Teoria Cinetica- 1 -
TEORIA CINETICA DEI GAS
La teoria cinetica dei gas descrive le proprietà macroscopiche dei gas mediante
l’applicazione delle leggi della meccanica alle molecole del gas stesso.
IL MOTO BROWNIANO
Se osserviamo da vicino una goccia d'acqua vediamo una superficie liscia, trasparente
e ferma. Anche ingrandendo la goccia con i migliori microscopi ottici, l'immagine
rimane sostanzialmente la stessa. Il materiale di cui è fatta sembra ancora continuo e
immobile. Se però fosse possibile usare un microscopio così potente da distinguere
dettagli piccoli quanto un decimiliardesimo di metro (10-10 m), scopriremmo che
l'acqua ha un aspetto granulare. I «granelli» di cui è costituita sono atomi di idrogeno
(H) e di ossigeno (O).
Vedremmo gli atomi uniti in una struttura stabile, che si ripete continuamente
all'interno
della
goccia:
due
piccoli
atomi
di
idrogeno
attaccati
a
uno
leggermente più grande di ossigeno.
Questa struttura microscopica è una molecola, che è la parte più piccola in cui può
essere suddivisa una sostanza.
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L'enorme ingrandimento metterebbe in luce anche un'altra proprietà, che sembra in
contrasto con quanto osserviamo a occhio nudo. Le molecole di acqua non sono
ferme, ma si muovono continuamente nel volume vuoto all'interno della goccia.
Urtano l'una contro l'altra e dopo ogni collisione modificano bruscamente la loro
velocità.
Ma, esiste nella realtà un microscopio così potente? E’ davvero possibile «vedere» le
molecole?
La prima prova alquanto diretta dell'esistenza degli atomi e delle molecole fu trovata,
inconsapevolmente, nel 1827.
In quell'anno il botanico scozzese Robert Brown,
mentre stava studiando al microscopio alcuni tipi di spore immerse nell’acqua, notò
che esse erano in uno stato incessante di agitazione, di movimento continuo in tutte le
direzioni. Sulle prime, Brown pensò che le spore fossero qualche sorta di forma di vita
mobile, ma in seguito scoprì che anche le particelle di polvere inanimate e i granelli di
sporco presentavano questa specie di moto. Il movimento perpetuo di particelle tanto
grandi quanto basta per poter essere osservate al microscopio è stato chiamato, in
onore del suo scopritore, moto browniano.
(GUARDA LA SIMULAZIONE)
Oggi è noto che esso è dovuto al moto delle molecole vicine, troppo piccole per poter
essere viste col microscopio.
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Il fenomeno si spiega pensando che le molecole di acqua, in continuo movimento
dentro la goccia, colpiscono ripetutamente le spore. Poiché il bombardamento non è
uniforme, le molecole che colpiscono una spora da un lato gli danno un impulso un po'
diverso da quello che gli imprimono le molecole che la colpiscono dal lato opposto.
Così la spora è spinto ora da una parte ora dall'altra e segue quella traiettoria
estremamente irregolare che si osserva al microscopio.
Le spore, pur essendo piccolissime (rispetto alle dimensioni di un uomo), sono molto
grandi se paragonate alle dimensioni delle molecole. Il loro diametro è di circa 10-6
m, mentre quello delle molecole è di 10-10 m. 1 granelli di spore sono quindi 10000
volte più grandi dei proiettili che li colpiscono. E’ come se un elefante fosse
bombardato da un fitto sciame di piccoli proiettili da un millimetro che lo colpiscono a
forte velocità da tutti i lati.
Questo esperimento può essere ripetuto anche con altre sostanze. Si può per esempio
osservare il movimento caotico e disordinato di piccole particelle di fumo che si
trovano in sospensione nell'aria. Il fumo di una sigaretta è costituito da microscopiche
particelle che vengono liberate nell’aria durante la combustione del tabacco e della
carta. Dopo essere salite per un breve tratto queste particelle si disperdono per effetto
dei numerosi urti a cui sono sottoposte da parte delle molecole contenute nell’aria.
Il
moto
browniano,
da
solo,
dell'esistenza delle molecole.
non
fornisce
una
prova
certa
Possiamo però considerarlo un forte
indizio della loro presenza. Il moto di particelle osservabili rivela
quello di altre che sono invisibili.
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(Un altro video che mostra il moto browniano di alcune palline di
grasso nel latte scremato)
In realtà non esiste un microscopio ottico così potente che permette di vedere
direttamente le molecole e gli atomi ( gli oggetti più piccoli che si possono vedere
con i microscopi ottici hanno una dimensione di circa 10-7 m. Non solo non c'è ora.
