7.3
Sapienza Elettricità Magnetismo 06/09/2007
Una sottile superficie sferica isolante di raggio R = 1.0 m ha carica superficiale
= 9.0 · 10 8 C/m2 . La superficie viene fatta ruotare attorno ad un suo
diametro con velocità angolare costante ! = 3.0 · 103 rad/s. Determinare
~ 0 (in modulo, direzione e verso) nel
a. il campo di induzione magnetica B
centro della superficie sferica;
b. il momento magnetico della superficie sferica, specificando modulo,
direzione e verso;
c. l’energia magnetica del sistema quando viene immerso in un campo di
induzione magnetica costante ed uniforme di modulo B = 2.0 · 10 6 T
inclinato di ⇡/3 rispetto al momento magnetico della superficie sferica.
Soluzione
Consideriamo la porzione di superficie sferica tra due piani perpendicolari
all’asse di rotazione ad altezza z e z +dz. Quando la sfera ruota, alla porzione
di carica
dq = dS = 2⇡R2 sin ✓d✓
depositata su questa striscia infinitesima è associata una corrente elettrica
dq
dq
!
!
=
=
dq =
2⇡R2 sin ✓d✓ = ! R2 sin ✓d✓
dt
T
2⇡
2⇡
dove ✓ è l’angolo al centro della sfera definito dall’asse di rotazione z e dal
raggio che individua la striscia sulla sfera stessa.
di =
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Il contributo della striscia di corrente al campo di induzione magnetica al
centro della sfera è equivalente a quello di un campo generato da una spira
(di raggio r = R sin ✓ e percorsa dalla corrente di) in un punto del suo asse
distante z dal suo centro. Tale campo ha un’unica componente diretta lungo
l’asse di rotazione z
dB0 =
1 µ0 r2 di
1 µ0 R2 sin2 ✓
1 µ0 sin2 ✓
1
=
di =
! R2 sin ✓d✓ = µ0 ! R sin3 ✓d✓
2
2
3/2
3
2 (r + z )
2
R
2
R
2
Integrando su tutta la sfera (0 ✓ ⇡)
Z ⇡
1
1
4
2
B 0 = µ0 ! R
sin3 ✓d✓ = µ0 ! R · = µ0 ! R ⇠ 2.26 · 10
2
2
3
3
0
10
T
c) momento magnetico
Per calcolare il momento magnetico della sfera carica rotante ragioniamo in
maniera analoga applicando il teorema di equivalenza di Ampère. Ciascuna
spira infinitesima contribuisce al momento magnetico per un fattore dato da
dm = ⇡r2 di = ⇡!R4 sin3 ✓ (diretto lungo z con verso positivo), per cui,
integrando su tutta la sfera (0 ✓ ⇡) , si ottiene il momento magnetico
totale
4
m = ⇡R4 ! ⇠ 1.13 · 10 3 Am2
3
c) energia magnetica
L’energia potenziale di un magnete con momento magnetico m
~ in un campo
~ è definita come il lavoro della forza magnetica (il momento
magnetico B
meccanico) nel riallineare il momento di dipolo magnetico, ed è pari a:
⇡
mB
=
⇠ 1.13 · 10 9 J
3
2
Si noti l’analogia con l’espressione dell’energia potenziale del dipolo im~ 0: U = E
~ 0 · p~.
merso nel campo elettrico E
U=
~ =
m
~ ·B
mB cos
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