Diffusione in mezzi non lineari
Lo studio della diffusione di un campo elettromagnetico, in mezzi conduttori non lineari è un argomento importante in tutto il settore dell’elettrotecnica e della compatibilità
elettromagnetica. Il processo è descritto dalle seguenti equazioni di Maxwell:
rotE = −
∂B(H)
∂t
rotH = −σE
(1)
(2)
B(H) indica una relazione costitutiva non lineare (possibilmente isteretica) tra la densità
di flusso e il campo magnetico. Attravero l’operazione rotore di rotore si ottiene:
∇ × ∇ × H = −σ
∂B(H)
∂t
(3)
e poi ancora
−∇2 H + ∇∇ · H = −σ
∂B(H)
∂t
(4)
L’espressione (4) è un’equazione alle derivate parziali vettoriale non lineare. Per rendere il
problema più o meno trattabile si affronterà il caso di una penetrazione normale di un’onda
elettromagnetica piana in un semispazio indefinito di conduttore magnetico non lineare. Nel
caso di onda piana e pentrazione normale il campo magnetico può essere indicato come:
H(z, t) = ax Hx (z, t) + ay Hy (z, t)
(5)
Si verifica che ∇ · H = 0 per cui l’equazione (4) si riduce a:
∂B(H)
∂2H
=
σ
∂z 2
∂t
(6)
equazione di diffusione vettoriale non lineare. Nel caso di mezzi lineari si ha:
∂2H
∂H
= σµ
2
∂z
∂t
(7)
che può essere scritta attraverso due equazioni scalari:
∂ 2 Hx
∂z 2
∂ 2 Hy
∂z 2
x
= σµ ∂H
∂t
y
= σµ ∂H
∂t
1
(8)
Mentre nel caso di mezzi non lineari si ha:
∂ 2 Hx
∂z 2
∂ 2 Hy
∂z 2
x ,Hy )
= σ ∂Bx (H
∂t
x ,Hy )
= σ ∂By (H
∂t
(9)
Semplificando si può supporre di considerare una sola componente del campo magnetico e
andare a considerare un’equazione del tipo:
∂B(H)
∂2H
=σ
2
∂z
∂t
(10)
Si possono trovare in letteratura tecniche analitiche che descrivono la soluzione di
un’equazione di diffusione non lineare per cui la non linearità sia di tipo a gradino, del
tipo cioè B(H) = Bm sign(H). Supposte le seguenti condizioni iniziali e al contorno del
nostro problema elettromagnetico:
H(z, 0) = 0
B(z, 0) = −Bm
H(0, t) = H0 (t) > 0
La presenza di una discontinuità a gradino determina un fronte di propagazione z0 (t). Ciò
che interessa è determinare l’espressione di z0 (t) in termini di H0 (t), Bm e σ. Sfruttando una
variabile d’appoggio w per cui ∂w/∂z = −σb(H) e ∂H/∂z = −∂w/∂t si ricava l’espressione
del fronte z0 (t). Infatti ∂w/∂z = −2σBm se z < z0 (t) altrimenti ∂w/∂z = 0 se z > z0 (t).
Si osserva che w(z, t) è lineare in z per cui si ha w(z, t) = w(0, t)[1 − z/z0 (t)] se z < z0 (t)
altrimenti w risulta nulla. Vale anche la relazione:
w0 (t)
= 2σBm
z0 (t)
(11)
w(z, t) = w(0, t) − 2σBm z
(12)
∂w(z, t)
dw(0, t)
=
∂t
dt
(13)
quindi
se z < z0 (t).
Si ricava quindi ancora che:
sempre per z < z0 (t).
Il risultato è che quindi anche il campo magnetico è lineare in z e vale:
dw(0, t)
∂H(z, t)
=−
∂z
dt
2
(14)
da cui si ricava l’espressione di H:
H(z, t) = H0 (t)[1 − z/z0 (t)]
(15)
Combinando le equazioni si ottiene H0 (t)/z0 (t) = dw(0, t)/dt per cui in base a dw(0, t)/dt =
2σBm dz0 (t)/dt si ottiene:
H0 (t) = 2σBm z0 (t)dz0 (t)/dt
(16)
da cui l’espressione del fronte:
z0 (t) = (
Rt
0
H0 (τ )dτ 1/2
)
σBm
(17)
le espressioni del campo elettrico E e della densità di corrente j possono essere ricavate in
base alle leggi di Maxwell.
Supposto un campo magnetico sinusoidale all’interfaccia del tipo H0 (t) = Hm sin(ωt) si
ha che, essendo:
E0 (t) =
Bm
H0 (t)
)1/2
= H0 (t)( R t
σz0 (t)
σ 0 H0 (τ )dτ
(18)
e indicando µm = Bm /Hm l’espressione del campo elettrico all’interfaccia è del tipo:
E0 (t) = Hm
r
ωµm sinωt
√
σ
1 − cosωt
(19)
Dalla prima armonica del campo elettrico si può definire l’impedenza superficiale η come il
rapporto tra il fasore prima armonica rappresentativo del campo elettrico all’interfaccia e
il fasore rappresentativo del campo magnetico sempre all’interfaccia. Si osserva inoltre che
dall’espressione di z0 (t), dal fatto che H0 (t) = Hm sinωt e dall’aver definito µm = Bm /Hm
la profondità di penetrazione z0 (T /2) risulta:
z0 (T /2) =
q
2/(ωσµm)
(20)
che ha la stessa espressione dello spessore di penetrazione di un campo in un mezzo lineare.
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