per Scienze Geologiche
Parte
prof. Maurizio Spurio
[email protected]
1
And God Said
19. Le equazioni di Maxwell
and there was light
2
All’incirca all’epoca dell’unità d’Italia, le equazioni fondamentali dei processi
elettrici e magnetici erano note: mancava un solo termine, aggiunto “per via
teorica” da J.C Maxwell. Egli pubblicò l’insieme delle equazioni (1864) che
riassumono l’elettromagnetismo e….
1- Legge di Gauss: le cariche elettriche
originano campi elettrici. Linee di forza aperte.
r r q
∫ E ⋅ da =
2- Non esistono cariche magnetiche
isolate. Linee di forza di B sono chiuse
r r
∫ B ⋅ da =0
3- Legge di Faraday: un campo magnetico
variabile genera un campo elettrico.
4- Legge di Ampere: le correnti elettriche
originano campi magnetici + termine di
Maxwell: un campo elettrico variabile genera un
campo magnetico.
ε0
r r
dΦ B
∫ E ⋅ ds = − dt
r r
dΦ E
∫ B ⋅ ds = µ0i + µ0ε 0 dt
3
Il termine di Maxwell
La legge di Ampere e’ valida solo per
correnti stazionarie. Infatti, considerando
un circuito con un condensatore, si avrebbe
la seguente assurda situazione:
r r
∫ B ⋅ ds = µ0i sulla superficie S1
r r
∫ B ⋅ ds = 0 sulla superficie S2
Maxwell realizzò che occorreva inserire un nuovo termine nella legge
di Ampere, perché vi fosse compatibilità tra le due situazioni.
4
Il termine di Maxwell
dΦ E
Termine di Maxwell = µ 0ε 0
dt
Con l’aggiunta di tale termine, il flusso del
campo E all’interno del condensatore:
q (t )
E (t ) =
Aε 0
r
r q (t )
q (t )
Φ E = ∫ E (t ) ⋅ da =
A=
Aε 0
ε0
S2
dΦ E 1 dq (t ) 1
=
= i
dt
ε 0 dt
ε0
r r
1
∫ B ⋅ ds = µ 0 ε 0 ( i ) = µ 0 i
ε0
Quindi, il nuovo termine permette che il calcolo della circuitazione del
campo magnetico abbia lo stesso valore, indipendentemente dalla
superficie che viene utilizzata.
(Talvolta, il termine di M. viene chiamato corrente di spostamento).5
Oscillazioni elettromagnetiche
Un semplice circuito con capacità e
induttanza mostra una interessante
proprietà. Supponiamo che inizialmente vi
sia una carica qo sul C.Dalla legge alle maglie:
q(t )
di (t )
dq(t )
+L
= 0 ; i (t ) =
C
dt
dt
(Matematicamente, il problema e’
identico a quello del sistema con molla
(forza elastica) affrontato nel cap. 5.3)
La
soluzione:
i (t ) = −ϖq0 sin(ϖt )
ϖ=
1
LC
Come si vede dalla figura, l’energia del sistema oscilla tra energia nel condensatore
(= E) ed energia nell’induttore (= B). Il passaggio avviene ciclicamente con periodo:
T=
2π
ϖ
= 2π LC
6
Oscillazioni forzate
Nel caso reale, nel circuito e’ presente una certa resistenza:
la resistenza dissipa energia smorzando le oscillazioni:
q(t )
di (t )
+L
+ Ri = 0
C
dt
dq q(t )
d 2q
L 2 +R
+
=0
dt
dt
C
La soluzione di questa equazione differenziale e’ (con qo=carica iniziale sul C):
(provate a verificare per sostituzione!)
q (t ) = (q0 e
−
R
t
2L
) cosϖt
q(t)
t
Perché il circuito non si
smorzi, occorre rifornire
di nuovo l’energia dissipata
dalla resistenza R,
inserendo una fem
alternata nel circuito.
La fem mantiene le oscillazioni periodiche nel circuito, mentre dalla resistenza
viene dissipata energia. La cosa interessante, e’ che attraverso un’antenna possono
7
essere emesse onde elettromagnetiche!
