ELEMENTI DI DINAMICA - Arch

Corso di Fisica Tecnica – a.a. 2010/2011 - Docente: Prof. Carlo Isetti
CAPITOLO 3
ELEMENTI DI DINAMICA
3.1 GENERALITÀ
Mentre la cinematica si occupa della descrizione del moto dei corpi senza occuparsi
delle cause che lo determinano, la dinamica prende in considerazione anche le cause stesse del
moto o "forze".
Intuitivamente ciascuno di noi è portato ad associare al concetto di forza lo sforzo
muscolare che si prova quando si solleva un peso, si allunga una molla o si spinge un oggetto.
Tali azioni o forze possono essere paragonate quantitativamente tra loro misurando, ad
esempio, l’allungamento di una molla che la loro applicazione provoca.
L'esperienza dimostra che le forze sono entità che si sommano e si sottraggono tra loro
secondo le regole del calcolo vettoriale. Esse sono cioè entità caratterizzate non solo da un'
intensità, ma anche da una direzione, da un verso e da un punto di applicazione.
Ricordiamo brevemente le leggi fondamentali della dinamica formulate da Newton.
3.2 LEGGI DELLA DINAMICA
3.2.1 Ia LEGGE DELLA DINAMICA
"Un corpo persiste in uno stato di quiete o di
moto rettilineo uniforme solo se su di esso non agisce
una causa esterna o forza".
Questo principio di natura sperimentale va inteso
in senso lato e cioè nel senso che per "non agire di una
forza" si intende pure il contemporaneo agire di più
forze con risultante nulla (secondo le regole di composizione vettoriale).
E' opportuno notare che quanto enunciato risulta corretto solo se lo stato di moto o
quiete del corpo è valutato rispetto ad un sistema di riferimento non accelerato (o inerziale)
come, con buona approssimazione, può essere considerato un laboratorio sulla superficie
terrestre.
r
r
Fris = å Fi = 0
®
i
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Elementi di dinamica
r
w = cos t.
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3.2.2 IIa LEGGE DELLA DINAMICA
L'accelerazione di un corpo libero è proporzionale alla forza applicata e si verifica nella
stessa direzione e verso della forza applicata. Si può scrivere:
r
r
F = ma
ove la costante "m" è detta massa del corpo e si identifica con la proprietà che ha il corpo
stesso di "opporre resistenza" all'azione della forza applicata.
Quando si osserva un corpo in moto accelerato (sempre rispetto ad un sistema di
riferimento inerziale), bisogna dedurre la presenza di una forza (non equilibrata e quindi con
risultante non nulla) e viceversa, all'applicazione di una forza (non equilibrata) fa sempre
riscontro un'accelerazione.
La forza che determina l'accelerazione unitaria di 1 [m/s], qualora applicata al corpo
campione di massa 1 (kg), è considerata nel S.I. forza unitaria ed è detta "Newton" (simbolo
N). La forza è quindi una grandezza derivata la cui unità di misura è data da:
1 N = 1 [kg m/s2]
Si può osservare che la prima legge della dinamica può essere considerata come una
conseguenza della seconda: infatti, se la risultante delle forze applicate è nulla, l’accelerazione
è nulla e quindi il vettore velocità non varia (stato di quiete o di moto rettilineo uniforme).
Esempio
Si osserva che un corpo di massa M = 2.3 [kg] soggetto a moto rettilineo
uniformemente accelerato, aumenta la sua velocità in modulo da wo = 2.8 [m/s] a w = 18 [m/s]
percorrendo lo spazio s = 28 [m]. Determinare il modulo della forza F (costante) applicata al
corpo.
