5. ESERCIZI E QUIZ 5.1. Introduzione. Nel seguito sono raccolti

5. ESERCIZI E QUIZ
5.1. Introduzione.
Nel seguito sono raccolti esercizi e quiz tratti dalle prove d’esame del corso di
Algebra Lineare per gli a.a. 2000/01 e 2001/02. Cambiando di anno in anno
programma e notazioni il contenuto di alcuni quesiti può non essere chiaro: in
questo caso si suggerisce di rivolgersi al docente per ulteriori spiegazioni.
5.2. Quiz.
Quiz 5.2.1. Sia f : C4 → C5 lineare ed iniettiva.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) ker(f ) 6= {0}.
b) Esistono basi B di C4 e C di C5 tali che

1
0

MCB (f ) =  0

0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0

0
0

0.

1
0
c) im(f ) = C5 .
d) Esistono basi B di C4 e C di C5 tali che

1
0

MCB (f ) =  0

0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0

0
0 

−1  .

−1
0
Quiz 5.2.2. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 2 su R con prodotto
scalare, B := (v1 , v2 ) una base di V , f ∈ EndR (V ) autoaggiunto tale che
µ
¶
0 1
B
MB (f ) =
.
4 0
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) B è ortonormale.
Typeset by AMS-TEX
125
126
5.2. QUIZ
b) esiste una base C rispetto a cui
MCC (f )
µ
=
1
0
0
−4
¶
.
c) I vettori v1 + 2v2 e v1 − 2v2 sono ortogonali in V .
d) Esiste un vettore non nullo v ∈ V tale che f (v) = v.
Quiz 5.2.3. Sia data la forma quadratica
q(T(x, y, z)) := x2 + 2xy − y 2 + 5z 2
su V := C3 .
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Esiste un cambiamento di coordinate (x, y, z) 7→ (X, Y, Z) tale che
q(X, Y, Z) = X 2 + Y 2 + Z 2 .
b) Il rango di q è 2.
c) Esiste una base di V rispetto a

0
 −2
−3
cui la matrice di q è della forma

2 3
0 4.
−4 0
d) Per ogni α ∈ C esiste un cambiamento di coordinate (x, y, z) 7→ (X, Y, Z)
tale che
q(X, Y, Z) = X 2 − αY 2 + Z 2 .
Quiz 5.2.4. Sia A ∈ C17,17 una matrice avente t17 − 1 come polinomio caratteristico.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) det(A) = −1.
b) A è diagonalizzabile.
c) Esiste un autovalore λ di A di molteplicità 2.
d) T r(A) = −1.
Quiz 5.2.5. In A2R si considerino le coniche Cα di equazione
x2 + αy 2 − 1 = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Cα è non degenere per ogni α ∈ R.
b) Cα è un’ellisse per α > 0.
c) Cα è una parabola per qualche α ∈ R.
d) Nessuna delle affermazioni precedenti è vera.
ESERCIZI E QUIZ PROPOSTI
127
Quiz 5.2.6. Sia f : C → R2 [x] definita da
f (a + ib) = a + (b − a)x + (a + 2b)x2 .
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) ker(f ) 6= {0}.
b) 3 − 2x + 5x2 ∈ im(f ).
c) im(f ) = R2 [x].
d) im(f ) = R1 [x] ⊆ R2 [x].
Quiz 5.2.7. Sia A ∈ Cn,n una matrice avente λ = 1 come autovalore.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) det(A) = 1.
b) Tr(A) = 1.
c) pA (t) = tn − 1.
d) Nessuna delle affermazioni precedenti è vera.
Quiz 5.2.8. Siano n ≥ 1 ed
A := (ai,j )i=1,...,n,j=1,...,n+1 ∈ Rn,n+1
con
½
1 j=i+1,
0 altrimenti.
→ Rn l’applicazione lineare associata ad A rispetto alle basi
ai,j :=
Sia infine µA : Rn+1
canoniche.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) dim(ker(µA )) = 1.
b) im(µA ) = Rn−1 .
c) dim(ker(µA )) = 2.
d) im(µA ) = Rn+1 .
Quiz 5.2.9. Sia data la forma quadratica
q(T(x, y, z)) := x2 + 2xy + 2y 2 + 5z 2
su V := R3 .
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Esiste un cambiamento di coordinate (x, y, z) 7→ (X, Y, Z) tale che
q(X, Y, Z) = X 2 + Y 2 + Z 2 .
b) Il rango di q è 2.
c) Esiste una base di V rispetto a

