Analisi Statistica del Disco di Festo

POLITECNICO DI MILANO
DOTTORATO DI RICERCA IN GEOMATICA E INFRASTRUTTURE
ANALISI STATISTICA
del
DISCO DI FESTO
Le due facce del Disco di Festo
Dottorando:
Tutor:
Coordinatore:
Ettore Scorsetti
Prof. Luigi Mussio
Prof. Fernando Sansò
Analisi Statistica del Disco di Festo
INDICE
Introduzione
Il ritrovamento del Disco di Festo
Caratteristiche del Disco
La decifrazione
p.
p.
p.
p.
4
4
5
7
Statistica descrittiva dei simboli del Disco di Festo
Breve accenno teorico
Il trattamento dei dati relativi al Disco di Festo
Studio della variabile statistica semplice
La posizione dei simboli nei segmenti
Analisi di dipendenza della variabile doppia
Connessione e regressione: indici di Bonferroni e Pearson
Correlazione: dipendenza lineare
p.
p.
p.
p.
p.
p.
p.
p.
12
12
13
16
23
24
41
42
Inferenza statistica sui risultati delle variabili semplici e doppie
p.
Test parametrici sulla variabile semplice
p.
- Test su due medie normali con varianze note
p.
- Test su due medie con varianze incognite uguali
p.
- Test su due medie con varianze incognite diverse
p.
- Test su due varianze
p.
Test non parametrici sulla variabile semplice
p.
- Test di Rango
p.
Test di Mann-Whitney
p.
Test di Siegel-Tuckey
p.
- Test di Segno
p.
Test di Thomson: test del segno per i valori centrali p.
Test del segno per i valori di dispersione
p.
- Test di Kolmogorov-Smirnov
p.
- Test di Pearson
p.
Test sulla variabile doppia
p.
- Test parametrico sul coefficiente di correlazione
tra le due facce
p.
- Test non parametrico sul coefficiente di correlazione
di Spearman tra le due facce
p.
- Test parametrico sul coefficiente di correlazione della
regressione lineare sulle successioni di sillabe nelle
due facce
p.
- Test
della regressione lineare sulla successione di
sillabe nelle due facce
p.
60
60
60
61
62
63
65
65
65
66
68
68
68
69
70
72
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72
73
75
78
2
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Grafi per la visualizzazione delle successioni tra sillabe nelle due facce
p. 85
Visualizzazione di frequenze tematiche nelle due facce con
Cluster Analysis
p. 88
Piani 2K
K
Piani 2 : prima prova
Piani 2K: seconda prova
p. 108
p. 109
p. 153
Conclusione
I commenti di un’archeologa filologa e linguista
Giocando con le prime otto terzine dell’Inferno e con una prima
pagina del New York Times
p. 195
p. 195
Appendice
Controllo statistico della qualità
p. 204
p. 205
Bibliografia di riferimento
p. 281
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p. 200
3
Analisi Statistica del Disco di Festo
INTRODUZIONE
IL RITROVAMENTO DEL DISCO DI FESTO
Il Disco di Festo è un reperto ritrovato nell'omonima città di Festo sull'isola di
Creta, sotto un muro di un palazzo minoico di età ellenistica, durante una
spedizione archeologica guidata da Luigi Pernier nel mese di luglio dell’anno 1908.
E’ un disco di terracotta non perfettamente rotondo, di dimensioni variabili tra 158
– 166 mm di diametro e 16 – 21 mm di spessore, cosparso di simboli figurali
rimasti indecifrati, impressi con stampino quando l’argilla era ancora fresca e
disposti a spirale su entrambe le facce.
La datazione stratigrafica ne attribuisce l’età al 1700 a.C. In effetti, il Disco di
Festo fu trovato all’interno della cerchia delle mura del primo palazzo che si
trovava ad un livello inferiore rispetto alla cinta muraria del secondo palazzo, come
si può facilmente capire dalla Figura 1.
Figura 1: Pianta del palazzo minoico in cui fu ritrovato il Disco di Festo.
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4
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Il palazzo di Festo, eretto sull’orlo di una ripida collina con una superba vista sulla
pianura di Messarà ad Est, e sul massiccio dell’Ida a Nord, godeva di una
invidiabile posizione. Secondo, per dimensioni, solo a quello di Cnosso, era,
rispetto a questo, avvantaggiato per la sua posizione incantevole e per l’aria e il
clima.
L’oggetto per le sue caratteristiche e per il luogo in cui è stato ritrovato è sempre
stato considerato come un qualcosa di unico e antichissimo; inoltre gli si può
attribuire una funzione importante, sacrale, strategica o legata al messaggio che
contiene.
Molteplici e illustri studiosi si sono cimentati nel corso degli anni nella sua
interpretazione, proponendo soluzioni più o meno logiche e coerenti, affascinanti o
paradossali; e in effetti, sono quasi cent’anni che il Disco di Festo ha dato vita a un
proliferare di storie e di teorie, quasi fosse un oggetto magico che le contenga
davvero tutte e che, dotato di una propria anima, si diverta a raccontarne volta per
volta una diversa.
Per questo motivo, e data l’esiguità del campione, non è possibile fare un’unica
traduzione del contenuto del Disco, né smentire qualsiasi traduzione proposta,
seppure di fantasia.
CARATTERISTICHE DEL DISCO
Il disco di Festo non è perfettamente circolare: il suo diametro varia tra 158 e 166
mm, mentre lo spessore tra 16 e 21 mm, elementi che fanno supporre che sia stato
ottenuto per compressione da un’argilla di ottima qualità.
Entrambe le facce sono coperte di linee graffite (a mano, probabilmente mediante
uno stilo dalla punta dura e sottile) e di caratteri impressi a stampa quando l’argilla
era ancora fresca.
Il disco presenta un’iscrizione a spirale caratterizzata da segni radunati in gruppi,
separati l’uno dall’altro da un trattino che collega fra di loro i giri della spirale.
Convenzionalmente abbiamo definito A e B le due facce di cui è composto: sulla
faccia A sono contenuti 31 gruppi di segni per un totale di 123 segni, mentre sulla
faccia B vi sono 30 gruppi di segni per un totale di 119 segni. Il numero di segni
differenti leggibili sul disco è pari a 45.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Il punto di origine per la lettura del disco è indicato da una linea verticale affiancata
da 5 puntini collocata nella parte più esterna sia nella faccia A che B.
I caratteri del disco di Festo sono stati impressi con una serie di 45 punzoni e
rappresentano probabilmente il primo caso nella storia di un’iscrizione realizzata
con caratteri mobili, purtroppo andati persi.
Faccia A
Figura 2: Rappresentazione grafica della faccia A del Disco di Festo.
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Faccia B
Figura 3: Rappresentazione grafica della faccia B del Disco di Festo.
LA DECIFRAZIONE
Il Disco di Festo, già sotto questo profilo, presenta una sua singolarità. Le varie
"sezioni" del "testo" sono nettamente distinte e separate le une dalle altre, con un
sistema di barrette verticali che, unite alla linea della spirale, finiscono con
l'incasellare ogni unità semantica in uno spazio fortemente delimitato che poco
concede al libero dipanarsi della parola. Dall’analisi dei segni si nota che essi (123
sul lato A, e 119 sul lato B) non appaiono assimilabili ad alcuna forma nota di
scrittura, ed anche la loro cifra linguistica è discutibile. Vediamo di capirne il
perché.
Chi ha sostenuto la tesi che si tratti di scrittura ha dovuto affermare, a cominciare
da Ventris e Chadwick nel loro Documents in Mycenaean Greek, che trattasi
verosimilmente di una scrittura di tipo egeo, e comunque sillabica.
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D'altra parte finora nessuno ha messo in dubbio che si tratti di una forma di
scrittura, ma nonostante ciò nessuno è riuscito a "decifrare" l'oscuro messaggio che
ci viene da un tempo tanto remoto né, peraltro, a riconoscere il registro di una tale
forma di comunicazione.
Non sappiamo che valenza abbiano i segni, se acrofonica o d'altro tipo, né
sappiamo se trattasi di lingua affine al ceppo ie.; ma un'analisi linguistica può anche
prescindere da codesti elementi. Si nota che solo un paio di "parole" su entrambi i
lati del disco finiscono con il medesimo segno, e questo denota che se si tratta di
lingua non è del tipo flessivo.
Questa caratteristica appare quanto meno strana in quell'area geo-linguistica che va
dai Balcani ai limiti delle regioni microasiatiche.
Inoltre anche altri elementi ci fanno dubitare che si tratti di un linguaggio. Si
potrebbe ipotizzare un linguaggio di tipo sillabico, ma diverse sezioni presentano
una serie di 6 o addirittura 7 segni, il che indicherebbe la presenza di parole
eccessivamente lunghe.
E’ bene sottolineare che dall’analisi interna dei segni per ogni sezione appare
strano, ad esempio, che il segno del "guerriero con elmo" appaia soltanto all'inizio
di ogni sequenza in entrambi i lati del disco; che esistano serie di due segni ripetuti
ma mai all'inizio della sequenza e che esistano varianti di "posizione" di taluni
segni, posti ruotati talvolta di 45° o di altri che sono stati sfasati senza, perciò,
indicare una atipica loro specificità.
Insomma, la singolarità della cifra semantica delle varie sequenze del Disco di
Festo impedisce agli studiosi di credere che si tratti di linguaggio.
