Esercizi di dinamica e energia
1)Sollevo 10 Kg da terra ad una altezza di 10m. Calcola il lavoro svolto.
2)Applico una forza di 10N inclinata di 20° e sposto un corpo di 100Kg di 300m. Calcola
l’energia spesa per compiere l’azione.
3)Calcio un pallone esercitando una forza di 20N e lo sposto di 200m. La massa del
pallone e’ 1,5Kg. Calcola la velocita’ acquistata dal pallone. Quale teorema applico? Lo sai
dimostrare?.
4)Abbiamo dimostrato il teorema dell’energia cinetica. Abbiamo trovato che il lavoro fatto
da una forza e’ energia che si trasforma in cinetica. Il risultato e’ L=1/2mv2.
Se prima di applicare la forza il corpo fosse gia’ in movimento vorrebbe dire che possiede
inizialmente una certa energia e quindi l’azione della forza serve solo a fare variare tale
energia. Il teorema puo’ essere quindi generalizzato dicendo:
Il lavoro fatto da una forza su un corpo e’ uguale alla variazione di energia cinetica.
1
1
Cioe’: L mv 2 mv02
2
2
Esempio svolto:
Un pallone di 1,5Kg si muove alla velocita’ di 10m/s quando viene colpito da un calcio che
gli imprime una forza di 20N. Dopo 500m. quale velocita’ possiede?
Inizialmente la palla ha una energia cinetica pari a Ec(iniziale)=
1 2 1
mv0 1,5 10 2 75 J
2
2
Il lavoro fatto dalla forza applicata e’ pari a L=Fs=20·500=10.000J.
1
1.5 v 2 75 che
2
risolta da’:v=115 m/s. Quindi l’azione della forza ha accelerato la palla e la sua velocita’ e’
variata di v=115-10=105m/s. L’aumento di velocita’ e’ causato dall’azione della forza.
Quindi tale lavoro e’ uguale alla variazione di energia cinetica:: 10.000
5)Risolvi:
Applico una forza di F=5,0N su un corpo di massa m=2,0Kg che inizialmente ha una
velocita’ di v=1,5m/s. Se la forza agisce per un tratto S=100m, quale velocita’ ha
acquistato il corpo?
1
Un esempio svolto:
Un corpo di massa m=2,0Kg scende lungo un piano inclinato di 30° alto h=5,0m.
Inizialmente si trova nel punto piu’ alto del piano e scende verso il basso. Se trascuri
l’attrito quale velocita’ acquista alla fine della corsa?
Se inizialmente si trova sulla sommità del piano possiede l’energia spesa da chi lo ha
sollevato a tale altezza. (Non sappiamo chi sia!). Tale energia e’ immagazzinata nel corpo
allo stato potenziale perche’ fino a quando non sara’ in grado di muoversi non la
manifesta. Quando inizia a muoversi e scende verso il basso l’energia potenziale si
trasforma in energia cinetica perche’ il corpo si muove. Giunto in basso tutta l’energia
potenziale si e’ trasformata in energia cinetica. Per il principio di conservazione
dell’energia possiamo scrivere:
mgh=1/2mv2
Ricavando v:si ha: v 2 gh =9,9J
Se vi fosse attrito la velocita’ sarebbe la stessa?
Supponiamo che il coefficiente di attrito tra corpo e piano sia =0,1. Inizialmente il corpo
possiede l’energia potenziale Ep=mgh. Tale energia , al termine della corsa si e’ solo in
parte trasformata in energia cinetica perche la forza di attrito, agendo nel verso opposto
del moto, ne disperde una certa parte. L’energia dispersa sara’ pari al lavoro fatto dalla
forza di attrito.
Il lavoro fatto dalla forza di attrito sara’ data da L=·Py·S dove S e’ la lunghezza del piano
Py=Pcos30=mgcos30=17N. S=h/sen30=10m. Quindi il lavoro fatto dalla forza di attrito
sara’ La=0,1·17·10=17J.
