Logica proposizionale temporale - Dipartimento di Filosofia

Un argomento valido
I
1. Publio voterà e Quinto voterà.
2. Publio non voterà quando Quinto voterà.
3. Quindi, o Publio voterà e poi Quinto voterà o Quinto voterà e poi Publio
voterà.
Logica proposizionale
temporale
I
I
I
Sandro Zucchi
2016-17
I
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
Considerate l’argomento seguente proposto da Burgess (2009):
1
L’argomento è valido in italiano.
Tuttavia, non possiamo rappresentarlo in logica proposizionale.
Infatti, il valore di verità di enunciati complessi come “Publio voterà e poi
Quinto voterà” non è una funzione del valore di verità degli enunciati che
lo compongono: il fatto che “Publio voterà” e “Quinto voterà” siano
entrambi veri non determina il valore di verità di “Publio voterà e poi
Quinto voterà”.
Se vogliamo rappresentare argomenti di questo tipo in un linguaggio
formale, dobbiamo dunque introdurre un linguaggio che permetta di
esprimere nozioni temporali.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
2
Il linguaggio LKt
Una strategia nota
i simboli
I
I
I
Per costruire un linguaggio che permette di rappresentare
argomenti la cui validità dipende da aspetti temporali
seguiremo una strategia nota.
Inizieremo introducendo un linguaggio che chiameremo “LKt ”
e che, in realtà, non è adeguato per i nostri scopi.
Un numero infinito di lettere proposizionali: p1 p2 p3 p4 . . .
I
I connettivi: ∧ ∨ ⊃ ≡ ∼
I
Le parentesi: ( )
I
I connettivi seguenti:
• G (che leggiamo come “sarà sempre vero che” o “si darà
sempre il caso che”)
• H (che leggiamo come “è sempre stato vero che” o “si è
sempre dato il caso che”)
Tuttavia, LKt servirà come base per costruire linguaggi più
adeguati.
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I
3
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
4
Il linguaggio LKt
Connettivi derivati
I
le formule ben formate
Per mezzo dei connettivi G e H possiamo definire due
connettivi ulteriori:
(a) Le lettere proposizionali sono formule ben formate di LKt
(dette formule atomiche).
Se ϕ e ψ sono formule ben formate di LKt , allora:
(b) ∼ ϕ è una formula ben formata di LKt ,
(c) ( ϕ ∧ ψ) è una formula ben formata di LKt ,
(d) ( ϕ ∨ ψ) è una formula ben formata di LKt ,
(e) ( ϕ ⊃ ψ) è una formula ben formata di LKt ,
(f) ( ϕ ≡ ψ) è una formula ben formata di LKt ,
(g) Gϕ è una formula ben formata di LKt ,
(h) Hϕ è una formula ben formata di LKt ,
(i) Nient’altro è una formula ben formata di LKt .
(defP) P =def ∼ H ∼
(defF) F =def ∼ G ∼
I
In base a questa definizione, “P” lo possiamo leggere come
“non è sempre stato vero che non” ovvero “è stato vero che”.
I
“F” lo possiamo leggere come “non sarà sempre vero che
non” ovvero “sarà vero che”.
I
Dal momento che “P” è semplicemente un’abbreviazione per
“∼ H ∼”, ogni volta che compare “P” in una formula
possiamo sostituirlo con “∼ H ∼” e viceversa.
I
Lo stesso vale per “F” e “∼ G ∼”.
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(Convenzione: è possibile tralasciare le parentesi, quando non
crea ambiguità).
5
Un ingrediente fondamentale della semantica di LKt e degli
altri linguaggi temporali che considereremo è la nozione di
verità a un tempo (a un istante).
I
A differenza delle valutazioni per LP, che assegnano valori di
verità alle formule, le valutazioni per LKt assegnano valori di
verità alle formule relativamente a un tempo.
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6
La relazione “≺”
Verità relativa a un tempo
I
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7
I
Un altro ingrediente fondamentale della semantica di LKt è la
relazione binaria tra tempi ≺, che leggiamo come “è prima di”
o “precede temporalmente”.
I
Dunque, “ti ≺ tj ” lo leggiamo come “il tempo ti è prima del
tempo tj ” o “il tempo ti precede il tempo tj ”.
I
Vediamo ora come si formula la semantica di LKt facendo uso
della relazione ≺ e della nozione di verità a un tempo.
