Fluidodinamica
La Fluidodinamica è quella branca della Meccanica che si occupa
della descrizione del moto dei fluidi ed in particolare dei liquidi. !
Gli stati della materia sono tre:!
• Solido conserva forma e volume !
• Liquido conserva il volume ma non la forma !
• Gassoso non conserva ne volume ne forma !
In realtà i liquidi reali sono leggermente compressibili ma in questa
trattazione assumeremo che essi siano incompressibili.!
Fisica x Biologi 2017 Fabio Bernardini
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Grandezze intensive e grandezze estensive
Nello studio dei liquidi e poi ancora di più dei gas, inconteremo due tipi
di grandezze: intensive ed estensive.!
Sono estensive le grandezze fisiche di un materiale o di una sostanza
che dipendono dalla dimensione del campione: la massa, il peso, la
lunghezza, il volume, l'energia. Sono intensive le proprietà fisiche di un
materiale che non dipendono dalla dimensione del campione: la
densità, la temperatura, la pressione, il colore. !
Le grandezze intensive sono definibili punto per punto allʼinterno del
corpo, indipendentemente dalla sua forma e volume.!
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Densità
Nello studio dei liquidi hanno un ruolo importante le grandezze
intensive, fra di esse abbiamo la densità e la pressione.!
La densità di un liquido in un punto non è altro che il rapporto fra il
volume di una sferetta piccolissima centrata nel punto e la massa in
esso contenuta: !
m
d=
V
La densità si misura in Kg / m3. Se essa è costante in ogni punto la
densità è uniforme.!
Il più importante liquido è lʼacqua che ha una densità di 1000 kg/m3.!
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Pressione
La pressione è unʼaltra grandezza intensiva importante.!
La pressione in un punto è definita considerando una piccolissima
superficie circolare centrata nel punto e la forza che il liquido da una
parte della superficie esercita sullʼaltra parte in direzione
perpendicolare alla superficie stessa. !
Fn F⋅ n
p=
=
ΔS
ΔS
La pressione è una grandezza scalare la cui unità di misura è una
forza diviso unʼarea: N/m2. Questa grandezza è così importante che al
N/m2 viene dato il nome di Pascal [Pa].!
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Principio di Pascal
Se immaginiamo un liquido immobile abbiamo che le componenti delle
forze agenti sulle superfici ad esse tangenti sono nulle, senno il fluido
accelererebbe. Quindi sulla superficie di un liquido le forze sono
perpendicolari.!
Abbiamo inoltre che la pressione non ha una direzione: isotropia della
pressione. Infatti in un liquido immobile gli atomi che circondano un
punto esercitano forze che si equilibrano. Quindi la forza che agisce su
una superficie deve essere indipendente dal suo orientamento. !
Lʼisotropia della pressione porta poi al Principio di Pascal. La
pressione che si esercita sulle pareti di un recipiente riempito da un
fluido è la stessa in tutti i punti ed è uguale alla pressione alla
superficie nel caso il fluido sia un liquido.!
Quindi un palloncino riempito di aria ha la stessa pressione in
qualunque punto della membrana.!
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Legge di Stevino
Il Principio di Pascal si applica rigorosamente solo ad un fluido privo di
massa. !
I gas sono spesso una buona approssimazione di fluido senza massa. !
Nel caso dei liquidi appare chiaro che ad una certa profondità oltre alla
pressione superficiale abbiamo la pressione esercitata dal liquido
stesso che sovrasta il punto di misura, essa è detta pressione
idrostatica. !
Se la densità è uniforme vale la Legge di Stevino. La pressione
idrostatica esercitata dal liquido stesso in un punto a profondità h
dipende dalla densità del fluido e dalla accelerazione di gravità:!
pI =
Fn mg mgh
=
=
= dgh
ΔS ΔS hΔS
Combinando il P. di Pascal con la legge di Stevino possiamo dire che
tutti i punti alla stessa profondità hanno la stessa pressione se il fuido
è fermo.!
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Unità di misura della pressione
Attualmente sono utilizzate varie unità di misura per la pressione che
non appartengono al SI. !
La pressione del sangue è misurata in mmHg ed è la pressione
idrostatica ad 1 mm di profondità nel mercurio. Sapendo che la densità
del mercurio è 13600 Kg/m3, abbiamo: 1 mmHg = 133 Pa. !
Questa conversione dipende dallʼaccerazione g e quindi non è
costante in tutti i punti per cui il mmHg è stata scartata nellʼuso
scientifico. !
Analogo discorso per il cmH2O = 98.1 Pa.!
