
49
50
Un filo d’acciaio (densità 7500 kg/m3) ha sezione 1,6 mm2. L’acciaio inox ha un carico di rottura
di circa 1 kN/mm2.
▶ A quale tensione deve essere sottoposto per
far sì che un’onda si muova a 300 m/s?
▶ Riesce a reggere tale tensione senza spezzarsi?
[1,1 kN]
53
La tensione massima cui può essere sottoposta
una corda di nylon è 80 N/mm2. La densità del
nylon è 1,14 g/cm3. Una corda tesa al limite della
rottura è percorsa da un’onda la cui lunghezza
d’onda è 75 cm.
▶ Determina la frequenza dell’onda.
[350 Hz]
54
Un’onda di equazione y = A cos (ax − bt), in cui
a = 35 m−1 e b = 450 s−1, si propaga su una corda
di lunghezza L = 2,3 m e di massa m = 40 g.
▶ Calcola la tensione T della corda.
[2,9 N]
55
Una corda di massa 350 g e lunghezza 31 m è
sottoposta a una tensione di 18 N. La corda comprende nella sua lunghezza 34 lunghezze d’onda
di un’onda che si propaga lungo di essa. Ogni
punto della corda si sposta in tutto di 3,0 mm.
▶ Determina l’equazione dell’onda.
Due corde d’acciaio, una di diametro 0,6 mm e
l’altra di diametro 0,8 mm, sono sottoposte alla
stessa tensione T. Sulla corda più sottile un’onda
viaggia a 200 m/s.
▶ A quale velocità viaggia un’onda sulla corda
più spessa?
[150 m/s]
qUESItO FAI UN’IPOtESI Due fili sono fatti
dello stesso materiale e hanno lo stesso diametro.
Il secondo filo ha lunghezza doppia rispetto al
primo. Un’onda impiega lo stesso tempo per propagarsi lungo di essi.
▶ Com’è possibile?
51
52
Un’onda si propaga lungo un filo di rame (densità 8920 kg/m3) di diametro d = 1,0 mm sottoposto a una tensione T = 95 N.
▶ Qual è la velocità v dell’onda?
[120 m/s]
[y = (1,5 mm) cos [(6,9 m−1) x − (280 s−1) t]
8 Onde stazionarie su una corda con estremi fissi
Una corda di pianoforte è lunga 1,0 m. Su di essa
un’onda viaggia a 340 m/s.
▶ Qual è la frequenza naturale della corda?
[170 Hz]
32
57
Secondo la Teoria delle stringhe, alla base del
nostro Universo ci sono le cosiddette stringhe,
cioè oggetti che possono essere descritti come
corde con una lunghezza dell’ordine di 10−35 m.
Un’oscillazione su questa stringa si propaga alla
velocità della luce (3 · 108 m/s).
▶ Qual è l’ordine di grandezza della frequenza
naturale della stringa?
[1043 Hz]
58
Una corda di chitarra ha la prima armonica a
196 Hz.
▶ Quali sono le frequenze delle successive tre
armoniche?
[392 Hz; 588 Hz; 784 Hz]
59
Una corda A di chitarra ha la prima armonica a
196 Hz, mentre una seconda corda B ha la prima
armonica a 294 Hz.
▶ Le due corde hanno delle armoniche uguali?
60
La corda sol di un violino è lunga 30,0 cm.
Se viene posta in vibrazione con l’arco, senza
premerla con le dita (nel linguaggio musicale si
dice che viene suonata «a vuoto»), essa vibra a
196 Hz. Le note immediatamente più alte sulla
scala sono il la, a 220 Hz, il si, a 247 Hz, il do, a
262 Hz, e il re, a 294 Hz.
▶ A quale distanza dall’estremità della corda
bisogna premere col dito per suonare queste
note?
[3,3 cm; 6,2 cm; 7,6 cm; 10,0 cm]
Silver-John / Shutterstock
56
OSCILLAZIONI E ONDE MECCANICHE
61
62
▶
A quale modo n corrisponde l’onda stazionaria?
La tensione della corda viene aumentata di 9 volte facendo in modo che la frequenza di oscillazione sia sempre la stessa.
▶ Disegna la nuova onda stazionaria presente sulla corda giustificando il ragionamento
svolto.
qUESItO ARGOMENtA Su una corda tesa tra
due punti fissi è presente l’onda stazionaria indicata nella figura.
PROBLEMA SU PIÙ CONCEttI
13
La frequenza naturale di una corda
#ondastazionaria #ondasucorda
Una corda d’acciaio (densità 7,87 kg/dm3) è lunga 50 cm e ha diametro 0,82 mm. La corda è fissata agli
estremi e tesa con una forza T = 600 N.
