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Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione
Department of Information Engineering
Modelli per problemi di
equilibrio di reti
Marco Sciandrone
1
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Modelli di equilibrio di reti:
finalizzati alla previsione di flussi lungo gli archi di una rete di trasporto
derivanti dalle scelte che ogni singolo utente effettua per determinare li cammino
dalla propria origine alla propria destinazione.
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Data una rete di trasporto con un tipo di flusso:
 i nodi rappresentano origini, destinazioni, intersezioni
 gli archi sono collegamenti di trasporto
 per ogni coppia Origine/Destinazione c’è un numero di utenti
 gli utenti delle coppie O/D utilizzano cammini orientati
 gli utenti generano flussi sugli archi
 il costo di trasporto di un arco è dato da una funzione di costo
dipendente dal flusso degli archi
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x vettore di flussi di cammini
x1  x2  b1
x3  x4  x5  b2
y vettore di flussi di archi
yij  x2  x3

j
yij
x1
i
x2
x3
costi archi
Digitarel'equazionequi.
cij  sij  y

costi cammini
x4
x5
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Assegnamento di utenti ai cammini
Due principi di Wardrop:
 user equilibrium
 system optimal
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Assegnamento di utenti ai cammini
I principio (user equilibrium):
L’assegnamento è uno stato di equilibrio in cui nessun utente può ridurre il
tempo (costo) di viaggio usando un percorso alternativo
II principio (system optimal):
L’assegnamento è tale da minimizzare il tempo totale di viaggio di tutti gli utenti
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Notazione
P insieme coppie O/D
K p insieme cammini coppia p
hk flusso cammino k
va flusso arco a (somma di flussi dei cammini che attraversano l' arco)
sa (v) costo arco a
sk costo cammino k (somma dei costi degli archi del cammino)
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Il principio di Wardrop afferma che all’equilibrio il costo di un cammino effettivamente
utilizzato per una coppia origine/destinazione è minore o uguale del costo di qualsiasi altro
cammino che congiunge la stessa coppia.
Ogni utente agisce in modo non cooperativo
Rete di Braess
3
3
v1
v3
3
1 coppia O/D con domanda 6
2 cammini di costo 83
v2
v4
3
Equilibrio di Wardrop
s1  10v1 s2  v2  50 s3  v3  50 s4  10v4
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Paradosso di Braess
3
3
1 coppia O/D con domanda 6
2 cammini con flusso 3 e costo 83
v2
v1
v3
v4
3
3
Equilibrio di Wardrop
s1  10v1 s2  v2  50 s3  v3  50 s4  10v4
3
3
v1
v3
3
s5  10  v5
2 cammini con flusso 3 e costo 83
1 nuovo cammino con flusso 0 e costo 70
v5
v2
v4
3
NO equilibrio di Wardrop
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Paradosso di Braess
s1  10v1 s2  v2  50 s3  v3  50 s4  10v4
s5  10  v5
4
v1
v3
2
83
3 cammini di costo 92
2
2
v5
v2
v4
4
Equilibrio di Wardrop
92 conseguenza del comportamento non cooperativo degli utenti
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Equilibrio di Wardrop
Per ogni coppia O/D:
I cammini effettivamente utilizzati (flussi positivi) hanno costo minimo
I cammini non utilizzati (flussi nulli) hanno costo non inferiore al costo minimo
La somma dei flussi dei cammini è pari alla domanda
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Equilibrio di Wardrop in formule
hk*  0 implica sk (hk* )  u *p  min kK p sk
sk ( hk* )  u *p
*
h
 k  bp
kK p
hk* , u *p  0
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Sotto opportune ipotesi sulle funzioni di costo:
 esistenza dell’equilibrio
 unicità rispetto ai flussi degli archi
 equivalenza con disequazione variazionale


F ( x * )T x  x *  0
x  X
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Esistenza dell’equilibrio:
∗
∗
∗
−
∗
=
≥ 0∀ ≥ 0
−
∗
=
∈
Adattamento Teorema di Brouwer (richiede S compatto)
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Unicità dell’equilibrio:
:
| |
→
| | strettamentemonotona
Unicità della soluzione in termini di flusso di archi
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

F ( x * )T x  x *  0
x  X
F è il gradiente di "qualcosa" se e solo se la matrice Jacobiana è simmetrica


F ( x * )T x  x *  0
x  X

min xX f ( x)
Equilibrio di reti simmetriche come problema di ottimizzazione convessa
sa (v)  sa (va )  matrice Jacobiana simmetrica
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Sia x il vettore dei flussi dei cammini
Sia y il vettore dei flussi degli archi
min G ( y )
y  Hx
x  X 1  X 2  ...  X P
1 se arco i  path j
H ij  
0 altrimenti


X h  eT x( h )  bh , x( h )  0 ,
H matrice di incidenza
bh è la domanda della h-th coppia O/D
memorizzazione per archi ammissibile
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min f ( x)
x  X 1  X 2  ...  X P
f :  n   funzione convessa continuamente differenziabile


X h  eT x( h )  bh , x( h )  0
f ( x)
x( h ),i
Costo dell’ i-th cammino
L’insieme ammissibile è il prodotto Cartesiano di simplessi
in numero pari a quello delle coppie O/D
Per ogni coppia O/D il numero di cammini può essere molto grande:
enumerarli a priori potrebbe essere proibitivo
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Classificazione algoritmi:
 Formulazione per archi
 Formulazione per cammini
min f ( x)
x  X 1  X 2  ...  X P
Decomposizione + column generation
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min f ( x)
x  X 1  X 2  ...  X P
Scelte
 decomposizione rispetto ai blocchi (per Origine, per coppia O/D)
 scelta delle variabili del blocco (column generation)
 decomposizione rispetto alle variabili di ogni blocco
 soluzione esatta oppure approssimata del sottoproblema
 metodo di soluzione del sottoproblema
Importanti questioni teoriche e algoritmiche
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Column generation (comune ai vari algoritmi)


X h  eT x( h )  bh , x( h )  0
Il numero di cammini per ogni coppia O/D h è molto elevato
Restrizione ai cammini con flusso positivo e al cammino di costo minimo
x( h ),i : x(kh ),i  0
x( h ),i*
f ( x k ) f ( x k )
:

x( h ),i*
x( h ),i
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 problemi con domanda elastica
 stima delle matrici O/D
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min f ( x)
x  X 1  X 2  ...  X P


X h  eT x( h )  bh , x( h )  0
Nel caso di domanda elastica, il vettore b delle domande è variabile


X h  eT x( h )  bh , x( h )  0


h  eT x( h )  wh  0, x( h )  0, wh  0
min F ( x, w)  f ( x)  g ( w)
( x, w)  1  2  ...  P
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Stima delle matrici O/D
A partire da stime osservate di flussi su alcuni archi, si vuole determinare
quale è la domanda delle coppie O/D
2
min x , y ,b   ya  ya 
a
b0
Problema bilivello
( x, y )  arg min Z (b)
Z (b)  min x , y G ( y )
( x, y )  (b)
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Stima delle matrici O/D
2
min x , y ,b   ya  y a 
a
b0
Problema bilivello
( x, y )  arg min Z (b)
Z (b)  min x , y G ( y )
( x, y )  (b)
Problema singolo livello
4
2
min x , y ,b   ya  ya   G ( y )  H (b)
3
a
b0
( x, y )  (b)
2
-1
-1
-1