FAM
Serie 36: Elettrodinamica XI
C. Ferrari
Esercizio 1 Un’identità utile
Dimostra che
~ =G
~ · rot F~ − F~ · rot G
~
div F~ ∧ G
~ ∈ C 1 (R3 ; R3 ) .
F~ ,G
Esercizio 2 Onde elettromagnetiche ed energia
Considera un’onda elettromagnetica.
1. Dimostra che, per le onde elettromagnetiche, la densità di energia “elettrica”
è uguale a quella magnetica.
2. Se l’onda è armonica e polarizzata linearmente verifica che
r
r
µ0 2
ε0 2
1
1
hIi =
µ0 E0 =
ε0 B0
2
2
Esercizio 3 Situazioni reali
Nelle situazioni descritte sotto identifica il vettore di Poynting e quindi il flusso di
energia elettromagnetica, considera delle situazioni stazionarie.
1. Un conduttore rettilineo; verifica che il flusso di energia elettromagnetica è
dissipata per effetto Joule.
2. Circuiti elettrici.
I
I
L
G
I
L1
L2
G
(a)
G
(b)
Indicazione: tra i fili, prima e dopo la lampadina (
potenziale ed un campo elettrico.
N
) esiste una differenza di
3. Nella situazione (b), se si spegne il generatore di sinistra cosa succede?
1
Esercizio 4 Pressione di radiazione
Poiché le onde elettromagnetiche trasportano quantità di moto, quando sono assorbite o riflesse da una superficie esse esercitano una certa pressione, chiamata
pressione di radiazione. Il principio di base è identico alla situazione in cui la
pressione è esercitata da una gas. Stabilisci i seguenti risultati.
1. La pressione di radiazione di un’onda EM, incidente perpendicolarmente alla
superficie di area A, se essa è completamente assorbita vale
prad = cg = uem = ε0 E 2 .
2. La pressione di radiazione di un’onda EM, incidente perpendicolarmente alla
superficie di area A, se essa è completamente riflessa vale
prad = 2cg = 2uem = 2ε0 E 2 .
3. Se l’onda EM si propaga in tutte e tre le direzioni spaziali si ha
prad = 1 uem
assorbimento totale
3
prad = 2 uem
3
riflessione totale
4. Per comprimere gas allo stato di plasma si possono usare laser ad elevata
potenza sfruttandone la pressione di radiazione. Un laser, che genera impulsi
di radiazione con picchi di potenza di 1,5 · 103 MW, è focalizzato su 1,0 mm2
di plasma ad alta densità di elettroni. Determina la pressione esercitata sul
plasma, ammettendo che esso rifletta perfettamente.
5. La radiazione elettromagnetica proveniente dal Sole ha un’intensità pari a
I = 1,4 · 103 W/m2 (appena fuori dall’atmosfera).
(a) Assumendo che la Terra (e la sua atmosfera) si comporti come un disco
piatto perpendicolare ai raggi del Sole e che tutta l’energia venga assorbita, determina la forza esercitata dalla pressione di radiazione sulla
Terra.
(b) Confronta con la forza gravitazionale dovuta all’attrazione del Sole.
Esercizio 5 Dipolo di Hertz
1. Verifica che il vettore di Poynting associato alle onde elettromagnetiche generate da un dipolo elettrico è perpendicolare a qualsiasi sfera di raggio r ≫ d
centrata sul dipolo. Fai un disegno.
2. Rappresenta in un diagramma polare la curva I(θ) per un dipolo oscillante,
verifica che il dipolo elettrico non emette nella direzione del suo asse.
2
Esercizio 6 Legge di Malus
Un fascio di luce naturale (non polarizzata) attraversa una serie di polarizzatori
ognuno dei quali ha l’asse di polarizzazione ruotato di 45◦ rispetto al precedente.
Determinare quale frazione dell’intensità (media) del fascio incidente è presente nel
fascio uscente dal terzo polarizzatore.
Esercizio 7 Lamina quarto d’onda
Considera una lamina di calcite (no = 1,66, ns = 1,49). La radiazione elettromagnetica che incide normalmente ha una lunghezza d’onda di λ = 0,6 µm e un’intensità
I0 = 400 W/m2 . Il campo elettrico incidente è dato da
E
cos(kz
−
ωt)
0
√
~
E(z,t)
= 3E0 sin(kz − ωt) .
0
L’asse ottico è parallelo all’asse x.
asse ottico
x
x
α
z
y
y
d
1. Che tipo di polarizzazione possiede l’onda incidente?
2. Calcola lo spessore minimo della lamina affiché agisca come lamina quarto
d’onda. Qual è lo stato di polarizzazione dell’onda trasmessa?
3. Se ortogonalmente all’onda trasmessa viene posto un polarizzatore il cui asse
forma un angolo α = 80◦ con l’asse x, determina l’intensità dopo il polarizzatore.
3
