Problem Solving - Negrelli

Quaderni di Informatica
Problem Solving
Luigino Calvi
I.I.S. Negrelli-Forcellini - Feltre
2014
ii
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
Indice
1 Problemi
1.1 PROBLEMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 LA RISOLUZIONE DEI PROBLEMI . . . . . . . . . . .
1.3 IL PROBLEMA DELLE 8 REGINE . . . . . . . . . . . .
1.4 IL PROBLEMA DEI 4 COLORI . . . . . . . . . . . . . .
1.5 IL PROBLEMA DELLA TORRE DI HANOI . . . . . .
1.6 PROBLEMA DEL COMMESSO VIAGGIATORE . . . .
1.7 PROBLEMA DEI PONTI DI KÖNISBERG . . . . . . .
1.8 IL PROBLEMA DELLE EQUAZIONI . . . . . . . . . . .
1.9 IL DECIMO PROBLEMA DI HILBERT . . . . . . . . .
√
1.10 IL PROBLEMA DELLA 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 IL PROBLEMA DEL MASSIMO COMUNE DIVISORE
1.12 IL PROBLEMA DEL SISTEMA MU . . . . . . . . . . .
1.13 IL PROBLEMA DELLA SCACCHIERA MUTILATA .
1.14 ESERCIZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Tipologie dei Problemi
2.1 PROBLEMI BEN FORMULATI . . . . .
2.2 ISTANZE E CLASSI DI PROBLEMI . .
2.3 GENERALIZZAZIONE DEI PROBLEMI
2.4 RISOLVIBILITÀ DEI PROBLEMI . . . .
2.5 FORMA DEI PROBLEMI . . . . . . . . .
2.6 FORMALIZZAZIONE DEI PROBLEMI
2.7 IL PROBLEMA DELL’ORDINAMENTO
2.8 I PROBLEMI DI RICERCA . . . . . . . .
2.9 I PROBLEMI DI DECISIONE . . . . . .
2.10 ESERCIZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
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iv
3 Risolvere
3.1 LA METODOLOGIA TOP-DOWN . . .
3.2 LA METODOLOGIA BOTTOM-UP . . .
3.3 EFFICACIA DELLE SCOMPOSIZIONI
3.4 TRASFORMAZIONE DEI PROBLEMI .
3.5 ESERCIZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
INDICE
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4 Algoritmi
4.1 FORMULE RISOLUTIVE . . . . . . . . . . . . .
4.2 ALGORITMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 ALGORITMI COME FUNZIONI . . . . . . . . .
4.4 SCHEMI FONDAMENTALI DI ALGORITMI .
4.5 ESEMPI DI ALGORITMI . . . . . . . . . . . . .
4.6 TAVOLA DI TRACCIA DI UN ALGORITMO
4.7 LIVELLI DESCRITTIVI DEGLI ALGORITMI
4.8 NOTAZIONI DI ALTO E BASSO LIVELLO . .
4.9 IL PRINCIPIO DI COMPLESSITÀ . . . . . . .
4.10 ESERCIZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Problemi risolti
5.1 UN PROBLEMA GEOMETRICO . . . . .
5.2 UN PROBLEMA DI DECISIONE . . . . .
5.3 UN ALTRO PROBLEMA DI DECISIONE
5.4 UN PROBLEMA NUMERICO . . . . . . .
5.5 UN PROBLEMA SUI BLOCCHETTI . . .
5.6 UN PROBLEMA SULLE STRINGHE . . .
5.7 ESERCIZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Soluzioni dei problemi
6.1 UN PERCORSO SUI PONTI
√ DI KÖNISBERG
6.2 ALLA RICERCA DELLA 2 . . . . . . . . . . .
6.3 IL PROBLEMA DELLE 8 REGINE . . . . . . .
6.4 IL MASSIMO COMUNE DIVISORE . . . . . . .
6.5 LA SCACCHIERA MUTILATA . . . . . . . . . .
6.6 NESSUNA STRADA PORTA A MU . . . . . . . .
6.7 ESERCIZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
Capitolo 1
Problemi
Sentiamo in noi l’eterno richiamo: ecco il
problema, cercane la soluzione.
D. Hilbert
Il matematico David Hilbert, al Congresso Internazionale di Matematica
tenutosi a Parigi nell’agosto del 1900, si espresse con le parole riportate nella
citazione sopra per sottolineare che nell’uomo è connaturata la propensione
a risolvere le questioni ed i problemi che gli si presentano. In quell’occasione Hilbert presentò una lista di 23 problemi all’epoca non ancora risolti,
proponendoli come sfida per i matematici e con la speranza che potessero essere risolti nel secolo che stava per iniziare. I problemi di quella lista hanno
resistito per molti decenni ed alcuni attualmente non sono stati ancora risolti.
In questo capitolo verrà presentata una variegata gamma di problemi, con
l’obiettivo di incuriosire e stimolare a seguire tutto quello che verrà presentato
più avanti, quando questi problemi saranno ripresi in considerazione e, per
quelli risolvibili, ne verrà presentata una soluzione. Si tratta di problemi che
riguardano argomenti molto elementari che non richiedono conoscenze avanzate; la loro formulazione è molto semplice ma la loro risoluzione non è mai
immediata e banale e risulta interessante in quanto tocca alcuni importanti
aspetti delle tecniche di risoluzione algoritmica dei problemi.
1
2
1.1
CAPITOLO 1. PROBLEMI
PROBLEMI
Per quanto sarà detto nel seguito, fra le tante possibili, assumiamo la seguente
come definizione di problema:
Un problema è un quesito a cui si vuole dare risposta o un
obiettivo che si intende perseguire.
Da questa definizione risulta implicitamente che ogni problema sottintende
uno sforzo volontario per il raggiungimento del risultato finale; pertanto non
considereremo come problemi quelli che ammettono palesemente la risposta o
quelli ai quali non siamo interessati. Coerentemente con queste ipotesi, un
problema è tale relativamente ad un dato soggetto che lo considera. Ad esempio, possiamo considerare come problema il seguente: Determinare le intensità
delle correnti in un dato circuito. Al contrario, per noi non sarà un problema
il seguente (essendo evidente la risposta): Decidere se un dato numero naturale è pari o dispari. Analogamente, possiamo non considerare come problema
il seguente (in quanto non ci interessa): Determinare un numero naturale primo composto da cento cifre decimali. Nonostante l’apparente stravaganza,
questioni di questo ultimo tipo rappresentano degli effettivi problemi pratici
che si incontrano in applicazioni di codifica/decodifica di informazioni cifrate
nella cosiddetta crittografia a chiave pubblica.
1.2
LA RISOLUZIONE DEI PROBLEMI
Risolvere un problema significa ricercare e descrivere un procedimento che,
eseguito, consenta, a partire da delle informazioni iniziali (dati), di ottenere
delle informazioni finali (risultati) soddisfacenti ad un criterio di verifica,
secondo lo schema descritto nella figura 1.1.
dati
- risultati
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criterio di verifica
Figura 1.1: Schema del processo risolutivo di un problema.
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1.2. LA RISOLUZIONE DEI PROBLEMI
3
Il solutore è il soggetto (in genere l’uomo) che descrive le azioni da eseguire per risolvere un problema. L’esecutore è l’entità (in genere una macchina)
che esegue le azioni descritte dal solutore. La soluzione di un problema è
la descrizione delle azioni (istruzioni), da parte del solutore e rivolte all’esecutore, che, eseguite, forniscono i risultati del problema. I dati sono le
informazioni iniziali in base alle quali ricavare i risultati, che rappresentano
gli oggetti o l’effetto che si ottiene mediante l’esecuzione delle istruzioni che
costituiscono la soluzione. Qui i termini dati e risultati sono da intendersi
in senso lato: possono essere un numero, un insieme di numeri, la risposta
ad un quesito, un disegno o qualcos’altro di più generale ancora. Notiamo
che la ricerca e la descrizione della soluzione di un problema è un’attività del
solutore (e non dell’esecutore, il quale esegue il procedimento risolutivo ma
non lo costruisce).
Esempio 1. Consideriamo il problema della risoluzione di un’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0. Un procedimento risolutivo di questo problema
è fornito dalla ben nota formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:
√
−b ± b2 − 4ac
x1 , x 2 =
2a
Con riferimento a questo problema, il solutore è colui che ha ideato la formula
risolutiva delle equazioni di secondo grado, mentre chi la applica per trovare,
con carta e penna, le radici di una particolare equazione assume il ruolo di
esecutore. Nel caso venga utilizzato un programma su calcolatore per trovare
le radici di un’equazione, l’esecutore è rappresentato dal calcolatore (e chi
utilizza il programma assume il ruolo di semplice utente). Un criterio di
verifica consiste nella sostituzione diretta dei valori trovati delle radici e nella
verifica dell’identità.
Osservazione. L’impostazione basata sui termini chiave problema, solutore, soluzione, esecutore, risultato è tipica del cosidetto paradigma imperativo,
secondo il quale il solutore specifica all’esecutore delle direttive di come deve agire per ottenere il risultato finale. Un’impostazione alternativa, tipica
del cosidetto paradigma dichiarativo, consiste nel descrivere, con informazioni e vincoli stringenti, da parte del solutore all’esecutore, in cosa consiste il
risultato, delegando all’esecutore il compito di trovare i passi da eseguire per
determinarlo.
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CAPITOLO 1. PROBLEMI
1.3
IL PROBLEMA DELLE 8 REGINE
Il problema delle 8 regine consiste nel determinare le configurazioni di 8 regine
disposte su un’usuale scacchiera in modo tale che nessuna regina sia attaccata
da qualche altra; in altri termini, le 8 regine devono trovarsi su righe, su
colonne e su diagonali distinte.
Questo problema fu studiato da Carl Friedrich Gauss che, nel 1850, riuscì a
determinare inizialmente 76 configurazioni e successivamente, con altri tentativi, riuscì a determinare tutte le 92 possibili configurazioni. Questa soluzione
in più tempi fa intuire che all’epoca Gauss non disponesse di un procedimento
sistematico di ricerca che conosciamo noi oggi. Nella figura 1.2 è riportata una
non-soluzione in quanto sono presenti solo 7 regine e non è possibile disporne
un’altra senza entrare in conflitto con quelle già presenti.
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Figura 1.2: Una non-soluzione del problema delle 8 regine.
Nel 1874 J. W. Glaisher propose una generalizzazione di questo problema,
considerando una generica scacchiera quadrata di lato n sulla quale disporre
n regine; egli giunse ad ipotizzare che su una tale scacchiera fosse sempre
possibile disporre n regine. Tale ipotesi venne dimostrata solo nel 1969 1 .
Problemi di questo tipo sono diventati di particolare interesse in quanto,
pur non ammettendo delle soluzioni analitiche, si prestano ad essere risolti
efficacemente mediante l’uso degli elaboratori. Il problema delle 8 regine è
divenuto un classico della programmazione in quanto coinvolge tipici ed interessanti aspetti dell’informatica e della programmazione, quali la ricorsività e
le strategie di backtracking.
1
E. J. Hoffman, J. C. Loessi, R. C. Moore, Construction for the solution of the n-queens
problem, Mathematical Magazine 42 (1969), 66-72.
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1.4. IL PROBLEMA DEI 4 COLORI
1.4
5
IL PROBLEMA DEI 4 COLORI
Il problema dei quattro colori può essere formulato nei seguenti termini:
È possibile, mediante al più quattro colori, colorare una generica carta geografica piana in modo che regioni contigue abbiano
colori differenti?
In questo problema si ipotizza che ogni regione sia connessa, ossia sia costituita da un unico pezzo. Si pensa che questo problema fosse noto a Möbius
già nel 1840. Si è comunque soliti far risalire l’origine di questo problema
all’ottobre 1852 quando Francis Guthrie, giovane matematico studente di De
Morgan, riuscendo a colorare una cartina delle contee dell’Inghilterra con soli
4 colori, ipotizzò che 4 colori fossero sempre sufficienti per colorare qualsiasi cartina, imponendo l’ovvio vincolo che due regioni contigue abbiano colori
diversi. Talvolta, dato il successo della colorazione di tutte le mappe considerate, ci si riferisce a questo quesito con il termine di Teorema dei 4 colori. De
Morgan propose la congettura alla London Mathematical Society, invitando a
cercarne una dimostrazione o una refutazione. È davvero sorprendente che un
tale problema, all’apparenza così semplice, sia rimasto irrisolto per più di un
secolo, nonostante, da subito, moltissimi matematici si siano impegnati nella
sua soluzione ed abbiano dedicato anni di lavoro nel tentativo di dimostrare il teorema. Nel 1879 Alfred Bray Kempe, avvocato londinese che studiò
matematica a Cambridge, pubblicò una dimostrazione della congettura. Tale
dimostrazione venne ritenuta valida per undici anni, fino al 1890 quando Percy
John Heawood vi trovò un errore. Nonostante l’errore insito nella sua dimostrazione, Kempe ebbe il merito di introdurre le cosidette catene di Kempe
che vennero utilizzate un secolo dopo per la dimostrazione definitiva del teorema. Tale risultato conclusivo venne raggiunto nel 1977 da Kenneth Appel
e Wolfang Haken, due matematici dell’Università dell’Illinois. La loro dimostrazione si basa sulla riduzione del numero infinito delle mappe possibili a soli
1476 configurazioni per le quali la validità del teorema venne verificata caso
per caso, usando un complesso algoritmo informatico la cui esecuzione richiese
1200 ore di elaborazione su diversi computer ad alta velocità. La dimostrazione di Appel ed Haken richiese oltre 500 pagine per essere trascritta, rimanendo
comunque impossibile una verifica diretta. Ciò alimentò molte polemiche e
molti matematici rifiutarono di accettarla come dimostrazione 2 . Successivi
miglioramenti della dimostrazione hanno ridotto il numero di configurazioni
2
Vennero all’epoca sollevate profonde discussioni sul cosa sia effettivamente una dimostrazione; ma questa questione si insinua nel campo dei fondamenti della matematica e della
logica, e non tentiamo degli approfondimenti qui.
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6
CAPITOLO 1. PROBLEMI
a 633. Sono state successivamente proposte nuove dimostrazioni alternative, basate sull’uso della teoria dei gruppi, un’importante branca dell’algebra
astratta.
Un divertente anneddoto riguardante questo problema risale al 1975, quando Martin Gardner, un famoso esperto e divulgatore di giochi matematici,
pubblicò un articolo su un numero di una rivista uscita il 1 aprile, riportando
una mappa per colorare la quale non sarebbero stati sufficienti 4 colori. Ad
alcuni lettori sorse il sospetto, visto anche il giorno dell’uscita dell’articolo,
che si trattasse di uno scherzo, come in effetti era. La mappa dello scherzo è
riportata nella figura 1.3.
Figura 1.3: Mappa dello scherzo di Martin Gardner.
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1.5. IL PROBLEMA DELLA TORRE DI HANOI
1.5
7
IL PROBLEMA DELLA TORRE DI HANOI
Il problema della torre di Hanoi è un gioco ideato nel 1883 dal matematico
francese Edouard Lucas. Il gioco prende spunto dalla leggenda secondo la
quale nel tempio di Benares in India i monaci avevano il compito di spostare
una piramide di 64 dischi in oro, disposti uno sopra l’altro, dal più grande
posto in basso, da un piolo di diamante ad un altro, spostando un solo disco
alla volta, utilizzando un terzo piolo come appoggio, con il vincolo che ogni
disco debba poggiare sopra uno di dimensioni più grandi. Secondo la leggenda
il mondo avrà fine quando i monaci avranno finito il proprio lavoro.
Sintetizzando quanto tramandato dalla leggenda, il problema è generalmente noto nella seguente formulazione.
Sono dati tre pioli e n dischi di diversi diametri. Inizialmente
tutti gli n dischi sono impilati su un piolo in modo tale che
nessun disco sia disposto sopra di un disco più piccolo. Il
problema consiste nello spostare la pila degli n dischi da un
piolo ad un altro, muovendo un solo disco alla volta, potendo
utilizzare il terzo piolo come supporto ausiliario e rispettando
il vincolo che nessun disco sia disposto sopra uno più piccolo.
Figura 1.4: Problema della torre di Hanoi con 4 dischi.
Il problema suggerisce le seguenti questioni:
• È possibile risolvere il problema per qualsiasi numero n di dischi?
• Determinare il numero di spostamenti necessari per spostare una pila di
n dischi.
• Determinare e descrivere un procedimento per spostare gli n dischi.
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8
1.6
CAPITOLO 1. PROBLEMI
PROBLEMA DEL COMMESSO VIAGGIATORE
Il problema del commesso viaggiatore fu considerato per la prima volta agli
inizi degli anni ’30 del secolo scorso, anche se, sotto altra veste, comparve
all’interno della teoria dei grafi già nel diciannovesimo secolo. Nella sua
formulazione più caratteristica il problema si enuncia come segue:
Un commesso viaggiatore deve visitare un dato numero di città. Ogni città è collegata a tutte le altre da una strada di
cui si conosce la lunghezza. Determinare il percorso più breve
che passa per ogni città una sola volta e ritorna alla città di
partenza.
Il problema richiede la formulazione di un procedimento risolutivo generale
che non dipenda da una particolare disposizione delle città, né dal numero
delle città. Una istanza di questo problema corrispondente a 532 punti è
presentata nella figura 1.5.
Figura 1.5: Il cammino ottimale sulle 532 centraline della società AT&T negli
USA, calcolato nel 1987 da Padberg e Rinaldi.
Al di là della sua formulazione in termini di città da visitare, il problema ha
un’importanza pratica in vari settori dell’industria, ad esempio nella stampa
dei circuiti elettronici. Un ovvio metodo di soluzione consiste nel determinare
tutti i percorsi possibili e poi determinarne il più breve fra questi. La scarsa
utilità di questo approccio discende dal fatto che il numero di possibili percorsi
che passano attraverso n città è (n − 1)!/2 e questo è un numero al di fuori
della portata di calcolo anche dei più potenti elaboratori attuali e futuri, anche
per modesti valori di n.
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1.7. PROBLEMA DEI PONTI DI KÖNISBERG
1.7
9
PROBLEMA DEI PONTI DI KÖNISBERG
Königsberg, città della Prussia orientale attualmente situata in territorio russo
e nota come Kaliningrad, è attraversata dal fiume Pregel al cui interno sorge
un’isola oltre la quale il fiume si spezza nuovamente in due rami. I suoi
quartieri sono collegati da sette ponti. La mappa è riportata nella figura 1.6.
Agli inizi del XVIII secolo gli abitanti di Könisberg si chiedevano se fosse
possibile fare una passeggiata attraversando una sola volta i sette ponti della
cittadina e ritornare al punto di partenza.
Figura 1.6: Mappa della cittadina di Könisberg.
Il problema divenne famoso come il problema dei ponti di Königsberg, quando il grande matematico svizzero Leonhard Euler, all’inizio di un suo celebre
scritto pubblicato nel 1736, lo espose nei seguenti termini:
È possibile uscire di casa e farvi ritorno dopo avere percorso
tutti e sette i ponti non più di una volta?
Il problema venne approfondito e risolto dallo stesso Euler e le sue disquisizioni
sull’argomento diedero avvio alla teoria dei grafi, uno degli ambiti più fecondi
della matematica moderna.
1.8
IL PROBLEMA DELLE EQUAZIONI
Moltissimi problemi, di diversa natura, opportunamente trasformati, si riconducono alla soluzione di un’equazione algebrica o ad un sistema di equazioni
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CAPITOLO 1. PROBLEMI
algebriche. Anche per questo motivo, uno dei problemi più importanti dell’Algebra riguarda la risolubilità delle equazioni polinomiali di grado n in una
sola incognita, mediante delle formule risolutive costituite da un’espressione
contenente solo le quattro operazioni elementari e l’estrazione di radice. Ci
limiteremo qui a considerare il caso particolare delle equazioni polinomiali di
grado n, per le quali il problema può essere formulato come segue:
Determinare una formula risolutiva per risolvere un’equazione
polinomiale di grado n, in una sola incognita x:
a0 xn + a1 xn−1 + ⋯ + an−1 x + an = 0
Le equazioni di primo grado (a x+b = 0) e quelle di secondo grado (a x2 +b x+c =
0) sono state risolte sin dall’antichità, individuando delle formule che forniscono direttamente le radici. Le equazioni di terzo grado furono risolte solo nei
primi anni del Cinquecento, all’epoca del Rinascimento, ad opera dell’italiano
Scipione Dal Ferro (1465 circa - 1526), professore di matematica a Bologna;
egli non pubblicò la sua scoperta ma la comunicò ad uno dei suoi allievi. In
quegli stessi anni anche il matematico Nicolò Tartaglia (1500 circa - 1557),
forse senza conoscere le scoperte di Dal Ferro, scoprì la formula e la comunicò
a Gerolamo Cardano (1501-1576) il quale, senza esserne l’ideatore, la pubblicò
nella sua opera Ars Magna. Pochi anni dopo il matematico italiano Ludovico Ferrari (1522-1565) risolse anche l’equazione generica di quarto grado,
trovando un modo per trasformare una generica equazione di quarto grado
ad una di terzo grado e potersi quindi avvalere della formula per l’equazione di terzo grado. Al di là della diatriba su chi debba essere considerato il
primo scopritore della formula risolutiva per le equazioni di terzo grado, gli
splendidi risultati ottenuti in quegli anni stimolarono molti lavori sulla ricerca di formule risolutive per equazioni di grado superiore al quarto. Al noto
algebrista Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651-1708) sembrò persino di
aver scoperto un metodo generale per risolvere una generica equazione polinomiale di grado n, riconducendosi ad equazioni di grado inferiore. Ma era
solo un’illusione: già per ricondurre un’equazione di quinto grado ad una di
quarto grado si richiedeva di risolvere un’equazione ausiliaria di sesto grado,
che non si era in grado di risolvere. Nel 1824 il giovane matematico norvegese
Niels Henrik Abel (1802-1829) fornì una dimostrazione che non esiste alcuna
formula risolvente una generica equazione di grado superiore al quarto. In
seguito il matematico francese Evariste Galois (1811-1832), pur nella sua breve vita, basandosi su profondi concetti algebrici, fornì dei criteri per ridurre
un’equazione polinomiale al prodotto di polinomi di grado inferiore fornendo
così, indirettamente, dei metodi per la sua soluzione.
