Teoria dei numeri 2

Teoria dei numeri 2
Alberto Saracco
Università di Parma
[email protected]
Udine, 18 ottobre 2015
Alberto Saracco
Teoria dei numeri
Udine, 18 ottobre 2015
1 / 16
Esercizio
Es. 12 gara distrettuale - 2001
Sia n il più piccolo intero positivo maggiore di 200 che si può scrivere sia
come somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi
consecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n?
Alberto Saracco
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Esercizio
Es. 12 gara distrettuale - 2001
Sia n il più piccolo intero positivo maggiore di 200 che si può scrivere sia
come somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi
consecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n?
Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora
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Esercizio
Es. 12 gara distrettuale - 2001
Sia n il più piccolo intero positivo maggiore di 200 che si può scrivere sia
come somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi
consecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n?
Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora
n=5 ·
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2x + 4
2y + 5
2x + 6
=6 ·
=7 ·
2
2
2
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Esercizio
Es. 12 gara distrettuale - 2001
Sia n il più piccolo intero positivo maggiore di 200 che si può scrivere sia
come somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi
consecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n?
Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora
n=5 ·
2x + 4
2y + 5
2x + 6
=6 ·
=7 ·
2
2
2
n = 5 · (x + 2) = 3 · (2y + 5) = 7 · (x + 3)
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Esercizio
Es. 12 gara distrettuale - 2001
Sia n il più piccolo intero positivo maggiore di 200 che si può scrivere sia
come somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi
consecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n?
Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora
n=5 ·
2x + 4
2y + 5
2x + 6
=6 ·
=7 ·
2
2
2
n = 5 · (x + 2) = 3 · (2y + 5) = 7 · (x + 3)
Quindi n è multiplo di 3, 5, 7 ma non di 2: 3 · 5 · 7 = 105, quindi n = 315.
In effetti:
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Esercizio
Es. 12 gara distrettuale - 2001
Sia n il più piccolo intero positivo maggiore di 200 che si può scrivere sia
come somma di 5 interi consecutivi che come somma di 6 interi
consecutivi che di 7 interi consecutivi. Quanto vale n?
Sia n la somma dei numeri da x a x + 4, da y a y + 5 e da z a z + 6. Allora
n=5 ·
2x + 4
2y + 5
2x + 6
=6 ·
=7 ·
2
2
2
n = 5 · (x + 2) = 3 · (2y + 5) = 7 · (x + 3)
Quindi n è multiplo di 3, 5, 7 ma non di 2: 3 · 5 · 7 = 105, quindi n = 315.
In effetti:
n = 61 + 62 + 63 + 64 + 65 = 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + 55
n = 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48
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2 / 16
Divisione euclidea - fattorizzazione
Divisione euclidea
Dati a, b ∈ Z tali che a 6= 0, allora esistono (unici) due interi q, r con
0 ≤ r < |a| tali che
b = aq + r
r si dice resto.
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Divisione euclidea - fattorizzazione
Divisione euclidea
Dati a, b ∈ Z tali che a 6= 0, allora esistono (unici) due interi q, r con
0 ≤ r < |a| tali che
b = aq + r
r si dice resto. Se r = 0 si dice che a è un divisore di b: a|b.
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Divisione euclidea - fattorizzazione
Divisione euclidea
Dati a, b ∈ Z tali che a 6= 0, allora esistono (unici) due interi q, r con
0 ≤ r < |a| tali che
b = aq + r
r si dice resto. Se r = 0 si dice che a è un divisore di b: a|b.
Numeri primi
Un numero p ∈ N si dice primo se ha esattamente due divisori positivi (1 e
p).
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Divisione euclidea - fattorizzazione
Divisione euclidea
Dati a, b ∈ Z tali che a 6= 0, allora esistono (unici) due interi q, r con
0 ≤ r < |a| tali che
b = aq + r
r si dice resto. Se r = 0 si dice che a è un divisore di b: a|b.
Numeri primi
Un numero p ∈ N si dice primo se ha esattamente due divisori positivi (1 e
p).N.B. 1 ha un solo divisore positivo, non è primo!
