Localizzazione di densità
di corrente attraverso
algoritmi iterativi sparsi
Gabriella Bretti
Università di Roma “La Sapienza”
Tomografia magnetica
La tomografia magnetica ricostruisce le distribuzioni di
corrente a valori vettoriali a partire dal campo magnetico
misurato nello spazio esterno.
Applicata in molti ambiti:
geofisica, archeologia, medicina, microelettronica.
Magnetometri (SQUID)
Applicazioni:
Test non distruttivi dei materiali (NDE): rilevare le perturbazioni nel
campo magnetico che risultano dal flusso di corrente applicata al campione
da analizzare e localizzate attorno alle discontinuità [Wikswo, 00]
Magnetoencefalografia (MEG): identificare le aree del cervello attive
durante processi spontanei o stimolati [Del Gratta-Pizzella-TecchioRomani, 01].
I magnetometri - Superconducting Quantum Interference Device (SQUID)
- sono strumenti a basso rumore adatti a misurare campi magnetici molto
deboli in modo non invasivo.
Per localizzare le regioni dove scorrono le correnti elettriche occorre
un modello che leghi la corrente ed il campo magnetico esterno.
Le equazioni di Maxwell
I fenomeni elettromagnetici si possono modellizzare con le equazioni di
Maxwell per un mezzo macroscopico polarizzabile e magnetizzabile
[Sarvas,1987], [Wikswo, 1989]. Il campo bioelettrico
e biomagnetico
possono essere descritte dalle equazioni di Maxwell quasi-statiche:
dove
è la densità di corrente nel mezzo e
magnetica del vuoto.
Dalla conservazione della carica si ha:
è la permeabilità
Problema diretto
Sotto opportune ipotesi [Sarvas, 87], [Wikswo,89] le equazioni di Maxwell
quasi-statiche forniscono la relazione tra campo magnetico e corrente elettrica:
Legge di Biot-Savart
L’operatore di Biot–Savart:
• ha nucleo non banale non esiste un’unica soluzione
• è compatto l’inverso generalizzato è illimitato
Problema inverso
Dato un insieme di misure
della densità di corrente
, cerchiamo una configurazione
che renda minima la discrepanza:
Problema fortemente malposto
le misure sono affette da rumore elevato
ci sono sorgenti silenti non c’è un’unica soluzione
Tecniche di regolarizzazione:
• Regolarizzazione di Tikhonov (può fornire soluzioni non
corrette)
• Introduzione di vincoli di sparsità nel caso scalare [Daubechies
- Defrise - DeMol, 04] e di sparsità accoppiata nel caso vettoriale
[Fornasier - Rauhut, 08]
Ipotesi di Sparsità
Nelle applicazioni NDE la distribuzione di corrente è localizzata
solitamente in piccole regioni che identificano anomalie nel materiale
[Wikswo, 00]
L’attività del cervello può essere rappresentata come una somma di
vettori di neuroni pesati con l’assunzione che solo un piccolo numero
di neuroni viene attivato contemporaneamente [Barlow, 94]
Ipotesi di Sparsità: [Donoho, 92]
Si assume la corrente come combinazione lineare di correnti pesate
appartenenti ad un particolare dizionario D, dove soltanto un piccolo
numero di elementi è rilevante
Vincoli di Sparsità
Dato
in un assegnato dizionario
, ha una rappresentazione sparsa
se
con pochi coefficienti non nulli
Problema magnetico inverso con vincoli di sparsità
Misura di sparsità
L’algoritmo di minimizzazione
Metodo iterativo di Landweber con thresholding con
risultati e stime di convergenza [Daubechies et al., 04],
[Fornasier-Rauhut, 08]
Implementazione efficiente dello schema [Fornasier-Pitolli,
08]
Tecniche di accelerazione nel caso scalare [DaubechiesFornasier-Loris, preprint 08]
Applicazione dell’algoritmo a problemi test in 2D [B.-Pitolli,
preprint 08]
Problema test bidimensionale / 1
Campo magnetico generato dal circuito chiuso di corrente:
Campo magnetico e distribuzione dei magnetometri
Problema test bidimensionale / 1
Il piano su cui scorrono le correnti è diviso in 32x32 pixel
Campo di velocità
Problema test bidimensionale / 1
Aggiungiamo rumore gaussiano con snr=5 al campo magnetico misurato
Campo di velocità
Problema test bidimensionale / 1
La regolarizzazione di Tikhonov non fornisce una ricostruzione accurata
della corrente:
Problema test bidimensionale / 2
Campo magnetico generato dal dipolo di corrente:
Campo magnetico e distribuzione dei magnetometri
Problema test bidimensionale / 2
64
32 pixel lineari
Campo di velocità
Intensità di corrente
Problema test bidimensionale / 2
Aggiungiamo rumore gaussiano con snr=5 al campo magnetico misurato:
Problema test bidimensionale / 2
Programma di ricerca
o
o
o
o
Passaggio al caso tridimensionale:
Ridurre l’occupazione di memoria con metodi di decomposizione del
dominio [Fornasier, 07]
Ridurre il tempo di calcolo con tecniche di accelerazione [DaubechiesFornasier-Loris, 08], [B. - Pitolli, SIMAI 08]
Per il problema MEG: modello realistico della testa costruire opportune
basi 3D per il modello sferico con buone proprietà di sparsità e
compressione
Validazione del modello e dell’algoritmo avendo a disposizione dati reali
MEG: collaborazione con il Dipartimento di Scienze Cliniche e Bioimmagini
dell’Università di Chieti-Pescara “G. D’Annunzio”
Collaborazioni
Massimo Fornasier, RICAM di Linz
Francesca Pitolli, Università di Roma “La Sapienza”
Vittorio Pizzella, Università di Chieti – Pescara
Struttura ospitante la ricerca:
Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici per le Scienze
Applicate dell’Università di Roma “La Sapienza”