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
1.9. IL DECIMO PROBLEMA DI HILBERT
1.9
11
IL DECIMO PROBLEMA DI HILBERT
Il decimo problema di Hilbert rappresenta uno dei più famosi problemi della
matematica. Tale nome deriva dal fatto che questo problema apparve come
decimo in una lista di 23 problemi proposti da David Hilbert al secondo congresso dei matematici tenutosi a Parigi nell’agosto dell’anno 1900. Alcuni di
questi problemi hanno resistito ai tentativi di molti matematici e risultano a
tutt’oggi ancora insoluti. Famoso è il decimo problema di quella lista. Esso
riguarda le equazioni polinomiali a coefficienti interi, ossia equazioni a più incognite legate tra loro da un’espressione polinomiale; ad esempio 3xy−4y 2 +y = 0.
Il problema proposto da Hilbert può essere formulato nei seguenti termini:
Data un’equazione polinomiale a coefficienti interi con un qualunque numero di incognite, descrivere un procedimento per
decidere se essa ammetta radici intere.
Il problema non richiede un procedimento per trovare le soluzioni ma solamente
per stabilire se l’equazione ne possegga. Nella formulazione del problema è
essenziale il fatto che si cerchino solo radici intere. Un’equazione di questo
tipo viene detta diofantea, in onore del matematico Diofanto di Alessandria
che si occupò di questi argomenti nel terzo secolo d.C.. Per le equazioni di
primo grado, ad esempio 3x − 7y + 2z − 14 = 0, l’esistenza di soluzioni può
essere determinata mediante un procedimento ideato ancora da Euclide. Per
le equazioni di secondo grado a due incognite, ad esempio 7x2 − 4y 2 + xy − 13 =
0, è possibile stabilire se esistono soluzioni basandosi su una teoria e su dei
procedimenti sviluppati all’inizio del XIX secolo dal grande matematico Carl
Friedrich Gauss. Per le equazioni di grado superiore al secondo sono stati
escogitati alcuni metodi applicabili solo ad alcuni casi particolari.
Nel 1970 il giovane matematico russo Yuri Matijasevic poneva fine alla
questione dimostrando che non esiste alcun procedimento generale per stabilire
se un’equazione diofantea ammetta radici.
Una famiglia molto nota di equazioni diofantee ha la forma
xn + y n = z n ,
n = 2, 3, 4, . . .
Per n = 2 l’equazione risulta soddisfatta dalle lunghezze dei lati di ogni triangolo rettangolo e corrisponde al teorema di Pitagora; ad esempio l’equazione
è soddisfatta per x = 3, y = 4, z = 5. Per n ≥ 3 l’equazione è nota come equazione di Fermat. Il matematico francese Pierre de Fermat nel diciasettesimo
secolo sul margine della sua copia del libro di Diofanto scrisse di aver trovato
una dimostrazione veramente mirabile che l’equazione non è soddisfatta per
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12
CAPITOLO 1. PROBLEMI
alcuna terna x, y, z) e n ≥ 3, ma che era troppo lunga per poter essere riportata su quel margine. La dimostrazione di Fermat non venne mai trovata
(ammesso che l’avesse effettivamente trovata) e da allora il problema divenne
famoso con il nome di l’ultimo teorema di Fermat. Nonostante l’appellativo
di teorema, tale risultato è stato dimostrato solamente nel 1993 da Andrew
Wiles: a contrasto con l’estrema semplicità della formulazione della questione,
la dimostrazione è lunga 200 pagine ed ha richiesto nove anni di lavoro.
1.10
IL PROBLEMA DELLA
√
2
√
La 2 è un personaggio matematico, non altrettanto noto come i suoi colleghi
famosi i, e, φ e π (che hanno avuto un nome proprio), ma è sicuramente un
individuo interessante in quanto stimola interessanti considerazioni sia dal
punto di vista matematico
che da quello informatico.
√
Si definisce: La 2 è quel numero che moltiplicato per se stesso dà 2 come
risultato. Questa definizione, apparentemente innocua, sembra autosufficiente, conclusiva e non lascia presagire alcuna problematica. Sfruttando delle
proprietà che discendono direttamente dalla sua definizione, questo oggetto
può essere manipolato in modo formale; ad esempio si possono eseguire dei
calcoli quali:
√
√
2→2
√
1
2⋅ √ →1
2
√
√
1
2
2
√ → √ √ →
2
2
2⋅ 2
2⋅
I problemi iniziano√
a sorgere quando si considera l’obiettivo Determinare
√
la 2. Ovviamente 2 non è la soluzione del problema, è semplicemente
una notazione, un simbolo proprio per denotare quel numero che moltiplicato
per se stesso da 2, in modo analogo a come possiamo usare 3/4 per denotare
quel numero che moltiplicato per 3 da 4. Determinare un oggetto significa esibirlo, in un contesto ben precisato, in un formato ed in una notazione
specifica del contesto considerato.
Questo quesito richiede implicitamente di
√
definire l’insieme nel quale la 2 viene cercata. I greci pensavano che tutti i
numeri fossero√
esprimibili come numeri razionali, come rapporto di due numeri
naturali. La 2 non è invece esprimibile come numero razionale.
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1.11. IL PROBLEMA DEL MASSIMO COMUNE DIVISORE
13
√
Con le premesse date, il problema della 2 solleva le seguenti questioni:
√
1. dimostrare che 2 non è esprimibile mediante un numero razionale
√
2. determinare in quale insieme si trova 2
√
3. determinare una frazione che approssima bene il valore 2
4. determinare e descrivere un procedimento che, basandosi solo sulle quattro √
operazioni aritmetiche fondamentali, fornisca le varie cifre decimali
di 2
5. dato un segmento di lunghezza unitaria
√ nel piano, costruire con riga e
compasso un segmento di lunghezza 2
1.11
IL PROBLEMA DEL MASSIMO COMUNE
DIVISORE
Consideriamo il problema del calcolo del massimo comune divisore di due
numeri naturali. Il problema può essere formulato come segue:
Dati due numeri naturali positivi, determinare il loro massimo
comune divisore, ossia il più grande numero intero che li divide
entrambi.
Tale problema, oltre ad essere un’interessante palestra per lo studio degli
algoritmi, riveste una particolare importanza pratica in quanto si presenta in
svariati ambiti della matematica. Il problema sorge in molte questioni riguardanti l’aritmetica elementare, in particolare nell’elaborazione delle frazioni, ad
esempio quando si deve ridurre una frazione ai minimi termini oppure quando
si debbano addizionare due frazioni. Sorge inoltre in questioni più avanzate quale l’aritmetica modulare e nella soluzione di alcuni tipi di equazioni
diofantee.
1.12
IL PROBLEMA DEL SISTEMA MU
Il sistema formale M U venne originariamente proposto da Hofstadter 3 . Il
sistema è costituito da stringhe sull’alfabeto {M, I, U}. A partire dalla stringa
MI si possono generare altre stringhe usando le seguenti quattro regole di
generazione:
3
D. R. Hofstadter, Godel, Escher, Bach, 1979.
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14
CAPITOLO 1. PROBLEMI
(a) Se una stringa termina con I, si può accodare U alla fine.
(b) Se una stringa inizia con M, si può accodare la sottostringa che segue tale
M.
(c) Se in una stringa è presente la sottostringa III, si può sostituirla con
una U.
(d) Se in una stringa è presente la sottostringa UU, si può eliminarla.
La porzione di albero riportata nella figura 1.7 illustra la generazione di alcune
stringhe.
MI
Q
Q
Q
+
QQ
s
MIU
MII
QQ
k
@
Q
MIUIU
MIUIUIUIU
Q
Q
@
R
@
MIIII
J
J
^
J
MUI
MIIIIIIII
MIIU
J
J
^
J
MIIUIIU
Figura 1.7: Generazione di alcune stringhe nel sistema MU.
Il problema consiste nel decidere se MU è generabile a partire dalla stringa
MI applicando le regole ammesse. È evidente che un ragionamento interno al
sistema, ossia l’applicazione diretta delle regole, può condurre alla soluzione
(ossia alla generazione della stringa MU); nel caso in cui l’applicazione diretta
non ci porti alla stringa cercata, rimane vivo il dubbio che la stringa MU possa
non essere generabile applicando le regole del sistema; in questo caso qualsiasi
applicazione meccanica delle regole (ossia rimanendo all’interno del sistema)
non può darci alcuna informazione e non ci rimane altro che uscire dal sistema.
Si invita a ragionare a risolvere il problema proposto. Come suggerimento per
la soluzione del problema notiamo che ci sono regole che allungano e regole
che accorciano.
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1.13. IL PROBLEMA DELLA SCACCHIERA MUTILATA
1.13
15
IL PROBLEMA DELLA SCACCHIERA MUTILATA
Il seguente problema viene generalmente proposto nei libri di giochi matematici.
Ad una scacchiera di 8 caselle per lato vengono tolti i due
quadretti di due angoli appartenenti ad una stessa diagonale. Ricoprire la scacchiera mediante 31 tessere del domino,
ciascuna composta da due quadretti unitari.
Una soluzione potrebbe essere trovata cercando delle possibili disposizioni
dei tasselli oppure rispondendo negativamente al quesito posto dal problema
qualora nessuno di tutti i possibili tappezzamenti conduca al successo.
Il problema può essere generalizzato considerando un quadrato reticolato
avente un numero n di quadretti su ciascun lato.
1.14
ESERCIZI
1. Spiegare la differenza fra i termini soluzione e risultato.
2. Spiegare il significato dei termini solutore ed esecutore.
3. Spiegare perché non ha senso considerare un procedimento risolutivo
senza fare riferimento alle capacità dell’esecutore.
4. Determinare qualche configurazione soluzione del problema delle 8 regine.
5. Usando solo 4 colori, colorare la mappa riportata nella figura 1.3.
6. Determinare la sequenza di mosse che risolve il problema della torre di
Hanoi con 4 dischi, illustrato nella figura 1.4.
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16
CAPITOLO 1. PROBLEMI
7. Determinare il tempo necessario ad un elaboratore per risolvere il problema del commesso viaggiatore, esaminando tutti i possibili percorsi
fra 100 città, nell’ipotesi che impieghi un miliardesimo di secondo per
calcolare ed esaminare ciascun singolo percorso.
8. Dimostrare che nel sistema MU la stringa IU non è generabile.
9. Dimostrare che il problema della scacchiera mutilata non è risolvibile se
il numero delle caselle per lato è dispari (7 × 7, 7 × 9, . . . ).
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Capitolo 2
Tipologie dei Problemi
Da dove dovrei partire?
Parti dalla formulazione del problema.
G. Polya, How to solve it
Una attenta ed approfondita analisi del testo del problema permette di
fare il primo passo nella giusta direzione che porta alla soluzione.
I problemi presentano delle analogie rispetto ad alcune caratteristiche quali
la forma del problema, la sua risolvibilità, la tipologia dei dati e dei risultati,
l’ambiente di operatività (aritmetico, geometrico, grafico, . . . ). La variegata gamma dei problemi che si incontrano può essere pertanto classificata in
categorie rispetto ad una di queste caratteristiche. Classificare un problema
costituisce un primo passo verso la sua comprensione e, quindi, verso la sua
soluzione.
17
18
CAPITOLO 2. TIPOLOGIE DEI PROBLEMI
2.1
PROBLEMI BEN FORMULATI
Nel seguito considereremo solo problemi che sono definibili in modo preciso,
univoco e non ambiguo, e che si prestano, quindi, ad essere risolti in modo
automatico. Con questa ipotesi si potrà ambientare i problemi in appositi
contesti formali, all’interno dei quali la soluzione può essere descritta in modo
rigoroso.
Ai fini della sua risolvibilità un problema deve soddisfare ad ulteriori vincoli espressi dalla seguente definizione. Si afferma che un problema è ben
formulato o formalmente definito se soddisfa alle seguenti specifiche:
1. Il problema è formulato in una forma comprensibile dal solutore
2. I dati sui quali si deve cercare la soluzione sono completi e coerenti
3. È univoco il criterio di verifica della soluzione
Con queste premesse abbiamo definito una prima classificazione dei problemi, come descritto nella figura 2.1.
'
$
problemi
problemi risolvibili in modo automatico
&
%
Figura 2.1: Una classificazione dei problemi.
Esempio 2. Consideriamo il seguente problema:
Determinare il barimetro di un poliangolo.
Questo è un chiaro esempio di problema mal formulato poichè non viene rispettata la condizione a) in quanto nella formulazione del problema compaiono
dei termini che non hanno alcun significato.
Esempio 3. Consideriamo il seguente problema:
Trovare una soluzione al seguente gioco:
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2.2. ISTANZE E CLASSI DI PROBLEMI
1
1
0
3
1
19
2
2
Questo è un altro esempio di problema mal formulato poichè non viene rispettata la condizione a) in quanto non è precisato qual è il gioco, quali sono
le possibili mosse e qual è il criterio per determinare se una data posizione
finale è vincente. Sono invece ben formulati gli usuali problemi di scacchi
che si trovano sui giornali di enigmistica, in quanto le regole del gioco sono
ben precisate ed è univoco il criterio per valutare se una data posizione finale
sia vincente, in base alle regole del gioco degli scacchi, anche se tali ipotesi
sono assunte implicitamente e non direttamente riportate nella formulazione
del problema.
Esempio 4. Un altro problema mal formulato è il seguente:
Determinare l’area di un trapezio rettangolo sapendo che le
basi maggiore e minore misurano rispettivamente 18 e 12
unità.
In questo caso non è soddisfatta la condizione b).
Esempio 5. Consideriamo un altro caso di problema mal formulato:
Calcolare il valore dell’espressione 1 + 1.
Nonostante la banalità del quesito, si può osservare che si possono accettare
più risposte a seconda del contesto che si considera: 0 se il quesito è formulato
nel contesto dell’addizione fra numeri interi modulo 2; 1 in un contesto di
algebra booleana; 2 nell’usuale contesto dei numeri naturali. In questo caso
viene a cadere la condizione c); infatti non sapremo in alcun caso verificare se
la risposta è corretta o no.
2.2
ISTANZE E CLASSI DI PROBLEMI
In generale, i dati che compaiono nella formulazione dei problemi sono dei
valori generici, denotati solitamente mediante dei nomi. In questo modo si
evidenzia una classe di problemi i cui elementi (problemi), detti istanze
di problemi, si ottengono per particolari valori assunti dai dati.
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20
CAPITOLO 2. TIPOLOGIE DEI PROBLEMI
Esempio 6. Consideriamo il problema di determinare l’area di un rettangolo,
note le misure dei suoi lati. In questo caso rimane individuata la seguente
classe di problemi:
Determinare l’area di un rettangolo di lati a e b.
A questa classe appartiene, ad esempio, la seguente istanza di problema:
Determinare l’area di un rettangolo di lati 3 cm e 4 cm.
Nel seguito, quando si parla di problema si intenderà solitamente una classe
di problemi, che risulta caratterizzata da dei parametri che costituiscono i dati.
Una classe di problemi è strettamente associata alla classe delle entità
coinvolte nel problema. Pertanto, come si vedrà nelle prossime pagine, le
considerazioni relative ai problemi si possono trasporre e formulare in termini delle entità coinvolte nei problemi stessi. Ad esempio, generalizzare una
classe di problemi sarà spesso equivalente a generalizzare le classi delle entità
coinvolte nel problema.
Le classi di problemi ammettono un procedimento risolutivo generale indipendente dalle particolari istanziazioni dei dati. Ad esempio, un metodo
di soluzione per la ricerca del massimo comune divisore di due numeri naturali m e n deve essere valido per qualsiasi coppia di valori assunti da m e n.
Risulta dunque evidente che un metodo risolutivo di un problema deve essere
applicabile ad un’intera classe di problemi le cui istanze differiscono soltanto
per i particolari valori assunti dai dati iniziali. Con queste premesse, quando
nel seguito si userà il termine soluzione di un problema ci si riferirà ad un
procedimento risolutivo generale, valido per un’intera classe di problemi alla
quale appartiene il problema considerato.
Lo schema attraverso il quale si ricava il risultato di una particolare istanza
di problema si sviluppa attraverso le seguenti fasi successive:
1. considerazione dell’istanza P del problema
2. individuazione di una classe C alla quale appartiene il problema P
3. ricerca e descrizione di un procedimento risolutivo A per la classe C
4. applicazione del procedimento risolutivo A all’istanza P
Graficamente, queste fasi possono essere evidenziate mediante lo schema riportato in figura 2.2.
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21
2.3. GENERALIZZAZIONE DEI PROBLEMI
generalizzazione
del problema
istanza P di problema
-
classe C di problemi
soluzione della
classe C
di problemi
soluzione istanza P
particolarizzazione del
procedimento risolutivo
?
procedimento per C
Figura 2.2: Schema delle fasi per la soluzione di un’istanza di problema.
2.3
GENERALIZZAZIONE DEI PROBLEMI
Come è stato sopra suggerito, quando ci si imbatte in un problema particolare
(ad esempio, trovare le radici dell’equazione x2 +3x−5 = 0) prima di impostare
la soluzione è conveniente, per fare un buon investimento dello sforzo che ci
si appresta a compiere, trovare una opportuna generalizzazione del problema.
La generalizzazione di un problema specifico individua una classe di problemi
della quale il problema originale costituisce una particolare istanza. Il punto
centrale del procedimento di generalizzazione riguarda le seguenti questioni:
• Come generalizzare?
• Fino a che punto generalizzare?
Un po’ di buon senso (all’inizio) ed un po’ di esperienza (quando sarà stata
maturata) saranno sufficienti come guida per individuare una buona generalizzazione.
Graficamente, il procedimento di generalizzazione di un’istanza di problema e delle successive generalizzazioni può essere descritto come in figura 2.3.
Esempio 7. Consideriamo la seguente istanza di problema:
Determinare la distanza fra i due punti del piano cartesiano
P (1, 2), Q(4, 3).
Una prima generalizzazione consiste nel prendere dei valori generici per i dati
delle coordinate dei punti:
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22
CAPITOLO 2. TIPOLOGIE DEI PROBLEMI
'
● istanza
-
classe C1
●
classe C2
classe C1
●
$
&
%
Figura 2.3: Procedimento di generalizzazione di un’istanza di problema.
Determinare la distanza fra i due punti del piano cartesiano
P (x1 , y1 ), Q(x2 , y2 ).
Per individuare delle successive generalizzazioni è sufficiente considerare i
termini del problema che si prestano ad essere generalizzati:
2 punti Ð→ n punti
piano Ð→ spazio n-dimensionale
distanza Ð→ distanza d generica
Adottando queste generalizzazioni si ottiene la seguente formulazione molto
generale del problema:
Determinare il diametro della più piccola sfera k-dimensionale
contenente un dato insieme {a1 , ..., an } di n elementi di uno
spazio metrico (E, d).
Per il momento questa formulazione potrà risultare alquanto oscura, ma siamo sicuri che, una volta risolta questa classe di problemi, avremo trovato
una soluzione per moltissime sottoclassi, appartenenti magari a contesti molto
disparati.
2.4
RISOLVIBILITÀ DEI PROBLEMI
Un procedimento risolutivo di un problema può essere efficacemente raffigurato
come un cammino che congiunge i dati iniziali ai risultati finali. È stato
osservato precedentemente che per alcuni problemi non si conosce oppure non
esiste alcun cammino risolutivo. A seconda che questo cammino esista o no,
si possono classificare i corrispondenti problemi come segue:
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23
2.4. RISOLVIBILITÀ DEI PROBLEMI
1. problemi risolvibili: sono quei problemi che ammettono un procedimento risolutivo. Questi problemi possono essere descritti dal seguente
schema:
dati
-
risultati
Appartengono a questa classe i seguenti problemi:
• problema del commesso viaggiatore
• problema dei 4 colori
• problema della torre di Hanoi
• risoluzione delle equazioni polinomiali ad una incognita di grado
n≤4
2. problemi risolvibili? : sono quei problemi per i quali non è noto se
esista un procedimento risolutivo. Possono essere descritti dal seguente
schema:
dati
?