▶ Determina la frequenza naturale della corda.
La situaziOne fisica e iL mOdeLLO
Su una corda lunga L, con massa per unità di lunghezza μ = m/L e tesa con una forza T agli estremi,
si stabilisce un’onda stazionaria che vibra con frequenze multiple intere della frequenza naturale f1:
__
1 _
T
_
f1 =
2L μ
√
La risOLuziOne
1. Note le dimensioni e la densità ρ della corda,
determiniamo la sua massa lineare osservando che
la corda è un cilindro, la cui sezione è un cerchio:
m Vρ ALρ
μ = _ = _ = _ = Aρ
L L
L
essendo
d2
A = π __
4
63
Una corda viene tesa tra due punti fissi che si trovano a una distanza di 45 cm. La tensione della
corda corrisponde al peso di una massa di 3,1 kg.
La frequenza naturale della corda è 93 Hz.
▶ Calcola la massa della corda.
[2,0 g]
64
Due corde hanno la stessa lunghezza, sono fatte
dello stesso materiale e sono sottoposte alla stessa tensione. La seconda corda ha una frequenza
naturale che coincide con la terza armonica della
prima corda. La prima corda ha un diametro di
1,2 mm.
▶ Qual è il diametro della seconda corda?
risulta
d2
μ = π __ ρ
4
2. La frequenza naturale f1 è quindi
__
_____
_____
1 _
T _
1 _
T
1
T
_
_
_
f1 =
=
=
= 380 Hz
2
2L μ 2L
Ld
πρ
d
π __ ρ
4
√
√
√
maggiore del 50% di quella della prima corda.
▶ Qual è la frequenza naturale della seconda
corda?
[416 Hz]
66
PROVA ESPERtA È possibile avere una corda
vibrante con solo un estremo fissato utilizzando
un filo leggero per tenere in tensione l’altro estremo (figura). Una corda fissata in questo modo
oscilla in modo stazionario con un massimo
corda
filo leggero
[0,40 mm]
65
Due corde hanno la stessa lunghezza. La prima
corda ha una frequenza naturale di 340 Hz. La
seconda corda è soggetta a una tensione che è
33
ESERCIZI
(cioè un antinodo) nel punto in cui è legata al
filo. Sia L la lunghezza della corda e v la velocità
dell’onda sulla corda.
▶ ARGOMENtA Dimostra che la frequenza naturale è
v
f1 = ___
4L
▶ FAI UN’IPOtESI Determina la formula delle
frequenze fn di tutti i modi normali.
Supponi che la corda sia fissata a entrambi gli
estremi tramite due fili leggeri che la tengono in
tensione.
▶ DISEGNA IL GRAFICO Disegna le onde stazionarie relative a primi due modi normali.
▶ FAI UN’IPOtESI Determina la formula delle
frequenze f n dei modi normali della corda.
[ fn = nv/(4L), n = 1, 3, 5;
f n = nv/(2L), n = 1, 2, 3, ...]
PROBLEMI FINALI
67
te k1 = 12 N/m e k 2 = 18 N/m. Nella situazione
raffigurata la massa è nella posizione di equilibrio. Successivamente si sposta la massa fuori
dall’equilibrio e la si lascia andare.
▶ Dimostra che la massa compie oscillazioni armoniche.
▶ Calcola il periodo del moto armonico. [0,61 s]
Risonanza a bordo
Le sospensioni di un’automobile hanno una costante elastica di circa 105 N/m.
▶ Stima la frequenza propria, nella direzione
verticale, di un’automobile.
[2 Hz]
68
Possibile?
Con due masse uguali e quattro molle identiche
aventi costante elastica k si formano i due oscillatori armonici raffigurati.
▶ Uno dei due oscillatori ha periodo doppio
dell’altro. Quale?
k
k
70
Com’è profondo il mare
In mare aperto la lunghezza d’onda dei marosi è
minore della profondità dell’acqua. In questa situazione la velocità v con cui le onde si propagano dipende dalla loro lunghezza d’onda λ e si
dimostra che
__
gλ
v= _
2π
√
k
▶
k
▶
M
71
M
69
Uno strano oscillatore. Sarà armonico?
Un oscillatore è formato da una massa m = 280 g
e da due molle di costante elastica rispettivamen-
Verifica che le dimensioni al secondo membro
sono quelle di una velocità.
Calcola la velocità di propagazione di un’onda
con λ = 25 m.