1
2
3
cui la matrice di q è della forma

2 3
3 4.
4 5
d) Esiste un cambiamento di coordinate (x, y, z) 7→ (X, Y, Z) tale che
q(X, Y, Z) = X 2 − Y 2 + Z 2 .
128
5.2. QUIZ
Quiz 5.2.10. Sia Φ: R2,2 → R2 [x] l’applicazione che associa ad A ∈ R2,2 il suo
polinomio caratteristico PA (t) := det(tI2 − A).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a)
b)
c)
d)
Φ è lineare.
Φ è iniettiva.
Φ è suriettiva.
Nessuna delle affermazioni precedenti è vera.
Quiz 5.2.11. Sia data la forma quadratica
q(T(x, y, z)) := x2 + 2xy − y 2 + 5z 2
su V := R3 .
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Esiste un cambiamento di coordinate (x, y, z) 7→ (X, Y, Z) tale che
q(X, Y, Z) = X 2 + Y 2 + Z 2 .
b) Il rango di q è 2.
c) Esiste una base di V rispetto a cui la matrice di q è della forma

1
2
3
2
3
4

3
4.
5
d) Esiste un cambiamento di coordinate (x, y, z) 7→ (X, Y, Z) tale che
q(X, Y, Z) = X 2 − Y 2 + Z 2 .
Quiz 5.2.12. Sia k un campo: su V = k 3 siano date le due forme quadratiche
f (T(x, y, z)) := x2 + y 2 + 2yz,
g(T(x, y, z)) := x2 − y 2 − 2z 2 − 2yz.
Ricordo che f e g si dicono equivalenti se rappresentano la stessa funzione rispetto
a basi diverse di V .
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a)
b)
c)
d)
f e g non sono mai equivalenti, qualsiasi sia k.
Se k = R allora f non è definita mentre g è definita negativa.
f e g sono equivalenti se k = C.
f e g sono equivalenti se k = Q.
ESERCIZI E QUIZ PROPOSTI
129
Quiz 5.2.13. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 3 su R con prodotto
scalare, f ∈ EndR (V ) tale che
v · f (w) + w · f (v) = 0,
∀v, w ∈ V.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) f è autoaggiunto.
b) Se E := (e1 , e2 , e3 ) è una base ortonormale allora A := MEE (f ) è antisimmetrica (cioè TA = −A).
c) f è un isomorfismo.
d) Esiste un vettore non nullo v ∈ V tale che f (v) = v.
Quiz 5.2.14. Siano V , W spazi vettoriali di dimensione 3 e 4 rispettivamente su
un campo k. Sia poi f : V → W un’applicazione iniettiva.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Esistono basi B di V e C di W tali che


1 0 0
0 1 0
MCB (f ) = 
.
0 0 1
0 0 0
b) dim(im(f )) = 4.
c) Esistono basi B di V e C di W tali

1
B

MC (f ) = 0
0
che
0
1
0
0
0
1

0
0.
0
d) dim(im(f )) = 2.
Quiz 5.2.15. Sia


0 0 −10
A :=  1 0 −1  .
0 1
0
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) A è diagonalizzabile su C.
b) Tutte le radici del polinomio caratteristico di A sono in R.
c) −2 non è autovalore di A.
d) Nessuna radice del polinomio caratteristico di A è in R.
Quiz 5.2.16. Nel piano A2R si considerino le coniche Cα di equazione
x2 + αy 2 − 2x = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Cα è non degenere per ogni α ∈ R.
b) Cα è un’iperbole per α > 0.
c) Cα è una parabola per qualche α ∈ R.
d) Cα è un’ellisse per α > 0.
130
5.2. QUIZ
Quiz 5.2.17. In V := R4 sia definito il prodotto scalare standard
(x1 , x2 , x3 , x4 ) · (y1 , y2 , y3 , y4 ) =
T
T
4
X
xi yi .
i=1
Consideriamo A := (ai,j ) ∈ R4,4 data da