-
risultati
Un esempio di problema di questa classe è costituito dalla congettura
che esistano infinite coppie di numeri primi gemelli.
3. problemi irrisolvibili: sono quei problemi per i quali è noto che non esiste alcun procedimento risolutivo. Possono essere descritti dal seguente
schema:
dati
//
-
risultati
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24
CAPITOLO 2. TIPOLOGIE DEI PROBLEMI
Esempi di questo tipo di problemi sono i seguenti:
• risoluzione delle equazioni polinomiali ad una incognita di grado
n>4
• decimo problema di Hilbert
2.5
FORMA DEI PROBLEMI
Molto spesso i problemi rappresentano delle analogie con riferimento alle informazioni iniziali che si dispongono ed all’obiettivo finale che si intende raggiungere. Come si vedrà più avanti, queste tre classi di problemi verranno risolte
mediante delle corrispondenti classi di algoritmi (funzioni, predicati, procedure). In base a questo criterio i problemi che più frequentemente si incontrano
nella programmazione possono essere partizionati nelle seguenti classi:
1. problemi di tipo computazionale: i problemi di questa classe si formulano come segue:
A partire da dei dati iniziali noti,
mediante dei calcoli,
determinare dei risultati.
dati
calcolo
-
risultati
Appartengono a questa classe i seguenti problemi:
• risolvere un’equazione di secondo grado
• determinare la lunghezza della diagonale di un parallelepipedo
2. problemi di tipo decisionale: i problemi di questa classe si formulano
come segue:
Fissate delle ipotesi iniziali,
attraverso delle deduzioni logiche,
stabilire se una data proposizione è vera.
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25
2.6. FORMALIZZAZIONE DEI PROBLEMI
dati
decisione -
vero/falso
Appartengono a questa classe i seguenti problemi:
• decidere se un dato elemento è presente in un dato insieme di
elementi
• stabilire se un dato numero naturale è primo
3. problemi di tipo esecutivo: i problemi di questa classe si formulano
come segue:
Fissata una situazione iniziale di partenza,
eseguire una sequenza di trasformazioni
in modo da ottenere una situazione finale obiettivo.
situazione iniziale
trasformazione
- situazione finale
Appartengono a questa classe i seguenti problemi:
• problema della torre di Hanoi
• problema del traghettamento del lupo, capra e cavoli
2.6
FORMALIZZAZIONE DEI PROBLEMI
Il processo di formalizzazione o modellizzazione di un problema consiste nel
tradurre un problema reale in una sua formulazione alternativa, alquanto semplificata ma equivalente per quanto riguarda la tematica di interesse, in modo
tale che esso possa essere risolto automaticamente. Applicando l’inverso di
questa trasformazione si tradurranno poi immediatamente i risultati nell’ambito originale del problema. Questi artifici sono spesso utilizzati in Matematica
(risoluzione delle equazioni differenziali mediante le trasformate di Laplace,
analisi di un segnale in frequenza, calcoli nell’ambito della geometria analitica
ed in molte altre situazioni). Vengono qui di seguito presentati degli esempi
che illustrano questo artificio.
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26
CAPITOLO 2. TIPOLOGIE DEI PROBLEMI
Esempio 8. Consideriamo il seguente problema:
Si ha un bersaglio delimitato da 3 cerchi concentrici. Il cerchio più interno vale 19 punti, mentre le due corone esterne
valgono rispettivamente 13 e 7 punti. Il raggio del cerchio interno e lo spessore delle corone sono di 5 cm. Decidere se, ed
eventualmente come, è possibile totalizzare 100 punti, in più
tiri.
Filtrando i dettagli superflui, tale problema può essere formalizzato come
segue:
Risolvere l’equazione diofantea 19x + 13y + 7z = 100.
2.7
IL PROBLEMA DELL’ORDINAMENTO
L’ordinamento di elementi (numeri o altre tipologie di dati) costituisce una
delle forme di elaborazione più frequenti: si stima che oltre il 25 per cento del
tempo di elaborazione impiegato dai computer sia impegnato per ordinare. Il
problema dell’ordinamento può essere formulato come segue:
Dato un insieme di elementi sui quali sia definito un qualche criterio d’ordine, disporli in sequenza, uno dopo l’altro,
in modo che ogni elemento preceda gli elementi uguali o più
grandi.
Esempio 9. Il giocatore di carte affronta un problema di ordinamento quando
deve disporre inizialmente le carte che gli sono state distribuite, al fine di
essere agevolato nelle successive fasi del gioco.
Esempio 10. Ordinare la seguente sequenza di numeri
27
32
15
11
54
78
15
23
significa operare una permutazione degli elementi in modo da ottenere la
seguente sequenza:
11
15
15
23
27
32
54
78
Esistono moltissimi procedimenti adatti per ordinare una sequenza di elementi; questi procedimenti costituiscono uno dei capitoli più importanti della
teoria dell’elaborazione delle informazioni.
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2.8. I PROBLEMI DI RICERCA
2.8
27
I PROBLEMI DI RICERCA
Moltissimi problemi rientrano nella categoria dei problemi di ricerca che,
in generale, si possono formulare come segue:
Dato un insieme A ed una proprietà P , determinare gli elementi x ∈ A che soddisfano alla proprietà P , ossia gli elementi
x ∈ A per i quali P (x).
Esempio 11. Con la formulazione generale data sopra, i seguenti due problemi
rientrano nella categoria dei problemi di ricerca:
P1 : Determinare le radici di un’equazione ax2 + bx + c = 0.
P2 : Determinare la scomposizione in fattori primi di un dato numero naturale
n.
Nella ricerca del risultato di un problema si possono attivare diversi gradi
di affinamento della ricerca all’interno di un dato spazio di ricerca:
• decidere se il risultato esiste
• determinare un risultato
• determinare tutti i risultati
• determinare il risultato migliore
• determinare un buon risultato
Qui i temini migliore e buon vanno adeguatamente precisati, a seconda del
contesto nel quale si colloca il particolare problema di ricerca che si considera.
Esempio 12. Consideriamo il seguente problema:
Determinare un numero positivo x in modo che si abbia x2 = 2.
√
Il risultato è x = 2 se si ammette che il numero x possa essere un numero
reale, mentre il problema non ammette soluzione se si impone che il numero x
debba essere razionale. In tali casi nella definizione del problema deve essere
precisato lo spazio di ricerca, ossia l’insieme in cui ricercare gli eventuali possibili risultati del problema. Lo spazio di ricerca è un parametro fondamentale
per caratterizzare il problema. Nella maggior parte dei casi lo spazio di ricerca
risulta definito implicitamente dal contesto in cui è formulato il problema.
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28
CAPITOLO 2. TIPOLOGIE DEI PROBLEMI
2.9
I PROBLEMI DI DECISIONE
Una vasta classe di problemi rientra nell’insieme dei problemi di decisione
che hanno il caratteristico incipit Decidere se . . . ed hanno come risultato vero
o falso. Questi problemi spaziano dall’ambito della logica, alla matematica
ed includono molte questioni tipiche dell’informatica.
Esempio 13. I seguenti esempi sono tratti dalla matematica:
P1 : Decidere se un dato numero naturale n è primo.
P2 : Decidere se esistono infinite coppie di numeri primi gemelli, cioè numeri
primi che differiscono di 2; ad esempio 11 e 13 costituiscono una coppia
di numeri primi gemelli. Si ipotizza che esistano infinite coppie siffatte,
ma ancora non è stata fornita alcuna dimostrazione definitiva.
P3 : Decidere se esistono numeri naturali x, y, z, n, con n > 2, tali che xn +y n =
z n È questo il famoso Ultimo teorema di Fermat che, dopo molti sforzi,
è stato risolto solamente nel 1994, ad opera di Andrew Wiles il quale ha
dimostrato che non esistono numeri soddisfacenti al teorema.
P4 : Decidere se una data equazione algebrica polinomiale a coefficienti interi
ammette soluzioni intere (si tratta del Decimo problema di Hilbert).
2.10
ESERCIZI
1. Spiegare se i problemi risolvibili? possono essere classificati con il termine irrisolvibili?.
2. Fissato un dato problema P, si considerino i seguenti due problemi:
P1 : Il problema P ammette soluzione ?
P2 : Risolvere il problema P .
Classificare i problemi P1 e P2 in base alla loro forma. Stabilire, in
funzione della risolvibilità di P , la risolvibilità dei problemi P1 e P2 .
3. Descrivere una classe di problemi che includa le seguenti tre classi di
problemi:
(a) Numerare per n da p a q.
(b) Determinare tutti i numeri compresi fra due dati valori.
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2.10. ESERCIZI
29
(c) Determinare tutti i multipli di un dato valore, compresi fra due
numeri assegnati.
4. Si considerino le seguenti due istanze di problemi:
P1 : Valutare log2 9871
P2 : Valutare log8 24364
Definire una classe C di problemi alla quale appartengano le due istanze
P1 e P2 riportate sopra.
5. Individuare i dati ed i risultati della seguente classe di problemi:
Convertire un numero naturale fra due generiche basi.
Si faccia attenzione al significato di numero e rappresentazione di un
numero.
6. Individuare i dati ed i risultati della seguente classe di problemi:
Determinare la somma dei reciproci dei primi n numeri naturali.
7. Individuare i dati ed i risultati delle seguenti classi di problemi nel
contesto della geometria del piano cartesiano:
P1 : Determinare la circonferenza circoscritta ad un triangolo.
P2 : Determinare la retta passante per due punti.
P3 : Determinare il punto di intersezione fra due rette.
8. Determinare per quali valori di n il seguente problema ammette un unico
risultato:
Fissati sul piano un insieme di n punti distinti A1 , . . . , An , disegnare un poligono di n lati non intrecciati, aventi A1 , . . . , An
come vertici.
9. Descrivere un problema che sia modellizzabile mediante un’equazione
diofantea.
10. Definire delle ipotesi in modo che il seguente problema risulti ben formulato:
Ordinare una sequenza di triangoli.
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30
CAPITOLO 2. TIPOLOGIE DEI PROBLEMI
11. Spiegare perché, senza assumere tacite ipotesi, il seguente problema è
mal formulato:
Risolvere l’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0.
12. Spiegare perché il seguente problema è mal formulato:
Determinare la somma delle cifre di un numero naturale n.
Spiegare perché, ad essere estremamente pignoli, il seguente problema è
ancora mal formulato:
Determinare la somma delle cifre di un numero naturale n
considerato in base 10.
13. Spiegare perché il seguente problema è mal formulato:
Determinare i più piccoli dieci numeri naturali che si leggono
indifferentemente da sinistra a destra e da destra a sinistra.
Riformulare il problema in modo da renderlo ben formulato.
14. Spiegare perchè il seguente problema è mal formulato:
Dato un triangolo acutangolo avente i lati di misure a, b, c,
determinare il più piccolo rettangolo che lo ricopre.
Riformulare il problema in modo da renderlo ben formulato.
15. Stabilire se il seguente problema è ben formulato:
Determinare il numero delle cifre di un numero naturale.
Nel caso sia mal formulato, riformularlo in modo corretto.
16. Stabilire se il seguente problema è ben formulato:
Determinare l’area ed il perimetro di un rettangolo di cui sono
note le misure di un lato e della diagonale.
Nel caso sia mal formulato, riformularlo in modo corretto.
17. Stabilire se il seguente problema è ben formulato:
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2.10. ESERCIZI
31
Date le misure dei lati di un quadrilatero, decidere se il
quadrilatero è convesso.
18. Stabilire se il seguente problema è ben formulato:
Date le misure dei 6 segmenti congiungenti in tutti i modi possibili i vertici di un quadrilatero, determinare il perimetro del
quadrilatero.
19. Stabilire se il seguente problema è ben formulato:
Fissati sul piano 4 punti distinti e non allineati, disegnare il
quadrilatero non intrecciato avente per vertici i 4 prefissati punti.
20. Determinare per quali valori di n il seguente problema è ben formulato:
Determinare l’area di un poligono di n lati conoscendone la
misura dei lati, in ordine in base alla consecutività dei lati.
21. È assegnato un insieme A = {P1 , P2 , ..., Pn } di n punti del piano. Stabilire se i seguenti due problemi sono ben formulati; in caso affermativo
dire in cosa consistono i dati, i risultati ed il criterio di verifica.
(a) Determinare l’area del poligono di vertici A.
(b) Determinare l’involucro convesso dell’insieme dei punti A, ossia il
più piccolo poligono convesso contenente i punti dati.
22. Generalizzare la seguente istanza di problema:
Risolvere, nell’insieme dei numeri naturali, l’equazione 2x−8 = 0.
Suggerimento: si possono ottenere delle generalizzazioni sia ampliando l’insieme dove si cercano le soluzioni, sia generalizzando la forma
dell’equazione.
23. Generalizzare la seguente istanza di problema:
Decidere se ci sono domeniche comprese nel periodo dal 30
ottobre 2013 al 2 novembre 2013.
Classificare, in base alla forma ed alla risolvibilità, la classe di problemi
ottenuta nella precedente generalizzazione.
24. Generalizzare le seguenti istanze di problemi:
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32
CAPITOLO 2. TIPOLOGIE DEI PROBLEMI
(a) Determinare l’area di un quadrato di lato 2 cm.
(b) Trovare il lato del triangolo equilatero inscritto in un cerchio di
raggio 8 cm.
(c) Ordinare i tre numeri 5, 4, 6.
(d) Nel piano cartesiano, determinare la distanza fra i due punti P =
(1, 2), Q = (3, 4).
(e) Disegnare un quadrato rosso di lato 1 cm.
(f) Determinare la distanza del punto di coordinate (1, 2) dall’origine
degli assi cartesiani.
Per ciascuna classe di problemi che si è individuata, si precisino quali
sono i dati e quali i risultati.
25. Si consideri il seguente problema:
Dire se il punto del piano cartesiano avente per coordinate le
radici dell’equazione 6x2 − 5x + 1 = 0 è vicino all’origine degli
assi.
(a) Motivando le affermazioni, dire se il problema proposto è ben formulato.
(b) Nel caso il problema sia mal formulato, riformularlo adeguatamente
in modo che risulti ben formulato.
(c) Con riferimento al problema ben formulato, specificare in cosa consistono i dati ed i risultati.
(d) Classificare il problema in base alla sua forma (computazionale,
decisionale, trasformazionale).
(e) Generalizzare il problema, proponendo più generalizzazioni successive.
26. I seguenti tre problemi sono apparentemente simili ma, ad una attenta
analisi, si capisce che sono di differenti complessità:
P1 : Determinare un numero primo di k cifre decimali.
P2 : Decidere se un dato numero naturale n è primo.
P3 : Scomporre in fattori primi un dato numero naturale n.
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2.10. ESERCIZI
33
Assumendo in modo intuitivo il concetto di complessità di un problema, intesa come una misura del tempo di esecuzione della miglior soluzione del problema, discutere questi problemi in riferimento alla loro
complessità, ordinandoli dal più semplice al più difficile.
27. In questo capitolo i problemi di ordinamento e di ricerca sono stati presentati separatamente, senza evidenziare particolari collegamenti; le due
classi di problemi sono però fortemente connesse. Discutere ed evidenziare, avvalendosi anche di opportuni esempi, di alcuni nessi logici ed
operativi fra queste due classi di problemi.
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34
CAPITOLO 2. TIPOLOGIE DEI PROBLEMI
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Capitolo 3
Risolvere
Risolvere problemi è il compito specifico dell’intelligenza e l’intelligenza è la dote specifica dell’uomo. La
capacità di aggirare un ostacolo, di prendere una via
indiretta quando non si presenta nessuna via diretta,
innalza l’animale intelligente al di sopra di quello ottuso, eleva l’uomo enormemente al di sopra degli animali
più intelligenti e gli uomini di talento al di sopra dei
loro simili.
G. Polya, La scoperta matematica
Non domandarci la formula che il mondo possa aprirti
sí qualche storta sillaba e secca come un ramo.
E. Montale, dagli Ossi di seppia
In questo capitolo vengono presentate alcune metodologie per risolvere
i problemi mediante degli algoritmi. Vengono forniti dei suggerimenti alla
seguente domanda: Come si sviluppa una soluzione algoritmica di un dato
problema? Verranno analizzate delle situazioni problemiche per la soluzione
delle quali non è sufficiente una semplice applicazione di varie conoscenze e
regole, ma si richiede di elaborare delle strategie risolutive in base alle conoscenze acquisite, all’esperienza accumulata ed ad una buona dose d’intuito e
fantasia. Nel seguito verrà utilizzato il termine risolvere per indicare l’attività
della ricerca di una soluzione.
35
36
3.1
CAPITOLO 3. RISOLVERE
LA METODOLOGIA TOP-DOWN
La maggior parte dei problemi che si incontrano presenta notevoli difficoltà
ed una prima analisi non consente di individuare subito un percorso risolutivo. Una valida strategia risolutiva che si applica alla soluzione di generici
problemi è nota con il nome di metodologia top-down o dei raffinamenti
successivi; consiste nella risoluzione dei problemi affrontandoli, dall’alto verso il basso, scomponendoli in sottoproblemi più semplici che vengono via-via
risolti per approfondimenti successivi. Tale approccio risulta particolarmente
indicato quando i problemi non sono di immediata soluzione.
La metodologia top-down per la soluzione di un problema (classe di problemi) P può essere descritta come segue. Indicheremo con α la struttura di
una scomposizione in sottoproblemi, ossia un algoritmo in cui compaiono delle istruzioni non direttamente comprensibili dall’esecutore. Queste istruzioni
costituiranno i sottoproblemi da raffinare e dettagliare in fasi successive. Con
Q(α) = {P1 , ..., Pn } indicheremo l’insieme dei sottoproblemi individuati dall’algoritmo α e non ancora espressi nel linguaggio dell’esecutore che si considera.
Con S(Pi ) indicheremo la soluzione (algoritmo) di un generico problema Pi .
Adottando queste notazioni, la soluzione di un problema mediante la metodologia top-down può essere espressa come una sorta di meta-algoritmo rivolto
ad un solutore e può essere formulata come descritto nell’algoritmo 1.
Algoritmo 1 - Meta-algoritmo di risoluzione di problemi
Input: problema P da risolvere
Output: procedimento per la soluzione di P
1: if la soluzione del problema P è direttamente esprimibile then
2:
esprimi la soluzione S del problema P
3: else
4:
scomponi il problema P secondo una struttura α
5:
risolvi i sottoproblemi Q(α) mediante la metodologia top-down
6:
ricomponi secondo la struttura α le soluzioni S(Pi )
7: end if
Nello sviluppo degli algoritmi mediante la metodologia top-down dobbiamo porci nella convinzione di poter disporre di un esecutore sufficientemente potente ad eseguire delle azioni complesse (e sperare di poter esprimere
tali azioni in termini delle azioni elementari effettivamente eseguibili da un
esecutore reale).
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3.1. LA METODOLOGIA TOP-DOWN
37
I vantaggi più evidenti indotti dall’applicazione della metodologia topdown per la soluzione dei problemi possono essere riassunti nei seguenti punti:
• Un problema viene scomposto in sottoproblemi più piccoli e quindi più
facilmente risolvibili
• In ogni istante si ha una visione complessiva dell’intero problema e della
struttura dell’algoritmo risolutivo
• Aumenta la leggibilità dell’algoritmo
• La soluzione di un problema può essere affidata a più persone diverse
• La soluzione può essere ripresa in tempi successivi e sviluppata a blocchi
• Se nella scomposizione vengono evidenziate delle parti di problema simili
fra loro, esse possono essere risolte da uno stesso algoritmo
• Le varie fasi di sviluppo dell’algoritmo fungono da documentazione per
le successive fasi di maggior dettaglio
• Viene semplificata la localizzazione e la correzione di eventuali errori
Osservazione. Sopra si è preferito usare il termine metodologia anziché
il termine più deterministico metodo in quanto quest’ultimo dà l’idea che si
possa cercare la soluzione a colpo sicuro. La ricerca di una soluzione richiede,
invece, dei tentativi, delle prove di avvicinamento, dei ritorni sui propri passi
e pertanto il termine metodologia meglio si adatta ad esprimere questa ricerca
della soluzione che si realizza circuendo il problema fino a vincerlo. Usando
un linguaggio figurato, si tratta di catturare una preda che tenta di fuggire,
piuttosto che un tiro al bersaglio. In altri termini potremmo esprimerci affermando che non esiste un algoritmo (generale) per sviluppare gli algoritmi ma
un algoritmo viene esplicitato seguendo una sorta di fiuto felino che porta alla
preda. E neanche il fiuto felino può essere sufficiente a raggiungere la meta
ma deve essere unito ad una buona dose d’inventiva, guidato da intelligenza
e sorretto da costanza. Il problema di base consiste nel riuscire ad individuare una buona scomposizione. A questo proposito risultano appropriate le
seguenti parole di Hofstadter.