Non ci sarà mai, perché è impossibile da realizzare. Si possono però «vedere» queste
minuscole particelle in modo indiretto, usando come intermediari degli strumenti
piuttosto complessi. Essi rilevano alcuni effetti provocati dalla presenza degli atomi e
li traducono in immagini che poi vediamo con i nostri occhi.
Con il microscopio
elettronico e, più recentemente, con il microscopio a effetto tunnel si ottengono
immagini estremamente dettagliate di strutture atomiche e molecolari. D'altra parte,
anche usando un comune microscopio (o addirittura le lenti degli occhiali) non
vediamo in modo diretto. Tra noi e l'oggetto
che osserviamo c'è di mezzo uno
strumento.
Ma la prova migliore dell'esistenza degli atomi e delle molecole sono i
successi delle teorie fisiche costruite sull'ipotesi atomica e molecolare. Il
fatto che le previsioni di queste teorie abbiano avuto numerosissime verifiche
positive è il migliore argomento per sostenere la validità delle loro premesse,
e cioè che la materia è un aggregato di atomi e molecole.
Viviamo in un mondo modulare, costituito da miriadi di repliche di un numero
estremamente piccolo di strutture fondamentali.
Tutte le cose che ci circondano sono il risultato della combinazione di un centinaio di
atomi diversi. Più precisamente, in natura si trovano 92 specie di atomi. Il più
leggero è l'idrogeno, mentre il più pesante è l'uranio. Un'altra decina di
atomi, tutti più pesanti dell'uranio, può essere prodotta artificialmente in
laboratorio.
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La spiegazione dei moto browniano ha come principali protagonisti Jean Perrin e
Albert Einstein.
Il primo con le sue esperienze tendenti a evidenziare, mediante
qualificate tecniche microscopiche, gli effetti connessi col moto di agitazione termica
delle molecole, il secondo fornendo una teoria di tipo statistico (random walk) per
dimostrare la discontinuità della materia.
La teoria riguardante il moto browniano fu esposta da Einstein nel 1905.
Come
scrisse nelle sue Note autobiografiche: " ... era mio desiderio trovare dei
fenomeni che potessero mostrare in modo esplicito l'esistenza degli atomi.
Nel frattempo scoprivo che, in accordo con la teoria atomistica, le particelle
microscopiche
movimento,
in
sospensione
accessibile
avrebbero
all'osservazione,
dovuto
non
avere
sapendo
un
continuo
ancora
che
osservazioni riguardanti il moto browniano erano già state formulate da
lungo tempo".
Dopo le prime stimolanti idee, la teoria cinetica molecolare entrò ufficialmente nella
storia scientifica nella seconda metà dell’ottocento per merito di James Clerk
Maxwell ( noto soprattutto per avere, alla fine del XIX secolo, unificato elettricità e
magnetismo) e Ludwig Boltzmann.
Mentre Maxwell risolse per primo il problema della distribuzione più probabile delle
velocità molecolari nel caso di un gas costituito da un gran numero di particelle,
Boltzmann pose le basi della termodinamica statistica, trasformando la teoria dei
fenomeni termici dal primitivo contenuto puramente meccanicistico al più profondo e
valido aspetto fondato sul moto incessante e disordinato delle invisibili molecole.
Sia in campo fisico che in quello filosofico le ipotesi molecolari di Boltzmann
incontrarono però una forte opposizione da parte dei suoi contemporanei, capeggiati
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soprattutto da Ernst Mach.
Secondo le opinioni del tempo, infatti, la concezione
fenomenologica della fisica doveva limitarsi solo a stabilire le connessioni fra i dati
teorici e quelli sperimentali, senza fare alcun riferimento a entità ipotetiche quali
erano allora gli atomi e le molecole, ritenuti oggetti puramente astratti e come tali non
osservabili. Le ipotesi di Boltzmann andavano invece al di là dei risultati sperimentali,
in quanto attraverso una formulazione fisico-matematica della struttura molecolare
egli precorreva i tempi. Purtroppo, Boltzmann non fu in grado di sostenere le sue idee,
poiché non disponeva delle dirette prove sperimentali sull'esistenza delle molecole,
prove che i ricercatori riuscirono a ottenere solo qualche anno dopo la sua tragica
morte per suicidio.
L’IMPORTANZA DEL LAVORO SCIENTIFICO DI BOLTZMANN
Premessa
Tutte le sostanze si presentano come liquide, solide o gassose; si parla di
solidi, liquidi e gas. Un pezzo di ferro è solido, l’acqua e la benzina sono liquidi,
l’aria e il metano sono gas. Ma sappiamo anche per una sostanza è possibile
passare dallo stato solido allo stato liquido e viceversa, dallo stato liquido a
quello gassoso e viceversa; è anche possibile il passaggio dallo stato solido
direttamente a quello gassoso.
