1
Partiamo da un’informazione comune a tutti gli alunni della scuola italiana:
La somma degli angoli interni di un triangolo è 180° .
Come giustificare questo fatto? Con delle prove sperimentali, ad esempio.
Proviamo così:
1) Prendi due cartoncini rettangolari uguali e disegna su di essi due triangoli uguali, che abbiano per
base un lato del cartoncino e per vertice opposto alla base, un punto, E, qualsiasi del lato opposto.
2) Dal punto scelto, E, traccia la perpendicolare alla base AB (l’altezza)
3) I triangoli ABE rimangono così divisi ciascuno in due triangoli rettangoli, AEF e BEF, i quali
hanno un angolo acuto che coincide con quello del triangolo iniziale, ABE
D
A
E
C
F
B
D
E
A
C
F
B
B
4) Ora ritaglia da un solo cartoncino, i due triangoli rettangoli AEF e BEF
5) Appoggiali sull’altro cartoncino sovrapponendoli a quelli disegnati poi ruotali in modo che il
punto A vada sul punto E , il punto F vada sul punto D e il punto E vada su A. In tal modo l’angolo
acuto alla base, ( EAF) va a collocarsi vicino all’angolo al vertice (AEB) del triangolo grande.
F
E
AB
F
F
DC
E
E
AB
F
B
E
6) Ora osserva: che tipo di angolo formano i triangoli così accostati?
7) Si vede che si tratta di un angolo piatto. E, se rifletti bene, ti accorgi che i tre angoli in questione
D
sono proprio gli angoli del triangolo iniziale.
Dunque, concludendo: La somma degli angoli interni di un triangolo misura 180°, proprio come
l’angolo piatto che essi hanno formato.
2
Possiamo fornire un’altra prova sperimentale di questo fatto
Prendiamo un triangolo ed inseriamo al suo interno un oggetto di cui sia facile stabilire
l’orientamento, ad esempio una freccia o una matita
A'
B'
A
B
A
B
B'
A'
Si vede che, se voglio cambiare l’orientamento, la freccia deve percorrere un angolo. Così, nella
seconda figura, si capisce che se la direzione è la stessa, ma l’orientamento è opposto, la freccia
deve aver percorso una rotazione complessiva di 180°.
La freccia ha percorso tre angoli ed ora ha l’orientamento opposto. Dunque ha percorso 180°.
Ne consegue che la somma dei tre angoli percorsi doveva essere di 180°.
Dunque, concludendo: La somma degli angoli interni di un triangolo misura 180°, proprio come
l’angolo piatto che è stato percorso.
3
Scheda 1
Proviamo ad applicare questa informazione, alla scoperta di altre proprietà delle figure geometriche.
Come si può trovare la somma degli angoli interni di un poligono con più di tre lati? Iniziamo dai
quadrilateri:
1) Determina la somma degli angoli interni di un quadrilatero e spiega come hai fatto.
2) Determina la somma degli angoli interni di un pentagono e spiega come hai fatto.
3) Quale relazione intercorre fra la somma degli angoli interni di un poligono e il numero dei suoi
lati? Esprimiamo questo legame con una formula:
4
Alcune definizioni
Nella figura qui sotto sono indicati due elementi dei poligoni: l’angolo interno e l’angolo esterno.
ANGOLO ESTERNO
ANGOLO INTERNO
Prova a descriverli in modo che le parole illustrino in maniera chiara questi due elementi.
Definizione di Angolo Interno di un poligono:
Definizione di Angolo Esterno di un poligono:
Relazione fra angolo interno e angolo esterno adiacenti
RELAZIONE FRA
ANGOLO INTERNO ED ANGOLO ESTERNO ADIACENTI
ANGOLO ESTERNO
ANGOLO
INTERNO
Quale relazione intercorre fra l’angolo interno e quello esterno adiacente ?
5
Il Teorema dell’angolo esterno
Abbiamo visto che l’angolo esterno e quello interno ad esso adiacente formano un angolo di 180°, e
che la somma degli angoli interni di un triangolo vale 180°.
A partire da queste informazioni puoi dedurre la relazione che intercorre fra un l’angolo esterno d
di un triangolo e gli altri due angoli interni, a e b , non adiacenti ad esso?
Quello che hai appena dimostrato è uno dei più importanti teoremi della geometria e si chiama:
Teorema dell’angolo esterno.
Proviamo ad enunciarlo:
6
Somma Angoli Esterni di un poligono
Un’altra definizione: La somma degli angoli esterni.
Def. Si chiama “Somma degli angoli esterni di un poligono”, la
somma degli angoli esterni ottenuti prolungando i lati sempre
nello stesso verso.
Nel poligono in figura, i lati sono stati prolungati in senso
orario.
Proviamo ora a scoprire cosa si può dire della somma degli angoli esterni di un poligono.
Si può ricavare dai dati che abbiamo?
Determina la somma degli angoli esterni di un triangolo e descrivi il ragionamento seguito:
Quale relazione intercorre fra la somma degli angoli esterni di un poligono e il numero dei suoi
lati?
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Poligoni regolari
Def: Un poligono si dice “regolare” quando ha :
a) tutti i lati uguali fra loro e
b) tutti gli angoli uguali fra loro.