Non vi è alcuna garanzia che il metodo della riduzione a sottoproblemi
funzionerà. Vi sono molte situazioni nelle quali fallisce. Si consideri,
per esempio, questo problema. Sei un cane e un amico uomo ti ha
appena gettato il tuo osso preferito in un altro giardino al di là di una
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38
CAPITOLO 3. RISOLVERE
rete metallica. Tu vedi l’osso attraverso la rete: eccolo là sull’erba, che
sembra dire “mangiami, mangiami!”. Lungo la rete, a circa venti metri
dall’osso, c’è un cancello aperto. Che cosa fai? Alcuni cani corrono
semplicemente fino alla rete e restano lí ad abbaiare. Altri si lanciano
verso il cancello aperto e poi tornano indietro verso l’osso ambito. Si
può dire che entrambi i cani hanno applicato la tecnica della riduzione
a sottoproblemi. Essi, però, rappresentano il problema nella loro mente
in modi diversi, e in ciò sta tutta la differenza. Il cane che abbaia vede
come sottoproblemi
1. correre alla rete,
2. attraversarla,
3. correre all’osso;
ma quel secondo sottoproblema è un osso duro: da cui l’abbaiare. L’altro
cane vede come sottoproblemi
1. raggiungere il cancello;
2. attraversare il cancello;
3. correre verso l’osso.
Si noti come tutto dipende dal modo in cui si rappresenta lo spazio dei
problemi: cioè, da cosa si percepisce come riduzione del problema (movimento in avanti verso l’obiettivo globale) e che cosa si percepisce come
ingrandimento del problema (movimento all’indietro che allontana dall’obiettivo). Alcuni cani cercano di correre direttamente verso l’osso e,
quando incontrano la rete, qualcosa scatta nel loro cervello; cambiano
subito direzione e corrono verso il cancello. Questi cani si rendono conto che ciò che a prima vista sembrava dover aumentare la distanza tra
la situazione iniziale e quella desiderata (cioè, allontanarsi dall’osso per
correre verso il cancello aperto) in realtà l’avrebbe diminuita. Inizialmente confondono la distanza fisica con la distanza nel problema. Ogni
movimento che allontani dall’osso sembra per definizione una Cosa Cattiva. Ma poi, in qualche modo, si rendono conto che possono spostare la
percezione di ciò che li porterà più vicini all’osso. In uno spazio astratto opportunamente scelto, il muoversi verso il cancello è una traiettoria
che porta il cane più vicino all’osso! In ogni istante, il cane si sta avvicinando, nel nuovo senso, all’osso. Quindi l’utilità della riduzione a
sottoproblemi dipende da come ci si rappresenta mentalmente il problema stesso. Ciò che in uno spazio sembra un indietreggiamento può in
un altro spazio apparire un rivoluzionario passo in avanti.
[Tratto da: D. R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach]
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3.2. LA METODOLOGIA BOTTOM-UP
3.2
39
LA METODOLOGIA BOTTOM-UP
Diversamente da quanto avviene per la metodologia top-down, l’approccio ad
un problema mediante la metodologia bottom up consiste nell’iniziare dal
livello dei problemi più elementari risalendo verso il livello del problema da
risolvere. Si cerca di individuare e risolvere subito dei problemi che serviranno
per soluzione del problema generale la quale viene ricavata ricomponendo le
soluzioni dei problemi elementari già risolti.
La metodologia bottom-up prevede un approccio intellettualmente diverso
dalla metodologia top-down in quanto si risolvono dapprima i problemi elementari preparando i blocchi risolutivi che, assemblati, forniranno la soluzione
del problema complessivo. Ma anche qui si vede che la metodologia top-down
interviene (almeno in modo latente) in quanto ci si deve preventivamente porre
la domanda: Quali sono i problemi elementari da risolvere?
La metodologia top-down offre il vantaggio di delineare subito la scomposizione del problema; ciò può comportare lo svantaggio che delle scelte errate
ad un livello elevato compromettano tutte le fasi successive dei livelli più elementari. La metodologia bottom-up, invece, incentiva il riutilizzo di soluzioni
di (sotto)problemi già affrontati e risolti in precedenza.
Le metodologie top-down e bottom-up non devono essere considerate alternative: l’atteggiamento più proficuo consiste nel considerarle come degli
strumenti che si integrano. Ad esempio, quando si evidenzia un sottoproblema si deve generalizzarlo opportunamente affinché possa risultare utile per
situazioni future. È questo un atteggiamento bottom-up.
Esempio 14. Il seguente problema illustra in modo schematico un confronto
fra la metodologia top-down e la metodologia bottom-up nella soluzione di un
problema; nel caso specifico si tratta evidenziare una suddivisione in quadrati
di una data figura piana.
Nel primo caso (soluzione top-down) si può pensare di scomporre la figura in
quadrati usando delle forbici, nel secondo (soluzione bottom-up) si può pensare
di ricostruire la figura incollando assieme dei tasselli quadrati. Dalle due
soluzioni riportate nella figura 3.1 si può notare, pur dalla banalità dell’esempio
proposto, che le metodologie top-down e bottom-up possono portare a dei
diversi procedimenti risolutivi.
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40
CAPITOLO 3. RISOLVERE
A
AAU +
Q
Q
s
Q
@
@
R
@
@
@
R
@
@
R
@
@
R
@
Scomposizione top-down
Composizione bottom-up
Figura 3.1: Illustrazione della scomposizione top-down e della composizione
bottom-up.
3.3
EFFICACIA DELLE SCOMPOSIZIONI
L’aspetto più caratterizzante della metodologia top-down consiste nel trovare
delle buone ed utili scomposizioni dei problemi. Le maggiori difficoltà per la
soluzione di un problema risiedono, infatti, non tanto nell’esplicitazione della
soluzione dei singoli sottoproblemi elementari, quanto nella capacità di trovare
delle adeguate scomposizioni in sottoproblemi. La fase di scomposizione deve
tendere a ridurre (in un qualche senso) la complessità del problema originale. A questo proposito possono risultare significativi i problemi proposti nei
seguenti esempi.
Esempio 15. Trovare l’area della figura delimitata dalla circonferenza e dal
quadrato interno nota la lunghezza del lato del quadrato esterno:
'$
@
@
@
@
&%
Una prima scomposizione potrebbe essere:
area = 4 ⋅ segc
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
41
3.3. EFFICACIA DELLE SCOMPOSIZIONI
dove con segc si denota l’area di uno dei 4 segmenti circolari individuati dal cerchio e dal quadrato più interno che compaiono nella figura precedente. Evidentemente questa scomposizione è poco utile poichè il sottoproblema di trovare
l’area di un segmento circolare è della stessa difficoltà del problema originale.
Adottando questa soluzione saremmo come i cani che puntano dritti all’osso
... imbattendosi poi nella rete. Una scomposizione più efficace è la seguente:
'$
area =
@
@
−
@
&% @
in cui si evidenziano i seguenti due sottoproblemi:
P1 : Trovare l’area del cerchio di dato diametro
P2 : Trovare l’area del quadrato di data diagonale
Entrambi questi problemi sono di immediata soluzione. Il sottoproblema P2
merita un’ulteriore osservazione. Senza scomodare il teorema di Pitagora,
l’area di un quadrato di data diagonale può essere determinata seguendo il
percorso risolutivo suggerito dalle seguenti uguaglianze geometrico-algebriche
fondate su delle proprietà di composizione e scomposizione che valgono per
l’operazione di valutazione dell’area di figure piane.
@
@
@
@
@
@
=
=
4 @
=
2
@
@
@
=
1
2
In definitiva si trova che l’area cercata è uguale a
'$
area =
−
1
2
&%
A questo punto i dettagli dei calcoli risultano banali.
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
42
CAPITOLO 3. RISOLVERE
Esempio 16. Come altro esempio consideriamo il problema di determinare l’area della seguente figura composta da quattro petali ottenuti dall’intersezione
di quattro semicerchi, nota la lunghezza del diametro della circonferenza:
$
'
'$
&%
%
&
Senza ricorrere ad alcuna formula di aree, similmente all’esempio precedente,
notando che quattro semicerchi che si sovrappongono dannno luogo, come
intersezione, alla figura in questione, dall’equazione
#
4
#
=
+
"!
#
!
"
si ricava
#
"
#!
= 2
!
"
'$
−
&%
e quindi, numericamente, l’area cercata è uguale a
2πr2 − 4r2 = 2r2 (π − 2)
Osservazione. In alternativa a quanto è stato fatto nei due esempi sopra
proposti, si sarebbe potuto giungere al risultato numerico finale impostando
già all’inizio i calcoli numerici; è evidente che un tale approccio sarebbe stato più difficoltoso, richiedendo già all’inizio dei concetti (area) e conoscenze
(pi greco) non strettamente necessarie per l’impostazione del procedimento
risolutivo; anche in questo caso, comunque, i vari calcoli numerici sarebbero stati guidati da un’idea risolutiva di fondo, analoga a quella che è stata
presentata sopra. Adottando un approccio bottom-up si avrebbe potuto ottenere il risultato del secondo esempio osservando che l’area di questa figura
è il doppio di quella dell’esempio precedente, e da ciò si avrebbee conseguito
immediatamente il risultato.
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43
3.4. TRASFORMAZIONE DEI PROBLEMI
Osservazione. Dagli esempi sopra proposti e dalle considerazioni appena
riportate scaturisce la conclusione che, nello sviluppo della soluzione di un dato
problema, è preferibile lavorare il più a lungo possibile con un linguaggio e con
un formalismo adeguato al livello del problema trattato; solo in un secondo
momento il procedimento risolutivo va espresso dettagliatamente (ad esempio
in un linguaggio di programmazione), in una forma pronta da essere sottoposta
ad un esecutore.
3.4
TRASFORMAZIONE DEI PROBLEMI
Non sempre l’ambito nel quale sorgono e vengono formulati i problemi è il
contesto più idoneo nel quale ricercarne e descriverne la soluzione. Risulta
spesso comodo eseguire una trasformazione in un altro ambito nel quale risulta
più facile risolvere il problema. Si parla di passaggio dallo spazio dei problemi
allo spazio delle soluzioni.
Esempio 17. Consideriamo la seguente situazione:
È data una scacchiera 3 × 3 sulla quale sono disposti tre cavalli
bianchi e tre cavalli neri, posti ai lati opposti della scacchiera.
Il problema consiste nello scambiare fra loro i cavalli bianchi
con quelli neri, nel minor numero possibile di mosse, alternando
le mosse del bianco e del nero e rispettando le modalità di
movimento dei cavalli secondo le regole del gioco degli scacchi.
Operando direttamente sulla scacchiera ci si convince che il problema non è
di immediata soluzione. Il problema si sbroglia rappresentando la scacchiera
tramite un grafo; ogni nodo del grafo rappresenta una casella della scacchiera; due nodi del grafo vengono congiunti se si può passare da uno all’altro
mediante una mossa del cavallo. Convenendo di etichettare ciascuna casella
con un numero naturale da 1 a 9, si ottiene la rappresentazione e successiva
trasformazione, come indicato nella figura che segue.
1
2
3
4
5A
H 6
nHAHn
n
A
H
7
A AH
HH
A HA
A
9
8 A H
H
A
N N N
1
n
6
7
N
2
8
3
4
9
N
n
n
N
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44
CAPITOLO 3. RISOLVERE
3.5
ESERCIZI
1. Illustrare, mediante degli esempi, in cosa consistono le metodologia topdown e bottom-up per la soluzione dei problemi, evidenziando i vantaggi
che esse offrono.
2. Si consideri il caso di un bambino che gioca con i mattoncini Lego per
costruire una casetta. Si spieghi, in questo contesto, in cosa consistono
le metodologie top-down e bottom-up.
3. Molti sono stati i filosofi e gli informatici che hanno suggerito delle indicazioni per la soluzione dei problemi. A seguire sono riportati alcuni
stralci.
Dividete ciascun problema che state esaminando in tante parti quante potete e quante ve ne occorrono per risolverlo più facilmente.
[Cartesio, Discorso sul metodo]
Questa regola di Cartesio serve poco finché l’arte di dividere [...]
rimane inspiegata [...]. Dividendo il suo sottoproblema in parti non
convenienti, il risolutore di problemi inesperto può aumentare la sua
difficoltà.
[Leibnitz, Scritti filosofici]
Le tecniche di costruzione dei programmi si basano su un unico
principio: scomporre l’azione necessaria per risolvere un problema
in azioni più semplici, e suddividere (di conseguenza) il problema in
sottoproblemi.
[N.Wirth, Principi di programmazione strutturata]
Molte sono le strade per risolvere tantissimi problemi e molte sono
anche le soluzioni degli stessi. Questa situazione non rende più facile
il compito di risolvere i problemi: messi dinanzi a una molteplicità
di linee di attacco possibili, è normalmente difficile riuscire a capire
rapidamente quale percorso è probabilmente infruttuoso e quale può
essere produttivo.
[R.G.Dromey, How to solve it by computer]
Discutere le affermazioni sopra riportate, alla luce di quanto è stato
esposto in questo capitolo.
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45
3.5. ESERCIZI
4. Dimostrare l’equivalenza delle seguenti figure costituite da cerchi. Determinarne l’area in funzione della lunghezza l del lato del quadrato che
le racchiude.
'$
&%
5. Determinare l’area della parte più interna delle seguenti figure (sono in
ordine di difficoltà crescente). Si assuma l’ipotesi che l’esecutore sia
in grado di valutare l’area c(r) di un cerchio di dato raggio r e l’area
p(n, r) di un n-poligono regolare di dato raggio r del cerchio circoscritto.
Si richiede di esprimere l’area delle figure come combinazione lineare a
coefficienti razionali di aree di cerchi e di poligoni regolari, ossia mediante
un’espressione della forma α c(r) + β p(n, r) con α, β ∈ Q.
$
$
'
'
%
&
'
$
&
&
%
%
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
46
CAPITOLO 3. RISOLVERE
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
Capitolo 4
Algoritmi
Per troppo tempo, la gente ha tentato di formulare gli algoritmi in un linguaggio di programmazione, piuttosto che decomporre attentamente il problema in problemi più semplici
e verificare le loro relazioni prima di procedere ad una specificazion più dettagliata. [...]
L’esperienza ha dimostrato che [il secondo approccio] permette di sviluppare algoritmi con
molti meno errori che non il vecchio metodo
linea-per-linea.
S.Alagic, M.A.Arbib,
The design of well-structured and correct
programs
Nelle pagine seguenti sarà definita e precisata la nozione di procedimento risolutivo per la soluzione di un problema, in modo che sia adattabile ai
calcolatori. Sarà presentato il concetto di algoritmo che rappresenta un’evoluzione in senso dinamico del concetto di formula risolutiva della matematica.
I primi algoritmi furono ideati per risolvere problemi di tipo numerico: moltiplicazione e divisione fra due numeri, massimo comune divisore fra due numeri
naturali. Oggigiorno gli algoritmi vengono applicati per risolvere problemi di
varia natura ed operano sulle più svariate tipologie di entità.
47
48
4.1
CAPITOLO 4. ALGORITMI
FORMULE RISOLUTIVE
Consideriamo il seguente problema:
Determinare l’area di un trapezio note le misure B e b delle
basi e h dell’altezza.
Per questo problema il procedimento risolutivo è immediato e può essere
espresso per mezzo della semplice formula risolutiva
area = (B + b)h/2
Anche qui, comunque, la formula risolutiva maschera un procedimento risolutivo, a più basso livello, che può essere esplicitato, a parole, come descritto
nell’algoritmo 2.
Algoritmo 2 - Calcolo dell’area di un trapezio
1: considera i valori delle misure delle basi e dell’altezza
2: somma le misure delle due basi
3: moltiplica il risultato per l’altezza
4: dividi il risultato per 2
5: il risultato ottenuto rappresenta l’area del trapezio
È noto però che i procedimenti risolutivi di molti problemi, anche limitandosi ai problemi di tipo computazionale, non possono essere espressi mediante
un’unica formula risolutiva né mediante un’elencazione sequenziale di passi.
Servono, in generale, dei costrutti linguistici più articolati. In altre parole,
non esiste più una corrispondenza biunivoca fra le frasi della descrizione delle
istruzioni e l’esecuzione delle istruzioni. Per convincersi di quanto appena
affermato consideriamo il seguente altro problema:
Determinare il massimo comune divisore di due numeri naturali m ed n, ossia il più grande numero naturale che divide sia
m che n.
In questo esempio il risultato non è direttamente ricavabile mediante una singola formula risolutiva come nell’esempio precedente, ma necessita di un procedimento risolutivo più articolato detto algoritmo. Questo problema sarà
ripreso e risolto in più modi nel seguito.
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4.2. ALGORITMI
4.2
49
ALGORITMI
In modo informale, un algoritmo è la descrizione della soluzione di una classe di problemi, ossia la descrizione delle azioni, da eseguirsi da parte di un
dato esecutore, mediante le quali si risolve una classe di problemi; inoltre, un
algoritmo deve soddisfare alle seguenti condizioni:
definitezza : ogni azione deve essere deterministica ed univocamente interpretabile dall’esecutore.
eseguibilità : ogni azione deve essere effettivamente eseguibile da parte dell’esecutore.
finitezza : le istruzioni devono essere in numero finito, ciascuna azione deve
essere eseguita in un tempo finito ed ogni azione deve essere eseguita un
numero finito di volte.
generalità : la descrizione del procedimento risolutivo deve applicarsi a tutte
le istanze della classe dei problemi.
Queste condizioni differenziano quelli che genericamente sono dei procedimenti
risolutivi da quei procedimenti che possono essere classificati come algoritmi.
Ad esempio, una ricetta di cucina può essere classificata come un procedimento
risolutivo ma non come un algoritmo. Comunque, quando nel seguito si
utilizzerà il termine procedimento risolutivo, tale termine è da intendersi con
significato di algoritmo, secondo la definizione data sopra.
Questa definizione di algoritmo è una fra le tante possibili. Tutte le altre
che si possono trovare sui testi di informatica, anche se apparentemente diverse
ed espresse in modo più formale (ad esempio, macchina di Turing, sistema
canonico di Post, lambda-calcolo di Church) sono equivalenti a questa.
Nonostante nella definizione di algoritmo si sia posta la condizione che
impone che la descrizione delle istruzioni sia finita, non si esclude il caso che
le istruzioni possano essere eseguite un numero infinito di volte. Osserviamo
ancora che, con le condizioni di generalità e finitezza, si viene ad imporre che
un algoritmo termini per ogni istanziazione dei dati di ingresso. In molti
casi la condizione di finitezza risulta troppo forte e, per poter trattare una
classe più ampia di procedimenti risolutivi, risulta conveniente alleggerire la
condizione di finitezza relativamente al numero di volte che viene eseguita ogni
singola istruzione, ammettendo che delle istruzioni possano essere eseguite per
un numero infinito di volte. In tali condizioni un procedimento risolutivo è
detto metodo computazionale.
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50
CAPITOLO 4. ALGORITMI
'
$
procedimenti risolutivi
'
$
metodi computazionali
'
$
algoritmi
&
&
&
%
%
%
Figura 4.1: Algoritmi, metodi computazionali e procedimenti risolutivi.
La nozione di algoritmo è strettamente connessa con la nozione di esecutore: basti considerare i termini univocamente interpretabile e realmente eseguibile. È evidente quindi che un algoritmo presuppone che esista un esecutore
che lo interpreti ed esegua le istruzioni specificate. Più avanti, trattando
delle macchine di Turing, si vedrà che la nozione di algoritmo e di esecutore
coincidono.
Anche se la finalità di un algoritmo è quella di essere eseguito da un
calcolatore e necessita pertanto di essere tradotto in uno specifico linguaggio di programmazione, un algoritmo risulta indipendente dal linguaggio di
programmazione nel quale verrà tradotto.
4.3
ALGORITMI COME FUNZIONI
Risolvere un problema significa sostanzialmente definire una funzione che opera
sui dati iniziali di input e produce dei risultati finali di output. Ad esempio,
se il problema è
Trovare l’area di un trapezio date le misure B e b delle basi e
la misura h dell’altezza.
la soluzione può essere espressa mediante l’espressione funzionale
area = f (B, b, h) = (B + b) h/2
Anche quando l’algoritmo non sia esprimibile mediante una singola espressione
funzionale, esso può sempre comunque essere considerato come una funzione
che, operando sui dati di input, costruisce i risultati di output (in questo caso
è solo più laboriosa la descrizione e la valutazione della funzione). Adottando
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
51
4.3. ALGORITMI COME FUNZIONI
questa impostazione, ed usando la tradizionale convenzione di denotare con il
termine Input l’insieme dei dati e con il termine Output l’insieme dei risultati,
descriveremo un algoritmo mediante uno schema a blocchi come il seguente:
algoritmo
Input
-
Output
oppure
Input
-
algoritmo
- Output
Nel primo caso si vuole mettere in evidenza i dati ed i risultati, mentre nel
secondo viene sottolineato il ruolo dell’algoritmo cha stabilisce l’associazione
fra dati e risultati. In alternativa, un algoritmo può essere assimilato ad una
funzione che opera sui dati iniziali x di input e produce dei risultati finali y di
output:
a ∶ Input → Output
x ↦ y
L’interpretazione di un algoritmo come funzione porta a delle naturali definizioni e concetti. In particolare il codominio dell’algoritmo è detto spazio di
ricerca (dei risultati).