Soluzione
Trattandosi di moto rettilineo uniformemente accelerato si può fare riferimento alle
relazioni di cinematica ricavate nel precedente capitolo:
1) w = wo + a t
=>
1’) a = (w - wo )/ t
2) s = wot + a t2/2
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Se sostituiamo la relazione 1’) nella relazione 2) si può valutare l’intervallo di tempo t
necessario a percorre lo spazio s. Si ottiene subito:
t=
2s
w + w0
e quindi con la 1) si può ottenere il valore di a:
a=
w - w0
= 5. 6
t
(m / s 2 )
la forza applicata è quindi :
F = M × a = 2.3 × 5.6
= 12.9 ( N )
3.2.3 IIIa LEGGE DELLA DINAMICA
Se un corpo (1) esercita una forza F12 su un corpo (2), il corpo (2) a sua volta esercita
una forza F21 uguale e contraria sul corpo (1).
Le due forze hanno stessa retta d'azione e modulo, ma verso opposto:
r
r
F12 = - F21
3.3 ALCUNE APPLICAZIONI DELLE LEGGI DELLA DINAMICA
Corpo in moto circolare uniforme: forza centripeta e centrifuga.
Come già visto, in questo caso, pur essendo sempre costante il modulo della velocità, si
verifica sempre un'accelerazione rivolta verso il centro della circonferenza (accelerazione
centripeta). A questa accelerazione deve corrispondere, sulla base della IIa Legge della
dinamica, una forza, anch'essa diretta verso il centro, o forza centripeta.
Si prenda in esame ad esempio, una piccola palla che, trattenuta mediante un filo, si
muove su di un tavolo orizzontale secondo un moto circolare uniforme (raggio R).
Il modulo dell'accelerazione centripeta è: a = w2/R alla quale deve corrispondere una
forza diretta verso il centro circonferenza (centripeta) il cui modulo vale:
F12 = m a = m w2/R
r
Questa forza F12 diretta verso il centro della circonferenza è esercitata dal
filo (1) sulla pallina (2). La pallina a sua volta, per il principio di azione e reazione
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r
(II Principio della dinamica) esercita sul filo una forza F21 uguale e contraria (centrifuga),
diretta radialmente verso l'esterno della circonferenza.
Caduta libera di un corpo: forza gravitazionale.
Come già accennato, in prossimità della superficie terrestre tutti i corpi materiali liberi
sono soggetti all'accelerazione di gravità e cioè, come usualmente si dice, cadono. Tale
constatazione ha portato alla formulazione della legge di gravitazione di Newton .
Tra due particelle di massa m1 ed m2 separate dalla distanza r si manifesta una forza
attrattiva agente lungo la congiungente le due masse, il cui modulo vale:
F=G
m 1m 2
r2
La costante G, determinata sperimentalmente, risulta numericamente pari a:
G = 6.673 * 10-11 [Nm2/kg2]
Si consideri, ora, un corpo di massa m posto in prossimità della superficie terrestre (massa
della terra M); è possibile dimostrare che nel caso di corpi estesi la relazione prima ricordata
risulta sempre valida purchè per r si intenda la distanza tra i centri delle due masse m ed M e
cioè in questo caso il raggio della terra R.
Si può esprimere il modulo della forza F cui la massa m è soggetta in prossimità della
superficie terrestre nella forma:
F=
G M
m
R2
ponendo:
g=
G M
= 9,81 [m/s2]
2
R
si usa anche scrivere:
F=mg
La forza F è detta peso del corpo. Si può osservare che il peso di un corpo, che può
facilmente determinarsi mediante una molla tarata (dinamometro), dipende dal valore locale
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dell'accelerazione di gravità g. Nel caso di corpi rigidi estesi la forza peso può pensarsi
applicata al baricentro del corpo.
L'accelerazione di gravità, come è noto, non risulta perfettamente costante in tutti i
punti della superficie terrestre, ciò in quanto il suo valore locale è influenzato dalla rotazione
della terra, dalla sua non perfetta sfericità e, inoltre, in generale, dal valore della distanza R dal
centro della terra. In generale, quindi, è più corretto misurare quantità di materia prendendo in
considerazione le loro masse, piuttosto che i loro pesi. Ciò può essere fatto, ad esempio,
usando una bilancia del tipo schematizzato in figura.