Se non ci fosse questa definizione così completa, non avremmo l’idea che abbiamo di poligono
regolare. Diciamo che, alla ricerca di un massimo di simmetria, desideriamo che tutti gli elementi
dello stesso tipo (lati; angoli;) siano uguali fra loro. Ma è proprio necessario dire entrambe le cose?
O si ottiene lo stesso risultato dicendone solo una? Rispondi alle domande seguenti:
1) E’ vero che se un poligono ha tutti i lati uguali fra loro, allora ha anche gli angoli uguali fra loro?
Spiega la tua risposta
2) E’ vero che se un poligono ha tutti gli angoli uguali fra loro, allora ha anche i lati uguali fra
loro? Spiega la tua risposta
3) Quanti tipi di poligono regolare si possono immaginare ?
4) Come si può trovare l’ampiezza di un solo angolo di un poligono regolare?
5) Scrivi la formula che consente di determinare l’ampiezza di un solo angolo interno di un
poligono regolare di n lati.
6) Determina l’ampiezza dell’angolo interno nei seguenti poligoni regolari:
Triangolo equilatero…………………..
Quadrato…………………………
Pentagono regolare……………………
Esagono regolare…………………
Ottagono regolare ……………………..
Decagono regolare………………
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Una piccola curiosità
Rispondi alle domande seguenti:
1)Come si comporta l’angolo interno di un poligono regolare all’aumentare del numero dei lati?
2) La sua ampiezza aumenta indefinitamente ? o c’è un limite ?
3) Cosa suggerisce la formula:
a = 180 ×
n-2
n
quando n è molto, molto. molto grande?
n-2
si avvicina sempre più?
n
4) E se n continua ad aumentare a quale numero la frazione
5) A quale numero si avvicina allora l’ampiezza dell’angolo interno all’aumentare dei lati?
6) Commenta il seguente disegno:
4
3
10
5
12
6
8
16
20
30
7) Quanti lati ha un poligono regolare con un angolo di 179° gradi?
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Riempimenti regolari del piano.
(Tassellazioni o pavimentazioni di un piano infinito)
Per “pavimentazione regolare” si intende un ricoprimento del piano con poligoni regolari tutti dello
stesso tipo, accostati in modo che abbiano lati e vertici in comune, come accade nei pavimenti.
1) Qual è la legge geometrica che governa il riempimento del piano?
(Osservare cosa accade nei vertici delle mattonelle che formano il pavimento)
2) Qui sotto sono elencati alcuni poligoni regolari. Stabilisci quali di essi possono essere usati per
costruire un pavimento e per ognuno di essi, quanti convergono nello stesso vertice:
Triangoli equilateri………………………..
Quadrati
Si e in ogni vertice ne convergono 4
Pentagoni…………………………..
Esagoni………………………………..
Ottagoni……………………………………..
3) A quale legge deve obbedire l’ampiezza dell’angolo dei poligoni regolari con i quali posso
riempire il piano? Spiega la tua risposta
4) Disegna qui sotto le possibili pavimentazioni regolari
5) Dimostra che esistono solo tre tipi di pavimentazione regolare
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Riempimenti semiregolari del piano
Questa attività è il naturale proseguimento dell’altra. Può contribuire a rinforzare le nozioni sugli
angoli e a sviluppare la capacità dell’alunno di “vedere” la matematica intorno a sé.
Ora vogliamo studiare le tassellazioni del piano che si possono ottenere mescolando poligoni
regolari delle stesse dimensioni (lati uguali), ma di tipo diverso. Ad esempio, usando quadrati e
triangoli equilateri. Per questa ricerca fissiamo due regole:
A) I vertici devono incontrarsi sui vertici (non devono esserci vertici di un poligono sui lati
di un altro);
B) Tutti i vertici del piano devono essere dello stesso tipo, cioè in ogni vertice deve
concorrere lo stesso numero e tipo di poligoni, e con la stessa orientazione.
1) Quali moduli ( disposizioni) si possono avere con triangoli equilateri e quadrati? Fai un disegno
e descrivi cosa accade in ogni vertice:
2) Sono ripetibili tali moduli? Vuol dire: si può continuare a pavimentare allo stesso modo? (con gli
stessi poligoni, orientati allo stesso modo, in tutti i vertici)
Abbiamo visto cosa accade usando triangoli equilateri e quadrati.
3) Con quali altre coppie (ad esempio, triangoli ed esagoni oppure quadrati e pentagoni, oppure
ottagoni e quadrati di poligoni regolari si possono costruire pavimenti con i vertici tutti dello stesso
tipo? Elenca i modi possibili: (per aiutarti, ti dirò che ne mancano solo 6. Riesci a trovarli tutti? )
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4) In quanti modi si può ricoprire il piano con poligoni regolari di tre tipi diversi e i vertici tutti
dello stesso tipo? Elenca alcuni modi possibili. ( In tutto sono solo 10, ma chissà se riesci a
trovarli tutti ? Cercane un po’ e fermati quando vuoi)
5) Dimostra che non è possibile con quattro tipi di poligono regolare.
.
6) Enuncia il Teorema al quale si perviene con l’ ultima dimostrazione:
7) E’ ripetibile il modulo sotto illustrato? Giustifica la risposta
8) Riesamina le risposte date nella pagina precedente e stabilisci, per ogni situazione individuata,
l’effettiva costruibilità.