[6,2 m/s]
Onde in acque poco profonde
In prossimità di una spiaggia, le onde del mare
hanno lunghezze d’onda che sono maggiori o
uguali alla profondità h dell’acqua. In queste situazioni le onde si propagano con una velocità
_
v = √ gh
dove g è l’accelerazione di gravità.
k1
m
34
Massimo Romeni
k2
OSCILLAZIONI E ONDE MECCANICHE
▶
72
Verifica la coerenza dimensionale della formula.
Calcola la velocità con cui si propagano le
onde a 100 m dalla spiaggia (h = 10 m) e vicino alla battigia (h = 0,5 m).
[9,9 m/s; 2,2 m/s]
0,7
0,6
0,5
v (m/s)
▶
Onde di gravità e onde di capillarità
Sulla superficie di un liquido si propagano due
tipi di onde: le usuali onde, in cui la forza di richiamo è la gravità, e le increspature, dovute a
effetti di tensione superficiale, dette anche onde
di capillarità. Nel caso di onde che hanno lunghezza d’onda λ minore della profondità h del
liquido, la velocità v di propagazione è data da
due contributi: uno legato all’attrazione gravitazionale e uno alla tensione superficiale γ del liquido.
__
gλ 2πγ
v= _+_
2π ρλ
0
▶
73
La minima velocità
delle onde superficiali
Sulla superficie di un liquido non si possono propagare onde con lunghezza d’onda minore di un
valore critico λ c che dipende dalle caratteristiche
del liquido. Per verificarlo osserva il grafico all’inizio della colonna seguente. In rosso è rappresentata la legge con cui varia la velocità vcap, di
un’onda capillare in funzione di λ, mentre in blu
è rappresentata la legge con cui varia la velocità
vgra di un’onda di gravità in funzione di λ:
__
__
2πγ
gλ
_
vcap =
vgra = _
ρλ
2π
√
√
onde di gravità
onde capillari
0
0,03
0,06
0,09
λ (m)
0,12
0,15
Traccia l’andamento qualitativo della funzione
__
gλ 2πγ
v= _+_
2π ρλ
√
▶
▶
Imposta un foglio elettronico per tracciare il
grafico esatto.
Verifica che il valore minimo vc si ottiene per
__
γ
λc = 2π _
ρg
√
√
▶
0,3
0,1
Per l’acqua di mare a 20 °C si ha γ = 7,2 · 10−2
N/m e ρ = 1,03 · 103 kg/m3.
▶ Verifica che gli effetti della gravità e quelli
della tensione superficiale sono uguali quando
la lunghezza d’onda assume il valore critico
__
γ
λ c = 2π _
ρg
Determina il valore di λ c nel caso dell’acqua
di mare.
Calcola la velocità vc con cui si propagano
sulla superficie del mare onde con lunghezza
d’onda λ c.
[1,7 · 10−2 m; 2,3 · 10−1 m/s]
0,4
0,2
√
▶
13
▶
74
Spiega per quale motivo il vento sul mare non
provoca onde quando ha una velocità minore
di 23 cm/s.
Due molle... un moto
Una pallina di massa m = 0,60 kg è appoggiata su
un piano orizzontale ed è tenuta ferma da due
molle molto allungate e in tensione. Ciascuna
molla è lunga l = 40 cm e la tensione è T = 80 N.
Se si sposta la pallina di pochi centimetri, perpendicolarmente alle molle, allora la lunghezza
delle molle cambia pochissimo, per cui la loro
tensione resta quasi invariata a 80 N. Nasce però
una forza di richiamo dovuta all’angolo tra le
molle, che tende a riportare la pallina e le molle
in linea.
▶ Determina il valore di questa forza di richiamo in funzione del piccolo spostamento x della pallina (esprimi x in metri).
▶ Determina la frequenza di oscillazione della
pallina.
[F = − 400 x; f = 4,1 Hz]
dove g è l’accelerazione di gravità, γ è la tensione superficiale e ρ è la densità del liquido. La
relazione che esprime vcap è ottenuta trascurando
gli effetti della gravità, mentre quella che esprime vgra è ottenuta trascurando gli effetti della tensione superficiale.
35
ESERCIZI
75
Il secondo termine è dovuto all’attrito e cresce in
modulo con la velocità v.