L’arcobaleno di Maxwell
A coronamento della sua opera, Maxwell non solo raggruppo in un set
di equazioni tutti i fenomeni elettromagnetici, ma predisse nuovi
fenomeni. Il più strabiliante dei quali e’ l’osservazione che la luce non
e’ che un fenomeno elettromagnetico. Radiazione EM può essere
emessa utilizzando opportunamente circuiti elettrici; la radiazione
emessa si muove alla velocità della luce. Le onde radio vennero
predette e effettivamente scoperte da H. Hetz (~1880).
Stessa tecnologia oggi usata per trasmissioni radio, TV e telefono
8
20. Le onde
9
Proprietà generali delle onde
• Un’onda è una perturbazione che si propaga trasportando energia,
ma non materia.
• Le onde meccaniche implicano la perturbazione di un mezzo
meccanico (ad es. l’aria per le onde sonore, la terra per i terremoti,
l’acqua per le onde…).
• Una perturbazione
ondosa può propagarsi
in modo parallelo o
perpendicolare alla
direzione di propagazione dell’onda stessa
• Nel primo caso, si
chiamano onde
longitudinali
10
Esempio di produzione di onde longitudinali
Proprietà generali delle onde
• Nei casi generali, sono presenti in una
perturbazione sia onde longitudinali che
trasversali (es. nei terremoti).
• In generale, un’onda è escritta da una
funzione che dipende dallo spazio e dal
tempo, oltre che da alcuni parametri
Esempio di produzione
di
11
onde trasversali
Ampiezza e lunghezza
dell’onda
• Un’onda sposta un mezzo dal suo stato di
equilibrio. Lo spostamento massimo rispetto
alla posizione di equilibrio è l’ampiezza
dell’onda.
•La perturbazione che si sposta (verso destra)
solleva e abbassa la barca, ma non la sposta
La lunghezza d’onda (λ) è la distanza tra due
massimi (o minimi) consecutivi, ad un certo
istante di tempo t.
• La lunghezza d’onda la le dimensioni di una
lunghezza e, ovviamente, si misura in metri.
•Talvolta si definisce il numero d’onda come:
k=
2π
λ
(m -1 )
12
Frequenza e periodo dell’onda
• In un’onda continua, ogni punto del mezzo si muove di moto oscillatorio
• Il periodo T dell’onda è il tempo necessario perché in un dato punto
dello spazio si ripresenti la stessa configurazione
• Il periodo ha le dimensioni di un
tempo e si misura in secondi.
• Il reciproco del periodo T si
chiama frequenza:
1 -1
ν = (s )
T
• La frequenza rappresenta quante volte un’onda si ripete in 1 secondo.
• Si chiama invece pulsazione (o velocità angolare):
2π
ω=
(radianti/s)
T
13
Velocità dell’onda
• Durante un periodo T, un osservatore in una posizione fissa vede
passare davanti a se una intera lunghezza d’onda.
• Poiché quindi l’onda percorre uno spazio pari alla lunghezza d’onda
λ in un periodo T, la sua velocità di propagazione è:
v=
λ
T
= λν (ms-1 )
14
La matematica della propagazione
• L’impulso evidenziato (“foto” ad un
istante fissato) è descritto da una
funzione che descrive lo spostamento
y del mezzo perturbato in termini di x
y = f (x)
• L’impulso si propaga con una velocità v. Dopo un tempo pari ad un
periodo T, il valore dello spostamento y riassume lo stesso valore, ossia:
y = f ( x ± vt )
• Un caso semplice ed importante è quello di una funzione armonica
semplice (= onda descritta dalla funzione seno o coseno). A t=0:
y = yo sin(
2π
λ
x) all' istante t = 0
• Se vogliamo estendere la validità ad ogni istante di tempo:
2π
2π
y = yo sin(
x±
t ) = yo sin(kx ± ωt )
λ
T
15
Proprietà delle onde EM
La teoria dell’EM di Maxwell predice l’esistenza di un fenomeno fisico
che permette il trasporto di energia con una velocità ben definita e
costante, che coincide con la velocità della luce. Non occorre un mezzo
per propagare le onde EM. Quindi: la luce altro non è che un fenomeno
elettromagnetico. Le proprietà delle onde EM sono:
(NB: sono facilmente dimostrabili matematicamente, ma questa è omessa e
lasciata facoltativa agli studenti interessati)
1. Una onda elettromagnetica è composta da un campo E e B .
2. I campi E e B sono tra di loro ortogonali;
3. I campi E e B sono sempre perpendicolari alla direzione di
avanzamento dell’onda stessa; per questo motivo, la direzione di
avanzamento dell’onda è definito dal vettore E×
×B.