9) Prova a costruire e colorare alcuni pavimenti semiregolari
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Riempimenti del piano con poligoni non regolari
Questa attività è posta alla fine del lavoro sui riempimenti del piano, ma può essere presentata
prima come gioco introduttivo, oppure dopo il lavoro con i poligoni regolari. Oppure alla
fine per “completare” il lavoro e per fare riflettere su alcune proprietà poco note dei
poligoni.
Abbiamo visto come riempire il piano con poligoni regolari dello stesso tipo. Si può fare la stessa
cosa utilizzando poligoni non regolari, tutti dello stesso tipo?
Iniziamo dai triangoli
1) Si può riempire il piano usando solo triangoli della stessa forma? Spiega la tua risposta.
(Costruire triangoli in cartoncino,tutti uguali fra loro e provare)
2) Si può riempire il piano usando solo quadrilateri della stessa forma? Spiega la tua risposta.
(Costruire 10 quadrilateri uguali, in cartoncino e provare)
3) Si può riempire il piano con pentagoni non regolari tutti della stessa forma? Provare con
pentagoni in cartoncino, non regolari, ma tutti uguali fra loro
4) A quali conclusioni si arriva?
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1
Somma degli angoli interni di un poligono
Soluzioni Scheda 1
Possibili soluzioni:
la somma degli angoli interni del poligono di 5 lati è
180x5 - 360
180°
360°
180x5 - 180x2
180°
180x(5-2)
180°
180°
180°
in un poligono di n lati, la somma vale
180x(n-2)
Alla soluzione si arriva in genere con la formula: Somma int. = 180 × n - 360
Essa conserva ancora tracce chiare del ragionamento seguito: tanti angoli piatti quanti sono i
triangoli costruiti sui lati, meno l’angolo giro al centro.
Ma, al fine di averei una formula più semplice da ricordare e da usare, si preferisce trasformarla nel
modo seguente:
180 × n - 360 = (invece di 360, scriviamo il prodotto 2 ×180 )
180 × n - 180 × 2 = (applichiamo la proprietà distributiva )
180 × ( n - 2 ) si arriva a questa forma , che consente il calcolo più rapido e lega in maniera più
diretta la somma degli angoli interni al numero dei lati.
Si guadagna qualcosa in un senso, ma si perde il processo che l’ha generata.
Qui è interessante far notare il ruolo determinante della proprietà distributiva che consente di
trasformare 180 × n - 360 in 180 × ( n - 2 ) .
2
Altra possibile soluzione:
A
E
180
180
Tracciando le diagonali dallo stesso
vertice, si divide il poligono in triangoli
La somma degli angoli dei triangoli, coincide
B con la somma degli angoli del poligono
180
E quanti triangoli ci sono ?
C
D
Questo dipende dal numero delle diagonali che
escono dallo stesso vertice
E quante sono le diagonali che partono da un
vertice di un poligono di n lati?
La risposta a queste domande conduce alla formula generale. Un vertice non può essere collegato
con se stesso e con i due vertici adiacenti. In tutto dunque sono n-3. I triangoli generati sono uno
più del numero delle diagonali, perciò (n-3)+1 = n-2.
Questa dimostrazione può essere affinata giustificando il numero dei triangoli con altre
considerazioni: I triangoli sono di due tipi: quelli compresi fra due lati ed una diagonale e quelli
compresi fra due diagonali e un lato. La presenza di m diagonali produrrà due triangoli laterali ( del
primo tipo) e m-1 triangoli centrali (del secondo tipo). In tutto dunque il numero dei triangoli sarà:
: (m-1)+2 = m+1 , cioè uno in più del numero delle diagonali, che sono n-3. E sostituendo ad m il
numero n-3, si ottiene n-3+1 = n-2 triangoli, ovvero, passando alla somma degli angoli:
( n - 2 ) ×180° .
Dunque qui il ragionamento seguito conduce alla forma S.int = 180 × ( n - 2 ) a meno della proprietà
commutativa della moltiplicazione
A pagina 4 sono richieste due definizioni. Senza addentrarsi troppo nei dettagli (che cos’è un lato,
che cos’è un angolo) descriviamo le figure in questi termini:
Def: In ogni poligono si chiamano “angoli interni”, quelli che hanno per lati due lati consecutivi
del poligono.
Def: In ogni poligono, si chiamano “ angoli esterni” quelli che hanno per lati, un lato del poligono
ed il prolungamento del lato consecutivo.
Per quanto riguarda la relazione che intercorre fra l’angolo esterno e l’angolo interno adiacente ad
esso, si tratta con evidenza del fatto che, insieme, formano un angolo piatto, la cui ampiezza è di
180° .
