RICHIAMI DI MECCANICA
GENERALI
Equazione di Lagrange:
d ∂T ∂(T −U )
=
dt ∂ q˙k
∂ qk
Posizione di equilibrio:
∂U
=0
∂q k
Forza (campo conservativo):
⃗U
⃗ =−∇
F
Lavoro (campo conservativo):
⃗ ⋅d ⃗x
L=−ΔU =∫ F
(T= energia cinetica, U= energia potenziale)
∀k
CINEMATICA
⃗v =ω r ûtg =ω
⃗ ×⃗r
Moto circolare:
2
2
a =ω̇ r ûtg +ω r ûn=⃗v̇×⃗r −ω ⃗r
⃗
v
r
•
ω=
•
ω 2 r=
è la velocità angolare.
v2
è l'accelerazione centripeta/centrifuga.
r
CORPO RIGIDO
Si considerino tutti i corpi rigidi come simmetrici e di densità uniforme.
2
Teorema di Huygens-Steiner:
I =I cm +M d
Teorema di König:
1
K =K cm+ M v 2cm
2
Momenti di inerzia notevoli:
Disco o cilindro:
M R2
2
2
Anello:
MR
Sfera:
2
M R2
5
Asta:
M L2
12
Tra i momenti di inerzia rispetto agli assi
ortogonali x,y,z di un sistema piano vale la
relazione
I z =I x +I y
RELAZIONI ANGOLARI
Angolare
Lineare
⃗ =d Iω
M
⃗
dt
⃗ = d m ⃗v
F
dt
1
K = I ω2
2
1
K = mv 2 (energia cinetica)
2
⃗ ⋅⃗v
P= F
P=M ω
L=∫ P dt
L=∫ P dt (lavoro)
(momento / forza)
(potenza)
UNITA' DI MISURA
Carica elettrica:
C (Coulomb)
Potenziale elettrico:
V=
Campo elettrico:
N V
=
C m
Momento di dipolo:
Cm
Capacità:
F=
C
(Farad)
V
Intensità di corrente:
A=
C
(Ampere)
s
Resistenza:
Ω=
V
(Ohm)
A
Resistività:
Ωm
J
(Volt)
C
Campo di induzione magnetica:
T (Tesla) =
N
V s Wb
= 2= 2
Am m
m
Flusso magnetico:
2
Wb=T m =V s (Weber)
Induttanza elettrica:
H=
Momento magnetico:
Am
Campo magnetico:
A
m
2
Wb J
=
(Henry)
A A2
ELETTROSTATICA NEL VUOTO
−12
C2
N m2
(
2
1
9 N m
=8,99⋅10
4 π ε0
C2
)
Costante dielettrica del vuoto:
ε 0=8,854⋅10
Legge di Coulomb:
q1 q 2 ( r⃗1 −r⃗2)
⃗= 1
(forza agente sulla carica q1)
F
4 π ε 0 ∣r⃗1−r⃗2∣3
Campo elettrico:
N
( ⃗r −r⃗i)
1
⃗
E 0 (x , y , z)=
qi
∑
3
4 π ε 0 i=1 ∣⃗r −⃗
r i∣
E 0α ( x , y , z )=
Potenziale elettrostatico:
(sistema discreto)
(α−α ' )
1
dτ
∫ρ
4 π ε 0 τ ∣⃗r −⃗r '∣3
(α= x , y , z ) (s.c.)
V 0 ( x , y , z )=
N
qi
1
∑
4 π ε 0 i=1 ∣⃗r −⃗
r i∣
V 0 ( x , y , z )=
1
ρ
dτ (s.c.)