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8
Il linguaggio LKt
La funzione valutazione
per ogni tempo t in T,
modelli
(a) se ϕ è una lettera proposizionale di LKt , ν(ϕ, t) ∈ {0, 1};
se ϕ e ψ sono formule ben formate di LKt , allora:
(b) ν(∼ ϕ, t)=1 se ν(ϕ, t)=0, altrimenti ν(∼ ϕ, t)=0;
(c) ν(ϕ ∧ ψ, t)=1 se ν(ϕ, t)=1 e ν(ψ, t)=1, altrimenti ν(ϕ ∧ ψ, t)=0;
(d) ν(ϕ ∨ ψ, t)=1 se non accade che ν(ϕ, t)=0 e ν(ψ, t)=0,
altrimenti ν(ϕ ∨ ψ, t)=0;
(e) ν(ϕ ⊃ ψ, t)=1 se non accade che ν(ϕ, t)=1 e ν(ψ, t)=0,
altrimenti ν(ϕ ⊃ ψ, t)=0;
(f) ν(ϕ ≡ ψ, t)=1 se ν(ϕ, t)=ν(ψ, t), altrimenti
ν(ϕ ≡ ψ, t)=0.
(g) ν(Gϕ, t)=1 se per ogni t’ in T tale che t≺t’, ν(ϕ, t’)=1,
altrimenti ν(Gϕ, t))=0;
(h) ν(Hϕ, t)=1 se per ogni t’ in T tale che t’≺t, ν(ϕ, t’)=1,
altrimenti ν(Hϕ, t))=0;
Un modello per LKt è una tripla <T, ≺, ν>, dove
1. T è un insieme non vuoto di tempi (istanti),
2. ≺ è una relazione binaria tra elementi di T,
3. ν è una funzione che assegna un valore di verità alle formule
di LKt relativamente a un tempo nel modo seguente:
(“ν(ϕ, t)=1” si legge come “il valore di verità di ϕ al tempo t è 1”).
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9
I
I
I
Dal momento che gli operatori “F” e “P” sono abbreviazioni di
“∼ G ∼” e “∼ H ∼” le clausole nella definizione precedente che
ci dicono come valutare pGϕ, Hϕq e p∼ ϕq ci permettono anche
di valutare pFϕq e pPϕq.
In particolare, pFϕq sarà vera a un tempo t sse la condizione
seguente è soddisfatta: non si dà il caso che ϕ è falsa per ogni
tempo t’ tale che t≺t’ ovvero ϕ è vera ad almeno un tempo t’ tale
che t≺t’.
Con un ragionamento simile, arriviamo alla conclusione che pPϕq
sarà vera a un tempo t sse la condizione seguente è soddisfatta:
non si dà il caso che ϕ è falsa per ogni tempo t’ tale che t’≺t
ovvero ϕ è vera ad almeno un tempo t’ tale che t’≺t.
Dunque, le condizioni di verità per pFϕq e pPϕq sono le seguenti:
(i) ν(Fϕ, t)=1 se per almeno un t’ in T tale che t≺t’, ν(ϕ, t’)=1,
I
Un argomento in LKt con premesse ϕ1 , . . . , ϕn e conclusione
ψ è valido in LKt se e solo se non esiste un modello <T, <,
ν> di LKt e un tempo t in T tali che
ν( ϕ1 , t ) = 1, . . . , ν( ϕn , t ) = 1 e ν(ψ, t ) = 0.
I
Se un argomento è valido in LKt diremo anche che le sue
premesse implicano la sua conclusione in LKt .
I
In simboli, quando un argomento in LKt è valido, scriveremo:
{ ϕ1 , . . . , ϕn } |=LK t ψ
I
altrimenti ν(Fϕ, t)=0;
(j) ν(Pϕ, t)=1 se per almeno un t’ in T tale che t’≺t, ν(ϕ, t’)=1,
altrimenti ν(Pϕ, t)=0.
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Validità in LKt
Valutazione di Fϕ e Pϕ
I
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Una formula ben formata ϕ di LKt è valida (|=LK t ϕ) se e
solo se non esiste un modello <T, ≺, ν> di LKt e un tempo t
in T tali che ν(ϕ, t)=0.
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12
Deduzione naturale per LKt
Nota storica
I
Introdurrò ora un sistema di deduzione naturale per LKt che
chiamo Kt (NAT).
