r
r
F = qE
Il campo elettrico è conservativo
r
αi ∆ l
i
+q
1
L A 1B
B
A
r
r
= ∑ Fi × ∆l i
n
1
In un campo elettrico stazionario il
lavoro non dipende dalla traiettoria
ma solo dal punto iniziale e dal punto
finale.
L A1B = L A2B
2
1
La forza elettrica è conservativa
B
A
2
Se calcoliamo il lavoro su
traiettoria chiusa, sul percorso
A1B2A, otteniamo la circuitazione
della forza elettrica conservativa.
Fi
+q
Il campo elettrico è conservativo
1
αi
∆li
r
r
= ∑ Fi × ∆l i
n
B
A
2
1
2
1
In un campo elettrico stazionario il
lavoro non dipende dalla traiettoria
ma solo dal punto iniziale e dal punto
finale.
L A1B = L A2B
La forza elettrica è conservativa
B
A
L A 1B
Se calcoliamo il lavoro su
traiettoria chiusa, sul percorso
A1B2A, otteniamo la circuitazione
della forza elettrica conservativa.
Fi
+q
αi
1
∆li
A
B
Calcoliamo la
circuitazione della forza
elettrica conservativa.
2
r
r
r
Cl ( F ) = ∑i Fi × ∆l i = L A1B2 A = L A1B + L B2 A
ma
LB2A= -LA2B
r
r
r
Cl ( F ) = L A1B − L A2 B = 0
essendo F = qE si ha:
r
r
r
r
r
r
r
r
Cl ( F ) = ∑i Fi × ∆l i = q ∑ i E i × ∆l = 0 Cl ( E ) = ∑i E i × ∆l i = 0
Il campo elettrico stazionario è conservativo.
definizione di energia
potenziale elettrica
E
LBO=U(B)
LAO=U(A)
A
Scelto un punto O come riferimento, il lavoro fatto dalle
forze del campo elettrico per
portare una particella carica da
un punto al riferimento dipende
solo dal punto iniziale.
B
O
LCO=U(C)
C
+q
D L =U(D)
DO
+q
+q
P
LPO = U(P)
Associamo a ciascun punto il valore della energia potenziale
elettrica della carica q nel punto generico P, rispetto al
riferimento O, U(P) = LPO.
r
r
U ( P ) = ∑ Fi × ∆l i
PO
potenziale elettrico
U(P), fissato il riferimento, dipende dal punto P e
dalla carica q.
Definiamo allora il potenziale elettrico V(P) che,
fissato il riferimento, dipende solo dal punto P:
r
r
r
r
U( P)
L PO
Fi
V(P) =
=
= ∑
× ∆l i = ∑ E i × ∆l i
q
q
PO
PO q
Il potenziale è l’energia potenziale della carica
unitaria.
unità di misura: volt (J/C)
r
r
V ( P ) = ∑ E i × ∆l i
PO
Il valore assoluto del potenziale dipende dal
riferimento, ma.....
Lavoro per portare una carica +q da un punto A a
un punto B di un campo elettrico:
A +q
LAB
LAB = LAO + LOB = LAO – LBO
LAB = U(A) – U(B) = – ∆U
B
LAO
LOB
LAB = q[V(A) – V(B)] = – q∆V
r
r
r
r
1
V ( A ) − V ( B ) = ∑ Fi × ∆l i = ∑ E i × ∆l i
q AB
AB
O
La differenza di potenziale tra due punti A e B è il
lavoro delle forze del campo, mentre la carica unitaria
si sposta da A a B. Non dipende dal riferimento.
Il potenziale è additivo
O
EiB
+qA
∆ li
P
Ei
EiA
r
r
V ( P ) = ∑ E i × ∆l i
+qB
PO
r
r
r
r
r
r
r
V ( P ) = ∑ ( E Ai + E Bi ) × ∆l i = ∑ E Ai × ∆l i + ∑ E Bi × ∆l i =
PO
= V A( P ) + VB( P )
PO
PO
Superfici equipotenziali
M
E
∆ li
N
Se una superficie è
perpendicolare in ogni suo
punto al campo elettrico, è
equipotenziale
r
r
V ( M ) − V ( N ) = ∑ i E i × ∆l i =
= ∑i E i ∆l i cos9 0 ° = 0
quindi V(M) = V(N)
Se una superficie è equipotenziale si può
dimostrare che il campo elettrico è perpendicolare
alla superficie in ogni suo punto.
Dai valori noti del potenziale ricaviamo il campo elettrico
r
r
V ( A ) − V ( B ) = E m × ∆s =
= E m ∆scos α
Em
A
VA
n
∆s
B
VB
V crescenti
(le dimensioni delle superfici e dello
spostamento ∆s sono tanto piccole da
poter ritenere parallele le superfici
equipotenziali)
Il vettore campo elettrico ha la
direzione della normale alle
superfici equipotenziali.
V(A) < V(B)
cosα = –1
V(A) – V(B) < 0
V ( A ) − V ( B ) = − E m ⋅ ∆s
Il campo elettrico ha il verso dei
potenziali decrescenti e modulo:
Em
V ( B ) − V ( A ) ∆V
=
=
∆s
∆s
Il vettore gradiente
Em
A
VA
∆s
grad V V
B
V crescenti
n
B
r
∆V r
Em = −
n
∆s
dove n è il versore normale
∆V r
n = gr ad V
∆s
Em = – gradV
Il gradiente di potenziale è
orientato nel verso dei
potenziali crescenti.
Il campo elettrico ha il verso
dei potenziali decrescenti.
Unità di misura del
campo elettrico:
N
C
V
m
Campo elettrico uniforme
+
+
+ A
d
+ +q
α
+
+
∆s
+
+
+
+
grad V
+
VA
E
C
B
VB
In generale:
-
L AB
r
r
= q( V A − V B ) = q E × ∆s =
= qE ∆S cos α = qEd
L ABC = L AB + L BC = qEd + 0
qEd = q (VA - VB)
VA - VB = Ed
V A −VB
E=
d
E = − gr a dV
con modulo:
Se il campo elettrico è uniforme:
E=
∆V
E=
∆s
∆V V A − V B
=
∆s
d
Concludendo il lavoro in un campo elettrico non
uniforme è:
r
r
r
r
L = ∑i Fi × ∆l i = q ∑ i E i × ∆l i = − q∆V = −q( V fin − V i n )
L = q( V i n − V fin )
In un campo elettrico uniforme:
r
r
L = q E × ∆s = qEd
dove d è la distanza tra le superfici equipotenziali
sulle quali si trovano il punto iniziale e il punto
finale.
e anche:
L = − q∆V
come nel caso generale.
Le cariche si muovono spontaneamente:
quelle positive verso i potenziali decrescenti,
quelle negative verso i potenziali crescenti.
L = q( Vi − Vf ) > 0
q > 0 ⇒ Vi > Vf
q < 0 ⇒ Vi < Vf