La pressione media dellʼatmosfera al livello del mare a 0 ˚C è
convenzionalmente data da 760 mmHg = 101000 Pa.!
Lʼunità di misura della pressione utilizzata in meteorologia è il bar che
è ben definita: 1 bar = 105 Pa.!
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Principio di Archimede
A causa della pressione che cresce con la profondità, un corpo
immerso in un liquido/gas riceve una spinta verso lʼalto. !
Il Principio di Archimede stabilisce che la spinta verso lʼalto è pari al
peso del volume del liquido/gas spostato. !
Il Principio di Archimede permette di conoscere il volume di un corpo
che è immerso in un liquido mentre sta galleggiando. !
F = mg = Vdg
m
V=
d
Questa formula porta alla conclusione che un corpo può galleggiare
solo se la sua densità media è inferiore a quella del liquido/gas in cui è
immerso.!
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Principio dei vasi comunicanti
La legge di Stevino ci dice che la pressione è la stessa ad uguale
profondità. Sappiamo inoltre che sulla superficie di un liquido la
pressioone è quella atmosferica. Una conseguenza di questa legge è
che siccome la pressione atmosferica in una località è costante, se
due vasi sono in comunicazione alla loro superficie la pressione è la
stessa quindi lʼ altezza del liquido nei vasi comunicanti è la stessa.!
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Fluidi in movimento: moto stazionario
Un fluido è composto da moltissime particelle (molecole) che si
muovono. Lo studio di tutti questi movimenti è proibitivo. Esiste però
un caso molto frequente in cui il problema di un fluido diviene
semplice. Si tratta del moto stazionario. !
In un moto stazionario, la velocità delle particelle del fluido dipende
solo ed esclusivamente dalla loro posizione allʼinterno del fluido. !
Osservando che la velocità è sempre tangente alla traiettoria se ne
deduce che la traiettoria di tutte le particelle che passano in un punto è
la stessa e non dipende dal tempo. !
Le linee che descrivono le
traiettorie delle particelle del fluido
di chiamano linee di corrente o di
flusso. Le linee di corrente non si
intersecano mai. !
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Flusso ed equazione di continuità
Definiamo portata o flusso il volume di fluido che attraversa una
sezione di un tubo nellʼunità di tempo. La portata è una grandezza
scalare che si misura in m3/s. !
Se un fluido è incompressibile (liquido) allora la portata di un tubo sarà
costante, se non ci sono perdite. !
Se la velocità della particelle è la stessa in tutti i punti il calcolo della
portata Q è semplice:!
Q=
V SΔl
=
= Sv
Δt Δt
Se la sezione del tubo cambia la portata si conserva e si modifica la
velocità:!
S1 v 2
Q = S1v1 = S2v 2 ⇒
=
S2 v1
Questʼultima è lʼequazione di continuità di
un liquido.!
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Teorema di Bernulli
Se un liquido scorre senza attrito ed è incomprimibile è detto liquido
perfetto. !
Nei liquidi perfetti si conserva lʼenergia meccanica. !
Ora noi sappiamo che quando una particella si muove in un campo
conservativo da un punto A ad un punto B soggetta ad una forza
esterna possiamo calcolarne la velocità finale attraverso la
conservazione dellʼenergia:!
L + EA = EB
1
1
F⋅ sAB + mv A2 + U A = mv B2 + U B
2
2
Il lavoro compiuto si aggiunge allʼenergia meccanica e va in parte nella
variazione dellʼenergia potenziale U ed in parte nella variazione
dellʼenergia cinetica.!
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Teorema di Bernulli
F⋅ sAB
1 2
1 2
+ mv A + U A = mv B + U B
2
2
Per applicare la formula ad un liquido bisogna adattarla. Bisogna infatti
notare che su un liquido in un tubo agiscono due forze, una a ciascun
estremo del tubo dovute alla pressione e di segno opposto. !
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1
pAV − pBV + mv A2 + mghA = mv B2 + mghB
2
2
1 2
1 2
pA + dv A + dghA = dv B + dghB + pB
2
2
pA v A2
pB v B2
hA +
+
= hB +
+
dg 2g
dg 2g
I tre addendi ottenuti si chiamano: altezza geometrica, altezza
piezometrica ed altezza cinetica. La somma delle tre è sempre la
stessa in tutto il tubo. Questo è il Teorema di Bernulli.!
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Teorema di Bernulli
Le tre altezze definite nel teorema di Bernulli hanno un significato
fisico immediato. La prima h è la profondità cambiata di segno.
Lʼaltezza piezometrica è lʼaltezza alla quale una certa pressione è in
grado di spingere il liquido nel caso di velocità nulla. !