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Divisione euclidea - fattorizzazione
Divisione euclidea
Dati a, b ∈ Z tali che a 6= 0, allora esistono (unici) due interi q, r con
0 ≤ r < |a| tali che
b = aq + r
r si dice resto. Se r = 0 si dice che a è un divisore di b: a|b.
Numeri primi
Un numero p ∈ N si dice primo se ha esattamente due divisori positivi (1 e
p).N.B. 1 ha un solo divisore positivo, non è primo!
Fattorizzazione in numeri primi
Ogni n ∈ N, n > 1 si scrive in maniera unica (a meno dell’ordine) come
n =
k
Y
piαi
i=1
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3 / 16
MCD - mcm
Massimo Comun Divisore
Dati n interi positivi a1 , . . . , an si dice massimo comun divisore di a1 , . . . , an il più
grande intero positivo che divide tutti gli ai :
MCD(a1 , . . . , an )
Per due numeri a1 , a2 si indica anche con (a1 , a2 ).
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MCD - mcm
Massimo Comun Divisore
Dati n interi positivi a1 , . . . , an si dice massimo comun divisore di a1 , . . . , an il più
grande intero positivo che divide tutti gli ai :
MCD(a1 , . . . , an )
Per due numeri a1 , a2 si indica anche con (a1 , a2 ). La fattorizzazione del MCD
contiene tutti e soli i primi presenti nella fattorizzazione di tutti gli ai , elevati
all’esponente minimo.
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MCD - mcm
Massimo Comun Divisore
Dati n interi positivi a1 , . . . , an si dice massimo comun divisore di a1 , . . . , an il più
grande intero positivo che divide tutti gli ai :
MCD(a1 , . . . , an )
Per due numeri a1 , a2 si indica anche con (a1 , a2 ). La fattorizzazione del MCD
contiene tutti e soli i primi presenti nella fattorizzazione di tutti gli ai , elevati
all’esponente minimo. Se (a, b) = 1, a e b si dicono coprimi.
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MCD - mcm
Massimo Comun Divisore
Dati n interi positivi a1 , . . . , an si dice massimo comun divisore di a1 , . . . , an il più
grande intero positivo che divide tutti gli ai :
MCD(a1 , . . . , an )
Per due numeri a1 , a2 si indica anche con (a1 , a2 ). La fattorizzazione del MCD
contiene tutti e soli i primi presenti nella fattorizzazione di tutti gli ai , elevati
all’esponente minimo. Se (a, b) = 1, a e b si dicono coprimi.
minimo comune multiplo
Dati n interi positivi a1 , . . . , an si dice minimo comune multiplo di a1 , . . . , an il più
piccolo intero positivo che è diviso da tutti gli ai :
mcm(a1 , . . . , an )
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MCD - mcm
Massimo Comun Divisore
Dati n interi positivi a1 , . . . , an si dice massimo comun divisore di a1 , . . . , an il più
grande intero positivo che divide tutti gli ai :
MCD(a1 , . . . , an )
Per due numeri a1 , a2 si indica anche con (a1 , a2 ). La fattorizzazione del MCD
contiene tutti e soli i primi presenti nella fattorizzazione di tutti gli ai , elevati
all’esponente minimo. Se (a, b) = 1, a e b si dicono coprimi.
minimo comune multiplo
Dati n interi positivi a1 , . . . , an si dice minimo comune multiplo di a1 , . . . , an il più
piccolo intero positivo che è diviso da tutti gli ai :
mcm(a1 , . . . , an )
La fattorizzazione del mcm contiene tutti e soli i primi presenti nella
fattorizzazione di almeno un ai , elevati all’esponente massimo.
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Esercizio
Es.8 gara distrettuale 1999
Sia M il minimo comune multiplo di tutti gli interi fra 1 e 100. Quale dei
seguenti è un divisore di M?
(A) 1990 (B) 2000 (C) 2002 (D) 2004 (E) 2020
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Esercizio
Es.8 gara distrettuale 1999
Sia M il minimo comune multiplo di tutti gli interi fra 1 e 100. Quale dei
seguenti è un divisore di M?