∫
4 π ε 0 τ ∣⃗r −⃗r '∣
(sistema discreto)
Relazioni tra potenziale e
B
campo elettrico:
L −ΔU
V ( A)−V (B) = ∫ ⃗
E⋅d ⃗l = =
q
q
A
⃗V
⃗
E =− ∇
Teorema di Gauss:
1
∫ E⃗⋅̂n dS = ε ∫ dQ
S
(S superficie chiusa)
0 τ
Prima equazione di Maxwell:
⃗ E
⃗ 2V= ρ
⃗ =− ∇
∇⋅
ε0
Energia elettrostatica:
U=
ε0
1
ρ V dτ =
∫
∫ E 2 dτ
2 τ
2 spazio
CAMPI ELETTRICI NOTEVOLI
(Si considerino tutti i sistemi come uniformemente carichi)
λ
r̂
2 π r ε0
Filo indefinito
⃗
E=
Cilindro indefinito di raggio R
ρr
⃗
E interno=
r̂
2 ε0
Conoscendo Q:
⃗
E interno=
Piano indefinito
σ
⃗
E=
n̂
2 ε0
Sfera di raggio R
ρr
⃗
E interno=
r̂
3 ε0
Conoscendo Q:
⃗
E interno=
Anello di raggio R
⃗
E=
ρ R2
⃗
E esterno =
r̂
2r ε0
Qr
̂r
2
2 π h R ε0
⃗
E esterno =
ρ R3
⃗
E esterno =
̂r
2
3 ε0 r
Qr
r̂
4 π R 3 ε0
Q r̂
⃗
E esterno =
4 π ε0 r 2
z Rλ
ẑ
2 ε 0 ( z 2+ R2)3 / 2
(sull'asse perpendicolare)
Disco di raggio R
(sull'asse perpendicolare)
(
Q r̂
2 π h ε0 r
)
σ
z
⃗
E=
1− 2
̂z
2 ε0
√ z +R2
IL DIPOLO ELETTRICO
N
⃗p =∑ ⃗
r i qi
(sistema discreto)
i=1
p α=∫ ρ α dτ
(α=x , y , z)
(sistema continuo)
τ
Le seguenti approssimazioni sono valide se il punto in cui si calcola il campo elettrico/potenziale si
trova rispetto al centro del dipolo a una distanza superiore di almeno un ordine di grandezza rispetto
alla distanza tra il baricentro delle cariche positive e il baricentro delle cariche negative.
Sia ⃗p = p ̂z e sia θ l'angolo tra l'asse z e ⃗r =( x , y , z ) .
V0( x , y , z ) =
1 ⃗p⋅⃗r
1 p r cos θ
1
⃗ (1/ r )
=
=−
⃗p⋅∇
3
3
4 π ε0 r
4π ε0
4 π ε0
r
E 0x=
p
3x z
2
4 π ε 0 ( x + y 2 +z 2 )5/ 2
E 0y=
p
3y z
2
4 π ε 0 ( x + y 2 +z 2 )5/ 2
E 0z =
p
2z −x − y
4 π ε 0 (x 2 + y 2+z 2)5 /2
2
2
2
Espressione compatta:
1
⃗
E=
4 π ε0
[( ) ( )]
3 ⃗p⋅⃗r
⃗p
⃗r − 3
5
r
r
Azioni meccaniche agenti su un dipolo sottoposto a un campo elettrico
⃗
E :
⃗ ( E⃗ ⋅⃗p)=( ⃗p⋅∇
⃗ ) E⃗ *
⃗ =∇
F
0
0
⃗ = ⃗p× E⃗0
M
Energia potenziale di un dipolo sottoposto a un campo elettrico
E⃗0 :
U =− E⃗0⋅⃗p
*Le due formule riportate sono uguali solamente se p è indipendente da x.