Per capire lʼaltezza cinetica dobbiamo immaginare di sparare il liquido
come in una fontana con velocità v in verticale. Lʼaltezza raggiunta
dallo zampillo sarà esattamente lʼaltezza cinetica.!
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Teorema di Torricelli
Un caso particolare del teorema di Bernulli è dato dal liquido che
fuoriesce da un contenitore ad una profondità h attraverso un forellino.!
I due punti di riferimento da utilizzare sono la superficie del liquido e il
forellino. Sulla superficie, che è ferma (v=0), la pressione è quella
atmosferica e lʼaltezza dal forellino è h. Nel forellino la pressione è
sempre quella atmosferica ma lʼaltezza geometrica è zero. Quindi tutta
lʼaltezza geometrica si trasforma in altezza cinetica. !
pA pB v B2
h +
=
+
dg dg 2g
v B2
h =
2g
v B = 2ghA
Si può notare che la velocità di fuoriuscita del
liquido è pari a quella di una particella che
cade da una altezza h. !
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Fluidi viscosi
Nella realtà i fluidi sono soggetti ad attriti interni e anche
con le pareti. Gli attriti trasformano irreversibilmente
lʼenergia cinetica in calore. !
Si ha quindi una perdita di energia meccanica dovuta
allʼattrito.!
Per mantenere costante la portata di un tubo occorre
esercitare su uno degli estremi una differenza di pressione
Δp.!
Il rapporto fra Δp e portata Q è la resistenza R del tubo. !
Δp
R=
Q
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Flusso laminare e turbolento
A seconda della velocità con cui un fluido si muove in un tubo il moto
può essere laminare o turbolento. !
Nel moto laminare la velocità è parallela alle pareti. Nel moto
turbolento il fluido forma dei vortici. Il moto turbolento non è un moto
stazionario mentre quello laminare può essere stazionario. Lo è in
genere se la pressione è costante nel tempo. !
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Flusso laminare e viscosità
Una delle caratteristiche del moto laminare è che la velocità si annulla
alle pareti. Vicino alle pareti infatti la velocità è proporzionale alla
distanza dalla parete stessa. Questo è lʼeffetto della viscosità. !
Per capire la viscosità è utile fare un paragone con lʼelasticità.!
Per tenere piegata una barra elastica debbo esercitare una forza
costante per ottenere una deformazione che cresce linearmente con la
distanza dallʼestremo della barra (figura a sinistra).!
Nel liquido invece la forza non serve per deformare la posizione ma
per “deformare” il campo di velocità (figura a destra). !
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Flusso laminare e viscosità
Se lʼacqua scorre liberamente su un piano inclinato tutte le sue
molecole riceverranno la stessa spinta, ma la velocità delle molecole
sarà proporzionale alla distanza dalla superficie del piano inclinato,
come nella figura sotto. !
Quindi il rapporto v/δ è costante e
anche proporzionale alla forza
applicata al fluido ed inversamente
proporzionale allʼarea di attrito: !
v
FA = −ηA
δ
La costante η (eta) è la viscosità del fluido. Essa è un grandezza
scalare che ha le dimensioni di una forza diviso unʼarea per un tempo.
La sua unità di misura è il Pa s. !
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Formula di Poiseuille
Il movimento di un fluido viscoso è molto complesso. Un caso semplice è
dato dal flusso laminare in un tubo cilidrico. In questo caso la resistenza
è data da: !
Δp
8 ηl
=R=
Q
π r4
Dove r e il raggio del cilindro e L la sua lunghezza.!
La portata di una condotta può quindi essere facilmente scritta in termini
di differenza di pressione e viscosità (formula di Poiseuille): !
πr 4
Q=
Δp
8ηl
Se ne deduce che per avere una portata costante bisogna mantenere
una differenza di pressione costante nellʼunità di lunghezza del tubo. !
€
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Velocità in una condotta
Nel caso di flusso laminare abbiamo anche unʼaltro aspetto
interessante. Lʼesperienza ci insegna che in un fiume la corrente
scorre più veloce al centro e più lenta a bordi. !
In un tubo cilindrico lʼandamento della velocità è esattamente
parabolico con un massimo al centro e un valore nullo al bordo. Esso
è esprimibile in termini della distanza r dal centro del tubo di raggio R:!
v(r) =
Δp 2 2
R −r )
(
4ηl
€
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Moto turbolento e numero di Reynolds
Superata una certa velocità il moto del fluido diviene turbolento. La
velocità media alla quale inizia il moto turbolento è detta velocità critica
ed è espressa dalla formula:!
v c = Rey
η
Rd
Dove il R è il raggio del cilindro d la densità del fluido ed Rey è il
numero di Reynolds. Se Rey è maggiore di 1200 il flusso è turbolento.!