Con queste premesse risulta significativa la seguente
DEFINIZIONE 1. Due algoritmi A1 ed A2 si dicono funzionalmente
equivalenti se hanno lo stesso dominio e calcolano lo stesso risultato y per
ogni possibile istanziazione dei dati di input x, ossia
A1 (x) = A2 (x) = y per ogni x ∈ Input
Due algoritmi si dicono equivalenti se fanno compiere all’esecutore la stessa sequenza di azioni. È evidente che l’equivalenza implica l’equivalenza
funzionale.
Data la definizione di equivalenza fra algoritmi, acquista importanza pratica il seguente problema: Decidere se due dati algoritmi sono equivalenti. La
soluzione di questo problema dovrebbe essere un algoritmo che, dati due algoritmi come suoi dati di input, decida se questi algoritmi sono equivalenti. È
stato dimostrato che un tale algoritmo di decisione non esiste.
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52
CAPITOLO 4. ALGORITMI
4.4
SCHEMI FONDAMENTALI DI ALGORITMI
Gli algoritmi possono essere descritti mediante la combinazione di alcuni schemi di base. Fra questi noi utilizzeremo nel seguito le forme previste dalla
programmazione strutturata, descritte nel seguito. Sotto a ciascuna forma è
riportato il significato in termini discorsivi.
Algoritmo 3 - Struttura sequenziale
1: azione A1
2: azione A2
3: . . .
4: azione An
Esegui in sequenza le azioni A1 , A2 , . . . , An .
Algoritmo 4 - Struttura condizionale
1: if condizione C then
2:
azione A
3: else
4:
azione B
5: end if
Se la condizione C è vera esegui l’azione A altrimenti esegui l’azione B.
Algoritmo 5 - Struttura ciclica
1: while condizione C do
2:
azione A
3: end while
Finché la condizione C è vera continua ad eseguire l’azione A.
Gli schemi di algoritmi sopra descritti vengono considerati come fondamentali in quanto, combinandoli fra loro, si riesce ad esprimere qualsiasi
algoritmo.
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4.5. ESEMPI DI ALGORITMI
4.5
53
ESEMPI DI ALGORITMI
A seguire sono riportati alcuni esempi di algoritmi che illustrano gli schemi
fondamentali sopra descritti.
Esempio 18. Consideriamo il seguente problema:
Su un gocciolatoio sono disposti dei piatti piani e delle fondine
in modo da occupare tutte le posizioni. Si vuole sistemare
ordinatamente i piatti in modo da avere tutti i piatti piani
sulla sinistra e le fondine sulla destra. Si suppone di poter
eseguire uno scambio fra due piatti, prendendo un piatto alla
volta in ciascuna mano e senza la possibilità di appoggiare i
piatti fuori dal gocciolatoio.
Questo problema può essere risolto come descritto nell’algoritmo 6. L’idea
espressa in questo algoritmo viene sfruttata nell’algoritmo di ordinamento di
ordinamento quicksort che sarà descritto più avanti.
Algoritmo 6 - Algoritmo di ordinamento dei piatti
Input: fila dei piatti da ordinare
Output: fila di piatti ordinata
1: poni le mani alle estremità della fila dei piatti
2: while le mani non si sono incontrate do
3:
while la mano sinistra è su un piatto piano do
4:
avanza la mano verso destra
5:
end while
6:
while la mano destra è su un piatto fondo do
7:
avanza la mano verso sinistra
8:
end while
9:
if i piatti che hai in mano sono fuori ordine then
10:
scambiali
11:
end if
12:
sposta la mano sinistra di un posto a destra
13:
sposta la mano destra di un posto a sinistra
14: end while
15: la fila di piatti è ordinata
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54
CAPITOLO 4. ALGORITMI
Esempio 19. Consideriamo il seguente problema:
Un sacco contiene molte palline di al più due pesi diversi anche
se all’apparenza uguali. Il problema consiste nel determinare
quante sono le palline di ciascuno dei due pesi, utilizzando una
bilancia a due piatti. Descrivere un algoritmo per risolvere il
problema proposto. Si richiede di gestire anche il caso in cui
le palline siano tutte di uno stesso peso.
Questo problema può essere risolto come descritto nell’algoritmo 7.
Algoritmo 7 - Algoritmo di conteggio di sfere
Input: insieme S di sfere di due pesi
Output: numeri m e n delle sfere dei due tipi
1: if ci sono sfere nell’insieme then
2:
sposta una sfera dall’insieme S al piatto A
3:
porta m a 1
4: else
5:
porta m a 0
6: end if
7: porta n a 0
8: while ci sono sfere nell’insieme do
9:
sposta una sfera dall’insieme S al piatto B
10:
if piatto A = piatto B then
11:
incrementa m di 1
12:
else
13:
incrementa n di 1
14:
end if
15:
svuota piatto B
16: end while
17: return [m, n]
Esempio 20. Consideriamo il seguente problema:
Si ha un mucchio di sfere di acciaio uguali fra loro, dei pesi
di k unità ed una bilancia a due piatti. Determinare quanto
pesa una sfera (si supponga che il numero delle sfere e dei pesi
a disposizione sia sufficientemente grande e che il peso delle
sfere sia commensurabile con k).
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4.6. TAVOLA DI TRACCIA DI UN ALGORITMO
55
Indicando con A e B i due piatti della bilancia sui quali vengono posti, rispettivamente, i pesi e le sfere, un procedimento risolutivo può essere descritto come riportato nell’algoritmo 8; la terminazione di questo algoritmo è garantita
dall’ipotesi di commensurabilità fra k ed il peso delle sfere.
Algoritmo 8 - Algoritmo di pesatura di una sfera
Input: sfera da pesare
Output: peso della sfera
1: metti un peso sul piatto A
2: metti una sfera sul piatto B
3: while i piatti della bilancia non sono in equilibrio do
4:
if il piatto A è più alto (pesa meno) del piatto B then
5:
aggiungi un peso sul piatto A
6:
else
7:
aggiungi una sfera sul piatto B
8:
end if
9: end while
10: sia m il numero dei pesi sul piatto A
11: sia n il numero delle sfere sul piatto B
12: una sfera pesa m ∗ k/n unità
4.6
TAVOLA DI TRACCIA DI UN ALGORITMO
La tavola di traccia di un algoritmo applicato ad un’istanza di problema consiste nella descrizione nel tempo dei vari valori associati alle entità coinvolte
nell’algoritmo. La tavola di traccia è paragonabile ad una sequenza di fotogrammi che descrive l’avanzamento del processo corrispondente all’esecuzione
di un algoritmo su una specifica istanza di problema.
Esempio 21. Si dispone di due recipienti A e B, senza gradazione di misura,
aventi rispettivamente la capacità di 3 e 5 litri. Il problema consiste nel
mettere 4 litri nel recipiente B. Sono ammesse le seguenti operazioni:
• riempire un dato secchio x
• svuotare un dato secchio x
• travasare un secchio x in un secchio y fino a riempire y o svuotare x
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56
CAPITOLO 4. ALGORITMI
Per questa istanza di problema il procedimento può essere illustrato mediante
la tavola di traccia riportata nella figura 4.2.
operazione
riempi A
travasa A
riempi A
travasa A
svuota B
travasa A
riempi A
travasa A
in B
in B
in B
in B
secchio A
0
3
0
3
1
1
0
3
0
secchio B
0
0
3
3
5
0
1
1
4
Figura 4.2: Tavola di traccia per un problema di travasamento di recipenti.
4.7
LIVELLI DESCRITTIVI DEGLI ALGORITMI
Consideriamo il seguente problema:
Note le misure x e y dei due lati di un rettangolo, determinare
la misura d della diagonale.
Se l’esecutore è uno studente che abbia frequentato almeno le scuole medie
inferiori, un procedimento risolutivo potrebbe essere:
Determina d usando il teorema di Pitagora.
Se l’esecutore non conosce il teorema di Pitagora, un procedimento risolutivo,
espresso in modo algebrico, potrebbe essere:
√
d = x2 + y 2
Se l’esecutore non conosce nemmeno il simbolismo algebrico che compare nella formula precedente o non è in grado di eseguire le operazioni indicate,
il procedimento risolutivo dovrebbe essere descritto ad un livello ancora più
elementare.
Questo semplice esempio evidenzia che uno stesso algoritmo, pur riferendosi allo stesso problema, può essere espresso con notazioni ed a livelli descrittivi
diversi, in funzione delle capacità e delle conoscenze dell’esecutore al quale è
rivolto.
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4.8. NOTAZIONI DI ALTO E BASSO LIVELLO
4.8
57
NOTAZIONI DI ALTO E BASSO LIVELLO
Consideriamo il problema del calcolo del prodotto fra due numeri naturali.
L’usuale metodo imparato alle scuole elementari richiede che l’esecutore abbia
le seguenti abilità:
• applicare le tabelline della moltiplicazione dallo 0 al 9
• eseguire l’addizione fra numeri naturali di una sola cifra
Come si nota immediatamente, queste abilità sono molto più semplici ed elementari che la capacità di saper moltiplicare di colpo due numeri naturali
qualunque grandi.
Consideriamo ora un altro algoritmo per moltiplicare due numeri naturali. Tale procedimento è noto con il nome di algoritmo del contadino russo.
L’algoritmo consiste nel raddoppiare iterativamente un fattore mentre si dimezza l’altro, notando dove il valore del primo fattore è dispari. L’ultimo
passo dell’algoritmo consiste nell’addizionare i multipli del fattore che è stato
raddoppiato, in corrispondenza dei punti in cui il valore del primo fattore è
dispari (numeri sottolineati). Ad esempio, l’applicazione di questo algoritmo
per ottenere il prodotto fra i due numeri m = 22 e n = 13 è descritto dalla
tavola di traccia riportata nella figura 4.3.
m
22
11
5
2
1
0
m dispari ?
no
si
si
no
si
n
13
26
52
104
208
prodotto:
286
Figura 4.3: Traccia del calcolo 22 × 13 mediante l’algoritmo del contadino
russo.
Notiamo che le fasi operative per l’applicazione di questo procedimento
sono (specialmente se i fattori sono grandi) più laboriose rispetto all’usuale
metodo di moltiplicazione, ma in questo caso le capacità coinvolte sono più
elementari. Un esecutore deve infatti essere in grado di eseguire le seguenti
operazioni:
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58
CAPITOLO 4. ALGORITMI
• duplicare un numero naturale
• dimezzare un numero naturale
• decidere se un numero naturale è dispari
• addizionare numeri naturali
Notiamo inoltre che questo procedimento di moltiplicazione non è commutativo
e che, poiché l’operazione astratta di moltiplicazione è commutativa, in un
prodotto è vantaggioso prendere come fattore da dimezzare quello minore, per
ottimizzare l’efficienza del procedimento.
In una forma algoritmica di alto livello, tipica dei linguaggi di programmazione, il procedimento di moltiplicazione mediante il metodo del contadino
russo può essere descritto mediante l’algoritmo 9.
Algoritmo 9 - Algoritmo del contadino russo (notazione di alto livello)
Input: numeri naturali m e n
Output: prodotto fra m e n
1: porta p a 0
2: while m ≠ 0 do
3:
if m è dispari then
4:
incrementa p di n
5:
end if
6:
dimezza m
7:
raddoppia n
8: end while
9: return p
L’algoritmo 9 può essere espresso in modo equivalente mediante la notazione di basso livello riportata nell’algoritmo 10.
Le forme algoritmiche di basso livello, caratterizzate da istruzioni di salto,
possono essere espresse, equivalentemente, in forme di alto livello con strutture
di controllo più vicine al nostro modo di pensare. Queste argomentazioni
saranno riprese più avanti.
Si noti che i due precedenti algoritmi, pur espressi con notazioni di diverso
livello, descrivono le stesse operazioni. Si vedrà nel seguito che le notazioni di
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59
4.9. IL PRINCIPIO DI COMPLESSITÀ
Algoritmo 10 - Algoritmo del contadino russo (notazione di basso livello)
Input: numeri naturali m e n
Output: prodotto fra m e n
1: porta p a 0
2: if m = 0 goto 8
3: if m è pari goto 5
4: incrementa p di n
5: dimezza m
6: raddoppia n
7: goto 3
8: return p
basso livello vengono generalmente adottate per esecutori in grado di eseguire
operazoni di base molto elementari.
Osservazione. Il concetto di livello di un linguaggio è relativo e non ha
senso parlare in termini assoluti di alto livello e basso livello quanto piuttosto
in termini relativi, quali livello x più alto/basso di ..., livello x adeguato
al problema y. Per inciso osserviamo che il livello più basso di linguaggio
è rappresentato dal linguaggio dell’esecutore che si dispone e che il livello
più alto nella soluzione di un dato problema P può essere considerato quello
costituito da frasi della forma Risolvi il problema P.
4.9
IL PRINCIPIO DI COMPLESSITÀ
In questo paragrafo si analizzerà la relazione che intercorre tra la potenza di
un esecutore e la complessità della soluzione per risolvere un dato problema.
Consideriamo il problema di trasformazione di una configurazione di blocchi, come illustrato dallo schema che segue:
D
C
B
A
-
A
B
D
C
Possiamo pensare che qui l’esecutore sia una persona, un robot o qualcos’altro.
Per rendere il problema un po’ interessante supponiamo, per il momento, che
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
60
CAPITOLO 4. ALGORITMI
l’esecutore abbia la capacità di spostare un solo blocco alla volta. Con questa
ipotesi, una soluzione del problema è fornita dall’algoritmo 11.
Algoritmo 11 - Algoritmo spostamento blocchi (caso a)
1: sposta il blocco D sul piano
2: sposta il blocco C sul piano
3: sposta il blocco D sopra a C
4: sposta il blocco B sopra a D
5: sposta il blocco A sopra a B
In questo contesto, il solutore è colui che ha scritto la sequenza delle azioni, l’esecutore è l’entità che effettua lo spostamento dei blocchi, gli oggetti
che vengono manipolati sono costituiti dai blocchi, le azioni consistono nello
spostare i blocchi, i dati sono rappresentati dalla configurazione iniziale ed i
risultati dalla configurazione finale che si intende ottenere.
Se ammettiamo che l’esecutore abbia la capacità di spostare una qualsiasi pila di blocchi, senza capovolgerla, la soluzione del problema può essere
formulata come descritto nell’algoritmo 12.
Algoritmo 12 - Algoritmo spostamento blocchi (caso b)
1: sposta la pila di blocchi CD sul piano
2: sposta il blocco B sopra a D
3: sposta il blocco A sopra a B
Da questa semplice variazione si intuisce che la soluzione dipende dalle
capacità dell’esecutore.
Se ammettiamo che l’esecutore abbia anche la capacità di spostare una
qualsiasi pila di blocchi e possa, eventualmente, deporla capovolta, una soluzione può essere più semplicemente espressa come descritto nell’algoritmo 13.
Algoritmo 13 - Algoritmo spostamento blocchi (caso c)
1: sposta la pila di blocchi CD sul piano (senza capovolgerla)
2: sposta la pila di blocchi AB sopra D capovolgendola
Gli esempi appena presentati evidenziano che la soluzione di un problema
non solo dipende dalle capacità dell’esecutore ma che la soluzione è tanto più
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
4.9. IL PRINCIPIO DI COMPLESSITÀ
61
breve e semplice quanto più potenti sono le capacità dell’esecutore. La lunghezza di una soluzione, misurata come numero delle istruzioni elementari che
la compongono, rappresenta un’indicazione della complessità della soluzione.
Se la soluzione viene espressa in una forma non sequenziale ma strutturata
mediante delle strutture (condizionali e/o cicliche ) di controllo delle azioni, il
concetto di complessità deve essere espresso in un modo più elaborato. Assumendo in modo intuitivo il concetto di complessità di una soluzione, possiamo
affermare il seguente principio:
PROPRIETÀ 1. (Principio di complessità della soluzione). La complessità
della soluzione di un problema diminuisce all’aumentare della potenza delle
azioni che l’esecutore è in grado di compiere.
In base a questo principio possiamo dedurre che è molto più laborioso far
eseguire una moltiplicazione fra due numeri naturali ad un esecutore che è
capace solamente di addizionare un’unità alla volta che non ad un esecutore capace di addizionare due numeri qualsiansi. Il caso estremo è quando
l’esecutore è capace di moltiplicare due numeri; in tale caso la soluzione del
problema può essere espressa semplicemente in una forma del tipo moltiplica
x per y. Il discorso può essere generalizzato come segue. Dato un problema
P , l’ideale sarebbe disporre di un esecutore così potente da poter esprimere la
soluzione mediante la sola istruzione
Risolvi il problema P .
Evidentemente, la realtà è ben diversa; inoltre, il procedimento risolutivo è
tanto più lungo e complesso quanto più il linguaggio con il quale ci si rivolge
all’esecutore è ”lontano” dal problema trattato. Per diminuire la distanza fra
il linguaggio usato e problema trattato, i linguaggi di programmazione offrono
degli strumenti appositi: definizioni di sottoprogrammi, definizioni di tipi di
dato, definizioni di classi ed altro ancora.
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
62
CAPITOLO 4. ALGORITMI
4.10
ESERCIZI
1. Nell’ipotesi di disporre di un esecutore in grado di eseguire le quattro
operazioni fondamentali +, −, ∗, /, discutere comparativamente il concetto di formula risolutiva e procedimento risolutivo relativamente alla solu˙ + 1)/2,
zione dei seguenti due problemi, tenendo conto che: ∑nk=1 k = n(n
mentre non esiste un’analoga forma chiusa che fornisca il risultato di
n! = ∏nk=1 k.
(a) Calcolare la somma dei primi n numeri naturali
(b) Calcolare il prodotto dei primi n numeri naturali
2. Per i problemi che seguono si individuino i dati ed i risultati e si dica se il
problema è ben formulato o meno. Nel caso il problema sia ben formulato, descrivere un procedimento risolutivo, evidenziando quali devono
essere le capacità dell’esecutore.
(a) Dato il perimetro e l’area di un triangolo, determinarne le misura
dei lati.
(b) Data l’area ed il perimetro di un rettangolo, determinarne la diagonale.
(c) Dato il perimetro di un rettangolo, determinarne l’area.
(d) Data l’area e la base di un rettangolo, determinarne l’altezza.
(e) Determinare i lati di un rettangolo conoscendone l’area ed il perimetro.
(f) Determinare l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo del quale sono noti i due cateti.
3. Generalizzare la seguente istanza di problema, proponendo delle classi
di problemi via-via più generali.
Determinare la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato
2 cm.
Riformulare il problema in modo da renderlo ben formulato. Disponendo di un esecutore in grado di eseguire le usuali operazioni aritmetiche
√
(+, −, ∗, /, , . . . ) descrivere un algoritmo per risolvere il problema in
questione.
4. Si consideri il seguente problema:
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4.10. ESERCIZI
63
Dire se il triangolo avente i lati di misure a, b, c è più piccolo del
triangolo avente i lati di misure d, e, f .
(a) Motivando le affermazioni, dire se il problema proposto è ben formulato.
(b) Nel caso che il problema non sia ben formulato, riformularlo adeguatamente in modo che risulti ben formulato.
(c) Classificare il problema in base alla sua forma (computazionale, ...).
(d) Con riferimento al problema ben formulato, specificare in cosa consistono i dati, i risultati ed un criterio di verifica della soluzione.
(e) Descrivere un procedimento risolutivo che richieda all’esecutore delle capacità il più possibile elementari. Precisare le capacità richieste all’esecutore da parte del procedimento che si è descritto.
(f) Generalizzare il problema, proponendo più generalizzazioni successive.
5. Dire, motivando le affermazioni, perchè il seguente problema non è ben
formulato: Determinare l’area di un quadrilatero note le misure a, b, c,
d dei lati. Ridefinire il problema in modo che risulti ben formulato, con
l’obiettivo di risolverlo per un esecutore capace di valutare l’area di un
triangolo date le lunghezze dei tre lati del triangolo. Adottando queste
ipotesi sulle capacità dell’esecutore, descrivere un algoritmo per risolvere
il problema in questione.
6. Si consideri il seguente problema:
Data l’area ed il perimetro di un triangolo, decidere se esso è un
triangolo rettangolo.
(a) Stabilire la tipologia del problema proposto (computazionale, decisionale, trasformazionale, ...)
(b) Motivando adeguatamente le affermazioni, stabilire se il problema
proposto è ben formulato.
(c) Nel caso in cui il problema sia ben formulato, descrivere un algoritmo adeguato per un esecutore avente le conoscenze di uno studente
di una terza superiore.