I
Il sistema si basa su Garson (2006).
L’inventore della logica del tempo è stato Prior (1957).
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13
Il sistema Kt (NAT)
I
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
14
Le regole HF e GP
Il sistema Kt (NAT) consiste in queste regole:
HF
GP
ϕ ⊃ HFϕ
ϕ ⊃ GPϕ
• tutte le regole di LP(NAT);
• le regole HI, HE, GI, GE, HF, GP.
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15
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
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Commento alle regole HF e GP
La regola GI
GI
I
I
I
La regole HF e GP ci permettono di introdurre ad ogni punto
di una derivazione delle righe della forma p ϕ ⊃ HFϕq e
p ϕ ⊃ GPϕq.
Prova: G ϕ
Il principio intuitivo che motiva HF è che, se qualcosa è vero
a un tempo t, allora è vero ad ogni istante t’ che precede t
che quella cosa è vera nel futuro rispetto a t’.
.
.
.
ϕ
Il principio intuitivo che motiva GP è che, se qualcosa è vero
a un tempo t, allora è vero ad ogni istante t’ successivo a t
che quella cosa è vera nel passato rispetto a t’.
GI
nessuna ass.
dove tutti i riferimenti esterni alla prova si ottengono
applicando la regola GE.
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La regola GE
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
18
Commento alle regole GI e GE
GE
I
I
i. Gψ
Prova: Gϕ
.
.
j. Ψ
GI
I
I
GE, i
I
I
dove tra pGψq e la riga pProva : Gϕq non deve occorrere un’altra
riga pProva : Gχq per GI.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
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La regola di introduzione GI ci dà un modo per provare enunciati
della forma pGϕq.
Se vogliamo provare pGϕq usando questa regola, le uniche righe
esterne alla prova di cui possiamo fare uso sono righe della forma
pGψq.
Possiamo cercare di provare pGϕq per GI importando ψ nella prova
per mezzo di un’applicazione di GE.
L’altra possibilità offerta dalla regola è cercare di provare ϕ senza
far ricorso ad alcuna riga esterna alla prova.
Questo modo di provare enunciati della forma pGϕq riflette l’idea
che ciò che è dedotto da premesse che sono sempre vere in futuro (o
senza far uso di alcuna premessa) è esso stesso sempre vero in
futuro.
Si noti che, per poter applicare la regola GE, tra pGψq e la riga
pProva : Gϕq non deve occorrere un’altra riga pProva : Gχq per GI.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
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La regola HI
La regola HE
HE
HI
Prova: H ϕ
i. Hψ
HI
Prova: Hϕ
.
.
j. Ψ
nessuna ass.
.
.
.
ϕ
dove tutti i riferimenti esterni alla prova si ottengono
applicando la regola HE.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
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I
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
22
Completezza e correttezza
Le regole HI e HE funzionano esattamente come le regole
corrispondenti GI e GE:
• La regola di introduzione HI ci dà un modo per provare enunciati
della forma pHϕq.
• Se vogliamo provare pHϕq usando questa regola, le uniche righe
esterne alla prova di cui possiamo fare uso sono righe della forma
pHψq.
• Possiamo cercare di provare pHϕq per HI importando ψ nella prova
per mezzo di un’applicazione di HE.
• L’altra possibilità offerta dalla regola è cercare di provare ϕ senza far
ricorso ad alcuna riga esterna alla prova.
I
HE, i
tra pHψq e la riga pProva : Hϕq non deve occorrere un’altra riga
pProva : Hχq per HI.
Commento alle regole HI e HE
I
HI
È possibile mostrare che Kt (NAT) permette di derivare una
conclusione da un insieme di premesse esattamente nei casi in
cui le premesse implicano la conclusione in LKt .
I
In simboli:
{ ϕ1 , . . . , ϕn } `K t (NAT ) ψ sse { ϕ1 , . . . , ϕn } |=LK t ψ.
I
Questo modo di provare enunciati della forma pHϕq riflette l’idea
che ciò che è dedotto da premesse che sono sempre vere in passato
(o senza far uso di alcuna premessa) è esso stesso sempre vero in
passato.
Si noti che, per poter applicare la regola HE, tra pHψq e la riga
pProva : Hϕq non deve occorrere un’altra riga pProva : Hχq per HI.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
I
23
(Come caso particolare, è possibile mostrare che `K t (NAT ) ψ
sse |=K t ψ).