(A) 1990 (B) 2000 (C) 2002 (D) 2004 (E) 2020
Bisogna sfruttare la fattorizzazione in numeri primi!
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Esercizio
Es.8 gara distrettuale 1999
Sia M il minimo comune multiplo di tutti gli interi fra 1 e 100. Quale dei
seguenti è un divisore di M?
(A) 1990 (B) 2000 (C) 2002 (D) 2004 (E) 2020
Bisogna sfruttare la fattorizzazione in numeri primi!
1990 = 2 · 5 · 199
2000 = 24 · 53 = 16 · 125
2002 = 2 · 7 · 11 · 13
2004 = 22 · 3 · 167
2020 = 22 · 5 · 101
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Esercizio
Es.8 gara distrettuale 1999
Sia M il minimo comune multiplo di tutti gli interi fra 1 e 100. Quale dei
seguenti è un divisore di M?
(A) 1990 (B) 2000 (C) 2002 (D) 2004 (E) 2020
Bisogna sfruttare la fattorizzazione in numeri primi!
1990 = 2 · 5 · 199
2000 = 24 · 53 = 16 · 125
2002 = 2 · 7 · 11 · 13
2004 = 22 · 3 · 167
2020 = 22 · 5 · 101
E’ 2002.
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Teorema di Bezout
Siano a, b ∈ Z e d = (a, b). Allora esistono due interi m, n tali che
ma + nb = d
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6 / 16
Teorema di Bezout
Siano a, b ∈ Z e d = (a, b). Allora esistono due interi m, n tali che
ma + nb = d
Come si calcolano m, n? Con l’algoritmo delle divisioni euclidee iterate.
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Congruenze
Sia m > 1 intero.
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Congruenze
Sia m > 1 intero.
Definizione
Se a, b ∈ Z si dice che a ≡ b (m) (a è congruo a b modulo m) se e solo se
a = b + km
per un qualche k ∈ Z, ovvero se e solo se a e b, divisi per m danno lo
stesso resto r (0 ≤ r < m). r si dice rappresentante privilegiato della
classe di congruenza di a (o di b) modulo m.
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7 / 16
Congruenze
Sia m > 1 intero.
Definizione
Se a, b ∈ Z si dice che a ≡ b (m) (a è congruo a b modulo m) se e solo se
a = b + km
per un qualche k ∈ Z, ovvero se e solo se a e b, divisi per m danno lo
stesso resto r (0 ≤ r < m). r si dice rappresentante privilegiato della
classe di congruenza di a (o di b) modulo m.
Comportamento rispetto a somma e prodotto.
Se a1 ≡ a2 e b1 ≡ b2 allora
a1 ∗ b1 ≡ a2 ∗ b2
dove l’operazione ∗ può essere la somma, la differenza o il prodotto.
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7 / 16
Esercizio
Es.8 - gara distrettuale 2004
Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a1 , . . . , an ∈ N,
ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza è
multipla di 10.
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8 / 16
Esercizio
Es.8 - gara distrettuale 2004
Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a1 , . . . , an ∈ N,
ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza è
multipla di 10.
Osserviamo innanzitutto che se due numeri sono congrui modulo 10, la
loro differenza è multipla di 10.
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8 / 16
Esercizio
Es.8 - gara distrettuale 2004
Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a1 , . . . , an ∈ N,
ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza è
multipla di 10.
Osserviamo innanzitutto che se due numeri sono congrui modulo 10, la
loro differenza è multipla di 10. Inoltre se a ≡ 10 − b(10) allora la loro
somma è multipla di 10.
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8 / 16
Esercizio
Es.8 - gara distrettuale 2004
Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a1 , . . . , an ∈ N,
ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza è
multipla di 10.
Osserviamo innanzitutto che se due numeri sono congrui modulo 10, la
loro differenza è multipla di 10. Inoltre se a ≡ 10 − b(10) allora la loro
somma è multipla di 10. L’insieme 0, 1, 2, 3, 4, 5 non ha tale proprietà.