per j = i + 2

1
−1 per j = i − 2
ai,j :=


0
altrimenti
e sia µA : R4 → R4 l’endomorfismo definito da x 7→ Ax.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) µA è autoaggiunto.
b) µA (x) ⊥ x per ogni x ∈ R4 .
c) µA è semplice.
d) µ2A non è autoaggiunto.
Quiz 5.2.18. In A2R siano dati il punto P di coordinate (1, 1) e le due rette
r: x + 2y = 0,
s : x + y = 0.
Sia, infine, C l’iperbole passante per P ed avente r ed s come asintoti.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) L’equazione di C è
x2 + 3xy + 2y 2 = 6.
b) Di coniche soddisfacenti le condizioni richieste ne esistono due.
c) L’equazione di C è
x2 + 3xy + 2y 2 − 6x = 0.
d) Il centro di C è il punto C di coordinate (1, 0).
Quiz 5.2.19. Sia
D: Rn [x] −→ Rn [x]
p(x) −→ Dp(x) :=
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) D non ha autovalori.
b) pD (t) = tn .
c) D è semplice.
d) pD (t) = tn+1 .
dp
(x).
dx
ESERCIZI E QUIZ PROPOSTI
131
Quiz 5.2.20. Siano k un campo,
f : k 4 −→ k
(t, x, y, z) −→ x2 + y 2 + z 2 − t2 + 2xz + 2yz,
T
g: k 4 −→ k
(t, x, y, z) −→ x2 + y 2 + z 2 − t2 .
T
Ricordo che due forme quadratiche si dicono equivalenti se rappresentano la stessa
funzione rispetto a basi diverse.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Non esistono v ∈ k 4 isotropi per f , cioè tali che f (v) = 0.
b) f è equivalente a g se k = Q .
c) f è equivalente a −f .
d) f non è equivalente a g se k = C.
Quiz 5.2.21. Sia
f : C3 −→ C3
(x, y, z) −→ T(3x + y, 3y + z, 2z).
T
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Esiste una base B di C3 tale che

3 1
MBB (f ) =  1 3
0 0
b) Esiste una base B di C3 tale che

3
B

MB (f ) = 0
0
c) Esiste una base B di C3 tale che

2
B

MB (f ) = 1
0
d) Esiste una base B di C3 tale che

3
MBB (f ) =  0
0

0
0.
2
1
2
0

0
0.
3
1
3
0

0
0.
3
1
3
0

33
11  .
2
132
5.2. QUIZ
Quiz 5.2.22. Per ogni B ∈ k m,n definiamo µB : k n → k m definita da x 7→ Bx.
Sia A ∈ k 4n+1,2n+1 .
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) dim(ker(µA )) = dim(ker(µ t A )).
b) dim(im(µA )) = dim(ker(µ t A )).
c) dim(im(µA )) = dim(im(µ t A )).
d) dim(ker(µA )) = dim(im(µ t A )).
Quiz 5.2.23. Si considerino le forme quadratiche
fh : R3 −→ R
(x, y, z) −→ x2 + 2xy + hy 2 + 2hxz.
T
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) f1 ed f−1 sono equivalenti.
b) fh non è mai degenere.
c) fh è sempre indefinita.
d) f0 è definita negativa.
Quiz 5.2.24. Sia f ∈ EndC (C3 ) definita da
f (T(x, y, z)) −→ T(y − x, z − y, 2z).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Esiste una base B ddi C3 tale che