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
24
Tableaux per LKt
La forma delle regole
I
Kt (TAB)
il sistema di tableaux per
Chiameremo
I
Kt (TAB), cosı̀ come altri sistemi di tableaux che introdurremo
in seguito, è basato su Priest (2001).
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
• da una riga della forma p ϕ, i q, dove i è un numero naturale,
oppure
• da una riga della forma i ≺ j, dove i e j sono numeri naturali.
LKt .
I
Nelle regole di Kt (TAB), le regole dei tableaux per il
linguaggio LKt , ogni nodo è occupato
25
I
Intuitivamente, possiamo pensare ai numeri naturali che
occorrono in un nodo come a tempi. Possiamo leggere “ϕ, i”
come “la formula ϕ è vera al tempo ti ” e “i ≺ j” come “il
tempo ti precede il tempo tj ”.
I
(Ufficialmente, le regole di Kt (TAB) non fanno però alcun
riferimento al significato dei simboli che manipolano).
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Regole per Kt (TAB)
Regole per Kt (TAB)
connettivi vero-funzionali
connettivi temporali
26
Gϕ, i
i<j
ϕ, j
Hϕ, i
j<i
ϕ, j
§Gϕ, i
F§ϕ, i
§Fϕ, i
G§ϕ, i
Fϕ, i
i<j
ϕ, j
Pϕ, i
j<i
ϕ, j
§Hϕ, i
P§ϕ, i
§Pϕ, i
H§ϕ, i
dove j è nuovo.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
27
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
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Come applicare le regole
Completezza e correttezza
I Ogni premessa ϕ alla radice dell’albero deve occorrere con il numero 0: p ϕ, 0q.
La negazione della conclusione, p∼ ψq, alla radice dell’albero deve occorrere con
il numero 0: p∼ ψ, 0q.
I Nelle regole per G e H le righe pHϕ, i q e pi < j q devono essere entrambe già
presenti sul ramo per poter applicare la regola (non è però necessario che siano
adiacenti né nell’ordine indicato).
I Un ramo del tableaux è chiuso se e solo per qualche formula ϕ e qualche
numero i, sia p ϕ, i q che p∼ ϕ, i q occorrono sul ramo.
I Le definizioni di tableau chiuso, terminato e derivabilità in Kt (TAB) sono le
consuete:
•
•
•
•
•
È possibile dimostrare che le regole di Kt (TAB) permettono di
derivare una conclusione da un insieme di premesse
esattamente nel caso in cui le premesse implicano la
conclusione in LKt .
I
In simboli:
Un tableau è terminato se e solo se ogni regola che può essere applicata è
stata applicata.
Un tableau è chiuso se ogni suo ramo è chiuso; altrimenti è aperto.
{ ϕ1 , . . . , ϕn } `K t (TAB ) ψ sse { ϕ1 , . . . , ϕn } |=LK t ψ.
ψ è derivabile in Kt (TAB) da un insieme di formule Σ se e solo se c’è un
tableau terminato e chiuso la cui radice consiste nei membri di Σ e nella
negazione di ψ.
{ ϕ1 , . . . , ϕn } `K t (TAB ) ψ =def . ψ è derivabile in Kt (TAB) dall’insieme di
formule { ϕ1 , . . . , ϕn }.
`K t (TAB ) ϕ =def . ϕ è derivabile in Kt (TAB) dall’insieme vuoto ∅.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
I
29
(Come caso particolare, è possibile mostrare che `K t (TAB ) ψ
sse |=LK t ψ).
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
30
La relazione ≺ nei modelli di LKt
Interpretazione intesa degli operatori temporali
I
I
Abbiamo deciso di intendere cosı̀ i connettivi temporali di LKt :
•
•
•
•
H “è sempre stato vero che”
G “sarà sempre vero che”
P “è stato vero che”
F “sarà vero che”
I
Il problema è che nella definizione di modello di LKt abbiamo
assunto semplicemente che ≺ fosse una relazione binaria tra
tempi, senza imporre alcuna condizione.
I
La semantica di LKt autorizza questo modo di leggere i
connettivi temporali di LKt se intendiamo la relazione ≺ nel
modello come la relazione di precedenza temporale.
I
Quindi, nella definizione di modello di LKt , non c’è niente che
autorizza a intendere ≺ come la relazione di precedenza
temporale.