4. Le intensità dei campi E e B variano sempre come la funzione “seno”, e
la loro variazione avviene sempre alla stessa frequenza e in fase
r r
E = Em sin(kx − ϖt )
r r
B = Bm sin(kx − ϖt )
16
5. Tutte le onde EM nel vuoto, luce compresa, hanno la stessa velocità:
c=
1
µ 0ε 0
=
1
4π ⋅10 −7 × 8.85 ⋅10 −12
= 2.997 ⋅108
m
s
6. Le onde hanno una data frequenza ν e lunghezza d’onda λ, ma il
prodotto λν e’ sempre uguale a c
7. Il rapporto tra le ampiezze è tale che: E = Bc
17
8. L’onda trasporta energia. La quantità di energia trasportata
nell’unità di tempo per unità di area da un’onda è descritta dal vettore
di Poynting
r 1 r r
S=
E×B
S=
µ0
1
cµ 0
E =
2
1
cµ 0
[Em sen(kx − ϖt )]2
Quindi, il flusso di energia per secondo dipende dal quadrato del campo
elettrico. Poiché questo varia rapidamente nel tempo, la maggior parte
degli strumenti (tra cui i nostri occhi) misurano il valor medio di S. Tale
valor medio è chiamato intensità:
1
[
____________________
2
2
m
]
1
I =S =
E =
E sen (kx − ϖt ) =
Em2
cµ 0
cµ0
2cµ 0
2
1
L’intensità di un’onda EM dipende dal quadrato del campo elettrico.
NB: oppure, allo stesso modo, dipende dal quadrato del campo magnetico
18
1+1=4
Supponiamo di voler sommare 2 onde EM
identiche ed esattamente in “fase” in un certo
punto dello spazio (per semplicità, x=0):
r
r
E1 = Em sin(ϖt )
r
r
E2 = Em sin(ϖt )
Il campo risultante si somma:
r
r
ETot = 2 Em sin(ϖt )
L’intensità dell’onda risultante diviene:
1
[
_____________________
2
2
m
]
4
I=
(2 E ) sen (ϖt ) =
Em2
cµ 0
2cµ 0
I = 4 I1
NOTA: perché lo studente non deve turbarsi per il cambio di segno?
19
1+1=0
Supponiamo di voler sommare le stesse 2
onde EM identiche, ma “sfasate” di 180o :
r
r
E1 = Em sin(ϖt )
r
r
r
E2 = Em sin(ϖt − π ) = − Em sin(ϖt )
Il campo risultante si somma:
r
ETot = 0
L’intensità dell’onda risultante diviene:
I =0
20
1+1=?
Se le onde sono sfasate di un angolo
qualsiasi, si puo’ mostrare (usare le formule
di prostaferesi) che
r
r
E1 = Em sin(ϖt )
r
r
E2 = Em sin(ϖt − ϕ )
L’intensità dell’onda risultante diviene:
0 ≤ I ≤ 4 I1
Esercizio: trovare la formula esatta per I
21
21. Più veloci della luce?
“Millennium Falcon”
22
Lo spettro elettromagnetico e la luce
La radiazione EM (di cui la luce occupa un piccolo intervallo di
frequenze) assume nomi diversi a seconda della sua frequenza.
I meccanismi che la originano
sono diversi a seconda della
frequenza
23
i)
Luce visibile
L’occhio umano si e’ adattato ad essere sensibile
nell’intervallo in cui e’ massima la radiazione
solare, λ∈[400-100] nm. La luce viene emessa
quando gli elettroni negli atomi cambiano il loro
stato di moto, come previsto nel modello di Bohr
Sensibilità relativa dell’occhio
umano alle diverse lunghezze d’onda
ii) Radiazione infrarossa (IR)
La lunghezza d’onda della IR e’ λ∈[0.7 µm1 mm]. Viene emessa da molecole quando
variano il loro stato di moto vibrazionale o
rotazionale.