2 0
MBB (f ) =  0 −1
0 0

0
1 .
−1
b) Esiste una base B ddi C3 tale che

−1
B

0
MB (f ) =
0
1
2
0
c) Esiste una base B ddi C3 tale che

−1
B

0
MB (f ) =
0

0 0
−1 1  .
0 2
d) Esiste una base B ddi C3 tale che

2 0
B

MB (f ) = 0 −1
0 0

0
0 .
−1

0
0 .
−1
ESERCIZI E QUIZ PROPOSTI
133
Quiz 5.2.25. Siano V3 (O) lo spazio vettoriale su R dei vettori geometrici dello
spazio applicati nel punto O, ~v0 := a~ı + b~ + c~k ∈ V3 (O) non nullo,
f~v0 : V3 (O) −→ V3 (O)
~v −→ ~v ∧ ~v0 .
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a)
b)
c)
d)
f~v0
f~v0
f~v0
f~v0
è autoaggiunto.
non è lineare.
ha autovalori non nulli.
non è semplice.
Quiz 5.2.26. In A2R sia data la famiglia di coniche Σ := { Ch | h ∈ R } ove Ch
ha equazione
x2 + 2xy + hy 2 + 2hx = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a)
b)
c)
d)
Σ
Σ
Σ
Σ
contiene un’unica parabola.
non contiene coniche degeneri.
contiene un’ellisse a punti immaginari.
non contiene iperboli.
Quiz 5.2.27. Sia f ∈ EndR (R4 [x]) avente polinomio caratteristico pf (t). Supponiamo che pf (1 + i) = pf (−1) = pf (i − 2) = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a)
b)
c)
d)
Esiste
Esiste
Esiste
Esiste
p(x) ∈ R4 [x] non nullo tale che f (p(x)) = p(x).
B base di R4 [x] tale che det(MBB (f )) = −10.
B base di R4 [x] tale che MBB (f ) sia triangolare.
B base di R4 [x] tale che Tr(MBB (f )) 6∈ R.
Quiz 5.2.28. Nel piano A2R si considerino le coniche Cα di equazione
x2 + 2xy + αy 2 − 2x = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a)
b)
c)
d)
Cα
Cα
Cα
Cα
è
è
è
è
non degenere per ogni α ∈ R.
un’iperbole per ogni α > 0.
una parabola per qualche α ∈ R.
un’ellisse per ogni α > 0.
Quiz 5.2.29. Siano V , W spazi vettoriali di dimensione 3 e 4 rispettivamente su
un campo k, f : V → W un’applicazione lineare tale che dim(im(f )) = 2.
134
5.2. QUIZ
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Esistono basi B di V e C di W tali che