7. Si conoscono le misure a, b, c delle lunghezze degli spigoli di un parallelepipedo rettangolo. Determinare la misura della sua massima superficie di appoggio e l’altezza minima del suo baricentro (nella situazione
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
64
CAPITOLO 4. ALGORITMI
in cui il parallelepipedo si appoggiato sulla sua massima superficie di
appoggio).
8. Si consideri la seguente istanza di problema:
Suddividere un segmento di 10 cm in 2 parti di cui una sia i 3/7
dell’altra. Si supponga di disporre degli usuali attrezzi da disegno: due squadrette a 45o e 30o , 60o , una matita, un compasso,
con l’ipotesi che le squadrette siano sufficientemente lunghe ma
non siano graduate.
(a) Generalizzare il problema proposto.
(b) Descrivere un procedimento, da riportare su un testo scolastico di
disegno tecnico, per risolvere la classe di problemi che si è individuata.
(c) Motivare perchè nella formulazione del quesito precedente si è sentita l’esigenza di precisare “da riportare su un testo scolastico di
disegno tecnico”?
9. Si ha un sacco pieno di chicchi di grano ed uno pieno di chicchi di frumento. Il problema consiste nel decidere quale dei due sacchi contiene
più chicchi. Con riferimento a questo problema:
(a) Si precisi in cosa consistono i dati, i risultati ed un criterio di verifica
della soluzione.
(b) Descrivere un procedimento risolutivo che richieda all’esecutore delle capacità il più possibile elementari. Precisare le capacità richieste all’esecutore da parte del procedimento che si è descritto.
Suggerimento: non serve che l’esecutore sappia contare.
10. Un sacco contiene molte palline di al più due pesi diversi anche se all’apparenza uguali. Il problema consiste nel determinare quante sono
le palline di ciascuno dei due pesi, utilizzando una bilancia a due piatti.
Descrivere un algoritmo per risolvere il problema proposto. Si richiede
di gestire anche il caso in cui le palline siano tutte di uno stesso peso.
11. Ricercare se un dato numero è presente in una sequenza di numeri.
12. Ricercare se un dato numero è presente in una sequenza ordinata di
numeri. Discutere la soluzione proposta, confrontandola con quella
dell’esercizio precedente.
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4.10. ESERCIZI
65
13. Disponendo di un esecutore in grado di eseguire le usuali operazioni
√
aritmetiche (+, −, ∗, /, , . . . ), risolvere il seguente problema:
Dato un triangolo avente i lati di misure a, b, c, determinare il
rettangolo di minima area che lo ricopre.
14. Decidere se un dato numero naturale, considerato in notazione decimale,
è palindromo, ossia se si legge indifferentemente da sinistra a destra e da
destra a sinistra.
15. Decidere se un dato numero naturale m è divisibile (esattamente) per un
dato numero naturale n. Si supponga che l’esecutore al quale è rivolto
l’algoritmo sia capace di eseguire solamente le operazioni di addizione e
sottrazione e sia in grado di confrontare fra loro due numeri.
16. Nell’ipotesi di disporre di un esecutore in grado di eseguire le operazioni aritmetiche di addizione e sottrazione, scrivere un algoritmo per
determinare la divisione fra due numeri naturali.
17. Una calcolatrice permette l’uso delle sole operazioni elementari sui numeri naturali: +, −, ∗, /. L’operazione di divisione fornisce il quoziente
intero. Descrivere un algoritmo per determinare il resto della divisione
intera fra due numeri naturali. È possibile trascrivere su un foglio i
risultati intermedi.
18. Determinare il prodotto fra due dati numeri naturali m ed n. Si dispone
di un esecutore in grado di eseguire le sole operazioni aritmetiche di
addizione e sottrazione fra due numeri naturali e di comparare tra loro
due numeri naturali.
19. Determinare il quoziente ed il resto della divisione intera fra due dati
numeri naturali m ed n. Sono ammesse le sole operazioni aritmetiche
di addizione, sottrazione e comparazione fra numeri naturali.
20. Determinare il resto della divisione intera fra due dati numeri m ed n. Si
dispone di un esecutore in grado di eseguire le sole operazioni aritmetiche
di addizione e sottrazione fra due numeri naturali e di comparare tra loro
due numeri naturali.
21. Determinare la potenza mn fra due dati numeri naturali m ed n. Sono ammesse le quattro operazioni aritmetiche di addizione, sottrazione,
prodotto e divisione e la comparazione fra numeri naturali.
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66
CAPITOLO 4. ALGORITMI
22. Determinare la potenza di un numero con base reale ed esponente intero.
23. Determinare la somma delle cifre in base 10 di un numero naturale.
Si supponga che l’esecutore al quale è rivolto l’algoritmo sia capace di
eseguire le quattro operazioni aritmetiche +, −, ∗, /.
24. Determinare la cifra più significativa di un dato numero naturale, considerato in base 10. Sono ammesse le quattro operazioni aritmetiche
fondamentali ed i confronti fra numeri.
25. Determinare il numero di cifre di un dato numero naturale, considerato
in base 10.
26. Determinare la cifra più grande di un dato numero naturale, considerato
in base 10.
27. Supponendo di disporre di un esecutore capace di applicare il teorema di
Pitagora, descrivere un procedimento risolutivo per determinare la diagonale di un parallelepipedo rettangolo di cui si conoscono le lunghezza
degli spigoli.
28. Definire in modo preciso e non ambiguo le operazioni lecite nelle costruzioni con riga e compasso. Con le operazioni definite, determinare un
segmento avente per misura la radice quadrata della misura di un dato
segmento. Suggerimento: utilizzare il secondo teorema di Euclide.
29. Sono dati due punti distinti A e B del piano. Descrivere un procedimento per disegnare due circonferenze di uguale raggio, fra loro tangenti
esternamente nel punto medio M del segmento AB ed aventi rispettivamente i segmenti AM e M B come diametri. Si assuma l’ipotesi
che l’esecutore possa usare solamente riga (non graduata), compasso e
matita.
30. Sono dati due punti distinti A e B del piano. Descrivere un procedimento per determinare il quadrato avente il segmento AB come diagonale. Si assuma l’ipotesi che l’esecutore possa usare solamente riga (non
graduata), compasso e matita.
31. Adattare il procedimento di pesatura delle sfere, presentato in questo
capitolo, per determinare il minimo comune multiplo fra due numeri
naturali.
32. Si è in un deserto e si dispone di un lungo spago lungo 47 metri e delle
forbici. Costruire un recinto di forma quadrata.
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67
4.10. ESERCIZI
33. Un foglio rettangolare di dimensioni m ed n è suddiviso in un reticolo di
rettangoli aventi per dimensioni p e q. Scrivere un algoritmo per determinare la dimensione dei più piccoli e dei più grandi quadrati formati da
questi rettangoli. Discutere se il problema ammette sempre soluzione
nei casi in cui m, n, p, q ∈ Q e m, n, p, q ∈ R.
34. Decidere se un numero naturale è primo. Descrivere la tavola di traccia
dell’esecuzione dell’algoritmo applicato al numero 161.
35. Nell’ipotesi di disporre di un esecutore in grado di eseguire le operazioni aritmetiche elementari addizione e sottrazione, risolvere la seguente
istanza di problema: Calcolare 7!.
36. Oltre ai russi, anche gli arabi, da buoni algebristi, hanno ideato nei secoli
scorsi un loro metodo per moltiplicare fra loro due numeri naturali. Il
metodo è descritto dallo schema che segue, dove è descritto il processo
di moltiplicazione 726 × 43 = 31218. Lungo le linee oblique evidenziate mediante una freccia vengono addizionati (a partire dalla destra e
considerando i riporti) i numeri che vi si incontrano.
7
2
6
2 0 2 4
8 8 4
2 0 1 3
1 6 8
3
1
2
1
8
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68
CAPITOLO 4. ALGORITMI
Si lascia per esercizio la decifrazione del metodo (basandosi sullo schema sopra riportato), l’individuazione delle capacità richieste all’esecutore e la dimostrazione (o semplicemente la motivazione) che il metodo
funziona. Descrivere il metodo mediante un algoritmo.
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Capitolo 5
Problemi risolti
Il risolvere i problemi è un’arte pratica, come il nuotare, o lo sciare o il suonare il piano: potete impararlo solo con l’imitazione
e la pratica. Questo libro non può offrirvi
la chiave magica che apre tutte le porte e
risolve tutti i problemi, ma vi offre dei buoni esempi da imitare e molte opportunità
per fare pratica: se desiderate imparare a
nuotare dovete gettarvi in acqua e, se desiderate diventare un risolutore di problemi,
dovete risolvere problemi.
G. Polya, La scoperta matematica
In questo capitolo saranno affrontati e risolti alcuni problemi elementari.
Saranno applicate le metodologie descritte nei capitoli precedenti. Le soluzioni saranno descritte mediante le forme fondamentali di algoritmi presentate
precedentemente.
69
70
CAPITOLO 5. PROBLEMI RISOLTI
5.1
UN PROBLEMA GEOMETRICO
La soluzione del seguente problema illustra una tipica applicazione della metodologia top-down ed evidenzia come una cattiva scomposizione di un problema
renda difficile la soluzione dei sottoproblemi.
Consideriamo il problema di calcolare l’area della figura geometrica riportata in figura 5.1, note le lunghezze dei cinque lati, assumendo l’ipotesi che la
figura sia convessa e che i due lati alla base siano retti.
e L
L
Ld
L
L
a
L
c
b
Figura 5.1: Il problema: Determinare l’area del pentagono.
Una scomposizione della figura in due trapezi come descritto nella figura 5.2
risulterebbe poco utile in quanto ciò comporterebbe il calcolo dell’area di due
trapezi rettangoli dei quali sono noti pochi ed insufficienti elementi.
L
L
L
L
L
L
Figura 5.2: Una scomposizione non efficace.
Una scomposizione più efficace è descritta nella seguente figura 5.3.
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71
5.1. UN PROBLEMA GEOMETRICO
eL
A2 LLd
HH
HH
L
h
HH L
f
a
HL
A1
c
b
Figura 5.3: Una scomposizione efficace.
Questa scomposizione suggerisce il seguente procedimento risolutivo per il
calcolo dell’area A del pentagono:
A ← A1 + A2
Adottando la metodologia top-down, i due sottoproblemi corrispondenti al
calcolo delle due aree A1 e A2 si esplicitano come segue:
calcolo di A1 :
A1 ← (a + c) ∗ b/2
calcolo di A2 :
h
f
p
A2
←
←
←
←
∣a
√− c∣
b2 + h2
(d
√ + e + f )/2
p ∗ (p − d) ∗ (p − e) ∗ (p − f )
La ricomposizione delle soluzioni parziali sopra riportate conduce all’algoritmo 14.
Algoritmo 14 - Calcolo dell’area del pentagono riportato nella figura 5.1
Input: misure a, b, c, d, e del pentagono
Output: area del pentagono
1: A1 ← (a + c) ∗ b/2
2: h ← ∣a
√− c∣
3: f ←
b2 + h2
4: p ← (d√
+ e + f )/2
5: A2 ←
p ∗ (p − d) ∗ (p − e) ∗ (p − f )
6: A ← A1 + A2
7: return A
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72
5.2
CAPITOLO 5. PROBLEMI RISOLTI
UN PROBLEMA DI DECISIONE
Gli alberi di decisione costituiscono un utile formalismo grafico di supporto
per impostare la soluzione di molti problemi di tipo decisionale.
Esempio 22. L’albero di decisione riportato nella figura 5.4 descrive il procedimento per la determinazione del valore massimo fra 3 elementi.
x>y
v ZZ f
Z
=
~
Z
x>z
y>z
v S f
v S f
/
x
S
w
S
z
y
/
S
w
S
z
Figura 5.4: Albero di decisione per la determinazione del massimo fra 3
elementi x, y, z.
L’albero di decisione riportato nella figura 5.4. può essere espresso in modo
algoritmico come descritto nell’algoritmo 15.
Algoritmo 15 - Determinazione del massimo fra x, y, z
Input: numeri x, y, z
Output: massimo fra x, y, z
1: if x > y then
2:
if x > z then
3:
return x
4:
else
5:
return z
6:
end if
7: else
8:
if y > z then
9:
return y
10:
else
11:
return z
12:
end if
13: end if
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73
5.3. UN ALTRO PROBLEMA DI DECISIONE
5.3
UN ALTRO PROBLEMA DI DECISIONE
Il seguente esempio descrive un tipico caso di applicazione della metodologia
top-down. Supponiamo di disporre di una bilancia a due piatti che permetta di decidere se due oggetti abbiano lo stesso peso, ma non consenta di
decidere quale dei due oggetti, se di peso diverso, pesi più dell’altro. Il problema consiste nel determinare la moneta (falsa) di peso diverso, fra 12 monete
all’apparenza uguali.
Indicando con m1 , m2 , . . . , m12 le 12 monete, con A?B il confronto di pesatura fra i due insiemi A e B di monete e con F A la soluzione del problema di
determinare la moneta falsa dell’insieme A, un primo abbozzo di un procedimento risolutivo può essere descritto mediante l’albero di decisione riportato
in figura 5.5. Con questa soluzione parziale ci si è ricondotti ai tre sottoproblemi P1 , P2 , P3 evidenziati con un riquadro a linea tratteggiata nella figura 5.5;
questi tre sottoproblemi sono fra loro simili: per ciascuno di essi si tratta di
individuare la moneta falsa fra quattro monete.
{m1 , m2 , m3 , m4 }?{m5 , m6 , m7 , m8 }
=
P1 F{m9 , m10 , m11 , m12 }
@
≠@
@
R
@
F{m1 , m2 , m3 , . . . , m8 }
{m1 , m2 , m3 , m4 }?{m9 , m10 , m11 , m12 }
=
P2 F{m5 , m6 , m7 , m8 }
@
≠@
@
R
@
P3 F{m1 , m2 , m3 , m4 }
Figura 5.5: Albero di decisione per il problema delle 12 monete.
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74
CAPITOLO 5. PROBLEMI RISOLTI
L’albero di figura 5.5 può essere descritto mediante l’algoritmo 16.
Algoritmo 16 - Algoritmo per determinare la moneta falsa fra 12
Input: pesi m1 , m2 , . . . , m12 di 12 monete
Output: moneta falsa
1: if {m1 , m2 , m3 , m4 } = {m5 , m6 , m7 , m8 } then
2:
F (m9 , m10 , m11 , m12 )
3: else if {m1 , m2 , m3 , m4 } = {m9 , m10 , m11 , m12 } then
4:
F (m5 , m6 , m7 , m8 )
5: else
6:
F (m1 , m2 , m3 , m4 )
7: end if
Indicando con a, b, c, d i pesi delle quattro monete che compaiono nei tre
sottoproblemi P1 , P2 , P3 , la soluzione del sottoproblema F {a, b, c, d} può essere
ottenuta mediante l’albero di decisione riportato in figura 5.6 dove, nell’ultima
riga della figura, sono evidenziate le monete false nei diversi casi.
a?b
a?c
HH
=
≠H
Q
Q
=
≠Q
+
s
Q
d
c
HH
j
=
+
b
a?c
Q
≠Q
s
Q
Q
a
Figura 5.6: Albero di decisione per il problema delle 4 monete.
In notazione algoritmica l’albero di decisione descritto nella figura 5.6 può
essere espresso come riportato nell’algoritmo 17.
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5.4. UN PROBLEMA NUMERICO
75
Algoritmo 17 - Determinazione della moneta falsa fra 4
Input: pesi a, b, c, d di quattro monete
Output: moneta falsa
1: if a = b then
2:
if a = c then
3:
la moneta falsa è d
4:
else
5:
la moneta falsa è c
6:
end if
7: else
8:
if a = c then
9:
la moneta falsa è b
10:
else
11:
la moneta falsa è a
12:
end if
13: end if
L’albero di decisione completo, corrispondente all’albero riportato nella
figura 5.5, si ottiene sostituendo l’albero di decisione della figura 5.6 nei tre
punti corrispondenti ai tre sottoproblemi P1 , P2 , P3 evidenziati nella figura 5.5,
istanziando i parametri a, b, c, d con i valori effettivi di ciascun sottoproblema viene ricostruita la soluzione complessiva del problema originale (algoritmo 16). Il massimo numero di pesate necessarie per arrivare alla decisione è
dato dall’altezza dell’albero.
5.4
UN PROBLEMA NUMERICO
Consideriamo il problema di determinare il numero r definito dalla rappresentazione decimale inversa di un numero naturale n (esempio: n = 4372,
r = 2734). Supponiamo, per il momento, che il numero n non sia divisibile
per 10, ossia che il numero, nella sua rappresentazione decimale, non termini
con 0. Nell’ipotesi di disporre di un esecutore in grado di eseguire le 4 operazioni aritmetiche di base +, −, ∗, /, un possibile procedimento risolutivo per
questo problema può essere espresso mediante l’algoritmo 18.
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76
CAPITOLO 5. PROBLEMI RISOLTI
Algoritmo 18 - Rovesciamento di un numero naturale in base 10 - ver. A
Input: numero naturale n da rovesciare
Output: numero r rovesciato
1: considera il numero r uguale a 0
2: while ci sono cifre in n do
3:
trasporta la cifra delle unità di n alla fine di r
4: end while
5: return numero r
Nella formulazione dell’algoritmo 18 si nota che le varie istruzioni informali
sono direttamente traducibili in un generico linguaggio di programmazione, ad
eccezione del sottoproblema trasporta la cifra delle unità di n alla fine di r.
Tale sottoproblema può essere ulteriormente scomposto nei seguenti due:
P1 : togli la cifra delle unità dal numero n
P2 : accoda tale cifra alla destra del numero r
A questo punto si arriva alla forma quasi definitiva riportata nell’algoritmo 19.
Algoritmo 19 - Rovesciamento di un numero naturale in base 10 - ver. B
Input: numero naturale n da rovesciare
Output: numero r rovesciato
1: r ← 0
2: while ci sono cifre in n do
3:
c ← cifra delle unità di n
4:
n ← n privato della cifra delle unità
5:
r ← r con aggiunta la cifra sulla destra
6: end while
7: return numero r
Raffinando ulteriormente l’algoritmo 19, si perviene alla formulazione definitiva (algoritmo 20) in cui tutte le operazioni indicate sono direttamente
eseguibili dall’esecutore.
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5.5. UN PROBLEMA SUI BLOCCHETTI
77
Algoritmo 20 - Rovesciamento di un numero naturale in base 10 - ver. C
Input: numero naturale n da rovesciare
Output: numero r rovesciato
1: r ← 0
2: while n > 0 do
3:
q ← n/10
4:
p ← q ∗ 10
5:
c←n−p
6:
n ← n/10
7:
r ← r ∗ 10
8:
r ←r+c
9: end while
10: return numero r
In una forma più compatta, le istruzioni di assegnazione interne al ciclo
potrebbero essere scritte come segue:
r ← (r ∗ 10) + (n − (n/10) ∗ 10)
n ← n/10
Si lascia per esercizio l’analisi del comportamento dell’algoritmo precedente
nei casi in cui il numero da invertire termini con delle cifre 0.
5.5
UN PROBLEMA SUI BLOCCHETTI
Si hanno due pile di blocchetti sui quali è impresso un numero naturale. Le due
pile sono poste inizialmente nelle posizioni A e B. Nelle due pile i blocchetti
sono disposti in modo tale che ogni blocchetto (esclusi quelli direttamente
appoggiati sul piano) sia appoggiato sopra uno avente un numero maggiore o
uguale del suo. Il problema consiste nel fondere 1 le due pile di blocchetti,
costruendone una composta dai blocchetti delle due pile originali, in ordine
inverso. È ammesso di utilizzare una terza posizione C per parcheggiare
temporaneamente i blocchetti. Alla fine della trasformazione i blocchetti
devono trovarsi sulla posizione A, ordinati dal più grande (appoggiato in basso)
al più piccolo (in alto). Sviluppiamo, mediante la metodologia top-down,
un algoritmo per risolvere il problema in questione, assumendo l’ipotesi di
disporre di un esecutore in grado di spostare un solo blocchetto per volta (uno
di quelli posti in testa alle pile) ed in grado di confrontare i numeri impressi sui
1
Fondere: unione di due sequenze ordinate in un’unica sequenza ordinata.
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78
CAPITOLO 5. PROBLEMI RISOLTI
blocchetti. Si tratta di un problema di trasformazione descrivibile mediante
lo schema grafico illustrato nella figura 5.7.
6
5
3
A
7
5
4
4
B
C
3
4
4
5
5
6
7
A
situazione iniziale
B
C
situazione finale
Figura 5.7: Situazione iniziale (a sinistra) e finale (a destra) per un problema
di fusione di due pile di blocchetti.
Adottando la metodologia top-down, una prima scomposizione può essere:
F : fondi le due pile A, B mettendo il risultato in C
T : trasla la pila C in A (senza rovesciarla)
Il sottoproblema F può essere risolto come riportato nell’algoritmo 21.
