Esercizi svolti in aula il 7 ottobre

Esercizio 12
Qual è il valore futuro di una rendita annua di 1.200€, durata
di 15 anni e che si capitalizza al tasso effettivo annuo del
12%.
F
0
15
1.200€
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Esercizio 12
F
0
15
1.200€
 1  i n  1 
 1  0,12 15  1 
  1.200 

F  A




i
0,12




 F / A ,12,15 
 1.200  37,28   44.736€


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Esercizio 13
Mediante versamenti costanti ogni 4 mesi in un fondo che si
capitalizza al tasso effettivo annuo del 13%, si vuole arrivare
ad accumulare in 8 anni una somma di 15.000€. Qual è
l’ammontare del versamento necessario?
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Esercizio 13


 A / F ,i ,n 
i

AF
 F
n
 1  i   1 




Si deve calcolare i effettivo per il periodo d’interesse (4 mesi, m=3)
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Esercizio 13
ieff 1 
3
r
 1  ia 
m
1
lm
1
3
 1  1  0,13   1  4,16%




i
1




0,0416
3
  15.000 

A  15.000 
8

3
24


 1  0,0416   1 



 1  i   1 
1
 


3


 A / F ,4,16,24 
 15.000  0,03   450€


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Esercizio 14
Qual è il pagamento annuale richiesto per rimborsare un
premio di 2.500€ in tre anni se il tasso d’interesse è
dell’8% composto annualmente?
 i  1  i n 
 A / P ,8,3 
  2.500  0,39   975€
A  P
n
 1  i   1 




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Esercizio 15
Una persona sta per acquistare un’automobile che costa
15.000€ e deve essere pagata in 48 rate mensili da 395€.
Quale tasso d’interesse annuale nominale deve essere pagato
per questo accordo finanziario se l’interesse viene composto
mensilmente?
  1  i n  1 

P  A
n
 1  i  i 


i è l’interesse effettivo composto mensilmente
P  P / A,i ,48  15.000

 37,97

A 
395

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Per trovare ieff,1/12 incognito si
utilizza l’interpolazione lineare
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Approfondimento: INTERPOLAZIONE LINEARE
La curva f(x) viene approssimata da una retta
Dato x’ vogliamo determinare un valore
approssimato di f(x’).
y
A
f(a)
f ( x ')
y'
f(b)
e
D
Per utilizzare l’interpolazione lineare è
necessario conoscere almeno due punti
(a, f(a)) e (b,f(b)) t.c. x’ (a,b)
E
Per ottenere y’ si deve determinare
l’equazione della retta passante per (a,
f(a)) e (b,f(b))
B
a
C
x'
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b
x
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INTERPOLAZIONE LINEARE
y
A
f(a)
f ( x ')
y'
f(b)
e
D
e f(x’)-y’ è l’errore commesso utilizzando l’interpolazione
lineare
I due triangoli ADE – ABC sono simili:
E
AD : AB = DE : BC
B
a
C
x'
b
x
 f (a) - y ' :  f (a) - f (b)  (x '- a): (b - a)
x ' a
y '  f (a)  ( f (b)  f (a))
ba
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INTERPOLAZIONE LINEARE
y
f(a)
A
Dato y’ cerchiamo x’ = il valore approssimato di f –1(y’)
y'
f(b)
D
E
B
a
ef
C
e
x ' f  y ' b
1
1
(y ')  x '
x
 f (a)  y ' :  f (a)  f (b)  (x ' a): (b  a)
y ' f (a)
x '  a  (b  a)
f (b)  f (a)
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Fine – INTERPOLAZIONE LINEARE
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Esercizio 15
Riprendiamo lo svolgimento dell’esercizio 15
48
P  P / A,i ,48  (1  i)  1
y'   
 37,97

48
A 

i(1  i)
Devo determinare un valore approssimato di
ieff,1/12  x’, cerco due valori (a,f(a)) e (b,f(b))
per effettuare l’interpolazione lineare
f(a)
37,97
f(b)
Dalle tavole finanziarie:
 P / A,0,8,48 
a  ia  0,8%  f (a)  
  39,73

a
 P / A,1,2,48 
b  ib  1,2%  f (b)  
  36,33

b
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ia
ib
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i
Esercizio 15
 P / A,0,8,48 
 P / A,1,2,48 
ia  0,8%  
  39,73 ib  1,2%  
  36,33

a

b
 P / A,i ,48   P / A,i a ,48 


  


 
 
i 1  ia   ib  ia 
P / A,i b ,48   P / A ,i a ,48 

12




 


 

37,97  39,73
 0,008   0,012  0,008 
 1,01%
36,33  39,73
r  m  i 1  12  0,0101  12,12%
12
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