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8 / 16
Esercizio
Es.8 - gara distrettuale 2004
Determinare il minimo numero n tale che, comunque scelti a1 , . . . , an ∈ N,
ne esistono due distinti tali che la loro somma o la loro differenza è
multipla di 10.
Osserviamo innanzitutto che se due numeri sono congrui modulo 10, la
loro differenza è multipla di 10. Inoltre se a ≡ 10 − b(10) allora la loro
somma è multipla di 10. L’insieme 0, 1, 2, 3, 4, 5 non ha tale proprietà.
Ogni insieme con almeno sette elementi ricade in uno dei primi due casi: o
ci sono due numeri congrui modulo 10 o mancano al più tre classi di resto,
quindi c’è almeno una coppia tra (1, 9), (2, 8), (3, 7), 4, 6). Quindi n = 7
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8 / 16
Congruenze
Divisione
La divisione tra classi di resto non è ben definita: 14 ≡ 2(4) e 5 ≡ 1(4) ma
14
2
= 7 ≡ 3 6≡ 2 =
(4)
2
1
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9 / 16
Congruenze
Divisione
La divisione tra classi di resto non è ben definita: 14 ≡ 2(4) e 5 ≡ 1(4) ma
14
2
= 7 ≡ 3 6≡ 2 =
(4)
2
1
Inverso
b si dice inverso di a modulo m se ab ≡ 1 (m). a è invertibile modulo m
se e solo se (a, m) = 1.
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9 / 16
Congruenze
Divisione
La divisione tra classi di resto non è ben definita: 14 ≡ 2(4) e 5 ≡ 1(4) ma
14
2
= 7 ≡ 3 6≡ 2 =
(4)
2
1
Inverso
b si dice inverso di a modulo m se ab ≡ 1 (m). a è invertibile modulo m
se e solo se (a, m) = 1.
Infatti il teorema di Bezout ci dice che (a, m) = 1 se e solo se ∃h, k ∈ Z
tali che
ah + km = 1
ovvero se e solo se h è l’inverso di a modulo m.
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9 / 16
Criteri di congruenza
In questa pagina n ∈ N è scritto in base 10.
2 n è congruo modulo 2 alla sua ultima cifra.
3 n è congruo modulo 3 alla somma delle sue cifre.
4 n è congruo modulo 4 al naturale costituito dalle sue ultime 2 cifre.
5 n è congruo modulo 5 alla sua ultima cifra.
9 n è congruo modulo 9 alla somma delle sue cifre.
10 n è congruo modulo 5 alla sua ultima cifra.
11 n è congruo modulo 11 alla somma a segni alterni delle sue cifre,
usando il segno positivo per la cifra delle unità.
2k n è congruo modulo 2k al naturale costituito dalle sue ultime k cifre.
5k n è congruo modulo 5k al naturale costituito dalle sue ultime k cifre.
10k n è congruo modulo 10k al naturale costituito dalle sue ultime k cifre.
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10 / 16
Esercizio
Differenze di numeri
Sia An l’insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno n
cifre 0, n cifre 4, n cifre 8. Ad esempio:
A1 = {048, 084, 408, 480, 804, 840}
e sia Bn l’insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeri
in An .
Trova il massimo comun divisore degli elementi di B10
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11 / 16
Esercizio
Differenze di numeri
Sia An l’insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno n
cifre 0, n cifre 4, n cifre 8. Ad esempio:
A1 = {048, 084, 408, 480, 804, 840}
e sia Bn l’insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeri
in An .
Trova il massimo comun divisore degli elementi di B10
Notiamo che tutti gli elementi di An sono multipli di 4, e che due elementi
di An hanno le stesse cifre, quindi sono nella stessa classe di resto modulo
9. Pertanto tutti gli elementi di Bn sono multipli di 36.
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11 / 16
Esercizio
Differenze di numeri
Sia An l’insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno n
cifre 0, n cifre 4, n cifre 8. Ad esempio:
A1 = {048, 084, 408, 480, 804, 840}
e sia Bn l’insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeri
in An .