In sintesi, il fatto che ogni “parola”, ovvero ogni sequenza, presenti un impianto
strutturale e morfologico sempre diverso, nel quale si individuano ben 33 "suffissi"
diversi (23 A / 10 B), in un "testo" tutto sommato cosi breve, rafforza l'ipotesi che
non si tratta di scrittura.
Proprio per questo si sono sviluppate altre ipotesi interpretative, tra cui quella
iniziale secondo la quale il Disco di Festo altro non è che un "normalissimo"
calendario-diario ad uso e consumo, forse, dei giovani (o della gente in genere) di
quel tempo; per cui altro dev'essere il codice di lettura del reperto per poterne
valutare esattamente lo spessore.
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Quello che colpisce è il numero delle sezioni in cui è divisa ogni faccia del disco:
31 sul lato A, e 30 sul lato B. E' una singolarità troppo evidente per essere
trascurata, né può trattarsi di semplice coincidenza. Qui, la circolarità dell'oggetto è
in relazione al circolo solare ed al suo moto durante l'anno e appare configurare
l'immagine del cielo e quindi il computo del tempo in relazione agli eventi astrali o
stagionali.
Questo si legge, si intuisce, immediatamente al primo approccio; quindi,
analizzando il "testo", inizia a prendere forma la consapevolezza che il cerchio
voglia esprimere, rappresentare in maniera immediata e simbolica, conoscenze geomatematiche che attengono alla figura.
Si tratta, fra l'altro, di un oggetto didattico, come tanti altri in uso in antichità; come
le anforette etrusche che recano graffito l'alfabeto, quelle di Graviscae, di Formello,
di Viterbo, e di Cerveteri. All'inizio si pensò erroneamente che il mese potesse
essere suddiviso per "settimane". Considerando che potevano essere, ad esempio, di
31 giorni i mesi estivi e di 30 quelli invernali, era intuitivo domandarsi se c'era un
numero distintivo di quella cultura per il quale il mese potesse essere suddiviso.
Ponendo, difatti, il 5, le serie che si formano sono.
19, 20, 19, 23, 19, 19, 3
20, 19, 19, 19, 19, 21.
Il 19, come insieme di attività da compiere per "settimana", ritorna con una certa
frequenza. Ma una suddivisione del mese in periodi, per quel tempo, non è
assolutamente ipotizzabile.
Ma v'è un'altra analisi che appare ancor più sconvolgente. Se si assume come
"diagonale" del disco il raggio, la sezione, che individua il cerchio presso il punto
d'inizio del "testo", si vede chiaramente che per ogni "spira" v'è (per ambo i lati)
una sola serie che appare, multipla del 3.
12 , 9 , 6 , 3 , 1 (lato A)
12 , 9 , 6 , 3 (lato B).
Il che è ancora più straordinario, in quanto dimostra che a quel tempo il calcolo (sia
pure in un sistema a base dieci) era già basato sul 3 e sui suoi multipli. L'immagine
esplosa delle due facce appena vista lo indica chiaramente. Per cui anche l'anno
doveva essere, anzi già era di dodici mesi. Difatti:
6 mesi di 31 gg. = 186 gg.
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6 mesi di 30 gg. = 180 gg.
totale 366 gg.
Per quanto riguarda i segni, tutte e due le facce iniziano con la stessa immagine,
quella del guerriero con l'elmo
: segno che l'attività guerresca era primaria e
fondamentale per la comunità.
Altre attività appaiono chiaramente identificabili, come quella dell'esercitarsi con
l'arco
o corazze
, quella di saper andar per mare
, di costruire elmi
, di dedicarsi poi alla concia delle pelli
usare la raspa, il trapano
e l’ascia
addirittura di fare musica
.
, del saper
, o di dedicarsi all'agricoltura, o
Altri segni sono meno facilmente identificabili, e dalla capacità che si avrà di
poterli riconoscere dipenderà la possibilità di poter tracciare un quadro delle
abitudini e della cultura di tale popolo, il quale fu anche pescatore, curò le attività
ginniche, fu dedito alla pastorizia, introdusse la coltura del fico e stabilì
probabilmente rapporti particolari con l'altro sesso, infatti la figurina di donna deve
pur avere un suo particolare significato, anche se ancora esso non ci appare chiaro.
Così come non sono chiari altri segni, la cui valenza e cifra devono essere
riconosciute.
Altri segni, poi, sembrano richiamarci ad alcuni elementi che troviamo nella
scrittura Lineare B, di cui il Disco di Festo deve essere coevo; perché, se la scrittura
Lineare B è testimoniata in tavolette stilate intorno al XVI sec. a.C., essa è così
bene e compiutamente strutturata che la sua formazione deve risalire per forza di
cose a secoli precedenti, per cui il disco in questione, in questo caso, altro non fa
che testimoniare la presenza di elementi pittografici che, nel linguaggio, assumono
intanto la valenza di fonogrammi.
Questi sono il cerchio puntato
appare nettamente stilizzata
e l'ascia bipenne
che nel miceneo
nel segno che anticipa il moderno fonema T.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Nonostante ciò che è stato detto fino ad ora, in questo lavoro è stata presa in
considerazione l’ipotesi che i simboli presenti nelle due facce siano lettere e che
ciascun gruppo sia una parola; facendo uso di note specifiche di matematica
discreta, si è quindi sviluppata un’analisi statistica sulle sequenze dei caratteri
contenuti.
Il lavoro presentato nel seguito è stato così strutturato: si è innanzitutto sviluppato
uno studio di tipo prettamente statistico dei dati forniti, partendo dalla statistica
descrittiva generale, affrontando l’analisi della variabile statistica semplice e
successivamente di quella doppia.
Sono stati costruiti, di volta in volta, grafici sulle frequenze dei simboli sia dal
punto di vista globale che considerando le due facce prese singolarmente.
Si è valutata la dipendenza tra i diversi caratteri di ciascuna faccia del Disco di
Festo – ognuna analizzata prima dall’interno verso l’esterno e poi viceversa –
tramite il coefficiente di Bonferroni e un’analisi di correlazione lineare attraverso
un apposito programma, che ci ha permesso di disegnare le rette di regressione dei
dati.
Abbiamo poi
proseguito con i test di buon adattamento sugli indici statistici
provenienti da quest’ultima analisi, test di indipendenza classici e di KolmogorovSmirnov, test di Pearson per la normalità, test chi quadro sulla varianza, test t su
ciascun parametro delle rette e test sul coefficiente di correlazione.
Lo studio dei grafi per la visualizzazione delle successioni tra sillabe, la Cluster
Analysis per la visualizzazione delle frequenze tematiche nelle due facce e in
conclusione lo studio dei piani 2k.
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STATISTICA DESCRITTIVA DEI SIMBOLI DEL
DISCO DI FESTO
BREVE ACCENNO TEORICO
Parliamo di statistica descrittiva quando si raccolgono, ordinano, riassumono,
presentano e analizzano dati relativi a una popolazione o a un campione.
Un discorso preciso sulla statistica descrittiva si avvia con la definizione di variabile
statistica e di variabile casuale, la postulazione di un’identità formale fra le stesse e
la presentazione delle loro principali statistiche.
Le variabili statistiche sono il risultato di esperimenti e, pertanto, sono concrete
(ovvero costruite da dati reali od osservazioni), finite (perché qualsiasi esperimento
incontra evidenti limiti di spazio, tempo ed altre condizioni limitative) e discrete
(perché qualsiasi esperimento è eseguito con una determinata accuratezza).
Conseguentemente esse sono caratterizzate da un insieme di valori argomentali
(eventualmente raggruppati in classi), associati a frequenze elementari (assolute,
come risultato di un conteggio, oppure relative, se la totalità è normalizzata a uno)
ed alle frequenze cumulate delle frequenze elementari.
Le variabili casuali sono modelli interpretativi e, pertanto, sono astratte (ovvero
costituite da dati ideali od osservabili) e, in generale, illimitate e continue (anche se
raramente, a eccezione della teoria dei giochi, esse possono essere finite e discrete).
Di conseguenza sono caratterizzate da un campo d’esistenza associato a una
funzione densità di probabilità e a una funzione distribuzione di probabilità
(comunemente detta probabilità). L’identità formale fra le variabili statistiche e
variabili casuali discende dalla loro completa indistinguibilità, a valle della loro
definizione. Allora la presentazione delle principali statistiche può essere eseguita
congiuntamente per entrambe.
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IL TRATTAMENTO DEI DATI RELATIVI AL DISCO DI FESTO
Il Disco di Festo presenta sulla faccia A 31 gruppi di segni, per un totale di 122
segni, e sulla faccia B 30 gruppi di segni per un totale di 119 segni (tabella 1). Il
numero di segni differenti e leggibili sul Disco è pari a 45.
Per poter effettuare la nostra analisi, si sono infatti numerati i simboli dall’1 al 45
come indicato in Figura 4 e sulla base di questi, si sono costruiti tutti i principali
indici statistici, nonché le varie distribuzioni di frequenze assolute (Figura 5).
Figura 4: I 45 simboli raffigurati sul Disco di Festo secondo la numerazione di riferimento
utilizzata nel presente lavoro.