Il sottoproblema T può essere scomposto nei seguenti due sottoproblemi:
R3 : rovescia la pila da C in B
R4 : rovescia la pila da B in A
Si può notare che i sottoproblemi R1 , R2 , R3 ed R4 hanno la stessa struttura
e, pertanto, appartengono ad una stessa classe di problemi descrivibile come
segue:
Rovescia la pila da Xa Y
Una soluzione di questo problema è riportata nell’algoritmo 22.
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5.6. UN PROBLEMA SULLE STRINGHE
79
Algoritmo 21 - Fusione di due pile di blocchetti
Input: pile A e B ordinate crescentemente
Output: pila C ordinata decrescentemente
1: while ci sono blocchetti in A ed in B do
2:
if la testa di A > testa di B then
3:
sposta blocchetto da A a C
4:
else
5:
sposta blocchetto da B a C
6:
end if
7: end while
8: if è finita la pila A then
9:
R1 : rovescia la pila da B a C
10: else
11:
R2 : rovescia la pila da A a C
12: end if
13: return pila C decrescente
Algoritmo 22 - Rovesciamento della pila X in Y
1: while ci sono blocchetti in X do
2:
sposta blocchetto da X a Y
3: end while
5.6
UN PROBLEMA SULLE STRINGHE
Le stringhe sono delle sequenze di caratteri; costituiscono una classe di oggetti
importante in quanto emergono in molteplici forme di elaborazione; tanto per
citarne alcune: controlli di correttezza di una password, correzione ortografica
in un programma di elaborazione testi, ricerca di parole e testi in un motore
di ricerca di un browser, test del DNA.
Consideriamo il seguente problema sulle stringhe:
Decidere se una stringa è un anagramma di un’altra.
La semplice e spontanea idea della soluzione di seguito proposta (anche se non
è ottimale) si basa sulle seguenti osservazioni:
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
80
CAPITOLO 5. PROBLEMI RISOLTI
Se le stringhe hanno lunghezze diverse, non possono essere una
anagramma dell’altra. Altrimenti il controllo viene svolto analizzando, per ciascun carattere della prima stringa, se la sua
frequenza è uguale nelle due stringhe. Se durante questa fase
di analisi si riscontra nelle due stringhe una frequenza diversa di qualche carattere, allora le due stringhe non sono una
anagramma dell’altra. Se si analizzano tutti i caratteri della
prima stringa senza trovare diversità di frequenza, allora le due
stringhe sono anagrammi una dell’altra.
Il procedimento sopra descritto si basa sulle seguenti due operazioni elementari
sulle stringhe:
• ∣s∣ : lunghezza della stringa s
• si : i-esimo carattere della stringa s
L’algoritmo 23 risolve il problema sopra proposto. In questo algoritmo,
con f [c, r] si denota la frequenza con la quale compare il carattere c all’interno
della stringa r; con a si denota la variabile logica che esprime lo stato attuale
del processo di analisi: il valore di verità vero esprime il fatto che ancora non
si sono ancora riscontrate situazioni che determinano la conclusione che r non
è anagramma di s.
Algoritmo 23 - Decidere se una stringa è anagramma di un’altra
Input: stringhe r e s
Output: vero se e solo se r è anagramma di s
1: a ← ∣r∣ = ∣s∣
2: i ← 1
3: while a ∨ (i ≤ r) do
4:
c ← ri
5:
a ← f [c, r] = f [c, s]
6:
i←i+1
7: end while
8: return a
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
5.7. ESERCIZI
5.7
81
ESERCIZI
1. Una piramide a base esagonale, avente il lato di base di lunghezza k e
l’altezza h è appoggiata interamente sopra un cubo di lato l. Determinare
la superficie totale del solido composto così ottenuto.
2. Descrivere, mediante un albero di decisione, un procedimento per risolvere i seguenti problemi. Tradurre l’albero di decisione in un algoritmo.
(a) Determinare il massimo fra tre numeri.
(b) Stabilire se tre dati elementi sono uguali fra loro.
(c) Stabilire se tre dati elementi sono tutti diversi fra loro.
3. Con riferimento al problema delle 12 monete presentato in questo capitolo, disponendo di una bilancia a due piatti che permette di distinguere se
due oggetti pesano uguale o, altrimenti, quale dei due pesa di più, scrivere un algoritmo per determinare la moneta falsa, nel minor numero
possibile di pesate.
4. Nelle stesse ipotesi dell’esercizio precedente, scrivere un algoritmo per
determinare la moneta falsa e per stabilire se pesa di più o di meno delle
altre.
5. Si hanno 4 monete di pesi diversi. Descrivere un albero di decisione
per decidere se le monete hanno tutte lo stesso peso, disponendo di una
bilancia non tarata, dotata di due braccia. Tradurre l’albero di decisione
in un algoritmo.
6. Sono date 5 palline, all’apparenza uguali, di cui 2 di un peso e 3 di un
altro peso. Usando una bilancia a due piatti, ripartire in base al loro
peso le palline in due gruppi ciascuno composto da palline di uguale
peso.
7. Si dispone di una bilancia a due bracci che permette di distinguere se
due oggetti pesano uguale oppure quale dei due pesa di più. Si hanno
quattro monete a, b, c, d, apparentemente uguali, a due a due di peso
uguale. Descrivere, mediante un albero di decisione, un procedimento
per individuare le due coppie di monete uguali. Tradurre l’albero di
decisione in una notazione algoritmica.
8. Si hanno 5 monete apparentemente uguali; una di queste, falsa, è di rame mentre le altre 4, autentiche, sono di bronzo. Si vuole individuare la
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82
CAPITOLO 5. PROBLEMI RISOLTI
moneta falsa disponendo di una bilancia a due piatti. Descrivere un procedimento risolutivo, mediante un albero di decisione (a 3 alternative).
Successivamente, descrivere il procedimento in una forma algoritmica, a
parole. Si tenga presente che il bronzo è una lega di rame e stagno e
che il peso specifico del rame è maggiore del peso specifico dello stagno.
9. Stabilire quanti confronti binari sono necessari per determinare il massimo fra n elementi di un insieme ordinato. Stabilire, in funzione di
n, la minima e la massima altezza di un albero di decisione binario per
determinare il massimo di n elementi.
10. Si ha una pila di blocchetti di tre colori: arancione, blu, ciclamino. La
pila si trova inizialmente sulla posizione A. Descrivere un procedimento
per separare i blocchetti, secondo il colore, costruendo sulle posizioni A,
B e C tre pile con blocchetti di colore, rispettivamente, arancione, blu,
ciclamino. È ammesso di spostare un solo blocchetto alla volta e di
utilizzare, come appoggio, solo le tre posizioni A, B e C.
11. Si hanno due pile di blocchetti: una di colore arancione posta nella
posizione A ed una di colore blu posta nella posizione B. Descrivere un
procedimento per scambiare di posto le due pile di blocchetti, utilizzando
come appoggio ausiliario una terza posizione C, facendo in modo che i
blocchetti, in ciascuna pila, mantengano la loro reciproca posizione che
avevano originariamente, prima dello spostamento. L’esecutore al quale
deve essere rivolto il procedimento ha la capacità di spostare un solo
blocchetto alla volta ed è in grado di riconoscere i colori dei blocchetti,
ma non sa contare. Dimostrare che il problema non sarebbe risolvibile
se l’esecutore non avesse la capacità di distinguere i colori.
12. Si ha un mucchio di dischi di tre dimensioni diverse. Descrivere un
procedimento per disporre i dischi su una pila in modo che ogni disco
poggi su uno di dimensione maggiore o uguale, nell’ipotesi che l’esecutore
possa prendere e spostare un solo disco alla volta e che abbia spazio a
piacere per appoggiare temporaneamente i dischi.
13. Nell’ipotesi di disporre un esecutore che può spostare un solo oggetto
alla volta, descrivere dei procedimenti risolutivi per i seguenti problemi
di trasformazione di configurazioni di blocchetti.
(a) Spostare una pila di oggetti rovesciandola.
(b) Spostare una pila di oggetti senza rovesciarla.
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5.7. ESERCIZI
83
(c) Spostare sul posto una pila di oggetti rovesciandola.
(d) Estrarre da una pila il blocchetto appoggiato in basso e metterlo
sopra
14. Si ha una pila di libri su un tavolo e si dispone di un esecutore capace
di spostare un solo libro alla volta. La pila di libri si trova inizialmente
sulla posizione A. Il problema consiste nel rovesciare sul posto la pila di
libri, usando altre due posizioni ausiliarie di appoggio B e C. Descrivere
un algoritmo per risolvere il problema.
15. Si hanno tre pioli A, B, C sui quali disporre dei dischi. Si hanno
inizialmente n dischi disposti sulla postazione A; i dischi sono tutti uguali
e sono in numero multiplo di 3. Descrivere un algoritmo per suddividere
i dischi in numero uguale nelle tre pile, nell’ipotesi di disporre di un
esecutore in grado di eseguire le seguenti operazioni: spostare un solo
disco alla volta, decidere se una pila è vuota, comparare l’altezza di due
pile. Determinare, in funzione di n, il numero di movimenti di singoli
dischi che vengono eseguiti in un processo.
16. Si hanno tre pioli A, B, C sui quali disporre dei dischi. Inizialmente
tutti i dischi sono disposti sul piolo A; i dischi sono di spessori diversi
e sono in numero multiplo di 3. nelle stesse ipotesi sull’esecutore come
indicate nell’esercizio precedente, descrivere un algoritmo per spostare
sul piolo B un terzo dei dischi presenti inizialmente in A, usando il piolo
C come postazione ausiliaria per gli spostamenti (alla fine il piolo A
dovrà contenere il doppio dei dischi presenti in B e il piolo C dovrà
risultare vuoto). Si supponga di disporre di un esecutore in grado di
spostare un solo disco alla volta ed in grado di decidere se un piolo è
vuoto.
17. Si ha una pila di blocchetti su ciascuno dei quali è segnato un numero. Si hanno a disposizione tre posizioni A, B e C e sono ammesse
le seguenti operazioni di base: spostare da una pila ad un’altra un solo
blocchetto alla volta (quello posto in cima ad una pila), comparare i valori dei blocchetti posti in cima a due pile, controllare se una pila è vuota.
Descrivere un algoritmo per determinare uno dei blocchetti con valore
minimo. Nella situazione iniziale tutti i blocchetti sono disposti nella
posizione A; alla fine del processo uno dei blocchetti con valore minimo
deve trovarsi nella posizione B e tutti gli altri blocchetti devono essere
riportati nella posizione A, disposti nell’ordine in cui erano all’inizio.
Usando il precedente algoritmo, scrivere un algoritmo per ordinare una
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84
CAPITOLO 5. PROBLEMI RISOLTI
pila di blocchetti, dal valore più grande (in basso) al valore più piccolo
(in alto).
18. Sono date tre posizioni A, B e C; nella posizione A è posto un numero
n, multiplo di 3, di monete di tipo e di spessore diversi. Descrivere un
algoritmo per ripartire equamente le monete fra le posizioni A e B in
modo che in entrambe queste due posizioni ci siano monete in un numero
uguale o al più diverso di un’unità. È indifferente l’ordine con il quale
si troveranno le monete alla fine del processo. È concesso utilizzare la
posizione C come appoggio ausiliario. L’esecutore al quale è rivolto
l’algoritmo è in grado di spostare una sola moneta alla volta, ma non
è in grado di contare né di eseguire calcoli aritmetici. Determinare, in
funzione di n, il numero di movimenti di singole monete che vengono
eseguiti in un processo.
19. Si ha una sequenza di n piatti piani e fondi disposti su uno sgocciolatoio
con n + 1 posizioni, di cui una è libera. Descrivere un algoritmo per
ordinare i piatti, mettendo all’inizio i piatti piani ed alla fine i fondi. È
consentito spostare un piatto nella posizione libera; è possibile inoltre
mettere e spostare dei segnalini colorati come segnaposto in corrispondenza di una posizione. Spiegare come è possibile codificare l’algoritmo
in linguaggio Java.
20. Stabilire le capacità che deve avere un esecutore per decidere se una data
parola (sequenza di caratteri) precede alfabeticamente un’altra. Scrivere
un algoritmo per stabilire la relazione di ordinamento lessicografico fra
due stringhe; ad esempio albero precede album mentre quadro segue
quaderno.
21. Decidere se all’interno di una stringa è presente un dato carattere.
22. Decidere se all’interno di una stringa è presente una data sottostringa.
23. Stabilire se una stringa di parentesi tonde aperte e chiuse è bilanciata,
secondo le usuali regole dell’algebra; ad esempio la stringa ()(()()) è
bilanciata mentre non lo è la stringa ())(().
24. Eliminare da una stringa un dato carattere; ad esempio, eliminando dalla
stringa montagna il carattere n si ottiene la stringa motaga. Eliminare
da una stringa le vocali; ad esempio, eliminando dalla stringa montagna
le vocali si ottiene la stringa mntgn.
25. Valutare la potenza xn , con x numero reale ed n numero naturale.
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5.7. ESERCIZI
85
26. Valutare la somma dei primi n numeri naturali.
27. Valutare il minimo numero intero maggiore o uguale a logb a.
28. Decidere se due numeri naturali sono coprimi, ossia se non hanno fattori
comuni (suggerimento: calcolare il loro minimo comune multiplo e ...).
29. Decidere se un numero naturale è una potenza di 2.
30. Decidere se un dato numero naturale è il fattoriale di un qualche numero.
31. Decidere se un dato numero naturale appartiene alla successione di Fibonacci.
32. Nell’ipotesi di disporre di un esecutore in grado di eseguire le operazioni
aritmetiche di addizione e sottrazione, determinare il prodotto fra due
numeri naturali.
33. Calcolare la parte intera della radice quadrata di un dato numero naturale; ad esempio, la parte intera della radice quadrata di 15 vale 3; la
parte intera della radice quadrata di 16 vale 4. È concesso di operare solo sui numeri naturali, mediante le quattro operazioni aritmetiche
fondamentali ed i confronti.
34. Determinare il numero dei divisori di un dato numero naturale positivo.
Ad esempio, il numero 40 è divisibile per 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 e
pertanto il numero dei suoi divisori è 8.
35. Determinare il numero di divisori propri di un dato numero naturale.
Ad esempio il numero dei divisori propri del numero 20 è 5 (1, 2, 4, 5, 10).
36. Decidere se due dati numeri naturali sono coprimi, ossia se non hanno
alcun fattore primo in comune.
37. Decidere se un dato numero naturale, considerato in notazione decimale, è palindromo, ossia se si legge indifferentemente da sinistra a destra
e da destra a sinistra. Ad esempio, i numeri rappresentati dalle seguenti notazioni decimali sono palindromi: 121, 7337, 39293. Si ipotizzi
di disporre di un esecutore in grado di eseguire le quattro operazioni
aritmetiche +, −, ∗, /.
38. Si considerino i seguenti due problemi:
P1 : Decidere se un punto è interno ad una circonferenza.
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86
CAPITOLO 5. PROBLEMI RISOLTI
P2 : Decidere se un segmento è interno ad una circonferenza.
Discutere se la soluzione di uno dei due problemi può risultare utile
alla soluzione dell’altro. Definire un coerente insieme di operazioni
elementari adeguate a risolvere i problemi. Coerentemente con queste
ipotesi, risolvere i due problemi.
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Capitolo 6
Soluzioni dei problemi
Una grande scoperta risolve un grande problema ma c’è un granello di scoperta nella
soluzione di ogni problema. Il tuo problema può essere modesto; ma se esso sfida la
tua curiosità e mette in gioco le tue facoltà inventive, e lo risolvi con i tuoi mezzi,
puoi sperimentare la tensione e godere del
trionfo della scoperta. Questa esperienza
ad una età suscettibile può creare un gusto
per il lavoro mentale e lasciare un’impronta nella mente e un carattere per tutta la
vita.
G. Polya, How to solve it
In questo capitolo verranno presentate le soluzioni dei problemi proposti
al primo capitolo.
87
88
6.1
CAPITOLO 6. SOLUZIONI DEI PROBLEMI
UN PERCORSO SUI PONTI DI KÖNISBERG
Il problema dei ponti di Könisberg venne preso in considerazione dal famoso
matematico Leonhard Euler (Basilea 1707-San Pietrobutgo 1783). Nei suoi
scritti Euler affermò che un possibile approccio al problema consiste nell’adottare un procedimento di forza-bruta che consiste nell’elencare tutti i possibili percorsi, determinando così i cammini che soddisfano al problema oppure
constatando che non esiste alcun cammino soddisfacente. Lo stesso Euler
scartò subito questo approccio per vari motivi: il numero di possibili percorsi
è enorme e difficilmente trattabile; inoltre, tale approccio crea delle difficoltà
indotte che non sono strettamente connesse con la natura del problema; altro
aspetto importante è che sarebbe desiderabile un procedimento generale, non
adatto solamente al caso specifico in questione, ma valido per una generica
configurazioni di ponti.
È evidente che certi aspetti quali la larghezza e la lunghezza dei ponti,
la grandezza dell’isola, la distanza fra i ponti sono ininfluenti. Detta in un
linguaggio matematico non sono importanti le caratteristiche metriche ma le
caratteristiche topologiche. Sulla base di questa osservazione semplificativa,
per descrivere la sua soluzione Euler denominò le varie regioni di terra connesse
dai ponti con delle lettere A, B, C, D. In questo modo il problema può essere
schematizzato con il grafo riportato in figura 6.1, costituito da 4 nodi (le
regioni) e 7 archi (i ponti)
Figura 6.1: Grafo del problema relativo ai ponti di Könisberg.
Ragionando sulla figura 6.1, risulta immediato riconoscere che il numero
degli archi collegati ad un dato nodo di passaggio del percorso deve essere
un numero pari in quanto il numero di percorsi entranti nel nodo deve essere
uguale al numero di percorsi uscenti dal nodo; pertanto si può concludere che
un percorso che passi per tutti i ponti e ritorni al punto di partenza non può
esistere.
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6.2. ALLA RICERCA DELLA
6.2
√
2
ALLA RICERCA DELLA
√
89
2
Nell’indagine scientifica, in generale, ci sono due momenti cruciali e strettamente connessi: la definizione dell’oggetto di indagine e la determinazione
dello stesso. La fase di definizione viene realizzata specificando delle proprietà caratterizzanti univocamente l’oggetto di indagine, mentre la fase di
determinazione consiste nell’attività di ricerca o di costruzione basata su una
strategia operativa. In alcuni casi la fase di determinazione viene preceduta
dalla dimostrazione di esistenza (in un prefissato insieme) dell’oggetto cercato.
In informatica il termine determinare ha una valenza molto specifica: Fissato un contesto ed un insieme di operazioni utilizzabili, descrivere un procedimento risolutivo per generare l’oggetto richiesto. Può trattarsi di un contesto
logico popolato da proposizioni e da delle regole per generare delle conclusioni
(si tratta del classico meccanismo della dimostrazione matematica); può trattarsi dell’ambiente costituito dal piano geometrico euclideo con le operazioni
di costruzioni geometriche con riga e compasso; può trattarsi dell’ambiente
aritmetico dei numeri dove sono possibili le quattro operazioni aritmetiche
di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Spesso il processo di
generazione del risultato viene descritto mediante un algoritmo.
√
In questo paragrafo considereremo come oggetto di indagine la 2. Il
professore e matematico francese Benoit Rittaud nel capitolo introduttivo del
suo libro La favolosa storia della radice quadrata di due dice:
La radice quadrata di 2, che vale approssimativamente 1, 414213562, è,
secondo la definizione attualmente più in voga, Il numero che, moltiplicato per se stesso, dà 2. È anche La radice del quadrato di dimensioni
pari a 2, ovvero la lunghezza del lato di un quadrato di area 2. È questo
carattere geometrico che fa di questa radice un punto di partenza, un’origine. Entrambe le definizioni potrebbero farci pensare di avere a che fare
con un numero buono solamente a esprimere la soluzione di un problema
di geometria per degli studenti cui si chieda di imparare che l’area A di
un quadrato di lato a è data dalla formula A = a2 . In realtà, non solo
i due aspetti (quello algebrico e quello geometrico) hanno numerosissime conseguenze in direzioni spesso inattese, ma la radice quadrata di 2
ammette ulteriori definizioni, e anche queste danno vita a ramificazioni
che si estendono ben oltre il semplice calcolo dell’area di un quadrato.
È così che i campi in cui interviene questo numero almeno quattro volte
millenario nella storia del pensiero sono di una varietà pressoché infinita. [...] Una prima caratteristica interessante della radice di 2 è che
essa rappresenta una porta aperta su interi settori della matematica, sia
antica che moderna: la geometria e la teoria dei numeri, ma anche la
logica, l’algebra, l’aritmetica, l’analisi e, più recentemente, l’algoritmica,
le strutture di dati, i numeri gadici e la dinamica simbolica.