L’ IR viene avvertito
come calore radiante.
Tutti gli oggetti caldi
emettono IR
Fotografie infrarosse
24
iii) Microonde
Comprese in un intervallo λ∈[1 mm-1 m]. Sono
emesse da oscillatori EM in circuiti elettrici.
Una radiazione di microonde ci giunge anche
dall’Universo come “relitto fossile” del Big Bang.
iv) Onde radio
Sono caratterizzate da λ> 1 m. Sono prodotte in circuiti elettrici
oscillanti; scegliendo accuratamente la geometria del circuito, si puo’
controllare la distribuzione spaziale della radiazione emessa
I ricevitori devono
avere dimensioni della λ
da ricevere. Le onde
radio sono tra i piu’
importanti metodi
d’indagine in Astronomia
Il Radiotelescopio del CNR a Medicina
25
Cassiopea emette onde Radio
v) Ultravioletto (UV)
A lunghezze d’onda piu’ piccole del
visibile, incontriamo l’ UV con λ∈[1 nm400 nm]. Come il visibile, sono prodotte
da transizio-ni atomiche degli atomi più
esterni, e sono piu’ energetiche.
RX al polmone
Lampade UV
Il Sole visto in UV
vi) Raggi X (XR)
I RX hanno λ∈[0.01 nm-10 nm]. Sono prodotti dalle transizioni degli
elettroni più fortemente legati negli atomi (interni). La lunghezza
d’onda corrisponde alla distanza tipica degli atomi nei solidi; tale
radiazione e’ altamente penetrante e viene largamente utilizzata per la
diagnostica medica e per lo studio dei materiali solidi.
26
vii) Raggi γ
Un getto di γ da una
Galassia lontana
I Rγ hanno λ<0.001 nm, e corrispondono alla radiazione EM piu’
energetica che si conosca. Puo’ essere emessa da transizioni nei
nuclei (normalmente, radioattività) oppure dal decadimento di
particelle elementari. L’esposizione ai Rγ e’ estremamente
pericolosa, in quanto altamente penetrante.
27
Polarizzazione
In generale, un’onda EM può essere la
risultante di più onde. In molti casi, quando le
sorgenti non sono coerenti, il risultato è
un’onda in con campi elettrici orientati a caso.
L’onda si dice non polarizzata.
Nel caso in cui il meccanismo che produce l’onda (ad es., un trasmettitore
TV) mantiene costante la direzione del campo elettrico delle onde
prodotte, l’onda si dice polarizzata. Il piano contenente il campo E si
dice piano di oscillazione (o polarizzazione) dell’onda
28
Un metodo di polarizzazione (nel visibile)
Un’onda non polarizzata si polarizza quando passa una lamina polarizzante (ad es. polaroid). Le molecole della lamina sono tali che il campo
elettrico dell’onda EM disposto in una certa direzione può compiere
lavoro sugli elettroni delle catene molecolari.
Se θ è l’angolo tra il vettore E e la direzione di polarizzazione:
E y = E cos θ
I = I 0 cos 2 θ
Vi sono altri metodi di polarizzare
29
I “fotoni” e la fisica moderna
La fisica moderna ha modificato la visione classica
della radiazione EM. Quest’ultima e’ ancora utile
per lo studio di certi fenomeni (propagazione delle
onde, interferenza, diffrazione…) ma non più
sufficiente per altri fenomeni (effetto fotoelettrico, Compton, interazione tra radiazione EM e
particelle elementari). In questo caso, si utilizza il
concetto di fotone
I fotoni vengono emessi dall'atomo quando gli e- saltano da un livello
orbitale ad un altro: gli e- con questi salti irradiano od assorbono energia
non in continuazione, ma in quantità determinate (discrete) dette "quanti
di energia". Anche il fotone, come le altre particelle, in alcune esperienze
si comporta come se fosse un corpuscolo, in altre come se fosse un’onda.
Nel modello di Bohr, l’energia Eγ del fotone corrisponde alla differenza
tra le energie nei diversi livelli: Eγ = hν
ν = (Ef-Ei).
