oscllazioni
1. Le leggi che governano un sistema oscillante possono essere
ricavate in maniera completa e rigorosa utilizzando principi fisici
di base e strumenti matematici piuttosto semplici.
2. E’ piuttosto agevole riconoscere il rispetto di queste leggi nel
comportamento di semplici oggetti come una molla, un
lampadario che oscilla o un’altalena. Addirittura è possibile
relizzare con poco sforzo qualche oscillatore meccanico su cui
fare osservazioni e verifiche e poi complicare via via gli
esperimenti, ad esempio realizzando l’accoppiamento di due di
questi oscillatori.
3. Infine si può man mano scoprire che nel mondo che ci circonda
moltissime cose, tra loro diversissime, si comportano in realtà
come oscillatori. Le semplici leggi che avremo imparato ci
aiuteranno quindi ad interpretare e comprendere fenomeni tra
loro molto lontani per natura (dagli oscillatori meccanici ai circuiti
elettrici) e per dimensioni (dalla scala atomica alla interpretazione
delle orbite ellittiche dei pianeti).
1
martedì 17 febbraio 2015
Tutta la trigonometria che serve
scomposizione della posizione in due componenti.
seno e coseno di un angolo
relazione tra arco e angolo
gradi e radianti
• utilità di alcune rappresentazioni concrete
vettori, rappresentazione cartesiana e polare
2
martedì 17 febbraio 2015
il moto circolare uniforme
moto circolare
x = r cosφ
y = r sin φ
moto uniforme
φ = ωt, dove ω = 2π/T
x = r cos ωt
y = r sin ωt
modulo costante della velocità
v = 2πr/T = ωr
da una semplice costruzione geometrica
vx(t) = −ωr sin ωt
vy(t) = ωrcosωt
3
martedì 17 febbraio 2015
il moto circolare uniforme
moto circolare
x = r cosφ
y = r sin φ
moto uniforme
φ = ωt, dove ω = 2π/T
x = r cos ωt
y = r sin ωt
modulo costante della velocità
v = 2πr/T = ωr
da una semplice costruzione geometrica
vx(t) = −ωr sin ωt
vy(t) = ωrcosωt
abbiamo appena dimostrato che
la derivata di cosωt è −ωsinωt
e la derivata di sinωt è ωcosωt.
4
martedì 17 febbraio 2015
il moto circolare uniforme (2)
per analogia possiamo ricavare l’accelerazione
ax =−ω2rcosωt
ay =−ω2rsinωt
l’accelazione nel moto circolare uniforme vale in modulo
ω2r ed è diretta come il raggio vettore ma in verso
opposto.
è una accelerazione diretta verso il centro, o centripeta,
come ci si deve aspettare dal secondo principio della
dinamica se la forza responsabile del moto circolare
uniforme è diretta verso il centro:
f = mω2r
fx = −mω2x
fy = −mω2y
5
martedì 17 febbraio 2015
moto armonico
x(t) = r cos ωt
v(t) = −ωrsinωt
a(t) = −ω2r cos ωt = −ω2x(t)
f = ma
f = −mω2x = −kx
Viceversa, se la forza è f = −kx, sappiamo che la legge
oraria sarà un moto armonico.
6
martedì 17 febbraio 2015
moto armonico
x(t) = r cos ωt
v(t) = −ωrsinωt
a(t) = −ω2r cos ωt = −ω2x(t)
f = ma
f = −mω2x = −kx
Viceversa, se la forza è f = −kx, sappiamo che la legge
oraria sarà un moto armonico.
Abbiamo appena risolto una equazione differenziale!
7
martedì 17 febbraio 2015
Trigonometria
Trigonometria
scomposizione
scomposizione della
della posizione
posizione in
in due
due componenti.
componenti.
seno
e
coseno
di
un
angolo
seno e coseno di un angolo
relazione
relazione tra
tra arco
arco e
e angolo.
angolo. gradi
gradi e
e radianti
radianti
di
alcune
rappresentazioni
•• utilità
utilità di alcune rappresentazioni concrete
concrete
vettori,
rappresentazione
cartesiana
e
polare
vettori, rappresentazione cartesiana e polare
digressione su limiti e derivate
(digressione
(digressione sui
sui limiti
limiti e
e sulle
sulle derivate)
derivate)
sin
"
sin " = 1 dove ! = a /r è il rapporto tra arco e raggio:
lim
lim
= 1 dove ! = a /r è il rapporto tra arco e raggio:
x !0 "
x !0 "
consideriamo
consideriamo le
le aree
aree dei
dei due
due triangoli
triangoli e
e dello
dello spicchio
spicchio di
di cerchio
cerchio indicati
indicati in
in figura:
figura:
ii due
triangoli
hanno
entrambi
base
e
altezza
rispettivamente
e
r
sin
x
r
tan
r
due triangoli hanno entrambi base r e altezza rispettivamente r sin x e r tan xx ,,
!