L'equilibrio dei due bracci della bilancia si ha quando:
F1 = F2
Il che comporta anche:
m1 = m2
In questo caso la misura si basa su un confronto tra due masse per cui il risultato che si ottiene
è indipendente dal valore locale di g.
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Forza d'attrito
Per forza d'attrito si intende la forza Fa che si manifesta tra le superfici di due corpi a
contatto che si muovono l'uno rispetto all'altro. Essa è sempre diretta in modo da opporsi al
movimento; essa dipende dalla natura delle superfici a contatto ed
è proporzionale alla forza normale alle superfici Fn o forza
premente.
Si consideri ad esempio un corpo cubico che scivola su di
un piano inclinato: in questo caso la forza premente Fn è la
componente della forza peso Fp normale alla superficie inclinata.
Si ha quindi:
Fa = µa Fn
ove il fattore µa (numero puro) è detto fattore di attrito dinamico.
Come si vedrà in seguito fenomeni di attrito si verificano anche quando un corpo solido
si muove relativamente ad un fluido, come ad esempio acqua ed aria o viceversa.
Nota: Si noti che la forza peso F = mg che agisce su tutte le particelle costituenti il corpo può
essere considerata applicata al baricentro del cubo, mentre la forza di attrito Fa= µaFa si
manifesta solo tra le superfici a contatto: in conseguenza di ciò viene a determinarsi una
coppia di forze che può essere sufficiente a ribaltare il cubo.
Forza elastica
Si consideri un oggetto, di massa m, appoggiato su
un piano liscio (senza attrito), fissato a una molla. Quando
la molla non è deformata, le forze agenti sull'oggetto,
costituite dalla sua forza peso e dalla reazione uguale e
contraria esercitata dal piano, si fanno equilibrio e l'oggetto
si trova in posizione O, che viene assunto come origine della coordinata x.
Spostando l'oggetto fino ad una distanza xo dalla posizione di equilibrio O, la molla si
deforma ed esercita sull'oggetto una forza proporzionale alla distanza dall’origine (xo) detta
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forza elastica, espressa da: Fel = - k xo ove k aventi le dimensioni di [N/m] è detta costante
elastica della molla.
(il segno è negativo perchè la forza di reazione della molla è diretta nel verso opposto alla
forza F applicata positiva per x crescenti) .
Esempio
Un corpo di massa m = 2 (kg) è sospeso verticalmente da una molla ideale di costante
elastica k = 1 (N/cm). In condizioni di equilibrio, qual'è l'allungamento della molla rispetto alla
sua lunghezza a riposo?
Soluzione
Assumendo come verso positivo delle ascisse x lo stesso verso della
forza peso si può osservare che la forza che la molla esercita sull'oggetto è pari
a Fel = - k xo ove xo è l’allungamento della molla. La forza Fel equilibra la della
forza peso. Per la prima legge della dinamica la somma delle forze agenti su un
corpo in equilibrio è nulla, si ha quindi:
F + Fel = 0
da cui:
mg - k xo = 0
l'allungamento della molla è pari a:
xo = mg / k
La costante k = 1 (N/cm) = 100 (N/m) per cui si ha :
x0 =
m × g 2 × 9.81
=
@ 0. 2 ( m )
k
100
(con segno positivo perchè l'allungamento avviene nel verso positivo dell'asse x)
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3.4 DENSITÀ E PESO SPECIFICO
Ricordiamo ora la definizione di alcune importanti grandezze fisiche e, cioè, la densità e
il peso specifico.
La densità r di un corpo omogeneo è definita dal rapporto tra la sua massa e il suo
volume:
r=m/V
[kg/m3]
il suo inverso v = 1/r è definito come volume specifico:
v=V/m
[m3/kg]
Il peso specifico g di un corpo omogeneo è definito come il rapporto tra il peso di un corpo
ed il suo volume:
g=F/V
[N/m3]
Si noti che il peso specifico, come il peso, dipende dall'accelerazione di gravità, quindi
varia con la latitudine e l'altezza; la densità, invece, come la massa è invariante.
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