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Caratteri
Presenze
Faccia A
Presenze
Faccia B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
totale
6
14
2
1
0
2
3
1
0
4
1
15
3
1
0
0
1
6
3
0
2
0
5
1
2
5
10
2
3
0
5
2
2
1
5
0
2
3
1
3
2
0
0
1
2
122
5
5
0
0
1
2
15
4
2
0
0
2
3
1
1
2
0
6
0
2
0
5
6
5
5
1
5
0
8
1
0
1
4
2
6
4
2
1
3
3
0
1
1
0
4
119
Presenze
Faccia
A+B
11
19
2
1
1
4
18
5
2
4
1
17
6
2
1
2
1
12
3
2
2
5
11
6
7
6
15
2
11
1
5
3
6
3
11
4
4
4
4
6
2
1
1
1
6
241
Tabella 1: Frequenze assolute dei simboli sulle due facce.
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Istogramma dei caratteri simbolici
20
18
16
14
12
f1
10
f2
f1+f2
8
6
4
2
0
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45
Figura 5: Istogramma delle frequenze assolute dei simboli su ciascuna faccia
separatamente e complessivamente.
Per dare un aspetto più regolare all’istogramma sopra riportato sono stati riordinati i
dati, attribuendo il valore 1 al carattere che compare con la frequenza maggiore e
valori crescenti al diminuire delle presenze, come riassunto in tabella 2 e, in seguito,
sono stati realizzati i corrispondenti istogrammi (riportati nelle figure 5, 6 e 7).
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Analisi Statistica del Disco di Festo
STUDIO DELLA VARIABILE STATISTICA SEMPLICE
Per le variabili a una dimensione (rappresentabili con diagrammi di frequenza o
istogrammi, come pure con istogrammi cumulati o cumulogrammi), le principali
statistiche rispondono alla quantizzazione delle idee di:
centro, ovvero la determinazione, attraverso opportune procedure, di moda e
mediana e, attraverso algoritmi, della media (aritmetica, geometrica, armonica,
ponderata, potata, ecc.);
dispersione, descrivibile ricorrendo al calcolo di ampiezza, mav e varianza;
forma, ovvero al calcolo dell’indice di simmetria e della curtosi (comportamento
delle code).
Per poterci riferire ad una distribuzione approssimabile ad una normale, abbiamo
proceduto allo sdoppiamento dei dati, ovvero abbiamo alternativamente attribuito
valori negativi ai dati presenti, in modo da ottenere i seguenti istogrammi a
campana; abbiamo poi calcolato le principali statistiche relative alle due facce del
Disco.
Sono stati quindi valutati alcuni indici di posizione (media, mediana, moda), di
dispersione (varianza, m.a.v. e M.A.V.) e di forma (asimmetria e curtosi)
relativamente ai dati precedentemente riordinati
(i risultati sono riportati nella tabella 3).
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simbolo lato A nuovo ordinamento
12
1
2
2
27
3
1
4
18
5
23
6
26
7
31
8
35
9
10
10
7
11
13
12
19
13
29
14
38
15
40
16
3
17
6
18
21
19
25
20
28
21
32
22
33
23
37
24
41
25
45
26
4
27
8
28
11
29
14
30
17
31
24
32
34
33
39
34
44
35
5
36
9
37
15
38
16
39
20
40
22
41
30
42
36
43
42
44
43
45
simbolo lato B nuovo ordinamento simbolo disco totale nuovo ordinamento
7
1
2
1
29
2
7
2
18
3
12
3
23
4
27
4
35
5
18
5
1
6
1
6
2
7
23
7
22
8
29
8
24
9
35
9
25
10
25
10
27
11
13
11
8
12
24
12
33
13
26
13
36
14
33
14
45
15
40
15
13
16
45
16
39
17
8
17
40
18
22
18
6
19
31
19
9
20
6
20
12
21
10
21
16
22
36
22
20
23
37
23
34
24
38
24
37
25
39
25
5
26
19
26
14
27
32
27
15
28
34
28
26
29
3
29
30
30
9
30
32
31
14
31
38
32
16
32
42
33
20
33
43
34
21
34
3
35
28
35
4
36
41
36
10
37
4
37
11
38
5
38
17
39
11
39
19
40
15
40
21
41
17
41
28
42
30
42
31
43
42
43
41
44
43
44
44
45
44
45
Tabella 2:. Corrispondenze tra i simboli e il nuovo ordinamento.
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presenza
Presenza in A su dati ordinati
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Presenze in A su dati ordinati
1
5
9
13 17 21 25 29 33 37 41 45
nuova numerazione
Figura 5: Frequenze del nuovo ordinamento per la faccia A.
presenze
Presenze in B su dati ordinati
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Presenze in B su dati ordinati
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43
nuovo ordinamento
Figura 6: Frequenze del nuovo ordinamento per la faccia B.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Presenze totali su dati ordinati
presenza
20
15
10
Presenze totali su dati ordinati
5
0
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43
nuovo ordinamento
Figura 7: Frequenze del nuovo ordinamento considerando entrambe le facce del
disco.
INDICI DI
POSIZIONE
Media
Mediana
Moda
1° quartile
3°quartile
INDICI DI
DISPERSIONE
Varianza
s.q.m.
M.A.V.
m.a.v.
INDICI DI
FORMA
Asimmetria
Curtosi
Faccia
A
Faccia
B
Disco
totale
10,40
7,50
1,00
3,00
10,97
9,00
1,00
4,00
12,67
9,00
1,00
4,00
16,00
16,00
19,00
84,37
9,19
7,25
74,80
8,65
6,94
115,87
10,76
8,39
5,50
6,00
6,00
0,92
0,79
1,01
2,81
2,74
3,19
Tabella 3: Indici statistici ottenuti a partire dalle distribuzioni delle frequenze dei
dati del nuovo ordinamento.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Dai dati riportati in tabella 3, sono state formulate alcune considerazioni: la curtosi
fornisce un’informazione sull’allontanamento dalla normalità distributiva, quindi, per
quanto riguarda i valori relativi alle facce A e B risulta, benchè vicini al valore di 3,
ancora platicurtica, cioè risulta più “piatta” di una normale, mentre, considerando il
disco nel suo complesso, risulta leptocurtica, cioè più “appuntita” di una normale.
In statistica una distribuzione, una funzione di probabilità, una funzione di densità o
comunque una variabile casuale si dicono simmetriche quando esiste un valore X m
(che coincide con la media aritmetica ovvero con il valore atteso) per il quale a tutti i
valori minori Xa (con Xa = Xm − Δ, Δ > 0) corrisponde una frequenza o funzione di
probabilità o funzione di densità identica a quella che corrisponde al valore Xb = Xm
+ Δ. Il risultato ottenuto per le distribuzioni delle facce A, B e del disco nel
complesso è positivo, quindi con coda a destra: ciò era intuibile anche osservando gli
istogrammi riportati nelle figure 5, 6 e 7.
Ribaltando il grafico delle frequenze riportate nelle figure 5, 6 e 7 rispetto all’asse
delle ordinate, ossia generando una distribuzione speculare rispetto all’asse delle
ordinate, si ottiene un andamento simmetrico degli istogrammi e, quindi, è lecito
considerare il grafico ottenuto come una discretizzazione
della distribuzione
normale (tali distribuzioni sono riportate nelle figure 8, 9 e 10).
raddoppio faccia A
0,07
freq. relative
0,06
0,05
0,04
frequenze relative
0,03
Distribuzione normale
0,02
0,01
0
-45 -38 -31 -24 -17 -10 -3
5 12 19 26 33 40
simbolo
Figura 8: Distribuzione delle frequenze della faccia A dopo il ribaltamento rispetto
all’asse delle ordinate.
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raddoppio faccia B
0,07
freq. relative
0,06
0,05
0,04
frequenze relative
0,03
Distribuzione normale
0,02
0,01
40
34
28
22
16
10
4
-3
-9
-15
-21
-27
-33
-39
-45
0
simbolo
Figura 9: Distribuzione delle frequenze della faccia B dopo il ribaltamento rispetto
all’asse delle ordinate.
raddoppio totale
0,07
frequenza relativa
0,06
0,05
0,04
frequenze relative
Distribuzione normale
0,03
0,02
0,01
0
-45 -39 -33 -27 -21 -15 -9 -3
4 10 16 22 28 34 40
simbolo
Figura 10: Distribuzione delle frequenze totale dopo il ribaltamento rispetto all’asse
delle ordinate.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Sono stati infine valutati gli indici di posizione, dispersione e forma anche per la
distribuzione di dati raddoppiata, come riassunto in tabella 4.
INDICI DI
POSIZIONE
1° quartile
3°quartile
Faccia A
Faccia B
Disco
totale
-7,25
7,25
-9
9
-8
8
INDICI DI
DISPERSIONE
Varianza
M.A.V.
m.a.v.
s.q.m.
192,67
10,40
7,50
13,88
195,25
10,97
9,00
13,97
193,54
10,68
8,00
13,91
INDICI DI
FORMA
Asimmetria
Curtosi
0
0
0
3,13
2,77
2,96
Tabella 4: Indici statistici ottenuti a partire dalle distribuzioni delle frequenze dopo
il raddoppio dei dati.