Piccola parentesi storica:
Euclide definisce l’angolo rettilineo come “l’inclinazione reciproca di due rette che hanno un
estremo in comune e che non giacciono sulla stessa retta”. Nella definizione di Euclide è dunque
escluso l’angolo piatto.. In effetti non sembra molto naturale chiamare “angolo” una semplice
retta….. Euclide concepisce dunque la figura, come “somma di due angoli adiacenti” e di essa dice
: “Se due angoli sono adiacenti, la loro somma è sempre uguale alla somma di due angoli retti” e,
viceversa: “Se due angoli consecutivi hanno somma pari a quella di due retti, allora essi sono
3
adiacenti”. Sono le Proposizioni 13 e 14 del Primo Libro degli Elementi. La dimostrazione fornita
da Euclide appare quasi incomprensibile per noi moderni, abituati a concepire l’esistenza dell’
“angolo piatto”. Si noti anche che la definizione è tautologica, infatti introduce la parola
“inclinazione” per spiegare l’angolo, ma si può spiegare “inclinazione” senza introdurre la parola
“angolo” ? Non si può definire tutto sulla base delle sole parole. Prova a fare una ricerca usando
solo il dizionario della lingua italiana: ad esempio cerca il significato della parola “tavolo” e
continua a cercare il significato delle parole usate per definirlo…(fornire un esempio)
Teorema dell’angolo esterno
Si chiede poi di dimostrare il Teorema dell’angolo esterno. C’è una dimostrazione molto semplice
che si basa sul fatto che abbiamo i 180° in due modi diversi:
Da una parte abbiamo la somma degli angoli interni di un triangolo: a + b + g = 180°
d + g = 180°
Dall’altra abbiamo la somma di due angoli adiacenti:
Poiché le due somme sono entrambe di 180° esse sono anche uguali fra loro: d + g = a + b + g
e togliendo ad entrambe le somme l’angolo g , si ottiene d = a + b
Dunque, dal confronto fra le due relazioni segue che d deve essere uguale ad a + b , da cui
l’enunciato:
In ogni triangolo, l’angolo esterno è sempre uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti
Piccola nota storica:
Il teorema dell’angolo esterno compare nella Proposizione 32 del Primo Libro degli Elementi ed è
seguito dall’affermazione :”….e la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli
retti” . L’osservazione dalla quale noi siamo partiti, che la somma degli angoli interni di un
triangolo è 180° è, per Euclide, la conclusione della Proposizione 32.
4
Somma degli angoli esterni
A pagina 6, dopo aver chiarito cosa si intende per “ somma degli angoli esterni” si chiede quanto
vale la somma degli angoli esterni di un triangolo.
Qui di seguito illustro due soluzioni:
1) Si può pensare al numero degli angoli piatti e togliere la somma degli angoli interni
Ci sono tre angoli piatti e + a ; b + J ; e g + d , per un totale di 3 ×180° = 540° , a cui dobbiamo
togliere la somma degli angoli interni, ovvero 180°. Dunque 540°-180° = 360°
2) si può pensare al teorema dell’angolo esterno e sostituire ad ogni angolo esterno la somma dei
due interni ed opposti. Si ottiene così la doppia somma degli angoli esterni. Bisogna dunque
dividere per 2. ( Soluzione di Martina Muru , IC 2013)
La somma degli angoli esterni è d + e + J . Ma noi sappiamo che, per il teorema dell’angolo
esterno, d = a + b ; e = b + g ; e J = a + g ; Allora sostituendo questi valori abbiamo:
d + e +J = a + b + b + g +a + g
Cioè: d + e + J = 2a + 2b + 2g e , applicando la proprietà distributiva:
d + e + J = 2 × (a + b + g )
Ma noi sappiamo che a + b + g = 180° perciò, sostituendo avremo:
d + e + J = 2 ×180° = 360° .
La prima soluzione è di carattere generale e si può applicare a poligoni con un numero qualsiasi di
lati.
5
Quale relazione intercorre fra la somma degli angoli esterni e il numero dei lati?
Nessuna.
La somma degli angoli esterni è la stessa per tutti i poligoni, a prescindere dal numero dei lati e
dalla forma. ( Fanno eccezione i poligoni concavi, ma è un’eccezione interessante, perché
scompare come eccezione con un solo piccolo accorgimento. )
Il primo ragionamento fatto per la somma degli angoli esterni di un triangolo ha carattere generale.
Vediamo come si snoda per i poligoni.
Nei quadrilateri avremo quattro angoli piatti, ai quali dovremo togliere la somma degli angoli
interni, cioè 360°. Avremo dunque 180° × 4 - 360° = 360°
Nei pentagoni si avrà 180°× 5 - 540° = 360° e così via.
Si capisce che aumenta di 1 il numero degli angoli piatti, ma aumenta di 1 anche il numero degli
angoli piatti che vanno a costituire la somma degli angoli interni, perciò la differenza è costante.
Se resistiamo alla tentazione di fare i calcoli, il ragionamento si segue meglio.
E nei triangoli si ha
Nei quadrilateri si ha
Nei pentagoni si ha
180°× 3 - 180°×1
180°× 4 - 180°× 2
180°× 5 - 180°× 3
La sequenza mostra chiaramente che il risultato è un invariante. Infatti per la sottrazione vale la
proprietà invariantiva: Aggiungendo o sottraendo uno stesso numero ad entrambi i termini della
sottrazione, la differenza non cambia.
La proprietà è molto utile nei calcoli rapidi. (Vedi schede sul calcolo rapido)
Ma andiamo direttamente alla formula che viene dal ragionamento applicato nel caso generale:
Somma esterni = Numero di angoli piatti – somma degli angoli interni. Che, tradotto in
matematica, si scrive:
Somma esterni = 180°× n - éë180°× ( n - 2 ) ùû
e applicando la proprietà distributiva
Somma esterni = 180°× n - [180°× n - 180°× 2] e liberando dalle parentesi
Somma esterni = 180°× n - 180°× n - 180°× 2
ed eliminando gli opposti
Somma esterni = 180°× 2
Nell’ultima espressione non compare più il numero dei lati, e questo esprime il valore della somma
degli angoli esterni non dipende in nessun modo dal numero dei lati del poligono. Esso è
indipendente dal numero dei lati. E’ un invariante.