Trova il massimo comun divisore degli elementi di B10
Notiamo che tutti gli elementi di An sono multipli di 4, e che due elementi
di An hanno le stesse cifre, quindi sono nella stessa classe di resto modulo
9. Pertanto tutti gli elementi di Bn sono multipli di 36. Notiamo che per
ogni n, 36 = xxxxxxx40 − xxxxxxx04 ∈ Bn , pertanto il massimo comun
divisore cercato è 36.
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11 / 16
Esercizio
Differenze di numeri
Sia An l’insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno n
cifre 1, n cifre 5, n cifre 9. Ad esempio:
A1 = {159, 195, 519, 591, 915, 951}
e sia Bn l’insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeri
in An .
Trova il massimo comun divisore degli elementi di B10
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12 / 16
Esercizio
Differenze di numeri
Sia An l’insieme dei numeri di 3n cifre costituito dai numeri che hanno n
cifre 1, n cifre 5, n cifre 9. Ad esempio:
A1 = {159, 195, 519, 591, 915, 951}
e sia Bn l’insieme costituito da tutte le possibili differenze tra due numeri
in An .
Trova il massimo comun divisore degli elementi di B10
Notiamo che tutti gli elementi di An sono congrui alle loro ultime due cifre
modulo 4, ovvero a uno fra 15, 19, 51, 59, 91, 95 e che questi sono tutti
nella stessa classe di resto modulo 4: ∀k ∈ An k ≡ 3 (9) e che due
elementi di An hanno le stesse cifre, quindi sono nella stessa classe di resto
modulo 9. Pertanto tutti gli elementi di Bn sono multipli di 36. Come
prima concludiamo che il massimo comun divisore cercato è 36.
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Teoria dei numeri
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12 / 16
Teorema Cinese del resto
Sistema di congruenze
Siano m1 , . . . , mk ∈ N maggiori di 1 e a1 , . . . , ak ∈ Z. Risolvere il sistema di
congruenze
x ≡ a1 (m1 )
...
x ≡ ak (mk )
significa trovare degli interi x che verificano contemporaneamente tutte le
congruenze.
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13 / 16
Teorema Cinese del resto
Sistema di congruenze
Siano m1 , . . . , mk ∈ N maggiori di 1 e a1 , . . . , ak ∈ Z. Risolvere il sistema di
congruenze
x ≡ a1 (m1 )
...
x ≡ ak (mk )
significa trovare degli interi x che verificano contemporaneamente tutte le
congruenze.
Osservazioni
1
Un tale sistema può non aver soluzioni: le condizioni x ≡ 0 (2) e x ≡ 3 (4)
sono incompatibili, dato che x non può essere simulaneamente pari e dispari.
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Teoria dei numeri
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13 / 16
Teorema Cinese del resto
Sistema di congruenze
Siano m1 , . . . , mk ∈ N maggiori di 1 e a1 , . . . , ak ∈ Z. Risolvere il sistema di
congruenze
x ≡ a1 (m1 )
...
x ≡ ak (mk )
significa trovare degli interi x che verificano contemporaneamente tutte le
congruenze.
Osservazioni
1
Un tale sistema può non aver soluzioni: le condizioni x ≡ 0 (2) e x ≡ 3 (4)
sono incompatibili, dato che x non può essere simulaneamente pari e dispari.
2
Se x è una soluzione, è una soluzione modulo m1 · · · mk ;
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13 / 16
Teorema Cinese del resto
Sistema di congruenze
Siano m1 , . . . , mk ∈ N maggiori di 1 e a1 , . . . , ak ∈ Z. Risolvere il sistema di
congruenze
x ≡ a1 (m1 )
...
x ≡ ak (mk )
significa trovare degli interi x che verificano contemporaneamente tutte le
congruenze.
Osservazioni
1
Un tale sistema può non aver soluzioni: le condizioni x ≡ 0 (2) e x ≡ 3 (4)
sono incompatibili, dato che x non può essere simulaneamente pari e dispari.