E’ possibile descrivere il comportamento fisico di un gas utilizzando solo ed
esclusivamente tre grandezze fisiche: pressione, volume e temperatura; Esiste
un’equazione matematica che utilizzando esclusivamente queste tre grandezze
fisiche permette di descrivere completamente il comportamento di una certa
quantità di gas; questa legge si chiama equazione di stato dei gas
PV = nRT
P = pressione; V = volume; T = temperatura; n = numero di moli di gas; R =
costante numerica chiamata costante dei gas perfetti.
Questa equazione descrive perfettamente il comportamento macroscopico della
quantità di gas considerata; è totalmente ininfluente che il gas considerato,
come tutte le sostanze, sia formato da molecole. Le tre grandezze P, V, T sono
variabili macroscopiche.
Boltzmann, fermamente convinto dell’esistenza delle molecole si propone di
ricavare l’equazione di stato dei gas partendo dai loro costituenti fondamentali,
le molecole.
Le uniche leggi che Boltzmann ha a disposizione sono le tre leggi della
dinamica, le leggi di Newton:
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1.La legge fondamentale F = ma;
2.il principio di inerzia;
3.il principio di conservazione della quantità di moto in un sistema isolato.
Queste sono le stesse leggi che applicate ad una certa quantità di gas hanno
permesso di ricavarne l’equazione di stato.
Un gas è formato da molecole ma una mole di gas contiene NA=6,0221023
molecole (numero di Avogadro); è praticamente impossibile applicare le leggi
di Newton ad ogni singola molecola e derivarne le proprietà macroscopiche,
troppo complicato
Facciamo un’ipotesi estrema, supponiamo che il gas sia formato da una sola
molecola, è allora possibile applicare le leggi di Newton e descriverne il
comportamento; questo è possibile anche se le molecole sono una decina; ma
applicare
a
tutte
le
molecole
le
leggi
di
Newton
per
descriverne
il
comportamento complessivo è praticamente impossibile, è necessario ricorrere
a calcoli statistici.
Boltzmann dimostra che partendo dal comportamento dei costituenti
microscopici del gas, le molecole, è possibile derivarne la descrizione
macroscopica; ma la descrizione microscopica non è
deterministica
ma statistica; ridiventa deterministica a livello macroscopico.
L’ENERGIA CINETICA DELLE MOLECOLE DI UN GAS E LA TEMPERATURA
Ogni molecola del gas ha ha una propria velocità e quindi un’energia cinetica
che da il proprio contributo all'energia complessiva del gas. Eseguendo un
calcolo di tipo statistico si ottiene il valore medio dell’energia cinetica di una
singola molecola
EC
3
k BT
2
dove k è la costante di Boltzmann (KB = 1,38065 x 10-23 J/K) e T è la
temperatura assoluta del gas; se prendiamo in considerazione una mole di gas
(NA molecole) la sua energia cinetica complessiva, che è anche la sua energia
interna, sarà:
EC ( totale ) N A EC
3
N A K BT
2
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URTI MOLECOLARI
Per effetto del moto di agitazione termica, le molecole si muovono
disordinatamente in tutte le direzioni urtando, come tanti granellini di
grandine, le pareti del contenitore.
Per una mole di gas l’energia cinetica media è
EC
3
3
N Ak BT N Ak BT
2
2
EC
3
N A k BT
2
1
3
Mv 2 N Ak BT
2
2
La temperatura assoluta di un gas perfetto è proporzionale all’energia cinetica
media ed è la manifestazione macroscopica del moto di agitazione termica
delle molecole; la grandezza fisica temperatura a livello microscopico,
cioè a livello molecolare, non esiste.
Dalla legge
1
3
mv2 k BT
2
2
valida per una singola molecola di gas, si può
ricavare come la temperatura assoluta T è legata alla velocità:
E che, viceversa, la velocità è data da
A parità di temperatura, più piccola è la massa delle molecole, più grande è la
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loro velocità media.
La legge
EC
3
kT
2
è valida in modo preciso solo per un gas perfetto con
molecole monoatomiche, ma si può estendere anche a molecole biatomiche,
triatomiche etc.
La descrizione statistica del comportamento complessivo delle molecole di un
gas ha avuto applicazioni molto importanti anche in astrofisica:
Formazione dell’Elio e degli altri elementi nelle stelle;
Descrizione di una stella di neutroni;
Espansione dell’universo a partire dal big bang iniziale e teorizzazione
dell’esistenza di una radiazione fossile a microonde alla temperatura di
2,7 K (effettivamente scoperta nel 1967).