Dopo il raddoppio della distribuzione, i valori di m.a.v. e M.A.V. risultano ancora
vicini a quelli riportati in tabella 3: ciò per definizione stessa dei due indici, ossia
rispettivamente di deviazione mediana dei moduli rispetto alla mediana e di
deviazione media assoluta dalla mediana. I valori di varianza, e quindi di s.q.m.,
risultano superiori a quelli riportati in tabella 3, poiché raddoppiando la distribuzione
aumenta la sua dispersione. Il valore di asimmetria riportati in tabella 4 risultano
pressoché nulli poiché, raddoppiando la distribuzione, si è ottenuta una distribuzione
esattamente simmetrica. Infine, per quanto riguarda la curtosi, benché si avvicini in
tutti e tre i casi al valore 3 e, quindi, alla normalità, la faccia A risulta leptocurtica, la
B e il disco nel complesso platicurtici.
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LA POSIZIONE DEI SIMBOLI NEI SEGMENTI
Per questo tipo di studio, si sono numerati i segmenti di ogni faccia del Disco
dall’interno verso l’esterno. Nella faccia A sono presenti 31 segmenti, indicati con
A1, A2…A31, mentre sulla faccia B si possono contare 30 segmenti, denominati
B1,B2…B30. La lunghezza dei segmenti varia sia fra le due facce che all’interno di
ognuna di esse. Sul segmento A si possono osservare segmenti formati da un
minimo di 2 simboli ad un massimo di 7, mentre il lato B presenta sequenze lunghe
da 2 a 5 caratteri. L’analisi consiste nel trovare se su ogni faccia sono ripetute
sequenze di simboli. La numerazione dei caratteri è sempre quella fornita
inizialmente. Dall’osservazione diretta si è evidenziato quanto segue:
A1-A4 segmenti identici formati dalla sequenza 38-3-10
A6-A31 segmenti identici formati dalla sequenza 1-13-12-2
A11-A17 segmenti identici formati dalla sequenza 1-28
A3-A15 segmenti identici formati dalla sequenza 21-37-35-27-12-2
A9-A24 segmenti identici formati dalla sequenza 2-12-28 (il segmento A9 ha in
comune con A3 e A15 la sequenza 27-12-2)
A12-A18 segmenti identici formati dalla sequenza 18-23-10-25-27-2
A10-A13-A6 segmenti identici formati dalla sequenza 26-31-12-2
A7 segmento che ha in comune con A10, A13, e A16 i simboli 12, 26 e 31.
Inoltre sono presenti molte altre ripetizioni di sequenze formate da due simboli.
Dalla faccia B si evince invece:
B1-B7-B11-B29 segmenti in cui si ripete la sequenza 7-45
B2-B9 segmenti in cui si ripete la sequenza 25-23-34
B5-B10-B13 segmenti in cui si ripete la sequenza 8-7-36-29 (i segmenti B5-B10
sono uguali)
Anche in questo lato del disco si notano ripetizioni di sequenze di due simboli.
Confrontando le due facce del disco tuttavia non si riscontrano particolari sequenze
ripetute in entrambi i lati, ad esclusione della coppia A29-B11. Questa differenza
supporta quindi l’idea che le due facce del disco si riferiscano a periodi diversi (cioè
le stagioni), in cui probabilmente si svolgevano attività del tutto differenti.
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ANALISI DI DIPENDENZA DELLA VARIABILE DOPPIA
Lo studio della variabile statistica doppia è stato condotto a partire dalla
realizzazione di matrici 45 x 45 contenenti all’interno di ogni cella la frequenza
assoluta con cui una determinata successione di simboli si ripete all’interno della
medesima faccia del disco.
Si è scelto di individuare dapprima la frequenza con cui due simboli adiacenti si
ripresentano (indicando con k+1 tale analisi); successivamente sono state realizzate
analoghe matrici considerando il passo tra le sillabe pari a k+2.
Dal momento che, come precedentemente illustrato, i simboli riportati sul disco
sono suddivisi in gruppi mediante linee verticali, si è scelto dapprima di individuare
la ricorrenza delle sole sillabe all’interno della medesima “parola” (non
considerando quindi i simboli adiacenti appartenenti a segmenti differenti) e, in una
seconda fase, di rilevare tale ricorrenza per le sole sillabe iniziali di parola.
Inoltre dal momento che il “discorso” presente sul disco è strutturato secondo una
spirale, queste elaborazioni sono state sviluppate, sia per la faccia A che B,
leggendo le combinazioni dei simboli sia dall’esterno del disco verso l’interno, che
viceversa.
Si riportano tutte le matrici realizzate della variabile doppia relative ai passi k+1 e
k+2 (successione di 2 e 3 simboli). Si sarebbero potute realizzare analoghe matrici
considerando i passi tra le sillabe pari a k+3, k+4, k+5, k+6 (in quanto le “parole”
sono costituite da un minimo di 2 a un massimo di 7 simboli) ma queste ultime
sono state tralasciate per scarsità di ricorrenze rendendole poco rappresentative.
A maggior ragione ha poco senso e significato un’analisi delle ricorrenze tra le
“parole” (in tutto rispettivamente 31 e 30 per le facce A e B). Infatti uno studio
della variabile doppia richiede quantomeno un centinaio di dati ed evidentemente
un terzo di questi non costituisce un campione capace di fornire stime consistenti.
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Lato A esterno → interno t tutte le parole (k+1)
A et (k+1)
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Lato A esterno → interno t tutte le parole (k+2)
A et (k+2)
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Lato A interno → esterno t tutte le parole (k+1)
A it (k+1)
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Lato A interno → esterno t tutte le parole (k+2)
A it (k+2)
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Lato A esterno →interno 1 iniziale (k+1)
A e1 (k+1)
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Lato A esterno →interno 1iniziale (k+2)
A e1 (k+2)
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30
Analisi Statistica del Disco di Festo
Lato A interno → esterno 1 iniziale (k+1)
A i1 (k+1)
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31
Analisi Statistica del Disco di Festo
Lato A interno → esterno 1 iniziale (k+2)
A i1 (k+2)
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32
Analisi Statistica del Disco di Festo
Lato B esterno → interno t tutte le parole (k+1)
B et (k+1)
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33
Analisi Statistica del Disco di Festo
Lato B esterno → interno t tutte le parole (k+2)
B et (k+2)
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Lato B interno → esterno t tutte le parole (k+1)
B it (k+1)
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Lato B interno → esterno t tutte le parole (k+2)
B it (k+2)
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Lato B esterno →interno 1 iniziale (k+1)
B e1 (k+1)
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Lato B esterno →interno 1 iniziale (k+2)
B e1 (k+2)
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Lato B interno → esterno 1 iniziale (k+1)
B i1 (k+1)
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Lato B interno → esterno 1 iniziale (k+2)
B i1 (k+2)
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Analisi Statistica del Disco di Festo
CONNESSIONE E REGRESSIONE: INDICI DI BONFERRONI
E PEARSON
Per individuare l’eventuale presenza di una connessione all’interno della variabile
doppia sono stati calcolati gli indici di Bonferroni e di Pearson (unilaterali e
bilaterali).
Gli indici di Bonferroni ottenuti sono i seguenti:
A et (k+1)
A et (k+2)
A it (k+1)
A it (k+2)
A e1 (k+1)
A e1 (k+2)
A i1 (k+1)
A i1 (k+2)
B et (k+1)
B et (k+2)
B it (k+1)
B it (k+2)
B e1 (k+1)
B e1 (k+2)
B i1 (k+1)
B i1 (k+2)
βx
0.931
0.894
0.924
0.815
0.989
0.978
0.968
0.905
0.888
0.863
0.892
0.868
0.897
0.847
0.885
0.941
βy
0.924
0.819
0.931
0.888
0.931
0.719
0.944
0.908
0.892
0.868
0.888
0.863
0.836
0.798
0.867
0.909
β0
0.928
0.856
0.928
0.851
0.960
0.839
0.956
0.906
0.890
0.866
0.890
0.866
0.866
0.822
0.876
0.925
β-1
0.928
0.855
0.928
0.850
0.959
0.829
0.956
0.906
0.890
0.866
0.890
0.866
0.865
0.822
0.876
0.925
Gli indici di Pearson ottenuti sono i seguenti:
A et (k+1)
A et (k+2)
A it (k+1)
A it (k+2)
A e1 (k+1)
A e1 (k+2)
A i1 (k+1)
A i1 (k+2)
B et (k+1)
B et (k+2)
B it (k+1)
B it (k+2)
B e1 (k+1)
B e1 (k+2)
B i1 (k+1)
B i1 (k+2)
0.640
0.175
0.650
0.755
0.904
0.419
0.717
0.778
0.452
0.459
0.482
0.413
0.500
0.529
0.674
0.373
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0.650
0.772
0.640
0.175
0.971
0.983
0.800
0.364
0.482
0.413
0.452
0.459
0.653
0.558
0.550
0.719
0.645
0.508
0.645
0.497
0.937
0.696
0.755
0.586
0.467
0.438
0.467
0.438
0.572
0.542
0.613
0.580
41
Analisi Statistica del Disco di Festo
CORRELAZIONE: DIPENDENZA LINEARE
A causa dell’elevato valore degli indici di Bonferroni precedentemente ottenuti, è
possibile affermare che non sussiste indipendenza all’interno della variabile doppia,
tuttavia la presenza di una connessione non è sufficiente per determinare il tipo di
dipendenza esistente.
Volendo considerare la possibilità di un’eventuale dipendenza lineare all’interno
della variabile doppia, mediante un apposito programma sono stati riorganizzati i
dati in modo tale da valutare se effettivamente essi si distribuiscono
approssimativamente secondo una retta.
Sono riportate le rette di regressione ottenute relative al lato A e B riferite ai 16 casi
precedentemente considerati.
