Esercizi successioni, limiti di funzioni

Università di Bergamo
Facoltà di Ingegneria Meccanica
Corso di Analisi Matematica
Anno Accademico 2011-2012
Esercizi successioni, limiti di funzioni
√
n3 + 3 n + 2n + (−1)n
1. lim
n→+∞
7 + n8 + cos(nπ)
2.
3.
Sol: +∞.
lim [ln(en+1 − n) − n]
Sol: 1.
n→+∞
lim cos(nπ)
Sol: non esiste.
n→+∞
4. Stabilire se an = ln3 n e bn = ln(n2 ) sono infiniti dello stesso ordine. Stabilire se
sono asintotiche.
Sol: sı̀; no.
5. Trovare la più semplice successione asintotica a an = (1 + n)2n . Poi usare la stima
asintotica per calcolare
(1 + n)2n
,
n→+∞
n!
lim
(1 + n)2n
.
n→+∞
n2n
lim
Sol: e2 n2n ; +∞; e2 .
6. Trovare la più semplice successione asintotica a an =
n! − (n − 1)!
.
n + (n − 2)!
Sol: n2 .
7. Disporre in ordine crescente di infinito le successioni seguenti, dimostrando la
disposizione determinata
√
√
1
an = n ln( n) bn = n ln(n2 + e n ) cn = ln(e2n + 1) dn = ln(n − ln n).
Sol: dn << bn << cn << an .
√1
x
√1
x
ln 1 +
+ ln 1 −
√
√
x→+∞
x2 + 1 − x 2 + 2
8. lim
Sol: 2.
9. lim (x + cos x)
Sol: +∞.
x→+∞
1
Esercizi per casa
1.
lim (1 − (−1)n ) sin
n→+∞
1
n
Sol: 0.
2. Trovare la più semplice successione asintotica a
√
1 + 2 + . . . + n.
√
Sol: n/ 2.
√
n
3.
4.
n!
n
lim
n→+∞
lim
n→+∞
Sol: 1/e (formula di Stirling).
cos n 1+
(1 − cos 1)
n
Sol: 1 − cos 1.
π
5. lim (n + 1) sin n
n→+∞
2
Sol: non esiste.
6. Disporre in ordine crescente di infinito le successioni seguenti, dimostrando la
disposizione determinata
√
√
1
an = n ln(n2 + e−n ) bn = ln(e2n + 1) cn = n2 ln( n + e n ) dn = n ln n.
Sol: an << bn << dn << cn .
√
ln(1 + e n )
7. Trovare la più semplice successione asintotica a an =
.
eln n−1
q x2 −2
2 +1 x+3 x
− 1 tan xx3 −x
x
x
8. lim
x−1
x→+∞
e x4 − 1
2
√
Sol: e/ n.
Sol: −e3 .