!
mentre
mentre l'area
l'area dello
dello spicchio
spicchio può
può essere
essere calcolata
calcolata come
come frazione
frazione 2" dell'area
dell'area
2"
!
! r 22 = 11 !r 22 = 11 ar
della
della circonferenza:
circonferenza: 2" "
"r = 2 !r = 2 ar
2"
2
2
!!
11 22
11 22
11 22
rr sin
!
<
rr !
<
r tan !
sin
!
<
!
<
22
22
22 r tan !
!
11
!
11 <
< sin ! <
< cos !
sin ! cos !
calcoliamo
calcoliamo ora
ora la
la derivata
derivata come
come limite
limite del
del rapporto
rapporto
incrementale
incrementale
ff +
+ !f
!f =
= sin(
sin("
"+
+!
!"
" ),
), ff =
= sin(
sin("
" ))
"
"+
+!
!"
"#
#"
" cos "
"+
+!
!"
"+
+"
"
!f
!f =
= sin(
sin("
"+
+!
!"
" )) #
# sin(
sin("
" )) =
= 2sin
2sin
cos
22
22
!"
2" + !"
!"
2sin !" cos
cos 2" + !" sin
sin !"
2sin
$$
!f
!
22
22
2
!f =
!"
" '')
=
+
=
= !"2 cos
cos&&%"
"
+
!
!
22 )((
!"
%
!"
"
!"
"
22
dd
!f
sin "
"=
= lim
lim !f =
= cos
cos "
"
sin
!
"
*0
dd"
!" *0 !
"
!"
"
Tutte
Tutte le
le dimostrazioni
dimostrazioni si
si basano
basano sulla
sulla misura
misura dell'angolo
dell'angolo in
in radianti,
radianti, ossia
ossia come
come
rapporto
di
lunghezze
rapporto di lunghezze
8
martedì 17 febbraio 2015
66
moto armonico
Se la forza è f = −kx, abbiamo dimostrato che la legge
oraria sarà un moto armonico:
x(t) = r cos ωt
v(t) = −ωrsinωt
a(t) = −ω2r cos ωt = −ω2x(t)
ed dovendo essere (II principio)
f=ma
−kx(t)=−mω2x(t)
avremo ω2=k/m
9
martedì 17 febbraio 2015
energia potenziale armonica
x = x0 cos ωt
v(t) = −ωx0 sin ωt
vmax = ωx0
T = 1/2 m v(t)2 = 1/2 m vmax2 sin2 ωt
E = T + U = 1/2 mvmax2 = 1/2 m ω2x02
U(x) = 1/2 m ω2x02 (1- sin2 ωt) = 1/2 m ω2x02 cos2 ωt = 1/2 k x2(t)
Notate che abbiamo ricavato il potenziale armonico senza
fare integrali.
con una derivata elementare possiamo vedere che la forza è
la derivata del potenziale rispetto alla posizione
10
martedì 17 febbraio 2015
signicato di f = -kx (“forza elastica”)
Se il punto è fermo in x=0, la forza è nulla
il punto x=0 è tale che se mi allontano da esso verso
destra o verso sinistra, la forza si oppone allo
spostamento
“forza di richiamo”
il punto x=0 è una posizione di equilibrio stabile
La forza elastica non è l’unico esempio di forza di
richiamo
11
martedì 17 febbraio 2015
il pendolo
Un’altra forza di richiamo è quella a cui è soggetto un
pendolo.
Le forze in gioco: un esercizio sulla scomposizione dei
vettori (trigonometria!)
−mg sinϑ = mat
at =d2s/dt2
s = rϑ
(solo se ϑ è misurato in radianti!)
sinϑ ≈ ϑ = s/r
piccole oscillazioni!