Nel passaggio dal moto laminare al moto turbolento si ha un aumento
della resistenza e una generazione di rumore che invece è assente nel
moto laminare.!
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Tensione superficiale e formazione di gocce
Fa parte della nostra esperienza quotidiana il fatto che piccole quantità
di liquido su un piano formano delle gocce. Questo contraddice in
apparenza le leggi della meccanica che suggerirebbero che il liquido
debba diventare uno strato sottilissimo.!
Le gocce si formano perchè gli atomi che sono sulla superficie di un
liquido sono soggetti a forze perpendicolari alla superficie dette forze
di coesione. !
Le forze di coesione hanno come
effetto quello di ridurre al minimo la
superficie di un liquido. Infatti le gocce
se sono molto piccole hanno forma
sferica. !
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Energia potenziale e tensione superficiale
Se gonfio una bolla di sapone debbo effettuare un sia pur piccolo
lavoro. Si trova sperimentalmente che il lavoro necessario per
allargare la superficie di un tale sistema è pari alla differenza fra area
iniziale ed area finale: !
(
L = τ S f − Si
)
La grandezza tau ha le dimensioni di una forza diviso una lunghezza
(N/m) ed è chiamata tensione superficiale. !
Il nome è giustificato dal fatto che se si trasforma la bolla di sapone in
una membrana di forma quadrata su ogni lato agisce una forza data
da:!
Dato che il campo di forza è
conservativo si può definire una
energia potenziale superficiale: !
F = τl
U = −τS
€
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Contatto fluido-fluido
La tensione superficiale giustifica il fatto che in alcuni casi si formino delle
goccioline di liquido sulla superficie di unʼaltro liquido. !
Se ho due liquidi immiscibili quello più leggero formerà delle gocce a
forma di lente sulla superficie dellʼaltro. Al bordo della lente agiranno tre
forze tangenti alle superfici dei liquidi e che tendono a diminuire lʼarea
della superficie. !
Una forza orizzontale dovuta alla tensione di
B che tende a ridurre lʼarea di B ed allargare
quindi la goccia. Un forza inclinata verso lʼalto
dovuta alla tensione di A che tende a
restringere la goccia. Un forza inclinata verso
il basso dovuta alla tensione specifica della
superficie fra i due liquidi. La forma della
goccia deve soddisfare la condizione: !
FτA + FτB + FτAB = 0
Se tau di B è maggiore della somma degli altri due tau non si può avere
soluzione e il liquidi a forma una strato sottile su B senza formare gocce.!
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Il contagocce
Il contagocce è una applicazione della tensione superficiale. !
Lo scorrere del liquido nel capillare forma una goccia che è sempre più
grande finchè non si stacca e cade. Perchè la goccia rimane attaccata ?!
La goccia rimane attaccata poichè la forza di tensione
superficiale fra B e Bʼ è verticale e pari a: !
Fz = 2πτr0
Con il raggio r0 determinato dalla dimensione esterna
del capillare. Quando il peso della goccia mg supera
Fz la goccia si stacca. Risultato: tutte le gocce sono
uguali. !
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Capillarità
Nella nostra esperienza quotidiana osserviamo che, se immergiamo
parzialmente nellʼacqua un solido poroso, lʼacqua sale anche al di sopra
del suo livello superficiale. Questo fenomeno si chiama capillarità. !
Lo si può osservare bene confrontando il livello di tubicini aperti immersi
in una vasca. Il livello del liquido non è lo stesso e la deviazione è più
grande nei tubicini piccoli (capillari).!
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Menisco
Si osserva inoltre che quando il livello del capillare è più alto la superficie
del liquido è concava. Quando il livello del capillare è più basso la
superficie del liquido è convessa. La superfice curva e detta menisco. !
La ragione è che gli atomi posti sul bordo della superficie percepiscono tre forze:!
• Gravità!
• Forza di coesione del liquido, parallela alla superficie e diretta al centro del tubo!
• Forza di adesione alla parete solida diretta perpendicolarmente alla parete !
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Menisco
La superficie del menisco sarà diretta perpendicolarmente al vettore forza
totale R. !
Si intuisce che se la forza di adesione (F2) è più grande della forza di coesione
(F1) il menisco è concavo (figura a sinistra). !
Se invece la forza di coesione è più grande il menisco è convesso. !
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Fine capitolo
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