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
90
CAPITOLO 6. SOLUZIONI DEI PROBLEMI
√
È facile mostrare che una tale 2 non è esprimibile come frazione: un
risultato che risale alla scuola pitagorica ed era ben noto a Euclide. Una
dimostrazione del risultato pitagorico, citata da Paul Erdös come una delle
più belle di tutta la matematica, è riportata a seguire.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esistano due numeri naturali p e
q tali che
p 2 p2
2=( ) = 2
q
q
Possiamo supporre che la frazione sia ridotta, ovvero che p e q siano primi fra
di loro. Dalla precedente relazione si ottiene
p2 = 2 ⋅ q 2
Ne segue che 2 divide p2 , e quindi p è pari. Quindi p = 2 ⋅ k per qualche k ∈ N.
Di conseguenza otteniamo:
2 ⋅ k2 = q2
Allora anche q è pari, in contraddizione con il √
fatto che p e q siano coprimi.
Dunque deve essere falsa l’ipotesi iniziale, cioè 2 non può essere razionale.
√
Dimostrato che 2 non può essere un numero razionale, si tratta ora di
accertarsi che tale numero esiste fra i numeri reali. Ciò è garantito dal seguente
√
TEOREMA 1 (Esistenza di 2). Nell’insieme dei numeri reali R esiste la
radice quadrata di 2, cioè un numero positivo il cui quadrato è esattamente 2.
La dimostrazione di questo teorema, che qui non viene riportata, può essere basata usando soltanto le quattro operazioni e i principi fondamentali
dell’ordinamento
di R.
√
La 2 ha anche una semplice definizione geometrica: è la lunghezza della
diagonale del quadrato di lato unitario. Questa lineare definizione ed il corrispondente metodo di costruzione con riga e compasso fa intuire che questo
numero si trova più a suo agio in ambito geometrico.
I greci traducevano i numeri in ambito geometrico, mediante segmenti la
cui lunghezza rappresentava il numero stesso; in particolare determinare un
numero significava costruire√
un segmento la cui lunghezza era il numero. In
tale contesto, determinare
2 significava costruire con riga e compasso un
√
segmento di lunghezza 2 a partire da un segmento di lunghezza unitaria.
La figura 6.2 descrive una costruzione
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
6.2. ALLA RICERCA DELLA
√
2
Figura 6.2: La costruzione di un segmento di lunghezza
segmento di lunghezza unitaria AB.
91
√
2 a partire dal
I babilonesi, usando
√ un sistema di numerazione in base 60 diedero una
approssimazione di 2, tramite
24 51
10
1+
+ 2 + 3 ≈ 1, 414213562373095...
60 60
60
Un’altra approssimazione di questo numero è quella data da un antico
testo matematico indiano, il Sulbasutras, che cita: Aumenta la lunghezza [del
lato] della sua terza parte, poi aggiungi la sua dodicesima parte, infine sottrai
un trentaquattresimo della sua dodicesima parte. Tradotta numericamente,
questa approssimazione diventa
1 1
1
577
1+ +
−
=
≈ 1.414215686
3 12 12 ⋅ 34 408
√
Esiste una gran quantità di algoritmi atti a calcolare le cifre di 2. Uno
dei più usati dai calcolatori è un antico metodo babilonese descritto di seguito.
Adottando la definizione stessa, si tratta di trovare la soluzione dell’equazione
x2 = 2. Tale equazione può essere scritta nella forma x = 2/x. Se x0 non è
la soluzione esatta di questa equazione ma una sua approssimazione, allora i
due valori x0 e 2/x0 saranno delle approssimazioni, una per difetto e l’altra
per eccesso. La soluzione effettiva sarà quindi compresa fra questi due valori.
La media fra questi due valori vale
1
2
x1 = (x0 + )
2
x0
e costituirà quindi un’approssimazione migliore.
Generalizzando, si può
generare una successione di numeri x0 , x1 , . . . , xn , . . . mediante le relazioni
x0 = valore
2
1
xn+1 =
(xn +
)
2
xn
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
92
CAPITOLO 6. SOLUZIONI DEI PROBLEMI
dove valore è una generica
approssimazione iniziale, ad esempio 1. Tale
√
successione converge a 2. Notiamo che, se x0 è un numero razionale, tutti
i valori della successione {xi } sono numeri razionali.
La tabella 6.1 riporta il processo di generazione di alcuni termini della
successione. La successione converge con velocità quadratica, ossia il numero
di decimali corretti raddoppia ad ogni iterazione. Il suo valore approssimato a
quaranta cifre decimali è: 1, 4142135623730950488016887242096980785696...
n
0
1
2
3
4
xn
1
1.5
1.4166666666666
1.41421568627451
1.41421356237469
√
Tabella 6.1: Valori della successione per il calcolo di 2 mediante il metodo
babilonese; in grassetto sono evidenziate le cifre corrette.
Maggiore è il numero di iterazioni, migliore sarà la precisione del risultato.
Nel febbraio 2006 utilizzando questo metodo sono state calcolati 200 miliardi
di cifre in 13 giorni e 14 ore. Tra le costanti matematiche irrazionali non
periodiche,
√ solo π è stata calcolata con maggior precisione.
La 2 può essere calcolata anche mediante strumenti e metodi dell’Algebra
e dell’Analisi. Ad esempio può essere espressa tramite frazione continua è
√
2=1+
1
1
2+
2+
1
2+
.
1
⋱
Rappresentazioni tramite prodotti infiniti delle funzioni seno e coseno
consentono di ricavare formule quali le seguenti:
√
∞
(4k + 2)2
2 ⋅ 2 6 ⋅ 6 10 ⋅ 10 14 ⋅ 14
=(
)(
)(
)(
)⋯
1⋅3 5⋅7
9 ⋅ 11
13 ⋅ 15
k=0 (4k + 1)(4k + 3)
2=∏
∞
√
2 = ∏ (1 +
k=0
1
1
1
1
1
1
) (1 −
) = (1 + ) (1 − ) (1 + ) (1 − ) ⋯
4k + 1
4k + 3
1
3
5
7
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
6.3. IL PROBLEMA DELLE 8 REGINE
6.3
93
IL PROBLEMA DELLE 8 REGINE
Il problema delle 8 regine consiste nel determinare le configurazioni di 8 regine
disposte su un’usuale scacchiera in modo tale che nessuna regina sia attaccata
da qualche altra; in altri termini, le 8 regine devono trovarsi su righe, su colonne e su diagonali distinte. Una configurazione che contenga 8 regine si dirà
completa, altrimenti incompleta; una configurazione (completa o incompleta)
sarà detta ammissibile se le regine soddisfano ai vincoli sopra esposti; una
configurazione completa ed ammissibile sarà chiamata soluzione 1 ; è ovvio
che una configurazione ammissibile incompleta è potenzialmente estendibile
in una soluzione. Una soluzione del problema delle 8 regine è descritta nella
figura 6.3.
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Figura 6.3: Una soluzione del problema delle 8 regine.
In generale il problema delle 8 regine può essere risolto adottando diverse
strategie:
• strategia analitica: consiste nel generare direttamente tutte e sole le configurazioni complete ammissibili; purtroppo per il problema delle 8 regine non si è (ancora?) riusciti ad individuare un procedimento risolutivo
analitico.
• strategia enumerativa: consiste nel generare direttamente tutte le configurazioni complete e valutare se ciascuna di esse sia ammissibile; relativamente al problema proposto, tale strategia risulta teoricamente
applicabile ma in pratica intrattabile in quanto le possibili disposizioni
1
Qui il termine soluzione viene usato con significato diverso dal solito: viene inteso come
risultato e non come procedimento risolutivo.
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
94
CAPITOLO 6. SOLUZIONI DEI PROBLEMI
di 8 regine su una scacchiera di 64 caselle sono pari al binomiale di 64
su 8, che è un numero intrattabile.
• strategia di backtracking: consiste nel generare dinamicamente, disponendo sulla scacchiera una regina alla volta, le varie configurazioni, abbandonando subito una strada quando ci si accorge che essa non può
portare ad una soluzione.
Nelle figure che seguono (figura 6.4) è descritto il procedimento di ricerca
della prima soluzione nel caso di una scacchiera di dimensione 4, adottando
una strategia di backtracking.
Q ○ ○
○ ○
Q ○
○
Q
(a)
Q
○ ○
Q ○
○
○
Q
(e)
Q
(i)
Q
×
Q
(b)
(c)
×
×
Q
(f )
(l)
(d)
×
Q
○
Q ○
○
Q
Q
Q
(g)
(h)
Q ○
○
Q
Q
Q
Q
Q
(m)
Q
(n)
Figura 6.4: Procedimento risolutivo per una scacchiera 4 × 4; con Q viene
indicata una regina posizionata, con × viene indicata una regina da rimuovere
perchè si è giunti ad una configurazione non più estendibile e con ○ viene
indicato un tentativo di posizionamento su una casella minacciata.
Dal punto di vista della programmazione, il procedimento risolutivo suggerito nella figura 6.4, può essere impostato mediante una procedura ricorsiva
L. Calvi - Quaderni di Informatica - Problem Solving - Feltre - 2014
6.3. IL PROBLEMA DELLE 8 REGINE
95
che assume che un certo numero di regine siano già state collocate correttamente; senza perdere in generalità si può assumere che le regine siano state
disposte nelle prime colonne; tale procedura dovrà generare tutte le soluzioni
ottenibili come estensione della configurazione ammissibile incompleta attuale;
indicando con j il numero della prossima regina che dovrà essere posta sulla
scacchiera, alla riga i (da determinarsi) ed alla colonna j (stabilita), indicheremo tale procedura con genera(j). Il procedimento completo che genera tutte
le possibili soluzioni viene innescato dalla chiamata genera(1) che partirà dalla
situazione iniziale di scacchiera vuota.
configurazione
incompleta
ammissibile ⋆
i
j
Figura 6.5: Schema del procedimento risolutivo per il problema delle 8 regine.
Algoritmo 24 - Genera(j)
1: # generazione delle configurazioni complete ed ammissibili,
2: # assumendo che j − 1 regine siano già state collocate
3: # nelle prime j − 1 colonne
4: for tutte le righe i da 1 a N do
5:
if la posizione (i, j) è sicura then
6:
posiziona la regina in (i, j)
7:
if la scacchiera è completa then
8:
si è ottenuta una soluzione
9:
else
10:
genera(j + 1)
11:
end if
12:
togli la regina dalla posizione (i, j)
13:
end if
14: end for
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96
CAPITOLO 6. SOLUZIONI DEI PROBLEMI
6.4
IL MASSIMO COMUNE DIVISORE
Direttamente dalla definizione di massimo comune divisore può essere ricavato un algoritmo per la determinazione del massimo comune divisore fra due
numeri naturali m e n (algoritmo 25).
Algoritmo 25 - Calcolo del massimo comune divisore fra due numeri naturali
Input: numeri naturali m e n
Output: massimo comune divisore fra m ed n
1: costruisci l’insieme M dei divisori di m
2: costruisci l’insieme N dei divisori di n
3: costruisci l’insieme intersezione P = M ∩ N
4: determina il massimo p dell’insieme P
5: return p
Per questo algoritmo le capacità richieste all’esecutore consistono nel
• determinare l’insieme dei divisori di un numero naturale
• determinare l’insieme intersezione di due insiemi dati
• determinare il massimo di un insieme di numeri
Questo algoritmo risulta di scarsa utilità per essere eseguito su un calcolatore
in quanto richiede delle operazioni molto onerose dal punto di vista dell’esecuzione, in particolare il calcolo degli insiemi dei divisori dei due numeri.
Un altro algoritmo risolutivo, funzionalmente equivalente al precedente,
solitamente riportato sui testi elementari di aritmetica, può essere descritto
come riportato nell’algoritmo 26.
Algoritmo 26 - Calcolo del massimo comune divisore fra due numeri naturali
Input: numeri naturali m e n
Output: massimo comune divisore fra m ed n
1: scomponi m in fattori primi
2: scomponi n in fattori primi
3: considera solo i fattori comuni
4: fra i fattori comuni scegli quelli con esponente minore
5: determina il prodotto p fra questi fattori
6: return p
Tale algoritmo richiede che l’esecutore possieda le capacità di
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6.4. IL MASSIMO COMUNE DIVISORE
97
• scomporre un numero in fattori primi
• selezionare i fattori desiderati
• eseguire il prodotto di più fattori
L’aspetto più penalizzante consiste nel fatto che questo algoritmo richiede la
scomposizione di m ed n in fattori primi; poiché attualmente non si conoscono degli efficienti metodi per la scomposizione in fattori primi, anche tale
algoritmo risulta di scarsa utilità.
Nei due precedenti gli algoritmi le capacità richieste all’esecutore sono abbastanza complesse e mal si adattano all’uso di un calcolatore. Un algoritmo
alternativo che richiede all’esecutore delle semplici capacità di calcolo, e che,
pertanto, si presta ad essere facilmente eseguito da un calcolatore è stato ideato
da Euclide ancora nel IV sec. a.C. e descritto per la prima volta nel Libro VII,
Proposizione 2 degli Elementi di Euclide. Da degli studi storici si è propensi
comunque a ritenere che questo metodo fosse noto almeno due secoli prima di
Euclide e certamente era noto ad Eudosso attorno al 375 a.C.. Si è accertato inoltre che tale metodo era noto indipendentemente anche dagli antichi
cinesi. Tale algoritmo evita il ricorso alla scomposizione in fattori e richiede
all’esecutore delle capacità più elementari di quelle richieste dai due algoritmi
presentati precedentemente. Nel testo di Euclide l’algoritmo è formulato in
modo diverso da come compare usualmente sui testi attuali in quanto i greci
non consideravano l’unità come un divisore di un numero, ed inoltre, al tempo,
lo zero non era ancora noto. Tale algoritmo si fonda sulle seguenti proprietà
del massimo comune divisore:
mcd[m, 0] = m
mcd[m, n] = mcd[n, m%n]
L’algoritmo derivato da queste proprietà, anche se con qualche variazione rispetto all’originale, è descritto mediante la tavola di traccia riportata nella
figura 6.6, relativa al caso m = 16, n = 42.
L’algoritmo sotteso da questa tavola di traccia può essere espresso mediante
l’algoritmo 27.
Il procedimento appena descritto costituisce un algoritmo effettivo se l’esecutore al quale è rivolto possiede le capacità indicate nel testo del procedimento stesso. Per rendere più istruttivo l’esempio, supponiamo che l’esecutore
non sappia valutare il resto della divisione intera, bensì sappia applicare solo
le quattro operazioni (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione). In
tale ipotesi, per rendere effettivo l’algoritmo è sufficiente tradurre ed esprimere le azioni non eseguibili dall’esecutore in termini delle azioni effettivamente
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98
CAPITOLO 6. SOLUZIONI DEI PROBLEMI
m
16
42
16
10
6
4
2
n
42
16
10
6
4
2
0
m%n
16
10
6
4
2
0
Figura 6.6: Tavola di traccia dell’algoritmo di Euclide.
Algoritmo 27 - Algoritmo di Euclide per il calcolo del mcd[m, n]
Input: numeri naturali m e n
Output: massimo comune divisore fra m e n
1: while n ≠ 0 do
2:
r ← m%n
3:
m←n
4:
n←r
5: end while
6: return m
eseguibili. L’istruzione r ← m%n può essere espressa mediante le istruzioni
(effettivamente eseguibili) riportate nell’algoritmo 28.
Algoritmo 28 - Calcolo del resto r della divisione m/n
Input: numeri naturali m e n
Output: resto r della divisione intera fra m e n
1: d ← m/n
2: p ← d ∗ n
3: r ← m − p
Nel caso l’esecutore abbia le capacità di eseguire solo l’addizione e la sottrazione, l’algoritmo effettivo sarebbe ancora più lungo. Viene lasciato per
esercizio.
L’algoritmo di Euclide evidenzia che è possibile organizzare fra loro in modo complesso delle azioni molto elementari per eseguire delle azioni equivalenti
che richiederebbero delle capacità più elevate. È proprio quello che si intende
fare con i programmi per i calcolatori.
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6.5. LA SCACCHIERA MUTILATA
6.5
99
LA SCACCHIERA MUTILATA
Il problema della scacchiera mutilata può essere risolto dimostrando che non
è possibile le 31 tessere del domino in modo tale che ricoprano la scacchiera
mutilata. Tale risultato viene ottenuto mediante un tipico esempio di ragionamento esterno al contesto. La dimostrazione che segue è generalizzata al
caso di una scacchiera quadrata di n caselle per lato.
Dimostrazione. Se n è dispari la risposta è negativa e facilmente motivabile
in quanto n2 − 2 è un numero dispari. Nel caso di n pari, ragionando internamente al sistema una soluzione potrebbe essere trovata cercando delle
possibili disposizioni dei tasselli oppure rispondendo negativamente al quesito
posto dal problema qualora nessuno di tutti i possibili tappezzamenti conduca
al successo. Ovviamente, tale strategia risulta difficilmente applicabile ed
inoltre mal si presta ad individuare un metodo generale valido per ogni valore
n del numero di quadretti su ogni lato del reticolo. Risulta dunque spontaneo
tentare di trovare delle soluzioni al problema ragionando fuori del sistema.
L’idea base, che costituirà la linea di appoggio per la soluzione, consiste nel
considerare il quadrato reticolato come fosse una scacchiera avente i quadretti
alternativamente bianchi e neri. È evidente allora, con quest’artificio, che i
quadretti angolari tolti dal reticolo hanno uno stesso colore in quanto appartengono ad una stessa diagonale. La conclusione immediata che ne deriva è:
la scacchiera privata di due caselle agli angoli opposti non può essere ricoperta
con delle tessere da domino poiché tali tessere ricoprono sempre un numero
uguale di caselle bianche e nere, in quanto ogni tessera, comunque disposta
sulla scacchiera, ricopre sempre un quadrato bianco ed uno nero.
Il problema posto si può naturalmente generalizzare ammettendo delle tessere da domino che coprono un numero pari di quadrati bianchi e neri, come
ad esempio i seguenti:
Anche ammettendo delle combinazioni e la possibilità di ribaltamenti di queste
forme, il problema sopra proposto non ammette soluzione.
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100
CAPITOLO 6. SOLUZIONI DEI PROBLEMI
6.6
NESSUNA STRADA PORTA A MU
A seguire è riportata la soluzione, in negativo, del problema del sistema MU
proposto alla fine del primo capitolo. Anche in questo caso viene applicato
un tipico ragionamento esterno al sistema.
La dimostrazione può essere sviluppata come segue. La configurazione
MU non contiene I. Quindi, nella generazione delle configurazioni, si devono
applicare delle regole che eliminano la I di MI. Le regole che modificano il
numero di I sono la (b) e la (c). La (b) raddoppia il numero delle I, mentre
la (c) permette di eliminare le I di un multiplo di 3. Poichè queste due regole
non modificano la divisibilità per 3 del numero di I, partendo da una I, si
conclude che nessuna combinazione delle regole (b) e (c) può eliminare la I
della configurazione iniziale MI.
6.7
ESERCIZI
1. Scrivere un algoritmo per il calcolo di
nese descritto nel paragrafo 6.2.
√
2 basandosi sul metodo babilo-
2. Scrivere un algoritmo corrispondente alla seguente espressione della
mediante una frazione continua:
√
√
2
1
2=1+
1
2+
2+
1
2+
1
⋱
.
√
3. Scrivere degli algoritmi per il calcolo di 2 basati sulle rappresentazioni
mediante prodotti descritti alla fine del paragrafo 6.2.
4. Discutere se la seguente affermazione è vera: Data una soluzione del
problema delle regine per un dato n, eliminando la riga e la colonna
contenente una data regina si ottiene una soluzione del problema per
n − 1 regine.
5. Dimostrare che l’algoritmo 24 per la soluzione del problema delle n regine, fornisce tutte le soluzioni. Determinare la massima profondità di
ricorsione dell’algoritmo.
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6.7. ESERCIZI
101
6. Il Problema del giro del cavallo degli scacchi consiste nel passare su tutte
le caselle di una scacchiera muovendo un cavallo secondo le regole degli
scacchi, senza passare su una casella visitata precedentemente. Scrivere
un algoritmo che risolva il Problema del giro del cavallo degli scacchi.
7. Dimostrare che una scacchiera quadrata alla quale vengono tolte 2 caselle
(ovunque poste) non può essere ricoperta con tessere di area uguale a
3 unità. Quelle che seguono sono le uniche forme distinte (a meno di
rotazioni e di ribaltamenti). Suggerimento: è sufficiente dimostrare che
n2 − 2 non è divisibile per 3.
Qui il ragionamento fuori del sistema porta ad una conclusione più forte
di quanto sarebbe stato necessario. Non vale il viceversa, ossia se un
numero è divisibile per 3 non è detto che sia ricopribile con domini di 3
quadrati.
8. Dimostrare che una scacchiera quadrata avente n = 2k caselle per lato
(n = 4, 8, 16, . . . ) alla quale viene tolta una casella d’angolo, è sempre
ricopribile con tessere di 3 caselle ciascuna, disposte a forma di L.
9. Stabilire se le seguenti figure sono disegnabili con un unico percorso, senza alzare la penna dal foglio e senza ripassare su un tratto già disegnato.
In caso affermativo, descrivere il percorso.
Corrispondentemente a ciascuna delle scomposizioni individuate, descrivere un algoritmo per disegnare la figura.
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