CONDUTTORI
Teorema di Coulomb:
Capacità: C=
σ
⃗
E = n̂
ε0
Q
V
N
Coefficienti di induzione/capacità: c ij t.c. Q i=∑ c ij V
j=1
j
N
Coefficienti di potenziale:
p ij t.c. V i=∑ pij V j
j =1
CONDENSATORI
(Un condensatore è un sistema di due conduttori (armature) tra i quali esiste induzione completa)
Capacità: C=
Q
Q
=
∣V 2−V 1∣ ΔV
Capacità di un condensatore sferico: C s =4 π ε 0
)
2 π ε0 h
ln ( R2 / R1 )
Capacità di un condensatore cilindrico: C c =
Capacità di un condensatore piano: C p =
(
R1 R2
R2 −R1
S ε0
d
Energia immagazzinata tra le armature di un condensatore:
U =
1
1 Q2
1
C ΔV 2 =
= Q ΔV
2
2 C
2
Pressione elettrostatica agente sull'armatura di un condensatore:
1
2
u= ε 0 E
2
Modulo della forza agente tra le armature di un condensatore:
F =S u
ELETTROSTATICA IN PRESENZA DI DIELETTRICI
Costante dielettrica relativa:
fisico)
ε r>1 (dipendente dal materiale e dal suo stato
Costante dielettrica assoluta:
ε =ε 0 ε r
Vettore polarizzazione elettrica:
⃗
P =n (α D+αO ) ⃗
E
Densità di cariche di polarizzazione:
⃗⋅̂n
σ p= P
⃗ P
⃗
ρ p=− ∇⋅
Vettore induzione o spostamento elettrico:
⃗ =ε 0 ⃗
⃗
D
E+P
Equazione fondamentale:
⃗ D
⃗ =ρ
∇⋅
Suscettività elettrica:
χ =ε r−1
Equazioni valide per dielettrici
omogenei e isotropi:
⃗
P =ε 0 χ ⃗
E
⃗ =ε ⃗
D
E
( )
1 ⃗
⃗
P = 1−
D
εr
Teorema di Gauss per D:
∫ D⃗⋅̂n dS =∫ d Q
S
Teorema di Coulomb per D:
⃗ =σ n̂
D
Energia elettrostatica:
U=
Relazioni tra
⃗
E , E⃗0, V , V 0
Passaggio da un mezzo a un altro:
⃗
E=
(cariche non polarizzate)
τ
1
1
⃗ ⋅E
⃗ dτ
ρ V dτ = ∫ D
∫
2 τ
2 spazio
E⃗0
εr
E tg1= E tg2
V=
V0
εr
Dn1= Dn2
E n1 ε r1=E n2 ε r2
CORRENTE ELETTRICA STAZIONARIA E CIRCUITI
Corrente elettrica:
I=
dQ
= ⃗
J ⋅̂n dS
dt ∫
S
( ⃗J =n q v⃗d [densità di corrente ])
Equazione di continuità:
⃗ J⃗ + ∂ ρ =0
∇⋅
∂t
Relazione tra E e J (conduttori ohmici):
⃗
E = ρr ⃗
J (ρr= resistività)
•
•
•
•
Degli elementi circuitali si dicono in serie se sono attraversati dalla stessa corrente.
Degli elementi circuitali si dicono in parallelo se ai loro capi c'è la stessa d.d.p.
Un nodo è un tratto di circuito in cui convergono più rami.
Una maglia è un tratto chiuso di circuito.
R= ρr
Leggi di Ohm:
RI = ΔV
Leggi di Kirchhoff:
∑ I i=0
∑
nodo
maglia
l
s
ΔV i=0 *
*Si sceglie un verso di percorrenza (arbitrario) della maglia e si scelgono dei versi di percorrenza (arbitrari) per le varie
correnti. Un generatore dà contributo positivo se precorrendo la maglia si passa dal “-” (catodo) al “+” (anodo). Un
resistore dà contributo positivo se la corrente che lo attraversa ha verso opposto al verso di percorrenza della maglia.