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A et (k+1)
A et (k+2)
A it (k+1)
A it (k+2)
A e1 (k+1)
A e1 (k+2)
A i1 (k+1)
A i1 (k+2)
B et (k+1)
B et (k+2)
B it (k+1)
B it (k+2)
B e1 (k+1)
B e1 (k+2)
B i1 (k+1)
B i1 (k+2)
r = coeff. di
correlazione
lineare
0.94
0.90
0.94
0.89
0.96
0.85
0.96
0.94
0.86
0.87
0.87
0.88
0.92
0.83
0.94
0.94
2.178
1.668
2.754
3.228
0.820
1.376
0.713
0.884
3.981
3.111
3.652
2.438
0.997
1.429
1.045
0.849
3.310
3.436
2.611
1.854
0.524
2.207
0.684
0.856
3.973
2.700
4.368
3.300
1.685
2.299
0.959
1.037
Avendo ottenuto dei valori di r elevati è possibile affermare che i dati sono ben
distribuiti attorno alle rette stimate.
Per completezza si riportano anche gli indici di Pearson (unilaterali e bilaterali),
calcolati sui dati riordinati.
A et (k+1)
A et (k+2)
A it (k+1)
A it (k+2)
A e1 (k+1)
A e1 (k+2)
A i1 (k+1)
A i1 (k+2)
B et (k+1)
B et (k+2)
B it (k+1)
B it (k+2)
B e1 (k+1)
B e1 (k+2)
B i1 (k+1)
B i1 (k+2)
0.975
0.937
0.956
0.919
0.997
0.991
0.995
0.984
0.823
0.863
0.863
0.870
0.967
0.915
0.962
0.978
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0.951
0.942
0.977
0.934
0.994
0.854
0.992
0.982
0.861
0.841
0.824
0.860
0.943
0.834
0.959
0.975
0.960
0.941
0.964
0.922
0.996
0.889
0.993
0.983
0.840
0.854
0.842
0.864
0.949
0.856
0.960
0.976
59
Analisi Statistica del Disco di Festo
INFERENZA STATISTICA SUI RISULTATI
DELLE VARIABILI SEMPLICI E DOPPIE
TEST PARAMETRICI SULLA VARIABILE SEMPLICE
Le analisi svolte nella seguente sezione sono finalizzate a confrontare le distribuzioni
dei simboli tra le due facce. Infatti se esse si rivelassero simili, si potrebbero trarre
significative conclusioni relative a un analogo comportamento delle distribuzioni dei
simboli su entrambi i lati del disco.
Molti studiosi del disco di Festo hanno finora supportato le ipotesi che il contenuto di
questo reperto possa essere sia di tipo discorsivo (interpretazione dei simboli come
sillabe di un alfabeto attualmente sconosciuto) che astronomico. Quest’ultima
interpretazione si basa sul considerare i simboli come gruppi di attività da svolgere
secondo una precisa successione.
Di conseguenza nel caso in cui si dimostrasse che le distribuzioni sono confrontabili,
si potrebbe supporre che entrambe le facce del disco trattino il medesimo argomento,
oppure che ognuna di esse rappresenti analoghe attività da svolgere con una data
frequenza in un mese, ma seguendo un ordine differente.
Per effettuare tale confronto sono stati svolti test di confronto su medie e varianze, ai
quali seguono test di verifica della normalità dei dati in esame.
TEST SU DUE MEDIE NORMALI CON VARIANZE NOTE
Supponiamo che le distribuzioni delle due facce del disco abbiano media uguale e
varianza nota; allora il test sulle differenze delle medie fa uso della distribuzione
normale.
Quindi, l’ipotesi nulla è:
con
=
incognite
mentre la statistica test è data dalla seguente relazione:
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Analisi Statistica del Disco di Festo
z
x
y
x
dove
2
x
2
A
2
B
nA
nB
Eseguendo i calcoli si ottengono i seguenti risultati:
statistica
normale
0,4915
5%
± 1,96
1%
± 2,57
Il test, quindi, ci porta a non rifiutare l’ipotesi nulla e ci porta inoltre a dire che le
attività venivano svolte con la stessa frequenza in entrambi i mesi oppure che sulle
due facce viene trattato lo stesso argomento, a seconda dell’interpretazione che si
vuole dare al disco.
TEST SU DUE MEDIE CON VARIANZE INCOGNITE UGUALI
Qualora non fossero note le varianze delle due facce del disco, il test sulla media
diventa un test facente uso della distribuzione t-student.
Ipotizzando che le due varianze incognite siano uguali l’ipotesi nulla diventa:
con σA = σB incognite
La statistica test è data dalla seguente relazione:
t
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x
y
ˆ
x
61
Analisi Statistica del Disco di Festo
dove
ˆ
x
n A nB
n A nB
nA
1
ˆ A2
nA
nB
nB
1
ˆ B2
2
Eseguendo i calcoli e conoscendo i gradi di libertà della t-student, μ = nA + nB - 2, si
ottengono i seguenti risultati:
statistica
0,4912
t-student (239)
5%
± 1,96
1%
± 2,57
Anche in questo caso il test ci porta a non rifiutare l’ipotesi nulla.
TEST SU DUE MEDIE CON VARIANZE INCOGNITE DIVERSE
Nel caso in cui, invece, le due varianze fossero non solo incognite ma anche diverse
tra di loro, allora il test sulla media diventa un test di Welch (ovvero sempre un test
facente uso della distribuzione t-student, ma dove i gradi di libertà sono
opportunamente calcolati) in cui l’ipotesi nulla è:
con σA ≠ σB incognite
La statistica test è data dalla seguente relazione:
t
x
y
ˆ
x
dove
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ˆ
2
x
ˆ A2
nA
ˆ B2
nB
In questo caso i gradi di libertà della t-student sono stati ottenuti dalla seguente
relazione:
Eseguendo i calcoli si ottengono i seguenti risultati:
statistica
gdl (μ)
0,4915
241
t-student (241)
5%
± 1,96
1%
± 2,57
Ancora una volta il test ci porta a non rifiutare l’ipotesi nulla.
TEST SU DUE VARIANZE
Si suppone che le distribuzioni delle due facce del disco abbiano varianza uguale. In
questo caso l’ipotesi nulla è:
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Analisi Statistica del Disco di Festo
La statistica test è data dalla seguente relazione:
F
1,
2
ˆ A2
ˆ B2
È confrontata con i valori teorici ricavati della distribuzione Fdi Fisher .
I gradi di libertà della distribuzione sono:
per il numeratore μ1 = nA – 1;
per il denominatore μ2 = nB – 1.
Eseguendo i calcoli si ottengono i seguenti risultati:
statistica
1,128
F+
F-
5%
1,39
0,72
1%
1,59
0,63
Anche il test sulle due varianze ci porta a non rifiutare l’ipotesi nulla.
I test effettuati ci portano a pensare che possa essere ragionevole supporre che ci sia
coerenza tra le due facce del disco e ciò è valido qualunque sia l’ipotesi interpretativa
che si voglia avanzare.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
TEST NON PARAMETRICI SULLA VARIABILE SEMPLICE
I test non parametrici o Distribution-Free sono caratterizzati dall’assenza dell’ipotesi
di normalità sulla distribuzione della popolazione in esame.
Si distinguono in Test di Rango in cui si suppone che i campioni siano indipendenti
e Test di Segno, in cui tale ipotesi non è necessariamente verificata.
I test non parametrici presentano alcuni vantaggi rispetto ai test statistici classici, in
quanto risultano di comprensione immediata ed elementare, sono caratterizzati da
condizioni di validità meno forti (più generali) e i calcoli necessari non presentano in
genere difficoltà computazionali.
E’ importante però evidenziare anche l’esistenza di svantaggi quali lo spreco di
informazione e la bassa potenza del test (fattore che renderebbe il test troppo
conservativo, situazione in cui l’ipotesi nulla verrebbe accettata anche quando
dovrebbe valere l’ipotesi alternativa).
TEST DI RANGO
TEST DI MANN-WHITNEY
Consente il confronto dei valori centrali di due campioni X e Y indipendenti, nel
caso in esame costituiti dai simboli presenti sulla faccia A e B del Disco.
Dopo aver ordinato in senso crescente i dati di entrambi i campioni, si assegnano i
ranghi, attribuendo a dati con lo stesso numero d’ordine lo stesso rango pari al valor
medio del numero d’ordine di tali dati.
In seguito si calcola la somma dei ranghi di X e Y pari a R̂ X e R̂ y , e le ampiezze
campionarie
N̂ X e N̂ y .
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Rˆ x
Nx Nx
Ny 1
2
NxNy Nx
Ny 1
z
12
dove
Nx Nx
Ny 1
2
e
NxNy Nx
Ny 1
rappresentano la media e la varianza dei
12
ranghi.
Nel caso in esame si ottiene:
z = -0,133
che, confrontato con i valori della distribuzione normale al 1% e 5% di
significatività, evidenzia che il test è passato, in quanto:
-
z
teo<
z spe<
+
z
teo
essendo:
5%
1%
z teorica
± 1,96
± 2,57
TEST DI SIEGEL-TUCKEY
Consente il confronto dei valori di dispersione di due campioni X e Y indipendenti,
nel caso in esame coincidenti con i simboli presenti sulla faccia A e B del Disco.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Il test viene effettuato calcolando e ordinando in senso crescente gli scarti in valore
assoluto dei singoli dati rispetto alla mediana del campione. In seguito si assegnano i
ranghi (in modo analogo a quanto illustrato nel test di Mann-Whitney), attribuendo
valore 1 al dato il cui scarto rispetto alla mediana è nullo e via via crescendo.