−mg s/r = m d2s/dt2
d2s/dt2 = −g/r s
s(t) moto armonico di pulsazione ω2=g/r
12
martedì 17 febbraio 2015
l’approssimazione di piccolo angolo non è un caso...
se analizziamo il meccanismo di una qualunque forza di
richiamo, è abbastanza intuitivo capire da dove nasce
l’oscillazione
se cerchiamo di formalizzare, possiamo però avere
qualche difficoltà
13
martedì 17 febbraio 2015
l’approssimazione di piccolo angolo non è un caso...
le difficoltà scompaiono immediatamente se usiamo il
paradigma delle montagne russe
per una forza di richiamo, il punto centrale
• è un minimo del potenziale
• è un punto di equilibrio
14
martedì 17 febbraio 2015
l’approssimazione di piccolo angolo non è un caso...
le difficoltà scompaiono immediatamente se usiamo il
paradigma delle montagne russe
per una forza di richiamo, il punto centrale
• è un minimo del potenziale
• è un punto di equilibrio
qualunque sistema oscilla intorno al suo punto di
equilibrio
15
martedì 17 febbraio 2015
l’approssimazione di piccolo angolo non è un caso...
le difficoltà scompaiono immediatamente se usiamo il
paradigma delle montagne russe
per una forza di richiamo, il punto centrale
• è un minimo del potenziale
• è un punto di equilibrio
qualunque sistema oscilla intorno al suo punto di
equilibrio
tuttavia una oscillazione non è necessariamente un moto
armonico
16
martedì 17 febbraio 2015
l’approssimazione di piccolo angolo non è un caso...
le difficoltà scompaiono immediatamente se usiamo il
paradigma delle montagne russe
per una forza di richiamo, il punto centrale
• è un minimo del potenziale
• è un punto di equilibrio
qualunque sistema oscilla intorno al suo punto di
equilibrio
tuttavia una oscillazione non è necessariamente un moto
armonico
o sì?
17
martedì 17 febbraio 2015
conclusione sul moto armonico
abbiamo una oscillazione
• in ogni intorno di un punto di equilibrio stabile
• oppure in ogni minimo dell'energia potenziale
• oppure per ogni forza di richiamo
e in tutti questi casi
• le piccole oscillazioni sono armoniche
18
martedì 17 febbraio 2015
conservazione del momento angolare
sistemi isolati
isotropia dello spazio
forze centrali
momento della forza rispetto al centro nullo
forze centrali a simmetria sferica (la forza dipende
solo dal modulo di r)
la forza è conservativa, si conserva sia il
momento angolare che l’energia totale
a
f =− 2
r
⇒ Lr1r2
Lr1r2 = V (r1 ) − V (r2 )
⎛ a a⎞
a
a
= f (r2 − r1 ) = − 2 (r2 − r1 ) −
(r2 − r1 ) = − ⎜ − ⎟
r
r1r2
⎝ r1 r2 ⎠
a
⇒ V (r) = −
r
19
martedì 17 febbraio 2015
la prima legge di Keplero
2
2
v rmv
p
ϑ = ω = = 2 = 2
r mr
mr
2 ˙2
v = r˙ + r θ
2
M
m
M S mp
1
1
p
S
p
2
2 ˙2
2
E = m r˙ + r θ − G
= mr˙ +
2 −G
2
r
2
2mr
r
(
)
2
M S mp
p
Veff (r) =
= Vc (r) + VG (r)
2 −G
2mr
r
r
Veff
V(r)
1 2
E = mr˙ + Veff (r)
2
20
martedì 17 febbraio 2015
Vc(r)
interpretazione del potenziale efficace
In un riferimento rotante col pianeta, questo è
soggetto alla gravitazione, attrattiva e alla forza
centrifuga, repulsiva.
E’ facile verificare che Vc rappresenta il potenziale
della forza centrifuga:
v rmv
p
essendo ω = r = mr 2 = mr 2
si ha
2
2
p
p
f c = mrω 2 = mr 2 4 =
m r
mr 3
p2
p2
Vc = − ∫ f c dr = − ∫
dr = −
3
mr
m
21
martedì 17 febbraio 2015
∫
dr 1 p 2
=
3
r
2 mr 2
barriera centrifuga
Per piccoli r, domina Vc, per cui il pianeta
non può cadere sul Sole, a grandi r
domina V
Il pianeta non può allontanarsi
indefinitamente se E<0.