n
Linearità dei circuiti:
I ( f 1, ... , f n)=∑ I ( f k )
k=1
Potenza fornita dal generatore:
W g= f I
Effetto Joule (conduttori ohmici):
W dissipata= ΔV I =R I 2=
Resistori in serie:
Req =∑ Ri
I=
i
Resistori in parallelo:
1
1
=∑
Req i Ri
Condensatori in serie:
1
1
=∑
C eq i C i
Condensatori in parallelo:
C eq =∑ C i
ΔV 2
R
ΔV i
f
(partitore di tensione)
=
Ri R eq
ΔV = I Req =I i Ri (partitore di corrente)
i
Circuito RC:
(
V C (t)= f 1−e
−
t
RC
)
−
(carica) V C ( t )= f e
t
RC
(scarica)
FENOMENI MAGNETICI STAZIONARI NEL VUOTO
N
2
A
Permeabilità magnetica del vuoto:
μ 0=4π⋅10−7
Forza di Lorentz:
⃗ =q ⃗v × B⃗0
F
Forza agente su un tratto elementare di circuito:
⃗ =I d ⃗l × B⃗0
dF
Forza e momento meccanico agenti su un
circuito rigido:
⃗ =I ∮ d ⃗l × B⃗0
F
⃗ =I ∮ ⃗r ×(d ⃗l × B⃗0 )
M
Forza agente su un volumetto di conduttore
percorso da corrente:
⃗ =∫ ⃗
F
J × B⃗0 dτ
τ
Momento magnetico di una spira* percorsa
da corrente:
m
⃗ = I S n̂
Momento meccanico, forza risultante,
energia potenziale di una piccola spira*
in un campo B:
⃗ =m
M
⃗ × B⃗0
⃗ (m
⃗ ) B⃗ **
⃗ =∇
F
⃗⋅B⃗0 )=( m
⃗ ⋅∇
0
U =−m
⃗ ⋅B⃗0
(*Vale in realtà per un circuito chiuso di qualsiasi forma. S indica l'area racchiusa dal circuito.)
(**L'uguaglianza tra le due espressioni è valida solo se m è costante.)
Momento magnetico di un corpo
uniformemente carico rotante:
Q
m
ℑω
⃗ = g ⃗L=
⃗ ( ℑ=momento d ' inerzia )
2M
(Per le azioni meccaniche su un corpo carico rotante e il campo da esso generato si possono applicare le
stesse considerazioni fatte per la spira percorsa da corrente)
NOTA: Il campo magnetico generato da un momento magnetico diretto lungo il semiasse z positivo ha [per
distanze molto maggiori delle dimensioni dell'oggetto che genera il momento (che sia una spira, un circuito
qualunque o un oggetto carico rotante), e previa sostituzione di
p
4 π ε0
con
m μ0
] la stessa forma
4π
matematica di un campo elettrico generato da un dipolo disposto lungo il medesimo asse. Si rimanda perciò
alle formule per il campo del dipolo elettrico.
Campo generato da un circuito filiforme:
B⃗0 (⃗r )=
μ 0 I d ⃗l '×(⃗r −⃗r ' )
4π ∮
∣⃗r −⃗r '∣3
l'
Campo generato da un circuito non filiforme:
B⃗0 (⃗r )=
μ 0 ⃗J ( ⃗r ' )×( ⃗r −⃗r ' )
∫ ∣ ∣3 dτ '
4π τ '
⃗r −⃗r '
Seconda equazione di Maxwell
nel caso stazionario:
⃗ B⃗ =0
∇⋅
0
Teorema della circuitazione di Ampere:
∮ B⃗0⋅d ⃗l =μ 0∫S ⃗J⋅̂n dS = μ0 ∑ I k n k
*
conc
(* n = numero di volte che la circuitazione concatena la corrente)