6
Per “vedere” la somma degli angoli esterni, si può far ricorso ad immagini più suggestive:
Rimpicciolendo il poligono fino a farlo contrarre quasi in un punto, esso
lascia scoperti i suoi angoli esterni che lasciano “vedere” la loro somma.
Si può anche provare a far percorrere gli angoli ad una matita, come abbiamo fatto per giustificare
la somma degli angoli interni di un triangolo, e scoprire che essa, dopo aver percorso tutti gli angoli
esterni è tornata esattamente con l’orientamento iniziale.
Adesso è anche il momento di andare in laboratorio e provare la costruzione dei pavimenti usando
Cabri o Geogebra e le trasformazioni geometriche presenti tra le macro:
la simmetria assiale
la simmetria centrale
la traslazione
la rotazione
7
Poligoni regolari
Nel triangolo equilatero l’uguaglianza dei lati trascina con sé immediatamente anche l’uguaglianza
degli angoli. E viceversa, se un triangolo ha gli angoli uguali, allora ha anche i lati uguali.
Nei poligoni con più di tre lati ciò non accade, come si può facilmente mostrare con dei
controesempi:
Esempi di poligoni con i lati uguali ma con gli angoli diversi
. Si possono costruire a partire da un segmento dato e
tracciando opportuni cerchi. E’ interessante provare con Cabri
o con Geogebra o un altro software di geometria.
Esempio di poligono con gli angoli uguali e i lati diversi
Per ottenere angoli uguali conviene costruire un
poligono regolare e poi tagliarlo con una parallela ad un
lato. La parallela crea un nuovo lato e conserva gli
angoli.
Dunque se vogliamo davvero che un poligono risponda alla definizione che abbiamo dato, siamo
proprio costretti ad elencare entrambe le cose: lati uguali ed angoli uguali.
8
Si possono immaginare infiniti poligoni regolari: uno per ogni numero di lati, da tre in poi., o
almeno crediamo…. Quanto a provare a disegnarli, vedremo che già con 30 lati si fa fatica a
distinguerli da una circonferenza. Almeno su dimensioni piccole come quelle di un foglio di carta.
Provare a produrre un poligono di 30 lati con un software di geometria.
Per trovare l’ampiezza di un angolo di un poligono regolare si può procedere così:
1) Si divide la somma degli angoli interni per il numero degli angoli (che è lo stesso dei lati)
2) Si divide la somma degli angoli esterni per il numero dei lati, ottenendo così un singolo angolo
esterno. Si sottrae poi questo angolo dall’angolo piatto.
Nel primo modo, si ottiene la formula:
Angolo interno =
180°× ( n - 2)
n
Nel secondo modo si ottiene la formula:
Angolo interno = 180° -
360°
n
E’ interessante mostrare ora come si possa passare dall’una all’altra (e viceversa)
180°× ( n - 2)
applicando la proprietà distributiva si ottiene
n
180°× n - 180°× 2
applicando la definizione di somma di frazioni con ugual denominatore si ottiene
n
180°× n 180°.2
e semplificando la prima frazione e moltiplicando nella seconda
n
n
180° -
360°
.
n
Prova a procedere a ritroso e individuare le proprietà applicate.
L’ultimo è un banale esercizio di calcolo e applicazione della formula. Si ottiene:
Triangolo equilatero
60°
Quadrato 90°
Pentagono regolare108°
Esagono regolare 120°
Ottagono regolare 135°
Decagono regolare 144°
9
Una piccola curiosità
1) L’angolo aumenta all’aumentare del numero dei lati, ma non proporzionalmente ad essi: se il
numero dei lati raddoppia, l’ampiezza dell’angolo aumenta, ma non raddoppia. Se raddoppiasse
sempre, avremmo subito angoli maggiori di 360° e con essi sparirebbe il poligono.
2) C’è dunque un limite all’ampiezza dell’angolo interno nei poligono convessi. Esso non può
superare 180°
3) a = 180 ×
n-2
è un’espressione che assume valori che dipendono da n .
n
Per n=2 la frazione diventa
0
, ossia 0. E per la legge di annullamento del prodotto a = 0 .
2
Questo corrisponde al fatto che non ci sono poligoni con 2 soli lati.
3- 2
1
ovvero a = 180° × e cioè
3
3
all’angolo del triangolo equilatero.
Per n=3 si ha a = 180 ×
a = 60° e questo corrisponde
E così via calcolando.
n-2
, variabile al variare di n.
n
Esso però è una frazione propria perciò rimane comunque minore di 1. Pertanto ha l’effetto di far
diminuire il valore di 180°, ma sempre meno.
4) Dunque, i 180° si modificano secondo il fattore
n-2
si avvicina sempre di più ad uno e per n che continua ad
n
aumentare non si riuscirà più a distinguerla da 1.
Per n molto grande la frazione
In situazioni simili si dice che , per n che tende ad infinito la frazione ha limite 1 e di fatto si assume
per essa il valore 1.