I
Per esempio, è perché intendiamo ≺ come precedenza
temporale che la condizione (i) equivale a dire che pPϕq
significa che è stato vero che ϕ:
I
Dunque, non c’è niente che autorizza a intendere i connettivi
temporali nel modo che abbiamo assunto.
(j) ν(Pϕ, t)=1 se per almeno un t’ in T tale che t’≺t, ν(ϕ,
t’)=1, altrimenti ν(Pϕ, t)=0
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
31
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
32
Condizioni su ≺
Transitività
I
I
Se ≺ è la relazione di precedenza temporale (“prima di”) tra
tempi (istanti), quali condizioni dovrebbe soddisfare?
I
Vediamone alcune.
Chiaramente, se un tempo t1 è prima di un tempo t2 e t2 è
prima di un tempo t3, allora t1 è prima di t3:
t1
I
33
Riflessività
t3
Dunque, se ≺ è la relazione di precedenza temporale, una
condizione che deve soddisfare è la transitività:
(τ)
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
t2
per ogni t, t’, t”, se t≺t’ e t’≺t”, allora t ≺t”.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
Simmetria
I
Chiaramente, un tempo non è mai prima di sé stesso.
I
Se un tempo t è prima di un tempo t’, t’ non è prima di t.
I
Dunque, la riflessività non è una condizione ragionevole da
imporre su ≺, se ≺ è la relazione di precedenza temporale:
I
Dunque, la simmetria non è una condizione ragionevole da
imporre su ≺, se ≺ è la relazione di precedenza temporale:
(ρ)
34
per ogni t, t≺t.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
(σ)
35
per ogni t, t’, se t≺t’, allora t’≺t.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
36
Una precisazione: il tempo chiuso
Densità
Quando affermiamo che la relazione di precedenza temporale non è né
simmetrica né riflessiva, pensiamo ai tempi come dei punti su un segmento.
Tuttavia, se pensiamo ai tempi come dei punti su un cerchio, le cose cambiano:
I
I
t2
t1
I
I
I
Nella fisica classica, si assume normalmente che il tempo sia
denso, cioè che tra ogni due tempi ci sia sempre un altro
tempo.
I
Dunque, se ≺ è la relazione di precedenza temporale nel senso
della fisica classica, una condizione plausibile è la densità:
Per esempio, percorrendo il cerchio in senso orario possiamo trovare t1 prima di
t2 e, proseguendo, t2 prima di t1. Inoltre, possiamo trovare t1 prima di trovare
t1 di nuovo.
Dunque, se pensiamo al tempo come una linea chiusa, può aver senso dire che
un tempo precede sé stesso o che un tempo t1 precede ed è preceduto da un
tempo t2. In altre parole, pensando il tempo in questo modo la relazione di
precedenza temporale sembra essere simmetrica e riflessiva!
Qui ignoreremo la possibilità che il tempo sia chiuso, in quanto non è chiaro
che corrisponda alla nostra intuizione preteorica relativa alla nozione di tempo.
Per una discussione di questo modo di concepire il tempo, vedi Newton-Smith
(1980).
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
(δ)
37
Connessione
I
I
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
I
I
Inoltre, nella fisica classica si assume che la relazione di precedenza
temporale abbia le proprietà seguenti:
I
La proprietà di convergenza in avanti esclude, per ogni tempo
dato, dei tempi futuri rispetto a quel tempo che non siano in
connessione tra loro. In questo senso, esclude la possibilità
che, dato un istante t, il futuro rispetto a t sia “ramificato”:
t’ t t’’ La convergenza in avanti dice che, se i tempi t’ e t” sono entrambi
successivi a un tempo t vale questo: o t’ e t” sono uguali oppure
sono ordinati dalla relazione ≺ (ovvero t’ precede t” o viceversa).
La convergenza all’indietro dice che, se i tempi t’ e t” sono entrambi
precedenti a un tempo t, vale questo: o t’ e t” sono uguali oppure
sono ordinati dalla relazione ≺ (ovvero t’ precede t” o viceversa).
Se ≺ gode sia della proprietà dell convergenza in avanti sia della
proprietà della convergenza all’indietro, diciamo che ≺ è connessa.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
38
Futuro ramificato
(φ) (convergenza in avanti) per ogni t, t’, t”, se t≺t’ e
t≺t”, allora (t’≺t” o t’ = t” o t”≺t’)
(β) (convergenza all’indietro): se t’≺t e t”≺t, allora (t’≺t”
o t’ = t” o t”≺t’)
I
per ogni t, t’ se t≺t’, allora per qualche t”, t≺t” e
t”≺t’.
