Esercizio 1
Un generatore di fem da 9 V, con resistenza interna
r=2 Ω viene collegato al sistema di resistenze indicato
in figura , dove ogni resistenza ha lo stesso valore
R=6 Ω. Calcolare la resistenza equivalente, la corrente
che attraversa ciascuna resistenza e la potenza dissipata
nel sistema di resistenze di valore R e dakka resistenza
interna
1
5
2
Le resistenze R15, R12, R14, sono in parallelo fra di loro,
mentre i punti 2,5,4 sono equipotenziali quindi le
3
relative resistenze non sono attraversate da corrente.
Lo stesso vale per le resistenze R23, R35, R34, di modo
che in definitiva la resistenza equivalente è pari a 2/3 R
, mentre la resistenza totale è pari a 6Ω.
La corrente che attraversa il circuito è, pertanto, pari a
9/6 A, corrente che si divide nei tre rami paralleli da cui
è costituito il “diamante”, pertanto ogni resistenza è
attraversata da 0.5 A.
Infine, la potenza dissipata nel sistema di resistenze è pari a Req i2= 9W, uguale a quello dissipato dalla
resistenza interna è Pint=9 W
Leggi di Ampere, Laplace
Esercizio 2
Due fili metallici di lunghezza L sono disposti ortogonalmente fra loro come in figura ed attraversati
da una corrente I. Determinare come si modifica la posizione di una piccola spira magnetica di
r
momento m = m 0 ŷ , posta nel punto di coordinate P ≡ ( L, L, 0 )
Nel caso in cui I=2 A, L=50 cm, calcolare l’intensità del campo di induzione magnetica prodotto dal
⎛L L
⎞
filo verticale nel punto A ≡ ⎜ , , 0 ⎟ ; determinare il momento agente sulla spira, nel caso essa sia posta
⎝2 2 ⎠
nel punto A e la corrente nel secondo filo sia spenta.
Soluzione
a) Iniziamo calcolando i contributi elementari al campo
in P, così come forniti dalla legge di Laplace:
r r
r
µ I dy × r1
dB1 (P) = 0
,
4π r13
r r
r
µ I dx × r2
dB2 (P) = 0
,
4π r23
r1 ≡ ( L, L − y, 0 )
y
P
r2 ≡ ( L − x, L, 0 )
Da cui segue:
r
µI
dy
ˆ
dB1 (P) = − 0 L
z,
2
4π ( L + (L − y) 2 )3 / 2
r
µI
dx
ˆ
dB2 (P) = 0 L
z,
4π ( L2 + (L − x) 2 )3 / 2
1
I
2
I
x
Anche senza integrare, si può intuire che la somma dei contributi dovuti ai due fili si compensa in P.
Di conseguenza la spira magnetica non subisce alcuna deflessione.
Per completezza, calcoliamo comunque il contributo finito dovuto ai due fili: entrambi i campi
possono essere descritti ( a meno del segno) nel seguente modo:
L
B(P) = ∫ dl
0
µ0 I
dl
L
4π ( L2 + (L − l) 2 )3 / 2
Per cui utilizzando in successione le trasformazioni:
L
L−l ≡ w
→
B(P) = − ∫ dl
0
q≡
w
≡ s enh(t) →
L
µ0 I
dw
L
4π ( L2 + w 2 )3 / 2
0
B(P) = −
∫
arcsenh1
dl
µ0 I
dt
4πL cosh 2 (t)
=-
µ0 I
4πL 2
b) Utilizzando la stessa procedura, si ottiene:
r r
r
µ I dy × r1
dB1 (A) = 0
,
4π r13
⎛L L
⎞
r1 ≡ ⎜ , − y, 0 ⎟
⎝2 2
⎠
Da cui segue:
B(A)=-
µ0 I
πL 2
=1,13 10-6T, nel verso negativo dell’asse z.
Infine, possiamo determinare il valore del momento delle forze agenti sulla spira:
M = m × B(A) = − m 0 B(A) x̂ che tende ad orientare la spira con il momento magnetico parallelo al
campo B.
Esercizio 3
Una sottile striscia conduttrice, di larghezza h, sufficientemente lunga da poter essere considerata indefinita, è
attraversata da una corrente costante I. Calcolare il valore del campo di induzione magnetica B su un generico
punto dell’asse x. Nell’approssimazione x>>h, determinare l’enerigia potenziale magnerica di su un ago
magnetico di momento magnetico m, orientato lungo x.
z
Soluzione
La corrente che attraversa la
striscia ha una densità lineare
J= I/h, ovvero possiamo
suddividere la striscia in fili
affiancati, ciascuno largo dr e
attraversato da una corrente
pari a Jdr. Il modulo del
campo prodotto da ciascuno
di
essi
può
essere
determinato con la legge di
Ampere:
I
dB r ( x ) =
h
µ0
Jdr
2 π( x + r )
y
x
Dove r indica la distanza del
filo elementare, rispetto
all’origine del riferimento
Il contributo di tutti i fili elementari, nullo all’interno della striscia è , sull’asse x:
h
B( x ) = ∫ dr
0
µ0
µ
⎛ x + h ⎞ µ0
⎛ h⎞
I = 0 I ln⎜
I ln⎜1 + ⎟
⎟=
2πh ( x + r )
2πh ⎝ x ⎠ 2πh
⎝ x⎠
Il campo è orientato antiparallelamente all’asse z.
Nel limite h<<x, possiamo approssimare il ln con h/x ed infine:
B( x ) →
µ0
I
2πx
Come nel caso di un vero oggetto filiforme.
Infine, il momento delle forze magnetiche sulla piccola spira che descrive l’ago magnetico
r r r
µ )
M = m × B = m 0 Iy mentre l’energia magnetica è nulla
2πx
Esercizio 4
Una spira metallica di lati a, b è collocata nel piano x,y ed attraversata, in senso antiorario, da una corrente
costante i . La spira è immersa nel campo magnetico
B=(B0, B0y/b,0 ). Determinare le forze che agiscono
sulla spira, il loro momento meccanico ed il
y
momento magnetico.
Soluzione
a
2
a) sui lati 1, 4 agiscono 2 forze uguali ed opposte :
r
r
1
4
F1 = ibB0 zˆ = − F4
i
b
Sul lato 3 la forza è nulla, mentre sul lato 2
x
r
3
F2 = −iaB0 zˆ
b) le forze 1, 4 si compensano e quindi non
producono traslazione lungo z; viceversa, esse
realizzano una rotazione, dal momento che costituiscono una coppia di momento
r
M14 = iabB0 yˆ .
La forza 2 non è compensata da una controparte sul lato 3 e, pertanto determina una traslazione lungo z. Ad
essa è associato il momento:
r
B
M 2 = −iab 0 xˆ
2
c)
il momento magnetico della spira è m=iab, uscente dal foglio. Mediante m possiamo calcolare in maniera
alternativa il momento delle forze:
r r r r
r
M = m × B = Mx + M y ,
con:
⎛B ⎞b
M x = −iab ⎜ 0 ⎟ = M 2 ,
⎝ b ⎠2
M y = iabB0 = M14