Si scrive:
5) Il valore dell’angolo si avvicina a 180°
6) Si osserva che già un poligono di 30 lati è indistinguibile da una circonferenza. Questo dovrebbe
far riflettere sulla nostra capacità di “vedere” angoli e sull’importanza che ci sia la matematica a
garantire della loro esistenza. Dovrebbe inoltre far riflettere sul fatto che questo avvicinamento
infinito ai 180° implica che, per quanto vicino io sia, l’intervallo rimasto si può ancora dividere
infinite volte. Tutto questo sfugge alla nostra mente e non possiamo far altro che fidarci della
matematica e di ciò che essa ci suggerisce.
10
7) All’ultima domanda si può rispondere in 2 modi:
a) risolvendo un’equazione:
180 × (n - 2)
= 179
n
da cui, moltiplicando entrambi i membri per n
180 × (n - 2) = 179 × n
e, applicando la proprietà distributiva al primo membro
180 × n - 180 × 2 = 179 × n
ora sottraendo 179 × n ad entrambi i membri
180 × n - 180 × 2 - 179 × n = 0 e aggiungendo 180 × 2 ad entrambi i membri
180 × n - 179 × n = 180 × 2
n × (180 - 179) = 360
e, applicando di nuovo la proprietà distributiva al primo membro
infine, calcolando dentro parentesi
n = 360 lati
b) Si può invece passare per la somma degli angoli esterni. Sappiamo che essa è 360° e che gli
angoli esterni sono tutti uguali fra loro. Possiamo determinare l’ampiezza di un angolo esterno con
una banale sottrazione:
Un angolo esterno = 180-179 = 1° grado
Ora dividiamo i 360° per 1° e otteniamo il numero dei lati cioè, 360 lati.
11
Riempimenti regolari del piano.
(Tassellazioni o pavimentazioni di un piano infinito)
La legge che governa il riempimento del piano è che la somma degli angoli che convergono in un
vertice sia esattamente di 360°.
I poligoni regolari che consentono il riempimento del piano sono solo tre: il triangolo equilatero, il
quadrato e l’esagono regolare.
Infatti, con 6 triangoli equilateri, con il vertice in comune, si completano i 360°
Lo stesso avviene con 4 quadrati e con 3 esagoni.
La legge cui deve obbedire l’angolo di un poligono regolare è che sia sottomultiplo di 360°,
cosicchè un numero intero di tali angoli possa completare i 360° necessari a pavimentare.
E potremmo chiudere qui la questione: Le pavimentazioni regolari sono solo 3.
Tuttavia controlliamo con i poligoni che seguono:
Non è possibile con 3 pentagoni, poiché la somma dei 3 angoli arriva a 324° e non c’è posto per un
quarto pentagono.
L’ettagono non fa testo poiché con 128,58° non si arriva certo a fare i 360° richiesti. E poi basta
calcolare, e i calcoli ci dicono che due sono pochi e tre sono troppi
Con 2 ottagoni invece si arriva a 270° e ne mancano 90° per arrivare a 360°, perciò un altro
ottagono non ci sta: si arriverebbe a 405°, il che non è possibile.
Con poligoni di più lati non facciamo che peggiorare la cosa, perciò la questione è proprio chiusa
qui.
Possiamo ora enunciare il Teorema: Esistono solo 3 tipi di pavimentazioni regolari
E questo lo abbiamo appena dimostrato.
Quanto all’effettiva costruibilità , eccone la prova.
I disegni sono stati realizzati
costruendo un solo poligono
regolare ed applicando la funzione simmetria assiale. Si può invitare gli alunni a produrre
schermate regolari utilizzando le altre trasformazioni geometriche o componendo alcune di esse.
E’ interessante introdurle in questo modo, perché usarle e vederne gli effetti aiuta poi molto ad
inquadrarle teoricamente e ad analizzare la costruzione di ognuna di esse.
Riempimenti semiregolari del piano
12
E’ interessante esplorare anche quest’argomento perché introduce ad una comprensione più
completa di tanti capolavori dell’Arte come ad esempio i fantasiosi pavimenti di tante nostre chiese
e monumenti. Inoltre è caratteristico della curiosità e della ricerca affrontare i problemi che si
presentano senza averne timore. Probabilmente, vedere che i pentagoni lasciavano aperto uno
spazio di forma triangolare nei pavimenti avrà stimolato al curiosità di molti. Probabilmente, vedere
che le pavimentazioni regolari sono solo 3, avrà fatto pensare alla possibilità di ottenere altri
pavimenti mescolando i poligoni regolari. Iniziamo dunque, e rispondiamo alle domande poste.
Con due tipi di poligono: iniziamo con i più semplici: il triangolo ed il quadrato.
Proviamo con un solo quadrato.
360°, meno i 90° di un solo quadrato, lasciano scoperti 270°. Non si riesce a coprirli con multipli di
60°, cioè con triangoli equilateri. Non funziona.
Proviamo con 2 quadrati
360° - 90°-90° = 180° . 180° equivalgono a 3 triangoli equilateri.
Allora abbiamo trovato una combinazione possibile: 3 triangoli e 2 quadrati si possono accostare
intorno ad un vertice. Indichiamo questa scoperta con V (3,3,3,4,4) che significa che attorno ad un
vertice ci sono 3 triangoli equilateri e 2 quadrati.