I
39
(Nella figura, t’ e t” sono nel futuro rispetto a t e differiscono,
ma nessuno dei due precede l’altro).
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
40
Passato ramificato
I
Fine e inizio del tempo
La proprietà di convergenza all’indietro esclude, per ogni
tempo dato, dei tempi passati rispetto a quel tempo che non
siano in connessione tra loro. In questo senso, esclude la
possibilità che, dato un istante t, il passato rispetto a t sia
“ramificato”:
I
t’ t t’’ I
I
(Nella figura, t’ e t” sono nel passato rispetto a t e
differiscono, ma nessuno dei due precede l’altro).
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
41
Una pluralità di linguaggi
I
I
I
(η)
(no last point) per ogni t, c’è un tempo t’ tale che
t≺t’.
(η’)
(no first point) per ogni t, c’è un tempo t’ tale che
t’≺t.
(Nella fisica classica si assume inoltre che la relazione di
precedenza temporale abbia le stesse proprietà della relazione
“minore di” sull’insieme dei reali, ma qui ignoreremo questo
fatto).
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
42
Il linguaggio della logica temporale lineare
Nonostante siano comunemente assunte nella fisica classica,
quasi tutte le proprietà di ≺ che abbiamo elencato in aggiunta
alla transitività, e cioè la densità, la convergenza in avanti,
l’assenza di un punto iniziale, l’assenza di un punto finale,
sono state messe in discussione nel dibattito filosofico.
Seguendo la strategia che abbiamo adottato per i linguaggi
della logica modale, introdurremo alcune estensioni di LKt
(con relativi sistemi di deduzione naturale e sistemi di
tableaux) che differiscono tra loro per le proprietà di ≺ che
abbiamo elencato.
I
Il primo linguaggio che introduciamo lo chiamiamo LKtβφτ o
linguaggio della logica temporale lineare.
I
Il linguaggio LKtβφτ è definito esattamente come il linguaggio
LKt , eccetto per la definizione di modello.
I
In particolare, la seconda clausola nella definizione di modello,
viene modificata cosı̀:
• Un modello per LKtβφτ è una tripla <T, ≺, ν>, dove
1. . . .
2. ≺ è una relazione binaria tra elementi di T transitiva,
convergente in avanti e convergente all’indietro,
3. . . .
In particolare, considereremo due estensioni: il linguaggio della
logica temporale lineare e il linguaggio della logica temporale
lineare densa.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
Infine, nella fisica classica si assume che il tempo non abbia
un ultimo momento né un primo momento:
43
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
44
Il sistema Ktβφτ (NAT)
Il linguaggio della logica temporale lineare densa
I
Il linguaggio LKtβδφτ è definito esattamente come il linguaggio
LKtτ , eccetto per il fatto che la seconda clausola nella
definizione di modello, viene modificata cosı̀:
• Un modello per LKtβδφτ è una tripla <T, ≺, ν>, dove
I
• tutte le regole di Kt (NAT);
• le regole G4, H4, Nofbr, Nopbr.
1. . . .
2. ≺ è una relazione binaria tra elementi di T transitiva,
convergente in avanti, convergente all’indietro e densa,
3. . . .
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
Il sistema Ktβφτ (NAT) consiste in queste regole:
45
Le regole G4 e H4
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica proposizionale temporale
46
Le regole Nopbr e Nofbr
Nofbr
G4
Gϕ ⊃ GGϕ
(Fϕ ∧ Fψ) ⊃ ((F( ϕ ∧ Fψ) ∨ F(Fϕ ∧ ψ)) ∨ F( ϕ ∧ ψ))
H4
Nopbr
Hϕ ⊃ HHϕ
(Pϕ ∧ Pψ) ⊃ ((P( ϕ ∧ Pψ) ∨ P(Pϕ ∧ ψ)) ∨ P( ϕ ∧ ψ))
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47
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48
Il sistema Ktβδφτ (NAT)
Le regole CG4 e CH4
CG4
I
GGϕ ⊃ Gϕ
Il sistema Ktβδφτ (NAT) consiste in queste regole:
• tutte le regole di Ktβφτ (NAT);
• le regole CG4, CH4.