3
0
MCB (f ) = 
0
0
0
0
0
0

0
0 
.
−5
0
b) f è iniettiva.
c) Esistono basi B di V e C di W tali che

1
0

MCB (f ) = 
0
0
0
1
0
0

0
0
.
1
0
d) f è suriettiva.
Quiz 5.2.30. Sia
f : R2,2 −→ R
µ
¶
t x
−→ x2 + y 2 + z 2 − t2 + 2xz + 2yz,
y z
Ricordo che due forme quadratiche si dicono equivalenti se rappresentano la stessa
funzione rispetto a basi diverse.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) f è equivalente a g(t, x, y, z) 7→ x2 + y 2 + z 2 − t2 .
b) f è degenere.
c) Esiste un sottospazio V ⊆ R2,2 con dim(V ) = 2 tale che f (A) > 0 per ogni
A ∈ V \ { 0 }.
d) f è semidefinita negativa.
Quiz 5.2.31. Siano V3 (O) lo spazio vettoriale su R dei vettori geometrici dello
spazio applicati nel punto O, ~v0 := a~ı + b~ + c~k ∈ V3 (O) non nullo,
f~v0 : V3 (O) −→ V3 (O)
~v −→ ~v − ~v ∧ ~v0 .
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) f~v0 è iniettivo.
b) f~v0 non è lineare.
c) f~v0 ha l’autovalore nullo.
d) f~v0 è semplice.
ESERCIZI E QUIZ PROPOSTI
135
Quiz 5.2.32. Sia f ∈ EndR (R2,2 ) avente polinomio caratteristico pf (t). Supponiamo che pf (1 + i) = pf (−1) = pf (−2) = 0.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Esiste A ∈ R2,2 non nullo tale che f (A) = A.
b) Esiste B base di R2,2 tale che det(MBB (f )) = 4.
c) Esiste B base di R2,2 tale che MBB (f ) sia diagonale.
d) Esiste B base di R2,2 tale che MBB (f ) sia triangolare.
5.3. Esercizi.
Esercizio 5.3.1. Sia Sym2 (R) ⊆ R2,2 il sottospazio delle matrici simmetriche e
si considerino
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1 0
0 0
0 1
1 2
E1,1 :=
, E2,2 :=
, E :=
, F :=
.
0 0
0 1
1 0
2 1
(1) Dire se esiste un’applicazione R–lineare f : Sym2 (R) → C2 tale che
f (E1,1 ) := T(3 + i, i),
f (E) := T(−3 + i, −i),
f (E2,2 ) := T(0, 0),
f (F ) := T(−1 + i, −i).
In caso affermativo determinare una base del nucleo e dell’immagine di una
tale applicazione.
(2) Dire se esiste un’applicazione lineare f : Sym2 (R) → C2 tale che
f (E1,1 ) := T(3 + i, i),
f (E) := T(−3 + i, −i),
f (E2,2 ) := T(0, 0),
f (F ) := T(−3 + 3i, −i).
In caso affermativo determinare una base del nucleo e dell’immagine di una
tale applicazione.
Esercizio 5.3.2. In A2R sia data la conica C di equazione
x2 + xy + y 2 + x + y − 1 = 0.
(1) Ridurre C in una forma canonica del tipo
X2
Y2
± 2 =1
a2
b
oppure
Y 2 = 2pX.
determinandone o semiassi e centro o parametro e vertice nonché l’eccentricità.
(2) Determinare le equazioni di una trasformazione che riduce C in forma
canonica, scomponendola esplicitamente in una traslazione seguita da una
rotazione.
136
5.3. ESERCIZI
Esercizio 5.3.3. Siano k := R, C,
µ
0
A :=
−1
1
0
¶
∈ k 2,2
e si consideri l’applicazione
[·, A]: k 2,2 −→ k 2,2
X −→ [X, A] := XA − AX.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
È vero o falso che [·, A] ∈ Endk (k 2,2 )?
È vero o falso che [·, A] è semplice se k = R?
È vero o falso che [·, A] è semplice se k = C?
Determinare una base di ker([·, A]).
Determinare tutte le matrici B ∈ C2,2 che commutano con A.
Esercizio 5.3.4. In A2R sia data la conica C di equazione
x2 + xy + y 2 + 2x + 2y − 1 = 0.
(1) Ridurre C in una forma canonica del tipo
X2
Y2
±
= 1 oppure Y 2 = 2pX,
a2
b2
calcolarne l’eccentricità e disegnarla.
(2) Determinare le equazioni di una trasformazione che riduce C in forma
canonica, scomponendola esplicitamente in una traslazione seguita da una
rotazione.
(3) Determinare l’equazione della retta tangente a C nel punto A di coordinate
(1, −1).
Esercizio 5.3.5. Siano k un campo,
µ
¶
0 1
A :=
,
1 0
µ
B :=
1
0
0
2
¶
∈ k 2,2
ed
fA,B : k 2,2 −→ k 2,2
X −→ fA,B (X) := BX − XA.
(1)
(2)
(3)
(4)
È vero o falso che fA,B ∈ Endk (k 2,2 )?
Determinare gli autovalori di fA,B ed i corrispondenti autospazi.
