L12 Intervalli di confidenza

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a.a. 2015-2016 La stima
Cristina Davino
Parametri e statistiche
Popolazione
Parametri
Campione
Statistiche
o
Stimatori
Valori fissi,
spesso non noti
Variabili casuali,
le cui determinazioni
dipendono dalle particolari
osservazioni scelte
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Parametri e statistiche
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Distribuzioni campionarie
Parametri: valori caratteristici della popolazione
Statistiche o v.c. campionarie o stimatori o
Le conclusioni inferenziali, basate sull’unico campione
statistiche test: funzioni delle osservazioni campionarie
osservato, devono essere giudicate sulla base della
Statistica calcolata o stima: numero ottenuto
distribuzione di probabilità dei possibili campioni che
applicando la statistica al campione osservato
potevano essere generati e dei quali quello osservato
Distribuzione campionaria: valori che la statistica
assume al variare del campione nell’universo campionario
costituisce una realizzazione particolare.
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Cristina Davino
La stima
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La stima
• Si suppone che la popolazione, seppur incognita, si distribuisca
secondo una legge di probabilità completamente caratterizzata sa un
parametro θ o da un insieme di parametri.
La stima puntuale
Per stimare uno stesso parametro si possono usare più statistiche (più
stimatori) ognuno delle quali fornisce valori potenziali per il parametro.
• Sulla base di un campione casuale X1, X2, …, Xn si vuole trovare un
valore o un insieme di valori per θ che siano la migliore
La stima per intervalli
Si cerca un intervallo che ha una particolare confidenza o probabilità di
approssimazione possibile del valore incognito della popolazione.
includere il parametro della popolazione
Livello di confidenza
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La stima puntuale
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La stima puntuale: la correttezza
Uno stimatore t è uno stimatore corretto del parametro θ se:
Occorre definire delle regole in base alle quali si possa
discriminare tra stimatori alternativi:
1.
Proporre stimatori “naturali”
2.
Determinare la probabilità con cui uno stimatore tende a produrre
è uno stimatore corretto di µ
stime diverse da θ
è uno stimatore distorto di σ2
Proprietà degli stimatori
è uno stimatore corretto di σ2
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Cristina Davino
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L’intervallo di confidenza per la media
della popolazione
La stima puntuale
• Anche se lo stimatore presenta proprietà ottimali, una volta
ottenuto il campione le stime difficilmente coincideranno con il
parametro incognito
• A parità di stimatore, campioni diversi conducono a stime
diverse
• Il valore numerico della singola stima non fornisce
informazioni sul probabile campo di variazione delle stime del
parametro
t1
µ
t2
Stima per intervalli
-Zα/2
0
Zα/2
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L’intervallo di confidenza per la media
della popolazione
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L’intervallo di confidenza per la media
della popolazione
Una macchina produce bulloni il cui peso ha
distribuzione Normale con media µ=63 grammi
e varianza σ2=0,8.
Scegliendo a caso 8 bulloni, qual è l’intervallo
che con probabilità 0,95 comprenderà la loro
media?
Una macchina produce bulloni il cui peso ha
distribuzione Normale con media µ=incognita e
varianza σ2=0,8.
Scelti a caso 8 bulloni, il loro peso medio è
risultato pari a 62,6 grammi. Qual è l’intervallo
che, con probabilità 0,95, contiene il parametro
incognito µ?
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L’intervallo di confidenza per la media
della popolazione
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L’intervallo di confidenza per la media
della popolazione
Quando il parametro µ della popolazione è incognito, il miglior
modo per stimarlo è utilizzare la media campionaria.
Quando la numerosità campionaria
n è sufficientemente elevata si ha:
E’ quindi possibile dire che, con probabilità 1-α, l’intervallo:
Per 1-α = 68%
Per 1-α = 95%
Per 1-α = 99%
contiene il parametro incognito µ.
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Cristina Davino
L’intervallo di confidenza per la media
della popolazione
Cristina Davino
L’intervallo di confidenza per la media
della popolazione
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Cristina Davino
Esercizio
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Esercizio
L’altezza delle matricole universitarie di sesso maschile può essere considerata
una variabile con distribuzione Normale, con media incognita e varianza pari a
10,66.
Per stimare l’altezza media si estrae un campione casuale di 58
matricole e si misura l’altezza media, che risulta pari a 175,4 cm. Si
definisca l’intervallo che, ad un livello di fiducia del 90, del 95 e del 99
per cento contenga il parametro incognito della popolazione.
L’altezza delle matricole universitarie di sesso maschile può essere considerata
una variabile con distribuzione Normale, con media incognita e varianza pari a
10,66.
Per stimare l’altezza media si estrae un campione casuale di 58
matricole e si misura l’altezza media, che risulta pari a 175,4 cm. Si
definisca l’intervallo che, ad un livello di fiducia del 90, del 95 e del 99
per cento contenga il parametro incognito della popolazione.
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La stima per intervalli
n>
30?
SI
NO
Cristina Davino
La stima per intervalli
X ∼ N?