CH4
HHϕ ⊃ Hϕ
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49
È possibile mostrare che Ktβφτ (NAT) e Ktβδφτ (NAT)
permettono di derivare una conclusione da un insieme di
premesse esattamente nei casi in cui le premesse implicano la
conclusione in LKtβφτ e LKtβδφτ , rispettivamente.
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50
Tableaux per LKtβφτ
Completezza e correttezza
I
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I
Il sistema di tableaux per LKtβφτ comprende:
• le regole per Kt (TAB);
• le regole specifiche per LKtβφτ : transitività, sostituzione,
fconvergenza, pconvergenza.
51
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52
Regole specifiche per LKtβφτ
Fconvergenza
Transitività
Tableaux per LKtβδφτ
Pconvergenza
i<j
j<k
i<j
i<k
j<i
k<i
i<k
j<k j=k k<j
j<k j=k k<j
I
Sostituzione
αi
i=j
αi
j=i
αj
αj
Il sistema di tableaux per LKtβδφτ comprende:
• le regole per Ktβφτ (TAB),
• la regola di densità.
dove α i è una riga del tableau
che contiene i, e α j è identica
ad α i eccetto che j sostituisce i.
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53
Regola di densità
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Completezza e correttezza
Densità
I
i<j
i<k
k<j
È possibile dimostrare che le regole di Ktβφτ (TAB) e le regole
di Ktβδφτ (TAB) permettono di derivare una conclusione da un
insieme di premesse esattamente nel caso in cui le premesse
implicano la conclusione in LKtβφτ e in LKtβδφτ ,
rispettivamente.
dove k è un indice nuovo.
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55
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56
Combinazione di tempo e modalità
Il linguaggio LMT
i simboli
I
Concludiamo introducendo un linguaggio, che chiameremo
LMT, che contiene sia operatori modali che operatori
temporali.
I
Un numero infinito di lettere proposizionali: p1 p2 p3 p4 . . .
I
I connettivi: ∧ ∨ ⊃ ≡ ∼
I
Le parentesi: ( )
I
I connettivi seguenti:
• G, H, 2, 3
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57
Il linguaggio LMT
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58
Verità relativa a un mondo e a un tempo
le formule ben formate
(a) Le lettere proposizionali sono formule ben formate di LMT
(dette formule atomiche).
Se ϕ e ψ sono formule ben formate di LMT, allora:
(b) ∼ ϕ è una formula ben formata di LMT,
(c) ( ϕ ∧ ψ) è una formula ben formata di LMT,
(d) ( ϕ ∨ ψ) è una formula ben formata di LMT,
(e) ( ϕ ⊃ ψ) è una formula ben formata di LMT,
(f) ( ϕ ≡ ψ) è una formula ben formata di LMT,
(g) Gϕ è una formula ben formata di LMT,
(h) Hϕ è una formula ben formata di LMT,
(i) 2ϕ è una formula ben formata di LMT,
(j) 3ϕ è una formula ben formata di LMT.
(k) Nient’altro è una formula ben formata di LMT.
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I
59
Le valutazioni per LMT assegnano valori di verità alle formule
relativamente a un mondo e a un tempo.
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60
Il linguaggio LMT
La funzione valutazione
per ogni mondo w in W e tempo t in T,
modelli
(a) se ϕ è una lettera proposizionale di LMT, ν(ϕ, w, t) ∈ {0, 1};
se ϕ e ψ sono formule ben formate di LMT, allora:
(b) ν(∼ ϕ, w, t)=1 se ν(ϕ, w, t)=0, altrimenti ν(∼ ϕ, w, t)=0;
(c) ν(ϕ ∧ ψ, w, t)=1 se ν(ϕ, w, t)=1 e ν(ψ, w, t)=1, altrimenti ν(ϕ ∧ ψ, w, t)=0;
(d) ν(ϕ ∨ ψ, w, t)=1 se non accade che ν(ϕ, w, t)=0 e ν(ψ, w, t)=0, altrimenti
ν(ϕ ∨ ψ, w, t)=0;
(e) ν(ϕ ⊃ ψ, w, t)=1 se non accade che ν(ϕ, w, t)=1 e ν(ψ, w, t)=0, altrimenti
ν(ϕ ⊃ ψ, w, t)=0;
(f) ν(ϕ ≡ ψ, w, t)=1 se ν(ϕ, w, t)=ν(ψ, w, t), altrimenti
ν(ϕ ≡ ψ, w, t)=0.