ν rappresenta la “frequenza” del fotone. Come nella teoria classica,
30
frequenza e lunghezza d’onda sono legate dalla relazione c=λν
λν
Nota: useremo
molto il “visibile”,
giusto per la
particolarità che lo
vediamo!
31
Riflessione e rifrazione
Quando un’onda incide su un mezzo diverso da
quello precedente, parte dell’onda viene riflessa
e parte viene rifratta.
Riferendoci alla foro, possiamo definire l’angolo
di incidenza, l’angolo di riflessione e l’anglo di
rifrazione. Esistono relazioni tra questi:
Legge della Riflessione:
θ = θ1
'
1
Legge della Rifrazione (legge di Snell):
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
Dove n1, n2 sono costanti adimensionali chiamate
indici di rifrazione, che dipendono solo dalle
sostanze utilizzate
32
Indici di rifrazione di alcuni materiali
Notate cosa
succede!
33
Dispersione cromatica
• L’indice di rifrazione di un mezzo dipende da come la luce si propaga nel
mezzo. Poiché la luce bianca non è che la sovrapposizione di molte onde
EM a diverse lunghezze d’onda, può anche succedere che la velocità con
cui l’onda nel mezzo si propaga dipenda dalla sua lunghezza d’onda.
• Questo effetto si chiama dispersione cromatica.
34
Riflessione totale
• Consideriamo ora una sorgente in un mezzo con n1>n2 (ad es., luce che
vuole passare dal vetro all’aria). In tal caso, esiste un angolo di incidenza
tale che :
n1 sin θ c = n2 sin(900 ) = n2
• Questo angolo, chiamato angolo critico è tale che tutta la luce che
incide sulla superficie di separazione con angoli maggiori di θc non riesce
ad essere rifratta, ed è solo riflessa all’interno del mezzo.
• Applicazioni!
n2
θ c = arcsin
n1
35
Cosa notate di strano?
36
Manet: Bar delle Folies Bergères
Specchi piani
•Per vedere un oggetto con i nostri occhi, occorre che l’oggetto rifletta
parte della luce che lo colpisce. Il nostro occhio può percepire immagini.
• Questo, possono essere classificate come immagini reali o virtuali.
•Immagine reale: quando i fotoni sono prodotti dall’oggetto stesso
(lampada), o sono stati “rimbalzati” dall’oggetto stesso (libro illuminato)
• Uno specchio riflette tutta la luce incidente, e può formare immagini
virtuali (sono in posizione errata).
• Legge dello specchio piano:
i = −p
Convenzione: definisce una
immagine virtuale, passano
solo i prolungamenti dei
raggi
37
Specchi sferici
• In uno specchio concavo, la luce parallela incidente viene concentrata in
un unico punto (fuoco) reale F, dalla stessa parte dello specchio da cui
provengono i raggi.
• In uno specchio convesso, la luce parallela incidente sembra divergere
da un fuoco virtuale in F, dalla parte opposta da quella di provenienza dei
raggi. f = distanza focale
r
• Esercizio: dimostrare che f = , dove r= raggio di curvatura specchio
2
38
Immagini negli specchi sferici
• Formiamo le immagini di un oggetto facendo riflettere alcuni raggi
luminosi, ricordando che:
• raggi paralleli all’asse passano per il fuoco (e viceversa);
• l’angolo di riflessione è uguale a quello d’incidenza
• Le immagini reali si formano dalla stessa parte dello specchio dove è
posto l’oggetto, mentre quelle virtuali dalla parte opposta
de cd
=
ab ca
de
i
m=
=
ab p
39
Leggi degli specchi sferici
Chiamando:
• f= distanza focale
• p= distanza dell’oggetto dallo specchio
• i= distanza dell’immagine dallo specchio;
1 1 1
+ =
p i f
La dimensione trasversale di un oggetto risulta in generale diverso
dall’originale. L’ingrandimento trasversale m è dato dalla relazione:
i
m=−
p
(Dim: vedere pagina precedente)
40
Lenti sottili
• Una lente è un oggetto trasparente con due superfici rifrangenti i cui
assi centrali coincidono. Se i raggi sono inizialmente paralleli all’asse ed
essa li fa convergere, essa è detta convergente. Nel caso contrario, è
detta divergente.
