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Circuiti magnetici
I problemi che si considerano nello studio
dei circuiti magnetici sono classificabili in
due categorie:
1)Problemi di sintesi: assegnato un valore del
flusso da realizzare in una certa regione,
determinare la forza magnetomotrice necessaria.
2)Problemi di analisi: nota la f.m.m.,
determinare il flusso da essa prodotto.
Prof. V. Tucci – Complementi di Elettrotecnica – a.a. 2009/2010
Dip. di Ing. dell'Informazione e Ing. Elettrica - Università di Salerno
Circuiti magnetici
A causa della non linearità dei materiali i
due problemi non sono in generale
risolvibili con metodi analitici.
Si deve ricorrere a soluzioni grafiche o
numeriche (di tipo iterativo).
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Scopi del progetto di un circuito
magnetico
Si vuole determinare:
la f.m.m. necessaria per stabilire il flusso di
induzione magnetica richiesto;
le sezioni e le lunghezze dei diversi tratti in serie;
il flusso disperso;
il peso del materiale ferromagnetico necessario;
Inoltre:
nel caso di presenza di flusso variabile nel
tempo determinare le perdite nel materiale
ferromagnetico.
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Dimensioni e peso del circuito
magnetico
Se si suppone che il circuito magnetico sia un tubo di
flusso, si ha che questo è costante in tutti i tratti del
circuito stesso.
Si suddivide il circuito in tratti nei quali l’induzione possa
essere considerata costante o con andamento noto.
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Sintesi di un circuito magnetico “serie”
Per il circuito magnetico in
figura si vuole affrontare il
problema di sintesi.
l2 γ
I
S
N
δ
l1
µ0
l4
Supponiamo che il nucleo
sia costituito da un unico
materiale ferromagnetico.
l3
w d
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l2 γ
I
S
N
Sono assegnati:
• il valore del flusso al traferro
Φd
• le dimensioni geometriche
δ
l1
µ0
l4
l3
w d
l k ( k = 1, 4) , w,d ,δ
• le caratteristiche fisiche
(caratteristica del materiale,
fattore di stipamento Fs e
numero di spire N
dell’avvolgimento).
Si vuole determinare la corrente I per ottenere il
valore di flusso assegnato.
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I passi della procedura di calcolo sono i seguenti:
1. Dal valore del flusso al traferro si ottiene il valore
dell’induzione Bδ:
Φδ
Bδ =
α wd Fs
Il coefficiente α>1 tiene conto degli eventuali effetti di bordo.
2. Noto Bδ si determina la f.m.m. relativa al tratto di traferro:
Θδ =
Bδ
µ0
δ
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Essendo la sezione del circuito costante, dal valore della
induzione al traferro si ottiene il valore della induzione
nel ferro:
BFe = Bδ
3. Con il valore dell’induzione nel ferro, BFe, si entra sulla
caratteristica del materiale ferromagnetico e si
determina il corrispondente valore di HFe.
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BFe
HFe
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BFe
HFe
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4. Utilizzando il valore così determinato si può calcolare la
f.m.m. relativa al tratto di ferro:
Θ Fe = H Fe (l 1 + l 2 + l 3 + l 4 − δ )
La f.m.m. totale risulta pertanto:
Θtot = Θδ + Θ Fe
5. Dal valore così ottenuto, noto il numero di spire
dell’avvolgimento si ottiene la corrente richiesta.
Θtot
I=
N
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Effettuando il calcolo a partire da diversi valori del
flusso al traferro Φk (k=1,2,…n) è possibile costruire per
punti la curva di magnetizzazione (Φ vs. Θ) del circuito
magnetico in esame.
Φ (Wb)
Φn
Φ2
Φ1
Θ1 Θ2
Θn
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Θ (Asp)
Problema di analisi
Data la f.m.m. e le caratteristiche fisiche e
geometriche dei diversi tronchi, occorre
determinare il flusso.
Si possono utilizzare metodi (di tipo grafico) o
metodi numerici.
I metodi grafici sono:
- costruzione della curva di magnetizzazione del
circuito;
- retta di carico
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Costruzione della curva di
magnetizzazione
La curva di magnetizzazione si ottiene per
interpolazione
Si fissa un valore di induzione B (j1)
in uno dei tronchi del circuito (tronco i-esimo),
Poiché il flusso Φ è costante in tutti i tronchi, è
possibile ricavare il valore dell'induzione nel tronco
j-esimo (con j ≠ i ) attraverso la relazione:
B(j 1 )
Φ( 1 )
( 1 ) Si
=
= Bi
Sj
Sj
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Dalle caratteristiche non lineari dei materiali si
ricavano i valori del campo magnetico nei diversi
tronchi del circuito e quindi la f.m.m. totale:
Φ [Wb]
N
N
i =1
i =1
Θ(tot1 ) = ∑ Θ(i 1 ) = ∑ H i( 1 )li
Φ( 1 )
Θ( 1 )
Θ [Asp]
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Si ripete il procedimento
per una serie di valori di
induzione B(k), scelti in
modo tale da ottenere una
serie di valori di f.m.m. che
comprenda quella data dal
problema;
Φ [Wb]
Φ( n )
Φv
Φ( 2 )
Φ( 1 )
si traccia la curva
interpolante che fornisce il
flusso in funzione della
f.m.m. totale.
Θ Θ
(1)
(2)
Θv
Θ( n )
Θ [Asp]
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Costruzione della retta di carico
La f.m.m. totale può essere
espressa come:
NI = H δ δ + H m l m
I
dove:
N
lm
µ0
δ
4
lm = ∑lk −δ
1
La forza magnetica relativa
al traferro, Hδ, può essere
espressa come:
Hδ =
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Bδ
µ0
Ricordando che, se si trascurano gli effetti di bordo
al traferro, si ha:
B m = Bδ
Il valore della induzione nel ferro, può essere
ricavato come:
µ0 l m
µ0 NI
Bm = −
Hm +
δ
δ
Questa espressione rappresenta l’equazione di una retta
sul piano Hm,Bm
L’intersezione della retta con la curva di
magnetizzazione del materiale magnetico fornisce il
valore della induzione richiesta.
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Bm
Punto di lavoro
Retta di carico
µ0 l m
µ0 NI
Bm = −
Hm +
δ
δ
Hm
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Analisi non lineare
laria=0.698mm
lFe=10cm
I=10A
N=100
Bfe=?
I
N
lFe
µ0
laria
lSi
consideri la seguente caratteristica non lineare
del materiale:
Hfe(Bfe)=129.5·Bfe+76.1·Bfe·exp(1.26·Bfe2)
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Analisi grafica (1/2)
H fe l fe + H aria l aria = H fe l fe +
B fe =
H fe
µ 0 NI
l aria
− H fe
B fe
µ0
l aria = NI
µ 0 l fe
l aria
l aria
NI
=
− B fe
l fe
µ 0 l fe
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Analisi grafica (2/2)
µ 0 NI
l aria
2
1.5
1
NI
l fe
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
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2.5
4
x 10
Newton-Raphson
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Newton-Raphson
f (x) = 0
df
f ( x ) = f ( x0 ) +
dx
⋅ (x − x0 ) = 0
x = x0
f ( x0 )
f ( xk )
x = x0 −
→ x k +1 = x k −
f ′( x 0 )
f ′( x k )
∆=
x k +1 − x k
xk
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Applicazione ai circuiti magnetici
H fe (B fe ) = 129 .5 ⋅ B fe + 76 .1 ⋅ B fe ⋅ e
H fe
1 .26 ⋅ B 2fe
l aria
NI
=
− B fe
l fe
µ 0 l fe
(
)
 NI