Potenziale vettore (caso generale):
A⃗0 (⃗r )=
⃗
μ0
J ( ⃗r ' )
dτ
∫
4 π τ ∣⃗r −⃗r '∣
Potenziale vettore (circuito filiforme):
A⃗0 (⃗r )=
μ0
I d ⃗l '
∫
4 π τ ∣⃗r −⃗r '∣
Relazioni per il potenziale vettore:
⃗ A⃗ = B⃗
∇×
0
0
⃗ A⃗ =0 (gauge di Coulomb)
∇×
0
∮ A⃗0⋅d ⃗l =∫ B⃗0⋅̂n dS
S
Potenziale di una piccola spira:
μ m
⃗ ×⃗r
A⃗0= 0
4π r3
Forza agente tra due circuiti percorsi da
corrente continua stazionaria:
μ I I
(d ⃗
l 1⋅d l⃗2 ) r⃗21
F⃗21= 0 2 1 ∮ ∮
3
4π 1 2
∣r⃗21∣
CAMPI MAGNETICI NOTEVOLI
μ0 I
û
2 π r tg
Filo indefinito (Biot-Savart):
B⃗0 =
Spira di raggio R:
B0z =
Solenoide indefinito:
B0 =μ 0 n I
Nastro indefinito di larghezza L
percorso da corrente uniforme:
B0 =
2
μ0 I
μ
R
m
⃗
n̂ = 0 2 2 3/ 2
2
2 3/ 2
2 (R +z )
2π (R +z )
( n=N /l)
μ0 I
(distanza dal nastro << L)
2L
MAGNETISMO NELLA MATERIA
Permeabilità magnetica relativa:
μr
Permeabilità magnetica assoluta:
μ= μ0 μ r
Vettore intensità di magnetizzazione:
⃗
M
Correnti di magnetizzazione:
⃗ × n̂ [A/m]
J⃗ms= M
⃗ M
⃗ [A/m2]
J⃗mv = ∇×
Vettore campo magnetico:
⃗
⃗ = B −M
⃗ [A/m]
H
μ⃗0
Equazione fondamentale (caso
stazionario):
⃗ H
⃗ =⃗
∇×
J
Suscettività magnetica:
χ m= μr −1
Equazioni valide per materiali
omogenei e isotropi:
⃗ =χm H
⃗
M
⃗
⃗
B= μ H
⃗
χmB
μ
⃗=
M
Teorema di Ampere per H:
⃗ ⃗l =∫ ⃗
J ⋅̂n dS =∑ I k nk
∮ H⋅d
Passaggio da un mezzo a un altro:
Bn1= Bn2
Densità di energia magnetica**:
1 ⃗ ⃗
u m= H⋅
B
2
Materiale omogeneo e isotropo:
u m=
Energia magnetica:
U m=
H tg1= H tg2
Btg1 μr2 =B tg2 μ r1
1 B2 1
1
= BH= μ H2
2 μ 2
2
∫
spazio
*Le correnti di magnetizzazione non vanno incluse
*
conc
S
u m dτ=
1
⃗ ⃗
B dτ
∫ H⋅
2 spazio
**anche detta pressione magnetica
CIRCUITI MAGNETICI
Φ = flusso del campo di induzione magnetica (analogo elettrico: I = corrente)
F = forza magnetomotrice (analogo elettrico: f = forza elettromotrice)
ℜ = riluttanza (analogo elettrico: R = resistenza)
Per Φ vale l'analogo della legge dei nodi (prima legge di Kirchhoff).
Per F vale l'analogo della legge delle maglie (seconda legge di Kirchhoff).
Riluttanze in serie/parallelo si comportano come resistori in serie/parallelo.
⃗ ⃗l
F =N I =∮ H⋅d
ℜ=∫
1 dl
μ S
F =ℜΦ
Legge di Hopkinson (analoga prima legge di Ohm):
CAMPI ELETTRICI E MAGNETICI VARIABILI NEL TEMPO
Legge di Faraday-Neumann-Lenz:
f i=−
d Φ(⃗
B)
dt
(NOTA: la forza elettromotrice indotta è tale da opporsi alla variazione del flusso del campo di induzione
magnetica concatenato con il circuito).