Ma si trovano due possibili vertici :
V (3,3,3,4,4)
V (4,3,4,3,3)
Dunque due possibili composizioni.
Rimane da vedere se esse sono effettivamente ripetibili, in modo che tutti i vertici del piano abbiano
la stessa composizione
Questo è un errore. Infatti, da questa posizione mi
troverò con 3 triangoli consecutivi in un vertice
13
Si generano giochi di simmetrie che mostrano motivi diversi a seconda di come li guardiamo. In
realtà, i vertici del secondo tipo sono 2, orientati in maniera diversa. I pavimenti che ne risultano
sono diversi solo ad un occhio attento.
Questo è un errore. Infatti, da questa posizione mi
troverò con 3 triangoli consecutivi in un vertice
ne mi
e
I disegni qui sopra presentano un effetto ottico diverso, speculare.
Essi differiscono solo per un piccolo particolare: l’orientamento dei poligoni intorno ad un vertice.
Nel primo disegno, in senso antiorario si ha un vertice V (4,3,4,3,3)
Nel secondo disegno, in senso antiorario si ha invece V (4,3,3,4,3,)
Nel primo disegno si individua una traslazione “corta” (di un vettore pari alla distanza dei centri
di due quadrati vicini ma con i lati paralleli) da sinistra a destra verso il basso
Nel secondo disegno si individua una traslazione “corta” (di un vettore pari alla distanza dei centri
di due quadrati vicini ma con i lati paralleli) da sinistra a destra verso l’alto
Questo è un errore. Infatti, da questa posizione mi
troverò con 3 triangoli consecutivi in un vertice
Sono presenti anche altre traslazioni. Ci si può
divertire ad individuarle. Si può anche chiedere agli studenti di provare, a partire da un modulo
base, a completare la pavimentazione usando le traslazioni.
I disegni qui sopra sono stati ottenuti solo con rotazioni di 120° intorno ad opportuni vertici, a
partire da un quadrato costruito con la funzione “poligono regolare”, sormontato da un triangolo
equilatero costruito tracciando cerchi, secondo la proposizione I,1 di Euclide: “Su una retta
terminata data (un segmento) costruire un triangolo equilatero:
14
Con triangoli ed esagoni abbiamo diverse possibilità di accostare i due poligoni
Con un esagono e 4 triangoli equilateri la somma degli angoli è 360° e si ha il vertice (6,3,3,3,3)
Con due esagoni e due triangoli equilateri si hanno i vertici : V(6,3,6,3) e V(6,6,3,3)
V(6,3,6,3)
V(6,3,3,3,3)
V (6,3,6,3,)
V ( 6,6,3,3,)Vertice non ripetibile
V (6,3,6,3,)
V ( 6,6,3,3,)
Vertice non
ripetibile
Mentre il vertice V(6,6,3,3) si rivela non
ripetibile. Dopo un primo passo siamo
subito costretti ad un altro tipo di vertice,
(6,3,6,3) e veniamo così a violare la regola
di fare tutto con un solo tipo di vertice
Naturalmente questo può forse far
venire voglia di vedere cosa
succede mescolando i vertici….
E’ chiaro che si apre un campo
dove domina la fantasia e che può
comunque essere esplorato alla
ricerca delle simmetrie. Il disegno
è stato realizzato effettuando
simmetrie assiali e centrali e poi
solo traslazioni di vettore i 2
indicati.
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Calcolo degli angoli nei poligoni regolari
N°
lati
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3
8
6
Ampiezza
angolo
60
90
108
120
128,58
135
140
144
147,27
150
152,30
154,28
156
157,5
N° Tipo di
vertice
1 3,3,3,3,3,
3
2 3,3,3,3,6
3 3,3,3,4,4
4 3,3,4,3,4
5 3,3,4,12
6 3,4,3,12
7 3,3,6,6
8 3,6,3,6,
9 3,4,4,6
10 3,4,6,4
11 3,7,42
N°
lati
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Ampiezza
angolo
158,8
160
161,05
162
162,86
163,6
164,3
165
165,6
166,15
166,66
167,14
167,6
168
N°
lati
32
36
40
36
40
42
45
60
72
90
120
180
360
3600
Ampiezza
angolo
168,75
170
171
170
171
171,42
172
174
175
176
177
178
179
179,9
Ripetibile N° Tipo di Ripetibile
vertice
Si
12 3,8,24 NO
Si
Si
Si
NO
NO
NO
Si
NO
Si
NO
13
14
15
16
17
18
19
20
21
3,9,18
3,10,15
3,12,12
4,4,4,4
4,5,20
4,6,12
4,8,8
5,5,10
6,6,6
NO
NO
Si
Si
NO
Si
Si
NO
Si
A questo punto il discorso si fa più
complesso. Riuscire a completare il
quadro dei possibili vertici usando la
tabella degli angoli è complicato e
lungo.
Lasciamo che lo faccia chi vuole
prenderlo come un gioco e vuole
divertirsi a trovare tutte le composizioni
possibili.