In seguito si calcola la somma dei ranghi di X e Y pari a R̂ X e R̂ y , e le ampiezze
campionarie
N̂ X e N̂ y .
Rˆ x
Nx Nx
Ny 1
2
NxNy Nx
Ny 1
z
12
Nel caso in esame si ottiene:
z = 0,734
che, confrontato con i valori della distribuzione normale al 1% e 5% di
significatività, evidenzia che il test è passato, in quanto:
-
z
teo<
z spe<
+
z
teo
essendo:
5%
1%
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z teorica
± 1,96
± 2,57
67
Analisi Statistica del Disco di Festo
TEST DI SEGNO
TEST DI THOMSON: TEST DEL SEGNO PER I VALORI
CENTRALI
Consente di confrontare i valori centrali di due campioni non indipendenti
assegnando un segno “più” o “meno” a seconda del valore assunto dalla differenza
tra i valori argomentali di X e Y e scartando i dati con differenza nulla (sospettati di
essere non indipendenti).
Definiti quindi Np (numero dei segni “più”), Nm (numero dei segni “meno”), Ntot =
Np + Nm e fˆ = Np/Ntot si ha:
fˆ
0,5
0,5
Ntot
z
Si è ottenuto: z = 0,447 che confrontato con i valori teorici di z relativi alla normale
al 1% e 5% di significatività indica che il test è passato.
5%
1%
z teorica
± 1,96
± 2,57
TEST DEL SEGNO PER I VALORI DI DISPERSIONE
Consente di confrontare i valori di dispersione di due campioni non indipendenti.
Occorre calcolare dapprima lo scarto in valore assoluto di ogni dato rispetto alla
mediana relativa al campione a cui appartiene il dato stesso; si procede quindi
assegnando un segno “più” o “meno” a seconda del valore assunto dalla differenza di
ogni coppia di scarti appena calcolati ed ancora scartando i dati con differenza nulla
(sospettati di essere non indipendenti).
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Definiti quindi Np (numero dei segni “più”), Nm (numero dei segni “meno”), Ntot =
Np + Nm e fˆ = Np/Ntot si ha:
fˆ
0,5
0,5
Ntot
5%
1%
z
z teorica
± 1,96
± 2,57
TEST DI KOLMOGOROV-SMIRNOV
Il test di Kolmogorov-Smirnov è un test di buon adattamento fra la distribuzione di
probabilità e l’istogramma delle frequenze cumulate.
L’obiettivo è quindi quello di testare l’ipotesi che su entrambe le facce si abbia una
distribuzione delle frequenze di tipo normale.
Si sono quindi effettuati i seguenti passaggi (sulle facce A e B del disco):
• ordinamento del campione in senso decrescente;
• analisi di frequenza (dapprima relativa poi cumulata) della variabile x (ovvero i
simboli presenti sul disco) ponendo il simbolo più frequente come valore centrale e i
successivi alternativamente alla sua destra ed alla sua sinistra;
• standardizzazione della variabile x rispetto al suo scarto quadratico medio;
• calcolo della massima deviazione | t - p |, dove t è la frequenza relativa cumulata e p
le probabilità cumulate date dalla distribuzione teorica;
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Analisi Statistica del Disco di Festo
• esecuzione del test di buon adattamento.
La Funzione di Kolmogorov è:
K( )
( 1) k e
2k 2
2
;
0
dove λ1-α è il quantile di ordine 1- α relativo alla distribuzione di Kolmogorov.
I risultati del test per le due facce del disco sono riportati nelle tabelle sottostanti.
FACCIA A
max |t - P|
5%
1%
Il test è passato poiché:
0,100196
ASCISSA CRITICA
1 coda
0,12312
0,14757
max |t - P| < ascissa critica
FACCIA B
max |t - P|
5%
1%
Il test è passato poiché:
0,128317
ASCISSA CRITICA
1 coda
0,124671
0,149422
max |t - P| < ascissa critica
TEST DI PEARSON
Il test di Pearson è un test potente utilizzato per testare la normalità della
distribuzione delle frequenze dei dati considerati.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
H0 = il campione è estratto da una popolazione con distribuzione normale
Il test confronta i valori stimati dei coefficienti di asimmetria e curtosi con quelli
teorici della distribuzione normale:
γ ≈ N(0; 6/n)
β ≈ N(3; 24/n)
ˆ2
6
N
Asimmetria γ
Curtosi β
2
Χ2 osservata
Χ22 teorica α=0,01
Χ22 teorica α=0,05
ˆ
3
24
N
Lato A
0,024446
3,153466
2
2
2
Lato B
-0,055674
2,796276
Lato A
0,131873503
9,21
10,6
Disco totale (A+B)
-0,015487
2,974668
Lato B Disco totale (A+B)
0,267263
0,016077736
9,21
9,21
10,6
10,6
Il test passa sia per quanto riguarda il lato A, B che il disco totale. Da questo test e
dal precedente si può affermare che gli istogrammi delle frequenze dei simboli su
ciascuna faccia del disco (oltre che complessivamente) abbiano distribuzione
approssimativamente normale.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
TEST SULLA VARIABILE DOPPIA
I test sulla variabile doppia accertano la dipendenza o meno e, nel caso di dipendenza
lineare, la correlazione.
Per questo motivo si verifica la correlazione tra le due facce e quella determinata
dalle successioni di sillabe nelle due facce, nonché la bontà delle regressioni lineari
effettuate.
TEST
PARAMETRICO
SUL
COEFFICIENTE
DI
CORRELAZIONE TRA LE DUE FACCE
Il coefficiente di correlazione è dato dall’espressione:
Dove
è la covarianza e σx , σy gli sqm.
Svolgendo i conti è stato ottenuto un valore
= - 0,081
rxy
2
1 r xy
N 2
t osservata
t teorica
(119-2)
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tN
2
- 0.881
1.96 (5%)
2.57 (1%)
72
Analisi Statistica del Disco di Festo
Confrontando il valore osservato con quello teorico, si può affermare che il test passa
e quindi non si può rifiutare l’ipoteso H0. Ciò significa che esiste indipendenza tra le
due facce del disco.
TEST
NON
PARAMETRICO
SUL
COEFFICIENTE
DI
CORRELAZIONE DI SPEARMAN TRA LE DUE FACCE
Per il calcolo del coefficiente di correlazione sui ranghi è necessario assegnare i
ranghi separatamente ai simboli ordinati dei due lati del disco (secondo l’ordine
crescente dei valori argomentali) e valutare in seguito le differenze Δi fra i ranghi
delle due componenti.
E’ possibile quindi calcolare il coefficiente di correlazione sui ranghi di Spearman
mediante la seguente formula:
rxy
1
6
N
2
n(n 2 1) 1 1
i
dove n = 119, avendo eliminato 3 valori più frequenti nella faccia A
Svolgendo i conti è stato ottenuto un valore di rxy pari a 0,073.
rxy
2
1 r xy
N 2
t osservata
t teorica
(119)
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tN
2
0.787
1.96 (5%)
2.57 (1%)
73
Analisi Statistica del Disco di Festo
Confrontando il valore osservato con quello teorico, si può affermare che il test passa
e quindi non si rigetta l’ipotesi H0. Ciò significa che esiste indipendenza tra le 2
facce del disco.
Prima di passare ai test che riguardano lo studio delle ricorrenze tra sillabe,
all’interno delle parole o nell’intero discorso, è opportuno fare qualche osservazione:
-
I test parametrici e non parametrici sulla variabile semplice, confrontando fra loro
medie e varianze, passano tutti (se i parametrici passano, allora i non parametrici
passano certamente), provando che il linguaggio è unico tra le due facce del disco.
-
I test parametrici e non parametrici sulla variabile doppia, avendo calcolato la
correlazione, passano (ancora se quello parametrico passa, allora quello non
parametrico passa certamente), provando che il discorso è diverso tra le due facce
del disco.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
TEST
PARAMETRICO
SUL
COEFFICIENTE
DI
CORRELAZIONE DELLA REGRESSIONE LINEARE SULLE
SUCCESSIONI DI SILLABE NELLE DUE FACCE
Si è scelto di testare i valori del coefficiente di correlazione, di seguito riportati,
ottenuti mediante la procedura di regressione lineare precedentemente condotta sulla
variabile doppia.
