Sistemi Stocastici

Sistemi Stocastici
Esercitazioni - 10 Gennaio, 2016
Es.1 Sia X := {Xt }t≥0 un processo di nascita e morte lineare, ovvero definito dai seguenti tassi di
transizione: λi = iλ e µi = iµ, per i ∈ N+ , e sotto la condizione iniziale p1 (0) = P(X0 = 1) = 1.
Discutere il caso in cui λ = µ, con particolare riferimento alla determinazione del valore medio
ed alla varianza del processo X.
Es.2 Consideriamo un sistema del tipo coda relativamente al quale indichiamo con λ il tasso di
arrivo/intensità dei clienti e con µ il tasso di servizio dei server costituenti il sistema, assumendo
che i tempi di servizio dei servers costituenti il sistema stesso siano probabilisticamente indipendenti ed identicamente distribuiti. Sia Y la v.a. che denota il tempo intercorrente tra gli arrivi
di due clienti consecutivi e Z la v.a. che indica il tempo di servizio necessario per ogni cliente:
(a) determinare le medie di Y, Z. Indichiamo con ρ l’intensità del traffico di clienti all’interno
(in coda e in fase di servizio) del nostro sistema: (b) come si può esprimere ρ in funzione dei
parametri λ, µ ?
Es.3 Sia X := {Xt }t≥0 un processo di nascita e morte omogeneo con spazio degli stati Z := N
e tassi di transizione λi = λ, µi = iµ, con i ∈ N . Determinare: (a) le funzioni (del tempo) di
probabilità pj ; (b) le probabilità di stato stazionarie πj 1 ; (c) il numero medio di servers occupati.
Es.4 Consideriamo un modello M/M/s/0 con funzione di input caratterizzata dalla seguente
intensità λ = 2. Determinare: (a) il tempo medio intercorrente tra due arrivi successivi; (b) il
tempo medio nel quale ogni cliente occupa il singolo server. Nel caso in cui s = 7 determinare:
(c) il valore del parametro ρ e la probabilità di perdita2 , ovvero la probabilità che un cliente esca
dal sistema trovando tutti gli s = 7 servers occupati al suo arrivo; (d) il numero medio di serevers
occupati ed il grado di utilizzo del singolo server.
Es.5 Consideriamo un modello di coda del tipo M/M/s/∞, ovvero una catena di Markov a
tempo continuo X := {Xt }t≥0 , dove Xt indica il numero totale di clienti presenti nel sistema,
siano essi in coda oppure in fase di servizio da parte di uno dei servers costituenti il sistema
stesso, e tale che se Xt = j con 0 ≤ j ≤ s, allora j servers sono occupati al tempo t, mentre se
Xt = j con s > j, allora s servers sono occupati e j − s clienti sono in coda. Ne viene che X è un
processo di nascita e morte con spazio degli stati Z = N e tassi di transizione λj = λ, per j ∈ N,
µj = jµ, per j = 0, . . . , s e µj = sµ, se j > s. Mostarare che: (a) la condizione ρ = µλ < s è
necessaria e sufficiente per l’esistenza di una distribuzione (di probabilità sugli stati della catena)
stazionaria e (b) determinarne i valori πj corrispondenti. (c) Determinare πw definita come la
probabilità che un generico cliente trovi tutti i serevers del sistema occupati al suo arrivo.
Es.6 Sia B := {Bt }t≥0 un moto Browniano standard, e Y := (Bt )2 − t; mostrare che Y è una
martingala.
Es.7 Sia B := {Bt }t≥0 un moto Browniano. Determinare: (a) la densitò di probabilità ft di B
al tempo t e la densità congiunta fs,t della coppia (Bs , Bt )3 .
1 Suggerimento:
in riferimento all’esercizio N.2, tenere conto del parametro ρ.
che un modello del tipo coda è detto loss system o sistema con perdita qualora non abbia capacità
di attesa per i clienti che non trovano un server disponibile al loro arrivo nel sistema.
3 Suggerimento: il moto Browniano è un particolare processo Gaussiano, ergo le sue distribuzioni multidimensionali si determinano come distribuzioni Gaussiane multidimensionali.
2 Ricordiamo