Per il principio di conservazione dell’energia l’equazione che otteniamo sara’:
mgh
1 2
mv La . Ricavando v si ha: v
2
2mgh 2 La
=9,5m/s.
m
Confrontando i risultati ottenuto con il precedente si nota che la velocita’ e’ diminuita e cio’
a causa della forza di attrito che ne ha dissipato l’energia e rallentato il corpo.
6)Risolvi:
Un corpo di massa m=5Kg si trova inizialmente sulla sommita’ di un piano inclinato di 20°
e alto h=3m. calcola la velocita’ che possiede nel punto piu’ basso sia nell’ipotesi che si
trascuri l’attrito sia nel caso che il coefficiente di attrito sia =0,2
7)Scrivi l’equazione che esprime il principio di conservazione dell’energia nel caso del
problema svolto 2) e risolvi l’equazione rispetto al coefficiente di attrito.
2
8)Risolvi:
Lancio una palla con una velocita’ iniziale v0=2m/s su un piano orizzontale . Il coefficiente
di attrito tra palla e piano e’ m=0,05. (Il corpo quindi possiede energia cinetica fornita da
chi lancia la palla!). Calcola quanto spazio percorre prima di fermarsi.
9)Un corpo di massa m = ,01 Kg si muove alla velocità di v0 = 2,0m/s su un piano privo di
attrito. Ad un certo punto affronta una salita di dislivello h = 1,0m. Dimostrare che il corpo
non riesce ad arrivare in cima. A quale altezza giunge? Che velocità dovrebbe avere per
raggiungere la sommità della salita a velocità nulla? (R: h=0,2m; vo=4,5m/s)
10) Un corpo di massa m = 1; 5 Kg scende lungo un piano inclinato, partendo da fermo,
superando un dislivello h = 1m. Con quale velocità arriva in fondo alla discesa? Da che
altezza lo devo far scendere se voglio che la sua velocità finale sia di vf = 4m=s? Si
supponga di trascurare gli attriti (R: vf=4,4m/s; h=0,8m)
11)Svolgimento guidato:
Un piano inclinato di 45° e’ alto h=15m. Un corpo di massa m=10Kg e’ libero di muoversi
sulla sommità del piano e scende fino al livello inferiore. Supponi che non vi sia attrito.
a)Rappresenta graficamente le forze che agiscono sul corpo;
b)Calcola quanta energia potenziale ha il corpo sulla sommità;
c)Quando il corpo giunge al livello piu’ basso, quanta energia cinetica ha acquistato?
d)Quale velocità possiede nel punto più basso?
e)Se supponi che vi sia attrito di coefficiente
basso?
Guida allo svolgimento del quesito 7)
Disegna il piano inclinato e la forza peso. Scomponila nelle due componenti Px e Py.
Calcola il valore delle componenti:
P=_________________;Px=_________________________________;Py=___________
Calcola la lunghezza S del piano:
S=_______________________________________________________
a)Senza attrito: Disegna la forza di attrito
L’energia che possiede nel punto piu’ alto vale:
Ep=___________________________________________
Quando giunge nel punto piu’ basso tutta l’energia potenziale si e’ trasformata in cinetica e
quindi scrivi l’equazione che rappresenta il principio di conservazione dell’energia:
3
Energia potenziale gravitazionale = Energia cinetica:
______________________________________
Risolvi l’equazione rispetto alla velocita’
v=___________________________________________________
b)Con attrito:
La forza di attrito e’ una forza che non conserva l’energia ma la trasforma in calore.
Pertanto e’ detta anche “Forza non conservativa”. Se vogliamo scrivere l’equazione del
principio di conservazione dobbiamo tener conto anche dell’energia dispersa in calore
dalla forza di attrito. Essendo la forza di attrito operante nel tratto S e conoscendo il suo
valore possiamo calcolare quanto lavoro compie. Infatti il lavoro della forza di attrito e’
l’energia dissipata in calore ed e’ pari al lavoro fatto dalla detta forza..