Forza elettromotrice indotta nel caso
dΦ
= ( v⃗ × ⃗
B )⋅d ⃗l
dt ∮l
di moto del circuito nel campo B:
f i=−
Terza equazione di Maxwell:
⃗
⃗ E
⃗ =− ∂ B
∇×
∂t
Quarta equazione di Maxwell:
∂⃗
E
⃗ ⃗
∇×
B = μ0 ⃗J +ε 0
∂t
(
ε0
)
⃗
∂E
= J⃗s (densità di corrente di spostamento)
∂t
Flusso autoindotto:
Φ ai =L I (L = induttanza)
Forza elettromotrice autoindotta:
f ai =−L
Legge dei circuiti tenendo conto della
dI
dt
dI
autoinduzione:
∑ f =∑ R I +∑ L dt
Energia magnetica di un'induttanza:
1
1 Φ2 1
2
U m= Φ I =
= LI
2
2 L 2
M=
Mutua induttanza:
μ0
d l⃗1⋅d l⃗2
∮
∮
4π l l ∣r⃗2− r⃗1∣
2
1
Φ 1=Φ 1 ( B⃗1 )+Φ 1 ( B⃗2 )=L 1 I 1+M I 2
Φ 2=Φ 2 ( B⃗2)+Φ 2 ( B⃗1)= L2 I 2 +M I 1
Interazione tra due circuiti*:
M=
Φ 2 ( B⃗1) Φ 1( B⃗2 )
=
I1
I2
(*tenendo conto sia dei termini di autoinduzione che di quelli di mutua induzione)
Energia magnetica di un sistema
1
I kΦk *
2∑
k
di circuiti:
U m=
Di un singolo circuito:
U m=I Φ
(*flusso dovuto al campo totale, compreso quello autoindotto).
INDUTTANZE NOTEVOLI
Solenoide indefinito con nucleo magnetico:
L=μ n2 S l
Cavo coassiale:
L=
μ0 l ln(Re / Ri )
2π
CIRCUITO RL
I ( t)=
f
−t /τ
(1−e )
R
τ=
L
R
MAGNETI
μ0
( N I− H l ) (1)
δ
Elettromagnete:
B=
Magnete permanente:
B=−H
( )
μ0 l
δ
(2)
Per trovare il punto di lavoro di un elettromagnete con nucleo ferromagnetico o di un magnete
permanente di materiale ferromagnetico, occorre mettere a sistema rispettivamente la (1) oppure la
(2), che rappresentano due rette nel piano B-H, con la curva di magnetizzazione B(H) (ciclo di
isteresi).
EQUAZIONI DI MAXWELL
In presenza di materia:
⃗ D
⃗ =ρ
I) ∇⋅
⃗ ⃗
B =0
II) ∇⋅
⃗
⃗ E
⃗ =− ∂ B
III) ∇×
∂t
⃗
∂D
⃗ H
⃗ =⃗
J+
IV) ∇×
∂t
In presenza di materiali omogenei, isotropi e non ferromagnetici:
I)
⃗ E
⃗= ρ
∇⋅
ε
II)
⃗ ⃗
∇⋅
B =0
III)
⃗
⃗ E
⃗ =− ∂ B
∇×
∂t
IV)
⃗
⃗ B
⃗ = μ ⃗J +ε ∂ E
∇×
∂t
(
)
Nel vuoto:
⃗ E⃗ = ρ
I) ∇⋅
0
ε0
⃗ B⃗ =0
II) ∇⋅
0
B
⃗ E⃗ =− ∂ ⃗
III) ∇×
0
∂t
(
⃗
⃗ B⃗ = μ ⃗J +ε ∂ E
IV) ∇×
0
0
0
∂t
)
Teorema della divergenza (Gauss):
⃗ ⃗v )dτ
∫ ⃗v⋅̂n dS =∫ ( ∇⋅
Sc
Teorema del rotore (Stokes):
∮ ⃗v⋅d ⃗l =∫ (∇⃗ ×⃗v )⋅̂n dS
l
Velocità dell'onda elettromagnetica:
(τ volume contenuto in Sc)
τ
c' =
(l bordo di Sa)
Sa
1
√ε μ
Nel vuoto: c=
1
8 m
=3,00⋅10
s
√ ε0 μ0