• Una lente produce una
immagine perché flette
i raggi;
• può flettere i raggi
solo se il suo indice di
rifrazione n è diverso
da quello dell’ambiente
che la circonda
41
Immagini create da lenti sottili
• L’immagine reale si forma dalla parte opposta rispetto l’oggetto;
• l’immagine reale si forma dalla stessa parte rispetto l’oggetto;
• Nel caso di lente sottile (spessore piccolo rispetto a p ed i), si può
dimostrare che la relazione tra posizione dell’oggetto p e immagine i è:
1 1 1
+ =
p i f
1 1
1
ove : = (n − 1) −
f
r1 r2
42
Lente d’ingrandimento
•L’occhio può mettere a fuoco sulla retina un oggetto con precisione
se questo si trova tra una distanza molto grande e un “punto prossimo”.
•Se l’oggetto è più vicino del punto prossimo, l’immagine è sfocata.
• La lente convergente permette permette di avere l’immagine di un
oggetto più lontana, ad un angolo θ’ maggiore
L’ingrandimento angolare mθ:
mθ = ϑ ' / ϑ
ϑ ≈ h /(25 cm)
'
Ed inoltre: ϑ ≈ h / f
Poiché (a):
Si ha:
mθ ≈ 25 cm / f
43
Microscopio
• Un microscopio è un dispositivo composto da due lenti convergenti;
• ingrandisce in maniera significativa oggetti di piccole dimensioni.
• Consiste di un obiettivo, con distanza focale fob, e di un oculare con
distanza focale foc
44
Microscopio
• L’oggetto da osservare viene posto appena più lontano del primo
punto focale dell’obiettivo, in maniera tale che p ∼ f
• La distanze tra le lenti viene regolata in maniera che l’immagine
ingrandita, capovolta e reale si formi vicino al fuoco dell’oculare
•Poiché l’ingrandimento della lente corrisponde a: m=-i/p; Chiamando s
la distanza tra il secondo fuoco dell’obiettivo, e il primo dell’oculare:
m = −i / p = − s / f ob
• L’immagine è collocata all’interno del punto focale F1’ dell’oculare, che
funge da lente di’ingrandimento e procuce una immagine I’, virtuale.
•L’ingrandimento complessivo
dello strumento è dato quindi
s 25 cm
M = m ⋅ mθ ≈ −
f ob f oc
45
23. Interferenza
46
Luce: onde o corpuscoli?
• Le leggi dell’ottica geometrica utilizzano l’assunzione che la luce si
propaghi in linea retta, come un proiettile (teoria corpuscolare,
principale sostenitore: Newton)
• Nel 1678, Huygens per primo avanzò una teoria ondulatoria della luce
• La teoria spiega le leggi della riflessione, rifrazione e prevede i
fenomeni dell’interferenza e della diffrazione.
Principio di Huygens: tutti i punti di un fronte
d’onda fungono da sorgenti di onde elementari
sferiche secondarie. Dopo un tempo t, la nuova
posizione del fronte sarà la tangente
superficiale a queste onde secondarie.
47
La legge della rifrazione
• Assumiamo che la luce sia un onda di lunghezza
λ1 nel mezzo 1. Si assumono inoltre velocità
dell’onda differenti nei due mezzi 1 e 2.
• Il tempo (λ1/v1) per percorrere il tratto “ec”
deve essere uguale al tempo (λ2/v2) per
λ1 v1
percorrere il tratto “hg” .
=
Uguagliando i tempi:
λ v
2
2
• Considerando i triangoli hce e hcg si ha:
sin θ1 =
λ1
hc
(per hce)
sin θ 2 =
λ2
hc
(per hcg)
• da cui:
sin θ1 λ1 v1 c / n1 n2
=
= =
=
sin θ 2 λ2 v2 c / n2 n1
avendo definito l’indice di rifrazione n=c/v
48
Esperimento sull’interferenza
•Nel 1801 T. Young fornì la prima prova determinate sulla natura
ondulatoria della luce, mostrando che esse potevano interferire.
Interferenza di onde in
acqua
Schema di un possibile esperimento d’interferenza di luce
49
Figura di max
e min
d’interferenza
Posizione dei max e min d’interferenza
• Le onde in S1 e S2 hanno la stessa fase (hanno max o minimo allo
stesso istante di tempo). Quando arrivano in P possono avere fase
diversa a causa della differenza di cammino ∆L.