l
1 .26 ⋅ B 2fe
aria
−
 + 129 .5 ⋅ B fe + 76 .1 ⋅ B fe ⋅ e
+ B fe
=0
 l

µ
l
fe
0 fe 

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Il processo iterativo
B(k)
1.9
Bmax
∆
1.8003
1.0000e2
1.6231
9.8449e-2
1.5022
7.4499e-2
1.6
1.4676
2.3039e-2
1.5
1.4656
1.3748e-3
1.4655
1.0181e-5
1.8
1.7
1.4
0
2000
4000
6000
8000
10000
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Limiti della tecnica N-R
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MAGNETI PERMANENTI
Per costruire magneti permanenti è necessario impiegare
materiali ferromagnetici duri.
Occorre disporre di forza coercitiva Hc ed induzione
residua Br elevate.
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MAGNETIZZAZIONE INTRINSECA
Un magnete ideale
completamente magnetizzato
mantiene una magnetizzazione
+Msat fino a che non viene
applicato un campo magnetico di
ampiezza –Hci (campo coercitivo),
in corrispondenza del quale la
magnetizzazione si inverte e
diventa -Msat.
Il ciclo descritto da M vs H si
chiama ciclo della
magnetizzazione intrinseca del
materiale
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MAGNETIZZAZIONE NORMALE
La magnetizzazione M fornisce la forza
magnetizzante H che determina la densità
di flusso B:
B=µo(H+M)
Da questa relazione è possibile ottenere la
caratteristica di “magnetizzazione normale”
B vs. H più idonea ai fini del progetto di un
magnete.
La pendenza della curva normale B vs. H
per -Hci<H<+Hci risulta:
dB/dH=µo,
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Caratteristica di demagnetizzazione
reale
In un materiale reale non si
ha una brusca transizione
nella caratteristica intrinseca
in corrispondenza del campo
coercitivo, ma si ha una
graduale transizione della
magnetizzazione: la
caratteristica esibisce un
“ginocchio”.
La caratteristica normale
esibisce un analogo
comportamento.
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Proprietà di interesse applicativo
• Induzione residua
(remanence) Br
• Campo coercitivo Hc
• Max energia
magnetica (BH)max
coppia di valori di B
e H nel secondo
quadrante per cui il
prodotto è massimo)
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In un magnete permanente si ha:
lm
γ
∫ H ⋅ dl = 0 ⇒ H m l m = − H 0δ
γ
Σ
δ
∫∫ B ⋅ ds = 0 ⇒ Bm S m = B0 S0
Σ
Sm
B0 =
Bm = αBm α < 1
S0
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Nota l’induzione al traferro B0, e quindi H0, si può
determinare il valore del campo nel magnete:
H m = − H0
δ
lm
Sm
B0 =
Bm = αBm α < 1
S0
S0 l m
1 Sm δ
Hm = −
Bm → Bm = − µ0
Hm
Sm δ
µ 0 S0 l m
Si tratta di una retta nel piano (Hm,Bm) la cui intersezione
con la caratteristica del materiale magnetico definisce il
punto di lavoro del magnete.
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S0 l m
Bm = − µ0
Hm
Sm δ
Br2
Br1
1
2
Hc1
Hc2
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Una misura della efficienza di un magnete è il valore massimo
dell’energia disponibile al traferro:
1
Wm = aVm Bm H m
2
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