NO
La stima della media
con distribuzione nota e varianza incognita
?
SI
σ
noto?
SI
NO
La distribuzione t di Student
• La funzione di densità della v.c. di Student è sempre
simmetrica, con valore medio pari a 0, ed assume una
forma molto simile a quello della Normale
standardizzata alla quale tende assai velocemente al
crescere dei gradi di libertà.
• Per valori di n piccoli o moderati, la v.c. di Student si
caratterizza per una curtosi leggermente più elevata e
per code più “pesanti” della v.c. Normale.
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Cristina Davino
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Esercizio
La stima per intervalli
La stima della media
con distribuzione nota e varianza incognita
Esempio
L’altezza delle matricole universitarie di sesso maschile può essere considerata una variabile con distribuzione
Normale, con media e varianza incognite.
Per stimare l’altezza media si estrae un campione casuale di 18 matricole e si misura l’altezza media, che
risulta pari a 175,4 cm, con sqm campionario corretto pari a 4,4 cm. Si definisca l’intervallo che, ad un
livello di fiducia del 95% contenga il parametro incognito della popolazione.
Un'azienda che imbottiglia una bibita gassata vuole indagare
sulla forza della pressione interna della bibita presente in una
lattina. Supponendo che la forza della pressione sia una v.c.
con s.q.m. 28psi, si consideri un campione casuale di 20 lattine
con pressione media pari a 235psi. Si determini un intervallo di
confidenza al 95% per la pressione media delle lattine prodotte
dall'azienda nel caso in cui il valore della pressione possa
essere considerato distribuito normalmente.
173,2
177,6
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Esercizio
X~ N(?; 28)
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La stima per intervalli
σ=28
• Si cerca un intervallo che ha una particolare confidenza o probabilità
di includere il parametro della popolazione
n=20
1-α=0,95
Livello di confidenza
ldf=90%
ldf=95%
ldf=99%
z=1,64
z=1,96
z=2,33
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V.C. Proporzione campionaria
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La stima per intervalli
•
: numero di successi in n prove
•
: proporzione di successi in n prove
π
proporzione di successi nella popolazione
p
proporzione di successi in un campione di ampiezza n
La proporzione di successi nella popolazione
P: v.c proporzione campionaria
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La stima per intervalli
La proporzione di successi nella popolazione
Cristina Davino
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La stima per intervalli
La proporzione di successi nella popolazione
Quando il parametro π della popolazione è incognito, il miglior
modo per stimarlo è utilizzare la proporzione campionaria.
Quando la numerosità campionaria
n è sufficientemente elevata si ha:
E’ quindi possibile dire che, con probabilità 1-α, l’intervallo:
contiene il parametro incognito π.
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Cristina Davino
Esercizio
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Esercizio
La stima di una proporzione
La stima di una proporzione
Da un’indagine condotta su un campione casuale di 280
matricole universitarie è risultato che il 36% si dichiara
insoddisfatto della nuova Riforma.
Qual è l’intervallo che, ad un livello di fiducia del 95%,
comprende il parametro incognito della popolazione?
Da un’indagine condotta su un campione casuale di 280 matricole universitarie
è risultato che il 36% si dichiara insoddisfatto della nuova Riforma.
Qual è l’intervallo che, ad un livello di fiducia del 95%, comprende il parametro incognito
della popolazione?
π
Parametro:
(Proporzione nella popolazione)
;
Stimatore:
p
(Proporzione campionaria)
Per campioni
grandi
n=280
p=0,36
1-α = 0,95
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Cristina Davino
Esercizio
Un rivenditore di automobili vorrebbe stimare la proporzione
di clienti che posseggono ancora l'automobile acquistata
cinque anni prima.
Dai registri del rivenditore si seleziona un campione casuale
di 200 clienti, di cui 82 posseggono ancora l'automobile
acquistata cinque anni prima. Si definisca una stima per
intervalli per la proporzione nella popolazione ad un livello di
confidenza del 95%.
Cristina Davino
Esercizio
n=200
1-α=0,95
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Cristina Davino
Dove e come studiare
• S. Borra, A. Di Ciaccio (2004) – Statistica – Metodologie per le scienze
economiche e sociali – McGraw-Hill. Cap. 11 (escluso paragrafi 11.4,
11.5, 11.9), Cap. 12 (escluso paragrafo 12.6).
• D. Piccolo (2004) – Statistica per le decisioni – Il Mulino. Cap. 13
(escluso paragrafi 13.3, 13.4,13.5, 13.6, 13.7, 13.8), Cap. 15 (escluso
paragrafi 15.4, 15.5, 15.6).
• F. Parpinel, C. Provasi (2004) – Elementi di probabilità e statistica per
le Scienze Economiche – Giappichelli editore. Cap. 6 (escluso paragrafi
6.1.1, 6.1.2, 6.2.4).
File “esercizi intervalli di confidenza.pdf”
Riepilogo
Popolazione e campione
La stima
La stima puntuale
Le proprietà degli stimatori
Intervallo di confidenza per la media
Intervallo di confidenza per la proporzione
Cristina Davino