Potenziale Elettrico
Il campo elettrostatico è conservativo; possiamo allora
definire una funzione della posizione (coordinate
spaziali) che chiameremo Potenziale Elettrico:
Il Potenziale Elettrico in un punto A di un campo
elettrico è la grandezza scalare che misura il
lavoro che la forza elettrica del campo deve
compiere per spostare l’unità di carica elettrica
positiva q dal punto A fino ad un punto situato a
distanza infinita
LA
VA =
q
Nel SI si misura in Volt ;
1Joule(J) / 1coulomb (C)= 1 VOLT (V)
Differenza di Potenziale (d.d. p.)
La d.d.p. tra due punti di un campo elettrico rappresenta il
lavoro, riferito all’unità di carica elettrica unitaria positiva,
che la forza elettrica esercitata dal campo deve compiere
per spostare tale carica da un punto all’altro, lungo
qualunque percorso.
LAB
(VA − VB ) =
q
dL = F ⋅ ds = qE ⋅ ds integrando
B
A
A
V B −V A = − ∫ E ⋅ ds
B
Si ottiene :
∫ dL = ∫ qE ⋅ ds
B
A
Potenziale dovuto ad una
carica puntiforme q.
V B −V A = − ∫ E ⋅ ds
B
A
Se B=∞ e si è posto VB=0 (potenziale nullo all’infinito)
q
VA = k 0
R
Il potenziale di una carica elettrica puntiforme q in un
punto distante R da essa, se per convenzione il
potenziale all’infinito è posto uguale a zero, sarà
proporzionale alla carica q ed inversamente
proporzionale alla distanza R.
Poiché il campo elettrico E è conservativo tutte le possibili integrazioni
danno il medesimo risultato. Dimostriamolo con un esempio.
V f −V i = − ∫ E ⋅ ds
f
i
=
V f −V i = − ∫ E ⋅ ds −
c
i
f
∫
c
E ⋅ ds
Potenziale dovuto a molte cariche
puntiformi
Il potenziale dovuto ad N cariche elettriche puntiformi è uguale alla somma
dei valori dei potenziali dovuti da ogni singola carica i-esima.
Col relativo segno
N
N
V = ∑ Vi = ∑
i =0
i =0
qi
qi
k0
= k0 ∑
Ri
Ri
NOTA: A differenza del campo elettrico E col potenziale V si ha il vantaggio, non
indifferente, di dover effettuare somme algebriche anziché somme vettoriali.
Si calcoli il potenziale nel punto P, al centro del quadrato di
cariche puntiformi mostrate nella figura. Si assuma che sia d
= 1,3 m e che le cariche siano:
q1 =+12nC, q2=+31,
q3 =-24nC , q4=+17nC
R. V(P)=350V
• Ordinare le disposizioni di carica a,b,c,d in base al
potenziale netto generato all’origine. (porre: V∞=0 et
distanza dall’ origine uguale per tutte)
Calcolo del Campo Elettrico
partendo dalla conoscenza di V
• Se è nota l’espressione di V(x,y,z) nello spazio,
le singole componenti di E si ricavano derivando
rispetto a quella direzione la funzione V(x,y,z).
Se V(r) , funzione radiale allora :
∂
dV (r )
Er = − V (r ) ≡
∂r
dr
Esempio : Calcolo di E da V
(Piano uniformemente carico)
σ
V =−
x
2ε 0
∂
⎡
⎤
⎢ ricordiamo: Er = − ∂r V (r ) ⎥
⎣
⎦
∂
∂ ⎛ σ
V = ⎜ −
∂x
∂x ⎝ 2ε 0
⎞
σ
x ⎟ = −
2ε 0
⎠
σ
E=
2ε 0
1/r
Le cariche elettriche in un conduttore si
distribuiscono sulla superficie esterna in
modo che il potenziale, in tutti i suoi punti
interni e superficiali, sia costante.
Guscio sferico carico
E=0
1/r2
Scarica elettrica su un conduttore carico
Conduttore isolato in un campo
elettrico esterno
• Effetto: Modifica le linee del campo per via delle
cariche indotte dal campo elettrico esterno.
Energia Potenziale U di un sistema
di cariche elettriche
• E’ uguale al lavoro speso da un agente esterno per
portare il sistema nella configurazione indicata,
spostando ciascuna carica da una distanza infinita alla
propria posizione.
RICORDIAMO CHE :
Il Potenziale Elettrico in un punto A di un campo elettrico è la grandezza scalare che misura il lavoro che la
forza elettrica del campo deve compiere per spostare l’unità di carica elettrica positiva q dal punto A fino ad un
punto situato a distanza infinita
Nel caso di due cariche 1 e 2, si avrà:
q1q2
U12 = L12 = q2V1 = k0
r12
Lavoro Positivo
U>0 se q1*q2>0
Lavoro Negativo
U<0 se q1*q2<0
La figura mostra tre cariche tenute ferme da forze
non indicate. Qual è l'energia potenziale elettrica del
sistema di cariche? Si assuma che sia d = 12 cm e
che q1 = +q , q2=-4q et q3 = +2q , dove q = 150
nC.
R. U=-17mJ
Problema
Una carica puntiforme Q1=5µC è posta nell’origine ed una
seconda carica Q2=2µC è posta nel punto (3m,0).
a) posto V=0 all’infinito, calcolare V nel punto P(0,4m);
b) Il lavoro richiesto per portare Q3=4µC dall’infinito in P;
c) L’energia potenziale totale del sistema.