Ad ogni buon conto le altre
possibilità sono indicate nella tabella
allegata
Come si vede dalla tabella i tipi di
vertice possibili sono solo 21:
con poligoni regolari di un solo tipo
come già sappiamo
con poligoni regolari di 2 tipi di cui
ripetibili
10 con poligoni regolari di 3 tipi di
cui solo 2 ripetibili
Dimostrare che con 4 poligoni regolari è impossibile avere un vertice utile è abbastanza semplice:
Poiché i poligoni debbono essere diversi, conviene prendere quelli di un minor numero di lati.
Allora siamo costretti a prendere almeno un triangolo equilatero, un quadrato, un pentagono ed un
esagono, per un totale di angoli di 60+90+108+120= 378°, superiore al limite consentito, perciò:
Teorema: Non è possibile alcuna pavimentazione semiregolare con più di 3 diversi tipi di poligono
regolare.
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Quanto alla ripetibilità dei vertici, possiamo osservare quanto segue
Nella figura è rappresentata la coppia decagono e
pentagono, che formano un vertice V(5,5,10).
Essi rispettano la legge che la somma degli angoli
che convergono in ogni vertice sia di 360°, tuttavia
non si riesce a continuare la pavimentazione perché
ora dovremmo aggiungere decagoni dappertutto, per
rispettare il vertice stabilito, ma così avremmo subito
due decagoni con un lato in comune ed un nuovo tipo
di vertice V(10,10,5). La legge non è sufficiente a
garantire l’effettiva costruibilità del pavimento. Si
dice che essa è condizione necessaria, ma non
sufficiente per la costruibilità.
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Riempimenti del piano con poligoni non regolari
Si tratta ovviamente di poligoni tutti dello stesso tipo.
E’ possibile con triangoli tutti uguali fra loro? La risposta, abbastanza controintuitiva è SI.
L’esperimento con i poligoni di cartoncino avrà portato certamente a concludere così.
La figura è stata realizzata con
una simmetria centrale all’inizio
e poi con traslazioni dei due
vettori indicati
Come mai funziona? Beh, perché
in uno stesso vertice ci sono tutti
e tre gli angoli del triangolo di
partenza 180° gradi dunque,
presi due volte
Lo stesso accade con i quadrilateri
La somma degli angoli interni di
un quadrilatero è 360°.
Ogni vertice può essere formato
dai quattro angoli del
quadrilatero iniziale.
La figura si può ottenere con una
simmetria centrale rispetto al
punto medio di ogni lato.
Oppure, dopo un prima
simmetria centrale, si può
procedere con traslazioni di
vettore i vettori indicati
I pavimenti delle nostre case sono fatti per lo più con mattonelle quadrate, forse costruite nella
segreta speranza che le dimensioni interne delle nostre stanze siano state progettate per contenerne
un numero esatto, in modo da non doverne tagliare per arrivare alle pareti. In realtà ciò non accade.
La forma quadrata è la preferita per la grande simmetria che offre. E’ la simmetria che consente di
accostare mattonelle quadrate senza doversi soffermare a pensare se sia meglio ruotarle in un senso
o nell’altro. Chi ha sperimentato con i cartoncini a forma di triangolo o di quadrilatero qualunque,
conosce bene tale difficoltà e sa quanto tempo occorre per accostare i quadrilateri nella maniera
corretta.
A che serve tutto questo?
Fare lezioni aperte vuol dire fare a meno del libro.
Allora che senso può avere ancora un libro?
Vedo interessante una raccolta di percorsi da proporre agli alunni.
Una prima parte fatta di domande in modo da stimolare gli alunni a cercare.
La seconda parte con le soluzioni alle domande poste e con fascicoli o files che siano di supporto
per il ripasso e lo studio e di invito ad ulteriori approfondimenti personali.
I percorsi non dovranno essere intesi come vincolanti per altri percorsi indicati.
Dunque percorsi che consentano di fare matematica senza doversi preoccupare dei prerequisiti: in
tono provocatorio, i prerequisiti vengono dopo.
Nell’esempio del percorso sugli angoli, si può partire direttamente con i poligoni regolari, saltando
il teorema dell’angolo esterno.
Oppure partire dalle pavimentazioni irregolari, e fermarsi a quelle.
Partire dai poligoni stellati e fare solo quello.
Oppure solo sui poligoni concavi.
O aggiungere il percorso che ancora non c’è.
In sostanza mi pare che il modo più interessante di procedere sia far fare piccole ricerche
matematiche , sui grandi temi (storici, filosofici, attuali, o comunque interessanti in qualche campo
della nostra cultura) e fornire una traccia valida per un percorso plausibile.
Poi, si sa, in classe può succedere che si debba prendere strade diverse da quelle previste, e bisogna
essere pronti a farlo.
E’ opportuno non dare subito la parte con le soluzioni.
Si tratta di fornire le fotocopie o le pagine dei problemi e solo in seguito fornire le pagine con le
soluzioni. Allora che libro è? Può darsi che durante il percorso si debba introdurre qualcos’altro e
allora si dovrà fornire risposte che non sono disponibili. In pratica succederà che ogni classe si
troverà a seguire il proprio percorso personale, magari con piccole variazioni rispetto a quello
previsto, ma magari un percorso anche molto diverso.
Allora, un libro da costruire, da ampliare, da cambiare di anno in anno. Molto lavoro per gli
insegnanti!
Molti sono i dubbi, ma oggi, con le possibilità offerte dalle nuove tecnologie, si può fare.
Proviamo?
Ultima variazione 15 dicembre 2016
Marco Castriota