A et (k+1)
A et (k+2)
A it (k+1)
A it (k+2)
A e1 (k+1)
A e1 (k+2)
A i1 (k+1)
A i1 (k+2)
B et (k+1)
B et (k+2)
B it (k+1)
B it (k+2)
B e1 (k+1)
B e1 (k+2)
B i1 (k+1)
B i1 (k+2)
r = coeff. di
correlazione
lineare
0.94
0.90
0.94
0.89
0.96
0.85
0.96
0.94
0.86
0.87
0.87
0.88
0.92
0.83
0.94
0.94
N = numero
di
connessioni
61
46
61
46
27
25
34
27
74
53
74
53
32
27
30
32
Poiché i valori del coefficiente di correlazione lineare sono abbastanza elevati è stata
assunta come ipotesi nulla
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75
Analisi Statistica del Disco di Festo
1 1 rˆXY
ln
2 1 rˆXY
1 1
ln
2 1
0
Zˆ Z
0
1
z
Z
N 3
Di seguito si riportano i risultati ottenuti dall’applicazione di questo test. Si noti
come in tutti i casi il test passi; ciò è rappresentativo del fatto che fra i dati esiste una
forte correlazione. Per questo motivo si è ipotizzata una dipendenza di tipo lineare
dei dati.
z- teo< z spe< z+ teo
α
0,05
0,01
A et (k+1)
A et (k+2)
A it (k+1)
A it (k+2)
A e1 (k+1)
A e1 (k+2)
A i1 (k+1)
A i1 (k+2)
B et (k+1)
B et (k+2)
B it (k+1)
B it (k+2)
B e1 (k+1)
B e1 (k+2)
B i1 (k+1)
B i1 (k+2)
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z
t e
o
r
i c
a
± 1,96
± 2,57
Z spe
2,02
0,00
2,02
-0,33
2,32
-1,01
2,64
1,30
-1,51
-0,98
-1,17
-0,68
0,63
-1,39
1,38
1,43
76
Analisi Statistica del Disco di Festo
L’esecuzione dei test è l’occasione per disegnare carte di controllo per variabili e/o
attributi. Infatti mentre la teoria statistica dell’inferenza è un capitolo della
matematica applicata e le tabelle dei test statistici sono tipiche delle applicazioni
tecnologiche ingegneristiche,
la comunicazione ai più (ad esempio, naturalisti,
scienziati umanisti, ecc.) diventa espressiva se accompagnata da visualizzazioni
oltreché da commenti.
Allora con specifico riferimento ai test di buon adattamento alla distribuzione
normale, così come più oltre ai test sulle regressioni lineari, carte di controllo di
variabili statistiche permettono di evidenziare il risultato dei test statistici andando
oltre le tabelle tradizionali. Da queste carte il giudizio critico deriva si come un
commento, e tuttavia quest’ultimo è sostenuto per tutti dall’evidenza grafica e non
rimane una certificazione, nascosta ai più tra formule e tabelle.
La seguente carta di controllo visualizza i valori sperimentali prevalentemente
collocati all’interno delle linee fiduciarie, evidenziando così il generale
soddisfacimento dell’ipotesi nulla.
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
5%
5%
1%
1%
r
0,75
casi
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77
Analisi Statistica del Disco di Festo
Si noti che, fatta eccezione per due valori appena sotto alla linea fiduciaria inferiore, i
quattro valori sopra la linea fiduciaria superiore dimostrano una correlazione
superiore a quella dell’ipotesi nulla, in questo caso conservativa.
TEST
DELLA REGRESSIONE LINEARE SULLA
SUCCESSIONE DI SILLABE NELLE DUE FACCE.
E’ stato condotto un test χ2 sui valori di
ottenuti a seguito della procedura di
linearizzazione.
Si è scelto di spiegare con le medie di
fissando così l’ipotesi nulla
.
Le suddette medie, riferite nell’ordine seguente Axt, Bxt, Ayt, Byt (t = tutte le parole)
e Ax1, Bx1, Ay1, By1 ( 1 = iniziali di parola) hanno valori:
Axt
6.383
Bxt
11.202
Ayt
8.254
Byt
13.261
Ax1
0.964
Bx1
1.212
Ay1
1.587
By1
2.530
Di seguito si riportano i valori di
e
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associati alle rette di regressione.
78
Analisi Statistica del Disco di Festo
x
2.178
1.668
2.754
3.228
0.820
1.376
0.713
0.884
3.981
3.111
3.652
2.438
0.997
1.429
1.045
0.849
Aet(k+1)
Aet(k+2)
Ait (k+1)
Ait (k+2)
Ae1(k+1)
Ae1(k+2)
Ai1(k+1)
Ai1(k+2)
Bet (k+1)
Bet (k+2)
Bit (k+1)
Bit (k+2)
Be1(k+1)
Be1(k+2)
Bi1 (k+1)
Bi1 (k+2)
y
4.744
2.782
7.585
10.420
0.672
1.893
0.508
0.781
15.848
9.678
13.337
5.944
0.994
2.042
1.092
0.721
3.310
3.436
2.611
1.854
0.524
2.207
0.684
0.856
3.973
2.700
4.368
3.300
1.685
2.299
0.959
1.037
x
Aet(k+1)
Aet(k+2)
Ait (k+1)
Ait (k+2)
Ae1(k+1)
Ae1(k+2)
Ai1(k+1)
Ai1(k+2)
Bet (k+1)
Bet (k+2)
Bit (k+1)
Bit (k+2)
Be1(k+1)
Be1(k+2)
Bi1 (k+1)
Bi1 (k+2)
intervallo
confidenza
(1%)
92.0 – 35.5
79.5 – 28.0
92.0 – 35.5
79.5 – 28.0
49.6 – 11.8
46.9 – 10.5
53.7 – 13.8
49.6 – 11.8
104.2 – 43.3
79.5 – 28.0
104.2 – 43.3
79.5 – 28.0
53.7 – 13.8
49.6 – 11.8
53.7 – 13.8
53.7 – 13.8
intervallo
confidenza
(5%)
83.3 – 40.5
71.4 – 32.4
83.3 – 40.5
71.4 – 32.4
43.2 – 14.6
40.6 – 13.1
47.0 – 16.8
43.2 – 14.6
95.0 – 48.8
71.4 – 32.4
95.0 – 48.8
71.4 – 32.4
47.0 – 16.8
43.2 – 14.6
47.0 – 16.8
47.0 – 16.8
10.956
11.806
6.817
3.437
0.275
4.871
0.468
0.733
15.785
7.290
19.079
10.890
2.839
5.285
0.920
1.075
y
44.6
19.6
71.3
73.5
18.1
47.1
17.4
21.1
103.3
44.9
86.9
27.6
25.4
43.8
26.1
18.4
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intervallo
confidenza
(1%)
92.0 – 35.5
79.5 – 28.0
92.0 – 35.5
79.5 – 28.0
49.6 – 11.8
46.9 – 10.5
53.7 – 13.8
49.6 – 11.8
104.2 – 43.3
79.5 – 28.0
104.2 – 43.3
79.5 – 28.0
53.7 – 13.8
49.6 – 11.8
53.7 – 13.8
53.7 – 13.8
intervallo
confidenza
(5%)
83.3 – 40.5
71.4 – 32.4
83.3 – 40.5
71.4 – 32.4
43.2 – 14.6
40.6 – 13.1
47.0 – 16.8
43.2 – 14.6
95.0 – 48.8
71.4 – 32.4
95.0 – 48.8
71.4 – 32.4
47.0 – 16.8
43.2 – 14.6
47.0 – 16.8
47.0 – 16.8
79.6
64.4
49.6
18.7
4.5
73.7
9.7
12.0
86.9
28.6
105.0
42.7
34.8
54.3
10.5
13.2
79
Analisi Statistica del Disco di Festo
Dal confronto dei valori di σ02 con i rispettivi intervalli di confidenza calcolati,
emerge che il test passa per la maggior parte dei casi o comunque il valore ipotizzato
non si discosta molto da quelli definiti dall’intervallo.
Le seguenti carte di controllo visualizzano i valori sperimentali prevalentemente
collocati all’interno delle linee fiduciarie, evidenziando così il generale
soddisfacimento delle ipotesi nulle.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
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Analisi Statistica del Disco di Festo
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Analisi Statistica del Disco di Festo
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83
Analisi Statistica del Disco di Festo
Un’osservazione conclusiva relativa allo studio delle ricorrenze tra tutte le sillabe
all’interno delle parole e le sole sillabe iniziali, rileva che elevati valori di
correlazione provano l’intavolarsi di un discorso, probabilmente significativo, anche
se purtroppo intraducibile.
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84
Analisi Statistica del Disco di Festo
GRAFI PER LA VISUALIZZAZIONE DELLE
SUCCESSIONI TRA SILLABE NELLE DUE
FACCE
L’idea utilizzata per analizzare con la tecnica dei grafi il Disco di Festo è quella di
rappresentare come nodi i simboli disegnati sul disco e collegarli con archi in base
alle ricorrenze tra sillabe all’interno di una parola. Per facilitarne la lettura, in ogni
grafo sono rappresentati solo alcuni nodi (quelli relativi ai simboli che soddisfano le
richieste dei criteri) e sono numerati secondo la seguente tabella di corrispondenze
numero-carattere:
Figura 1: corrispondenze numero-carattere.
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85
Analisi Statistica del Disco di Festo
Si traccia un arco dal nodo i al nodo j solo se il numero di volte che il simbolo j
segue il simbolo i, all’interno di una stessa parola, è maggiore di una soglia
prestabilita. Di conseguenza non vengono conteggiati due simboli consecutivi che
cadono in due parole diverse. Nei grafi seguenti si è scelta come soglia 2; il peso di
ciascun arco è il numero di volte in cui il simbolo j segue il simbolo i. L’ordine dei
simboli (e quindi delle parole) è considerato sempre dall’interno verso l’esterno.