• Ciò che accade in ciascun punto dello schermo è determinato dalla
differenza di cammino ∆L dei raggi che arrivano nel punto
∆L = d sin θ
(differenza di cammino)
50
Posizione dei max e min d’interferenza
•Se ∆L =0, allora i due raggi arriverebbero esattamente nel punto
esattamente presentando la stessa intensità del campo E (in fase);
• Perché la funzione che descrive il campo E è una funzione armonica
che riassume lo stesso valore dopo un numero intero di lunghezze
d’onda, la condizione perché le onde siano in fase diviene: ∆L = mλ ,
∆L = d sin θ = (intero)λ
d sin θ = mλ , con m = 0,1,2,....
•Esercizio: Considerate una luce gialla monocromatica con λ=546 nm.
Sullo schermo, distante D=55 cm, la distanza tra due massimi
consecutivi è ∆y= 2.5 mm. Determinare la distanza tra le fenditure.
[R: 0.12 mm]
Si noti che le figure d’interferenza permettono di stimare piccole
distanze, nel caso dell’esercizio tra due fenditure.
51
Intensità dei max d’interferenza
• Possiamo calcolare il valore dell’intensità luminosa nei max
d’interferenza. [Ricordate da cosa dipende l’intensità di un’onda EM?]
• La prima onda trasporta un campo
r
r
elettrico pari a:
E1 = E0 sin(ϖt )
• La seconda onda trasporta un r
r
campo elettrico pari a:
E1 = E0 sin(ϖt + φ )
dove φ è la fase relativa dovuto
alla differenza di cammino.
• Usiamo la convenzione detta dei vettori di fase.
La somma dei due vettori fornisce un nuovo
φ
vettore di modulo pari a
E = 2 E0 cos( )
(notate in figura che φ=2β)
2
• L’intensità dell’onda EM dipende dal quadrato del
campo elettrico risultante, per cui:
φ
I = 4 I 0 cos ( )
2
2
52
Intensità dei max d’interferenza
• Gli strumenti ottici (tra cui i nostri occhi) sono degli strumenti
sensibili talvolta a valori medi. Se le frange sono sufficientemente
distanti, noi osserviamo massimi e minimi.
• I max hanno intensità “1+1=4”, mentre i minimi hanno “1+1=0”
• Tuttavia, se le frange sono troppo vicine, noi mischiamo i max e min,
mediando la funzione , per cui abbiamo la “familiare” versione “1+1=2”
φ
1
I = 4 I 0 cos ( ) = 4 I 0 ⋅ = 2 I 0
2
2
2
53
24. Diffrazione
54
Differenza tra interferenza e diffrazione?
• Nessuna differenza! Si tratta dello stesso fenomeno fisico.
Semplicemente, nella Diffrazione si assume che le possibili sorgenti
che interferiscono tra di loro siano molto numerose.
• Normalmente, non vediamo figure di diffrazione perché la luce
visibile bianca non è coerente .
• La luce bianca può essere scomposta
nei suoi “colori fondamentali” usando un
prisma, e sfruttando il fatto che il
valore dell’indice di rifrazione cambia al
variare della frequenza della radiazione
(dispersione cromatica)
55
Minimi di diffrazione
•Si puo’ facilmente mostrare che la condizione perché le onde siano in
controfase (=distruttive) è che la differenza di cammino ottico:
a
λ
sin ϑ =
2
2
ossia :
a sin ϑ = mλ , con m = 1,2,3,...
Minimi di diffrazione
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Intensità della diffrazione
•Il calcolo dell’intensità della figura di D dovuta ad una singola
fenditura è piuttosto complicato, e dipende dal valore della larghezza
“a” dell’apertura e dalla lunghezza d’onda λ della radiazione incidente.
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Diffrazione attraverso un foro circolare
• E’ un caso interessante, perché è quello a
cui si può ricondurre quello di una lente
d’ingrandimento o obiettivo di microscopio.
• La figura di D. prodotta da una apertura
circolaredi diametro “d” mostra dei massimi
che si distribuiscono ad anello. Il primo
minimo è:
λ
sin θ = 1.22
d
•La formula è importante quando si vogliono risolvere, ossia distinguere,
due oggetti puntiformi lontani la cui distanza angolare è piccola.