Vc(r)
r
Veff
Se E coincide col minimo di Veff, l’orbita è
perfettamente circolare, altrimenti il
pianeta oscilla tra afelio (rmax) e perielio
(rmin), descrivendo un’orbita ellittica.
perielio
afelio
V(r)
r
energia potenziale
gravitazionale
energia cinetica radiale
energia meccanica totale
energia cinetica di rotazione
22
martedì 17 febbraio 2015
generalità del risultato
qualunque sistema a due corpi che si attraggono
(dalle molecole biatomiche alle stelle doppie)
ha un potenziale analogo a quello di un pianeta
intorno al sole: potenziale attrattivo + barriera
centrifuga
(coservazione del momento angolare e
dell’energia)
23
martedì 17 febbraio 2015
il pendolo conico
un modello del moto del pianeta
analogie e differenze
come evolve il moto in presenza di attrito
24
martedì 17 febbraio 2015
conseguenze della barriera centrifuga
forma a disco delle galassie: la attrazione gravitazionale può
contrarre la galassia solo nella direzione ortogonale al
piano di rotazione, mentre su di esso barriera centrifuga
contrasta la contrazione
aumento dell’energia per contrazione: un corpo in rotazione
che perda energia (per attrito, irraggiamento ecc.)
aumenta paradossalmente la sua energia cinetica: infatti,
diminuendo il momento angolare, il sistema si sposta
verso raggi minori, ossia verso valori del potenziale
gravitazionale maggiori in modulo. Quindi K=-V/2
aumenta.
Una nuvola di gas in rotazione che perde energia per
irraggiamento si contrae, aumentando la sua energia
cinetica (e quindi la sua temperatura), meccanismo che
può innescare la combustione stellare.
25
martedì 17 febbraio 2015
oscillatore smorzato
k1
k2
equilibrio:
x=0
m˙x˙ + βx˙ + (k1 + k2 )x = 0
⎛ β ⎞
x(t) = C exp⎜ −
t ⎟ cos ω s t
⎝ 2m ⎠
k1 + k2 β 2
ωs =
− 2
m
4m
26
martedì 17 febbraio 2015
x1
β
= exp(
T)
x2
2m
oscillatore forzato
k1
k2
equilibrio:
x=0, x2=a
x2=a+Acos(ωt)
m˙x˙ = − βx˙ − k1 x − k2 ( x − A cos ωt )
⎛
⎞
βω
⎟
ϕ = arctan ⎜⎜
2⎟
⎝ ( k1 + k2 ) − mω ⎠
mx˙˙ + βx˙ + (k1 + k2 )x = k 2 Acos ωt
k2 A
cos(ωt − ϕ )
x(t ) =
2
m
2
ω
(ω 02 − ω 2 ) − β 2 m 2
x max =
k2
k
m
A= 2
A
βω 0
β k1 + k 2
27
martedì 17 febbraio 2015
ampiezza e fase in funzione della frequenza
F βω 0 x0
π
ϕ
π/2
Fk
0
≈ω0
Ω
ω0
28
martedì 17 febbraio 2015
Ω
dimostrazioni e laboratorio
tre lezioni-dimostrazione
o tre pomeriggi in laboratorio:
• oscillazioni: molla e pendolo, oscillazioni
smorzate
• risonanza
• oscillatori accoppiati
In ogni caso le due opzioni si devono inserire in un
percorso di meccanica nel quale le oscillazioni
hanno un ruolo accentuato rispetto alle trattazioni
tipiche
29
martedì 17 febbraio 2015
cosa serve?