Possiamo scrivere il principio di conservazione :
Energia potenziale iniziale = Energia cinetica finale + Lavoro fatto dalla forza di attrito;
Il lavoro fatto dalla forza di attrito e’ La= Py
S=_______________________________________________
Quindi:
mgh=1/2mv2+La
Dall'equazione puoi ora ricavare v che sara' di valore inferiore a quella calcolata senza
attrito.
8)Un corpo viene lanciato dal punto piu’ basso di un piano inclinato di 30° e lungo il piano
con una velocità iniziale di 20m/s. Il piano e’ lungo(Ipotenusa) 200m. A quale altezza
giunge se non vi e’ attrito? A quale altezza giunge se vi e’ attrito di coefficiente =0,01?.
11) Un dispositivo di lancio è costituito da una molla di costante K = 30,0 N/m che,
compressa di 3,0 cm, agisce su una pallina di massa m = 50,0g spingendola lungo un
piano privo di attrito. Se la pallina parte da ferma, che velocità finale raggiunge? (R:
0,7m/s)
3) Problema svolto:
Un corpo di massa m = 2,0Kg viene accelerato sopra una superficie piana e liscia,
partendo da fermo, da una forza costante di 1,0N che agisce per t = 2,0 secondi e poi
lasciato libero. Al termine della superficie è presente un respingente consistente in una
molla di costante K = 100N/m. contro il quale il corpo va ad urtare, fermandosi.
Determinare la compressione s della molla, prima che ritorni alle dimensioni iniziali.
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Se può essere agevole, si divida il fenomeno in due momenti.
Nella fase 1, è ovvio che il corpo, se parte da fermo, viene accelerato dalla forza costante
F che lo spinge per 2 secondi. Al termine della spinta, il corpo ha raggiunto una certa
velocità, quindi è stato dotato di energia cinetica. Questa energia viene poi perduta nella
fase 2, perchè nell'urto con la molla essa si trasferisce in lavoro di compressione, ossia
viene immagazzinata in energia potenziale elastica, fornendo al dispositivo una certa
compressione s.
Calcoliamo inizialmente l'ammontare dell'energia cinetica di cui la massa è dotata della
prima fase. Se la forza accelerante vale F = 1N, l'accelerazione uniforme vale, per la
seconda legge della dinamica:
Si può procedere ora in due modi, per calcolare l'energia cinetica:
1. la si calcola come lavoro della forza F per produrre lo spostamento s della massa, ove s
è calcolato con la legge oraria del moto uniformemente accelerato, e cioè, partendo il
corpo da fermo:
Dunque
Oppure si calcola direttamente la velocità finale raggiunta dal corpo e poi si usa la formula
che dà subito l'energia cinetica. La velocità vf raggiunta dal corpo vale:
Quindi l'energia cinetica vale:
Ora, nella fase 2, tutta questa energia deve trasferirsi totalmente, essendo trascurabili gli
attriti, in energia potenziale elastica della molla, quindi, per il PCEM:
Che arrotondiamo a Ds=0,14m
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Risolvi:
12) Un corpo di massa m = 3,0Kg viene accelerato sopra una superficie piana e liscia,
partendo da fermo, da una forza costante di 2,0N che agisce per t = 4,0 secondi e poi
lasciato libero. Al termine della superficie è presente un respingente consistente in una
molla di costante K = 100N/m. contro il quale il corpo va ad urtare, fermandosi.
Determinare la compressione s della molla, prima che ritorni alle dimensioni iniziali.
13) Un dispositivo di lancio è costituito da una molla di costante K = 10 N/m che agisce su
una pallina di massa m = 0; 1 Kg. Se la molla viene compressa di s = 0; 02 m, a che
altezza h arriva la pallina? Quanto devo comprimere la molla se voglio che l'altezza finale
sia 2 m? Che costante elastica dovrebbe avere una molla che, comprimendosi di 10 cm
porta la pallina (stessa massa) esattamente a 1 m di altezza?(R: h=0,1m; s=0,6m;
k=2N/m)
14) Un corpo di massa m = 1Kg cadendo liberamente da un'altezza di 50 cm, di quanto
comprime una molla di K = 243 N/m che si trova ad h=0?(R:Ds=0,2m)
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