2
Se x è una soluzione, è una soluzione modulo m1 · · · mk ;
3
... anzi: modulo mcm(m1 , . . . , mk )
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13 / 16
Teorema Cinese del resto
Teorema Cinese del resto
Se m1 , . . . , mk sono a due a due coprimi, allora il sistema ammette
un’unica soluzione modulo m1 · · · mk qualunque siano a1 , . . . , ak .
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14 / 16
Teorema Cinese del resto
Teorema Cinese del resto
Se m1 , . . . , mk sono a due a due coprimi, allora il sistema ammette
un’unica soluzione modulo m1 · · · mk qualunque siano a1 , . . . , ak .
E come la trovo? Per i = 1, . . . , k sia
Y
bi =
mj
j6=i
e ci l’inverso di bi modulo mi . Allora una soluzione è
x=
k
X
ai bi ci
i=1
Alberto Saracco
Teoria dei numeri
Udine, 18 ottobre 2015
14 / 16
Teorema Cinese del resto
Teorema Cinese del resto
Se m1 , . . . , mk sono a due a due coprimi, allora il sistema ammette
un’unica soluzione modulo m1 · · · mk qualunque siano a1 , . . . , ak .
E come la trovo? Per i = 1, . . . , k sia
Y
bi =
mj
j6=i
e ci l’inverso di bi modulo mi . Allora una soluzione è
x=
k
X
ai bi ci
i=1
... ovviamente a volte le cose sono più semplici...
Alberto Saracco
Teoria dei numeri
Udine, 18 ottobre 2015
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Esercizio
Le uova
Andando al mercato il contadino dispone le sue uova in fila per 7, ma vede
che nell’ultima fila ne dispone solo 6, poi le dispone in fila per 6 e
nell’ultima fila gliene avanzano 5, infine in fila per 5 e nell’ultima fila gliene
avanzano 4. Sapendo che erano meno di 400, quante uova aveva?
Alberto Saracco
Teoria dei numeri
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Esercizio
Le uova
Andando al mercato il contadino dispone le sue uova in fila per 7, ma vede
che nell’ultima fila ne dispone solo 6, poi le dispone in fila per 6 e
nell’ultima fila gliene avanzano 5, infine in fila per 5 e nell’ultima fila gliene
avanzano 4. Sapendo che erano meno di 400, quante uova aveva?
Il problema consiste nel trovare 0 < x < 400 che risolva il seguente
sistema:
x ≡ 6 (7)
x ≡ 5 (6)
x ≡ 4 (5)
Alberto Saracco
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Udine, 18 ottobre 2015
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Esercizio
Le uova
Andando al mercato il contadino dispone le sue uova in fila per 7, ma vede
che nell’ultima fila ne dispone solo 6, poi le dispone in fila per 6 e
nell’ultima fila gliene avanzano 5, infine in fila per 5 e nell’ultima fila gliene
avanzano 4. Sapendo che erano meno di 400, quante uova aveva?
Il problema consiste nel trovare 0 < x < 400 che risolva il seguente
sistema:
x ≡ 6 (7)
x ≡ 5 (6)
x ≡ 4 (5)
Poiché 5, 6, 7 sono a due a due coprimi, il sistema ammette una e una sola
soluzione modulo 5 · 6 · 7 = 210.
Alberto Saracco
Teoria dei numeri
Udine, 18 ottobre 2015
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Modificando il sistema in
x ≡ 6 ≡ −1 (7)
x ≡ 5 ≡ −1 (6)
x ≡ 4 ≡ −1 (5)
Alberto Saracco
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Udine, 18 ottobre 2015
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Modificando il sistema in
x ≡ 6 ≡ −1 (7)
x ≡ 5 ≡ −1 (6)
x ≡ 4 ≡ −1 (5)
ci accorgiamo che x = −1 risolve il sistema, cosı̀ come 209, 419...
Alberto Saracco
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Modificando il sistema in
x ≡ 6 ≡ −1 (7)
x ≡ 5 ≡ −1 (6)
x ≡ 4 ≡ −1 (5)
ci accorgiamo che x = −1 risolve il sistema, cosı̀ come 209, 419...
Con il vincolo dato, 209 è l’unica soluzione possibile.
Alberto Saracco
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