• pendoli e molle
• binario a basso attrito con carrellini
• motorino rotante a velocità variabile
L’acquisizione on-line arricchisce enormemente la
potenzialità, ma
non è strettamente necessaria
deve sempre essere utilizzata come un
sussidio, non come il focus della dimostrazione
(o del laboratorio)
sensori di posizione, dispositivi di acquisizione
varie opzioni, da adattare al percorso e alle risorse
30
martedì 17 febbraio 2015
Proposte per il laboratorio
31
martedì 17 febbraio 2015
molla con massa appesa
misura statica di k: allungamento con masse
diverse
misura dinamica di k: misura del periodo delle
oscillazioni
• col cronometro
• dalla legge oraria attraverso il sensore di
posizione
32
martedì 17 febbraio 2015
isocronismo del pendolo
col cronometro, periodo con masse diverse
col cronometro, periodo con angoli diversi
col sensore di posizione, raccogliere dati per
qualche minuto partendo da un angolo di 20-30
gradi:
• attenuazione esponenziale dell’oscillazione
• variazione del periodo con l’angolo
• estrapolazione del periodo per angolo tendente
a zero
• confronto col periodo teorico
33
martedì 17 febbraio 2015
oscillazione smorzata col carrellino
• determinazione del periodo col cronometro
• determinazione dell’attenuazione dell’ampiezza
su una scala graduata
• registrazione e analisi della legge oraria (col
sensore di posizione o di rotazione)
• confronto con la pulsazione teorica (non
smorzata)
34
martedì 17 febbraio 2015
oscillatore smorzato
k1
k2
equilibrio:
x=0
m˙x˙ + βx˙ + (k1 + k2 )x = 0
⎛ β ⎞
x(t) = C exp⎜ −
t ⎟ cos ω s t
⎝ 2m ⎠
x1
x2
k1 + k2 β 2
ωs =
− 2
m
4m
?!
35
martedì 17 febbraio 2015
x1
β
= exp(
T)
x2
2m
oscillatore stimolato da una forza periodica
come si realizza in pratica
la curva di risonanza
• misurare le ampiezze massime sulla scala in
centrimetri (o col sensore)
• costruire la curva per punti
• studiare il ruolo dell’attrito (aumentando la
massa dei carrellini)
fase della risposta
36
martedì 17 febbraio 2015
oscillatore forzato
k1
k2
equilibrio:
x=0, x2=a
x2=a+Acos(ωt)
m˙x˙ = − βx˙ − k1 x − k2 ( x − A cos ωt )
⎛
⎞
βω
⎟
ϕ = arctan ⎜⎜
2⎟
⎝ ( k1 + k2 ) − mω ⎠
mx˙˙ + βx˙ + (k1 + k2 )x = k 2 Acos ωt
k2 A
cos(ωt − ϕ )
x(t ) =
2
m
2
ω
(ω 02 − ω 2 ) − β 2 m 2
x max =
k2
k
m
A= 2
A
βω 0
β k1 + k 2
37
martedì 17 febbraio 2015
ampiezza e fase in funzione della frequenza
F βω 0 x0
π
ϕ
π/2
Fk
0
≈ω0
Ω
ω0
38
martedì 17 febbraio 2015
Ω
fattore di merito
Energia immagazzinata:
l’oscillatore assorbe tanta più energia quanto più lo
stimolo ha una frequenza prossima alla risonanza
la larghezza della campana stabilisce la selettività
dell’oscillatore (es. sintonizzazione di un segnale radio)
“fattore di merito”: tanto migliore quanto più stretta è la
campana
39
martedì 17 febbraio 2015
scambi energetici con gli oscillatori
Maggiore è Q (minore lo smorzamento) tanto più selettivo
è l’oscillatore
cosa succede se β → 0,Q → ∞ ?
l’oscillatore non può scambiare energia con lo stimolo
esterno: se la frequenza è diversa, la risposta è
assente, se la frequenza è uguale, l’energia tende ad
•
infinito, raggiungendo
sicuramente il carico di rottura
dell’oscillatore
40
martedì 17 febbraio 2015
ruolo della dissipazione
Notiamo che la maggior parte degli scambi di energia naturali
ed artificiali si basa su onde (oscillazioni) e risonanza:
la radiazione eccita atomi e molecole intorno alla posizione di
equilibrio
l’emissione e la ricezione del suono (naturale ed artificiale) si
basa su meccanismi di oscillazione
la trasmissione e la ricezione di radiosegnali avviene tramite
oscillazioni elettriche regolate dalle stesse leggi degli
oscillatori meccanici
Ruolo della dissipazione negli scambi di energia!
senza dissipazione (attrito o altre forme) non sarebbe
possibile lo scambio di segnali, ma neanche il
trasferimento di energia dal sole alla terra attraverso la
radiazione luminosa
41
martedì 17 febbraio 2015