(g) ν(Gϕ, w, t)=1 se per ogni t’ in T tale che t≺t’, ν(ϕ, w, t’)=1, altrimenti
ν(Gϕ, w, t)=0;
(h) ν(Hϕ, w, t)=1 se per ogni t’ in T tale che t’≺t, ν(ϕ, w, t’)=1, altrimenti
ν(Hϕ, w, t)=0;
(i) ν(2ϕ, w, t)=1 se per ogni w’ in W tale che wRw’, ν(ϕ, w’, t)=1, altrimenti
ν(2ϕ, w, t)=0;
(j) ν(3ϕ, w, t)=1 se per qualche w’ in W tale che wRw’, ν(ϕ, w’, t)=1,
altrimenti ν(3ϕ, w, t))=0;
Un modello per LMT è una tripla <W, T, R, ≺, ν>, dove
1. W è un insieme non vuoto di mondi possibili,
2. T è un insieme non vuoto di tempi (istanti),
3. R è una relazione binaria universale tra elementi di W,
4. ≺ è una relazione binaria tra elementi di T transitiva,
convergente in avanti e convergente all’indietro.
5. ν è una funzione che assegna un valore di verità alle formule
di LMT relativamente a un tempo e a un mondo nel modo
seguente:
(“ν(ϕ, w, t)=1” si legge come “il valore di verità di ϕ al mondo w e al tempo t è 1”).
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Valutazione di Fϕ e Pϕ
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Validità in LMT
(k) ν(Fϕ, w, t)=1 se per almeno un t’ in T tale che t≺t’, ν(ϕ, w,
t’)=1, altrimenti ν(Fϕ, w, t)=0;
(l) ν(Pϕ, w, t)=1 se per almeno un t’ in T tale che t’≺t, ν(ϕ,
w, t’)=1, altrimenti ν(Pϕ, w, t)=0.
I
Un argomento in LMT con premesse ϕ1 , . . . , ϕn e conclusione
ψ è valido in LMT se e solo se non esiste un modello <W, T,
R, ≺, ν> di LMT, un mondo w in W e un tempo t in T tali
che ν( ϕ1 , w , t ) = 1, . . . , ν( ϕn , w , t ) = 1 e ν(ψ, w , t ) = 0.
I
Se un argomento è valido in LMT diremo anche che le sue
premesse implicano la sua conclusione in LMT.
I
In simboli, quando un argomento in LMT è valido, scriveremo:
{ ϕ1 , . . . , ϕn } |=LMT ψ
I
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63
Una formula ben formata ϕ di LMT è valida (|=LMT ϕ) se e
solo se non esiste un modello <W, T, R, ≺, ν> di LMT, un
mondo w in W e un tempo t in T tali che ν(ϕ, w, t)=0.
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64
Un’estensione di LMT
I
Il linguaggio LMT combina il linguaggio modale LS5 con il
linguaggio della logica lineare.
I
Definiamo ora un’estensione di LMT, che chiameremo LMTδ e
che incorpora l’assunzione che il tempo è denso.
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Il linguaggio LMTδ
I
Un modello per LMTδ è una tripla <W, T, R, ≺, ν>, dove
...
...
...
≺ è una relazione binaria tra elementi di T transitiva,
convergente in avanti, convergente all’indietro e densa.
5. . . .
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Il sistema MTδ (NAT)
Il sistema MT(NAT) consiste in queste regole:
I
• le regole di S5(NAT),
• le regole di Ktβφτ (NAT).
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Il linguaggio LMTδ è identico a LMT, eccetto per il punto 4
della definizione di modello.
1.
2.
3.
4.
Il sistema MT(NAT)
I
I
Il sistema MTδ (NAT) consiste in queste regole:
• le regole di S5(NAT),
• le regole di Ktβδφτ (NAT).
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Aspettando una dimostrazione di completezza
I
Per il sistema MT(NAT), cosı̀ come per il sistema MTδ (NAT),
non c’è una dimostrazione di completezza, ovvero non è stato
dimostrato che ogni argomento valido in LMT è derivabile in
MT(NAT).
I
Thomason (1984) fa questo commento al riguardo: “As far as
I know, the general problem of axiomatising these logics has
not been solved. But I’m not sure that it is worth doing,
except as an exercise. The completeness proofs should not be
difficult. . . ”
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