• Il criterio di Raylaigh permette di decidere se due oggetti sono
risolvibili, quando la distanza angolare delle 2 sorgenti è tale che il
massimo centrale della 1a sorgente coincida col primo minimo della
figura di diffrazione. Secondo tale criterio i due oggetti devono essere
separati
1.22λ
ϑR = arcsin
d
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Potere risolutivo
• Foto: immagini di stelle ottenute con telescopi. Nel primo caso (a)
sono così vicine che non si possono risolvere, mentre in (c) la loro
separazione soddisfa il criterio di Rayleigh
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Interferenza/diffrazione da 2 fenditure
(a) Intensità delle frange d’interferenza che verrebbero prodotte
da due fenditure di larghezza molto piccola.
(b) Intensità per la figura di D. da una fenditura di larghezza “d”
(c) Intensità delle frange d’interferenza formate da 2 fenditure di
larghezza “d”.
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Reticoli di diffrazione
•Uno degli strumenti più utili è il reticolo di diffrazione.
•E’ un dispositivo dotato di un numero N molto grande di incisioni,
che possono essere anche migliaia/mm
• Si ha un massimo d’intensità se:
d sin θ = mλ
I raggi uscenti dalle fenditure di un
reticolo hanno differenza di cammino
pari a: dsinθ
Andamento dell’intensità prodotta da
un reticolo di diffrazione con molte
fenditure. Le frange chiare su uno
schermo si chiamano righe. Il valore di
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m si chiama ordine,
Diffrazione dei raggi X
• I raggi X sono radiazioni EM aventi lunghezza d’ordine dell’ordine
di ∼0.1 nm (10-10 m), ossia ∼5000 volte più piccole del visibile.
• Vengono prodotti quando elettroni di alta energia emessi da un
filamento F vengono frenati da un bersaglio
• Perché i RX vengano diffratti, occorre un
reticolo che abbia un “passo” dell’ordine della
lunghezza d’onda, ossia di circa (10-10 m);
• questa corrisponde alla distanza tra i nuclei
atomici in un reticolo cristallino!
• I RX servono per studiare la struttura
tridimensionale dei cristalli.
• Quando i RX colpiscono un cristallo, i raggi vengono diffusi dal
cristallo stesso: in alcune direzioni, si ha una interferenza
costruttiva/distruttiva delle onde, generando massimi/minimi
d’intensità
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Diffrazione dei raggi X
• Si può considerare che i max siano il risultato di diffusione da
parte di piani di riflessione paralleli (o piani cristallini), costituiti da
atomi del cristallo stesso.
• Ad es. nel caso di NaCl
la distanza interplanare d
funge da passo del
reticolo
• Si noti che la differenza di cammino è
2d sin θ = mλ , m = 1,2,3..
Legge di Bragg
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Cristallografia a raggi X
•La cristallografia a raggi X è una tecnica della cristallografia in cui
l'immagine, prodotta dalla diffrazione dei raggi X attraverso lo
spazio del reticolo atomico in un cristallo, viene registrata e quindi
analizzata per rivelare la natura del reticolo. In genere, questo
porta a determinare il materiale e la struttura molecolare di una
sostanza.
•Lo spazio nel reticolo cristallino può essere determinato con la
legge di Bragg. Gli elettroni che circondano gli atomi, piuttosto che i
nuclei degli atomi stessi, sono le particelle che interagiscono
fisicamente con i fotoni dei raggi X. Questa tecnica è ampiamente
usata in chimica e biochimica per determinare le strutture di
un'immensa varietà di molecole, compresi composti inorganici, DNA
e proteine. La diffrazione dei raggi X è comunemente eseguita con
singoli cristalli o, laddove essi non siano presenti, con prove
costituite da polvere microcristallina del materiale. L’analisi della
diffrazione della polvere microcristallina richiede una differente
apparecchiatura, fornisce meno informazioni ed è meno chiara..
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Raccolta dei dati di diffrazione
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Diffrazione di oggetti semplici
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Reticoli di oggetti più complessi
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Altri reticoli e loro pattern di diffrazione
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