▶ Modifica il foglio di calcolo del paragrafo 1 in
modo da tracciare il grafico della legge oraria
di un oscillatore armonico smorzato.
qUESItO FOGLIO ELEttRONICO
Oscillazioni smorzate
Per tenere conto dell’attrito, il secondo principio
della dinamica per un oscillatore armonico può
essere scritto nel modo seguente:
k
β
a=−_x−_v
m
m
tESt
Un oscillatore armonico è costituito da una massa m connessa a una molla con costante elastica
k. La massa parte da x = B con velocità nulla. La
sua legge oraria è
__
k
_
A x = B cos
t
( m )
__
m
_t
B x = B cos
( k )
__
B
_
C x = k cos
t
( m )
__
k
_
D x = B cos
t
m
1
√
√
√
√
E
C
D
E
3
Un’onda si propaga su una corda con velocità X.
Indicate rispettivamente con Y e Z la lunghezza
d’onda e la frequenza dell’onda, vale la relazione
A Z = XY
B X = Z/Y
C Z = X/Y
D X = Y/Z
E XYZ = 1
4
Una corda di lunghezza D è fissata ai suoi estremi. La tensione della corda è 1,6 · 102 N, mentre la
sua densità lineare è 0,40 kg/m. Quale delle seguenti formule fornisce le armoniche della corda?
n
A fn = 20 _
D
n
B fn = 10 _
D
D
C fn = n _
10
n
D fn = 20π _
D
E Nessuna delle precedenti.
5
Due corde M e N hanno la stessa lunghezza, ma
la corda M ha una densità lineare doppia rispetto
alla corda N. Entrambe le corde sono fissate agli
estremi e sono sottoposte alla stessa tensione.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
A Le due corde hanno la stessa serie armonica.
B La prima armonica della corda N ha frequenza
minore della seconda armonica della corda N.
C Le lunghezze d’onda dei modi normali delle
due corde sono uguali.
D Un’onda armonica si propaga più velocemente sulla corda M che sulla corda N.
E Nessuna delle affermazioni precedenti è vera.
m
x = B cos _ t
(k )
Osserva con attenzione il grafico seguente, che
riporta la legge oraria di un oscillatore armonico.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
2
4
x (cm)
3
2
1
0
t (ms)
0
2,4
4,8
–1
–2
–3
–4
A
B
36
La velocità all’istante iniziale (t = 0,0 s)
è 3 cm/s.
Il periodo del moto è T = 4,8 s.
L’ampiezza del moto è 6 cm.
La frequenza del moto è 210 Hz.
La pulsazione del moto è 130 s−1.
OSCILLAZIONI E ONDE MECCANICHE
sei PrOntO Per La Verifica?
2
3
IN 1 ORA
Per trasportare materiali e alimenti in alcuni rifugi alpini si utilizzano le teleferiche.
Il cavo di una teleferica è lungo 450 m e ha una densità lineare di 2,5 kg/m. Battendo
con un sasso sul cavo, il gestore del rifugio genera un’onda che si propaga sul cavo.
Dal momento della percussione a quello dell’arrivo dell’onda riflessa dall’estremo a
valle passano 11 s.
▶ Calcola la tensione del cavo.
[17 kN]
..... / 20
Una corda è fissata agli estremi. La lunghezza d’onda della terza armonica è 80 cm.
Considera la quinta armonica della corda.
▶ Determina la lunghezza d’onda.
▶ Traccia la forma dell’onda.
[48 cm]
..... / 25
La corda mi basso di una chitarra (la prima corda in alto) è tesa tra due punti fissi
distanti 64 cm. Quando è accordata correttamente, la frequenza naturale della
corda è 82 Hz. Per accordare la chitarra si
agisce sulle chiavi poste al termine della
tastiera, mediante le quali si può variare la
tensione di ciascuna corda. Misurando la
frequenza del mi basso di una chitarra, ottieni il valore 78 Hz.
y
1
t
y
2
a Spiega come devi agire sulla relativa
chiave per accordare correttamente la
corda del mi basso.
..... / 15
t
Dopo averla accordata correttamente, pizzichi la corda esattamente nel punto centrale P, rilasciandolo dopo averlo spostato
di 6 mm dalla posizione di equilibrio.
b Scrivi la legge oraria del moto di oscillazione di P nella direzione perpendicolare rispetto a quella della corda nei
primi istanti del moto.
c Spiega quale tra i grafici a fianco rappresenta meglio l’andamento della legge oraria di P nel corso del tempo.
y
..... / 15
3
t
..... / 10
Successivamente, premi la corda del mi
basso in corrispondenza del primo tasto
sulla tastiera della chitarra. Così facendo
la corda pizzicata oscilla con la frequenza
naturale di 87 Hz, corrispondente al fa.
d Calcola la distanza tra il tasto e il capotasto posto al termine della tastiera.
[3,7 cm]
..... / 15
Massimo Romeni
1
13
tOtALE ....... / 100
37