È vero o falso che fA,B è semplice?
Determinare, se esiste, una base B di k 2,2 tale che MBB (fA,B ) sia diagonale.
ESERCIZI E QUIZ PROPOSTI
137
Esercizio 5.3.6. In A2R sia data la conica C di equazione
3x2 + 8xy − 3y 2 + 2x = 0.
(1) Ridurre C in una forma canonica del tipo
X2
Y2
±
=1
a2
b2
oppure
Y 2 = 2pX,
disegnarla e calcolarne l’eccentricità.
(2) Determinare le equazioni di una trasformazione che riduce C in forma
canonica, scomponendola esplicitamente in una traslazione seguita da una
rotazione.
Esercizio 5.3.7. Si consideri l’applicazione
ϕ: C3 [x] −→ C2 [x],
p(x) −→ p(1) + p(2)x + p(3)x2 .
(1) Si dica se ϕ è R–lineare. In caso affermativo determinare una base del
nucleo e dell’immagine di ϕ come applicazione R–lineare.
(2) Si dica se ϕ è C–lineare. In caso affermativo determinare una base del
nucleo e dell’immagine di una tale applicazione C–lineare.
Esercizio 5.3.8. In A2R sia data la conica C di equazione
4x2 + 12xy + 9y 2 + 6x − 4y = 26.
(1) Ridurre C in una forma canonica del tipo
X2
Y2
±
=1
a2
b2
oppure
Y 2 = 2pX.
determinandone o semiassi e centro o parametro e vertice nonché l’eccentricità.
(2) Determinare le equazioni di una trasformazione che riduce C in forma
canonica, scomponendola esplicitamente in una traslazione seguita da una
rotazione.
Esercizio 5.3.9. Si consideri l’applicazione
ϕ: C10 [x] −→ C9 [x],
p(x) −→ p(0) + p(1)x + p(2)x2 + p(3)x3 + p(4)x4 +
+ p(5)x5 + p(6)x6 + p(7)x7 + p(8)x8 + p(9)x9 .
Si dica se ϕ è C–lineare. In caso affermativo se ne determini una base del nucleo
e dell’immagine.
138
5.3. ESERCIZI
Esercizio 5.3.10. In A2R sia data la conica C di equazione
x2 + 2y 2 − 2x − 4y + 2 = 0.
Ridurre C in una forma canonica del tipo
Y2
X2
±
=1
a2
b2
oppure
Y 2 = 2pX.
e disegnarla. Determinare poi le equazioni di una traslazione che riduce C in forma
canonica.
Esercizio 5.3.11. Si consideri l’applicazione
ϕ: C3 [x] −→ C3 [x],
p(x) −→ p(0) + p(1)x + p(i)x2 + p(1)x3 .
(1)
(2)
(3)
(4)
Verificare che ϕ è C–lineare: dunque ϕ ∈ EndC (C3 [x]).
Determinare una base del nucleo e dell’immagine di ϕ.
Determinare autovalori ed autospazi di ϕ.
È vero o falso che ϕ è semplice?
Esercizio 5.3.12. In A2R sia data la conica C di equazione
x2 + xy + y 2 − 1 = 0.
(1) Ridurre C in una forma canonica del tipo
X2
Y2
±
=1
a2
b2
oppure
Y 2 = 2pX.
e disegnarla.
(2) Determinare le equazioni di una trasformazione che riduce C in forma
canonica, scomponendola esplicitamente in una traslazione seguita da una
rotazione.
(3) Determinare l’equazione della retta tangente a C nel punto A di coordinate
(1, 0).
Esercizio 5.3.13. Si consideri l’applicazione
ϕ: C3 [x] −→ C2 [x],
p(x) −→ p(0)(1 + x + x2 ).
(1) Si dica se ϕ è R–lineare. In caso affermativo determinare una base del
nucleo e dell’immagine di ϕ come applicazione R–lineare.
(2) Si dica se ϕ è C–lineare. In caso affermativo determinare una base del
nucleo e dell’immagine di una tale applicazione C–lineare.
139
Esercizio 5.3.14. In A2R sia date le due rette
r: x + 3y = 1,
s : 3x + y = 3.
(1) Determinare l’equazione dell’iperbole C avente r ed s per asintoti e passante per l’origine O.
(2) Ridurre C in una forma canonica del tipo
X2
Y2
±
= 1,
a2
b2
disegnarla e calcolarne l’eccentricità.
(3) Determinare l’equazione della retta tangente a C in O.
Esercizio 5.3.15. In A2R sia data la conica C di equazione
3x2 + 10xy + 3y 2 − 6x − 10y = 0.
(1) Disegnare C rispetto al sistema di riferimento dato.
(2) Ridurre C in una forma canonica del tipo
Y2
X2
±
=1
a2
b2
oppure
Y 2 = 2pX.
determinandone o semiassi e centro o parametro e vertice nonché l’eccentricità.
(3) Determinare le equazioni di una trasformazione che riduce C in forma
canonica, scomponendola esplicitamente in una traslazione seguita da una
rotazione.