Faccia A: Grafo in cui l’arco (i,j) rappresenta il numero di volte in cui il simbolo j segue il simbolo i in uno stesso segmento
13
1
3
38
0
2
2
10
2
0
2
3
7
2
2
2
26
12
23
6
4
0
28
31
12
3
2
27
2
25
45
2
19
2
2
21
18
2
2
2
2
2
37
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2
35
86
Analisi Statistica del Disco di Festo
Faccia B del disco:
Grafo in cui l’arco (i,j) rappresenta il numero di volte in cui il simbolo j segue il simbolo i in uno stesso segmento
2
18
2
23
34
2
25
1
3
8
3
13
36
2
33
7
1
39
4
2
3
2
0
2
35
6
45
0
29
22
20
2
24
2
Guardando il grafo della faccia A, si può dedurre, ad esempio, che l’attività
rappresentata dal simbolo 2 segue l’attività rappresentata dal simbolo 12 per ben 12
volte e l’attività rappresentata dal simbolo 18 dovrebbe essere successiva all’attività
rappresentata dal simbolo 28, di conseguenza può essere ragionevole ritenere che
queste due attività dovessero essere eseguite consecutivamente per raggiungere un
particolare obiettivo (per esempio l’inizio di una determinata attività era vincolata al
completamento di un’altra in precedenza, nell’ipotesi, comunque non confermata,
che il disco sia un calendario).
Osservazioni analoghe possono essere fatte relativamente ai grafi della faccia B, ad
esempio, evincendo che la sequenza ripetuta con più frequenza è quella fra i caratteri
7 e 45, che si presenta per 4 volte.
Un’osservazione conclusiva mette in luce un numero particolarmente esiguo (4 nel
grafo della faccia A e 3 in quello della faccia B) di ricorrenze multiple diverse
(ovvero superiori alla soglia 2, e qui indicate comunque con il numero 0) tra due
parole adiacenti, confermando ulteriormente l’intraducibilità del discorso del Disco.
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87
Analisi Statistica del Disco di Festo
VISUALIZZAZIONE
TEMATICHE NELLE
CLUSTER ANALYSIS
DI
DUE
FREQUENZE
FACCE CON
Partendo dall’ipotesi che il disco possa essere considerato un elenco ordinato (forse
un calendario) dove ciascuna faccia, rappresentante un determinato periodo, sia
divisa in parti di questo e ciascun simbolo rappresenti un’attività, si analizza
l’andamento temporale delle attività, divise in opportune classi, testando
l’uguaglianza del numero di simboli di ciascuna classe che compaiono sulle due
facce.
Osservando il Disco di Festo si è deciso di considerare la seguente suddivisione in
classi:
Classe A (1) Simboli antropomorfi: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Classe B (2) Simboli zoomorfi: 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34
Classe C (3) Simboli fitomorfi: 35, 36, 37, 38, 39
Classe D (4) Simboli raffiguranti utensili: 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 23
Classe E (5) Simboli religiosi: 7, 8, 9, 24
Classe F (6) Simboli vari: 14, 21, 22, 25, 26, 27, 40, 41, 42, 43, 44, 45
In primo luogo, si verifica se esistono differenze tra le attività di ciascuna classe nelle
due facce. In particolare, si suppone che le due facce siano usate per due periodi
distinti e complementari che si indicano con A e B.
Si nota che nella parte A, è spesso svolta una qualche attività della classe “A”,
mentre nella parte B è più frequente l’assenza di questo tipo di attività.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
frequenze
Classe A
presenza dei simboli in ogni parola
Lato A
2
1
1
2
0
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
4
5
parole
frequenze
Classe A
presenza dei simboli in ogni parola
Lato B
2
1
1
2
0
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
4
parole
Classe A
frequenze cumulate
(antropomorfi)
5
Lato A
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
parole
Classe A
frequenze cumulate
(antropomorfi)
Lato B
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
parole
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89
Analisi Statistica del Disco di Festo
Un’interpretazione diffusa è che i simboli antropomorfi rappresentino attività legate
alla guerra. Questo porta a pensare che esistano alcuni periodi dell’anno in cui è
preponderante tale attività e altri in cui è praticamente assente.
Per quanto riguarda le attività della classe B, si evidenzia un andamento omogeneo
tra le due facce.
frequenze
Classe B
presenza dei simboli in ogni parola
Lato A
3
28
2
29
1
30
31
0
32
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
33
parole
frequenze
Classe B
presenza dei simboli in ogni parola
Lato B
2
28
29
1
30
31
0
32
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
33
parole
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Classe B
frequenze cumulate
(zoomorfi)
Lato A
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
parole
Classe B
frequenze cumulate
(zoomorfi)
Lato B
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
parole
I simboli zoomorfi possono indicare attività tipo la caccia, la pesca e l’allevamento.
Queste attività sono svolte in tutti i periodi, come sembra ragionevole, dal momento
che non si hanno periodi in cui le necessità primarie vengono meno.
Per quanto riguarda le attività della classe C, nella faccia A sono presenti due periodi
distinti; uno dove queste attività sono svolte, mentre nell’altro cessano del tutto. Per
quanto riguarda la faccia B, non si riscontra invece la stessa suddivisione. Un’ipotesi
ragionevole porta a dedurre che la faccia B si riferisca a periodi in cui si svolgono
omogeneamente attività agricole che coinvolgono simboli fitomorfi. Al contrario nel
periodo A si hanno solo alcuni momenti in cui tali attività sono svolte.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
frequenze
Classe C
presenza dei simboli in ogni parola
Lato A
2
35
1
36
37
0
38
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
39
parole
frequenze
Classe C
presenza dei simboli in ogni parola
Lato B
2
35
1
36
0
37
38
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
39
parole
Classe C
frequenze cumulate
(fitomorfi)
Lato A
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
parole
Classe C
frequenze cumulate
(fitomorfi)
Lato B
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
parole
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Per quanto riguarda le attività della classe D, nella faccia A, si hanno parecchi
momenti distribuiti lungo il periodo in cui si svolgono una o più attività e pochi
momenti in cui tali attività non si svolgono. Infatti in complesso, si suppone che
un’attività lavorativa di questo tipo sia quasi sempre svolta, trattandosi di utensili.
Più contenuto è invece il numero di attività nella faccia B.
frequenze
Classe D
presenza dei simboli in ogni parola
Lato A
2
10
11
1
12
13
0
15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
16
parole
Classe D
frequenze
presenza dei simboli in ogni parola
Lato B
2
10
11
1
12
13
0
15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
16
parole
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Classe D
frequenze cumulate
(simboli utensili)
Lato A
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
parole
Classe D
frequenze cumulate
(simboli utensili)
Lato B
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
parole
Un confronto comparativo, tra le classi C e D, può evidenziare una
complementarietà, estesa anche ai periodi, tra attività agricole e attività artigianali,
tipica delle società contadine.
Le attività della classe E, all’interno della faccia A, sono concentrate in un breve
momento (posto alla fine del periodo), mentre nel resto del periodo non compaiono.
Viceversa all’interno della faccia B si hanno una o più attività di questa classe solo
nella prima parte del periodo.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
frequenze
Classe E
presenza dei simboli in ogni parola
Lato A
2
7
1
8
0
9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
24
parole
frequenze
Classe E
Lato B
presenza dei simboli in ogni parola
3
2
7
1
8
0
9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
24
parole
Classe E
frequenze cumulate
(simboli religiosi)
Lato A
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
parole
Classe E
frequenze cumulate
(simboli religiosi)
Lato B
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
parole
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95
Analisi Statistica del Disco di Festo
Assumendo che questi simboli rappresentino attività religiose, si può dedurre che
l’andamento non omogeneo di queste attività sia collegato ai cicli della natura, come
spesso accade per religioni di tipo primitivo.
Nella classe F invece, data la sua eterogeneità, non si evidenziano particolari
distinzioni tra le due facce all’interno dei periodi.
Classe F
frequenze
presenza dei simboli in ogni parola
Lato A
3
14
2
21
1
22
0
25
26
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
27
parole
frequenze
Classe F
2
presenza dei simboli in ogni parola
Lato B
14
21
1
22
25
0
26
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
27
parole
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Classe F
frequenze cumulate
(simboli vari)
Lato A
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
parole
Classe F
frequenze cumulate
(simboli vari)
Lato B
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
parole
Per ogni classe è possibile valutare, se sia ragionevole ritenere uguali le medie sulle
due facce, ossia se in media i simboli di ciascuna classe compaiono lo stesso numero
di volte sulla faccia A e sulla faccia B.
I dati non hanno ovviamente distribuzione normale; pertanto non possiamo confrontare le medie con l’usuale test t-student. Si ricorre allora al test non parametrico di
Kruskall-Wallis che, se i campioni sono solo due come in questo caso, è equivalente
al test di Mann-Whitney. Si nota subito che i valori assunti dalle frequenze osservate,
nei diversi momenti, sono 0, 1, 2 e 3; pertanto esistono molte osservazioni con lo
stesso valore. E’ allora opportuno assegnare alle osservazioni uguali la media dei
ranghi. In questo caso più generale, la statistica test assume la seguente forma:
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Analisi Statistica del Disco di Festo
H
1
S2
Ri2
mi
n
i 1
N ( N 1) 2
4
con:
n numero di campioni
mi numerosità dell’ i - esimo campione
n
mi numerosità totale
N
i 1
Rij rango associato all’osservazione yij i 1,...,n e j 1,..., mi
mi
Ri
Rij
j 1
S2
1
N 1
n
mi
Rij2
i 1 j 1
N ( N 1) 2
4
varianza dei ranghi.
In questo caso, si ha: n = 2, m1 = 31 (faccia A) e m2 = 30 (faccia B).
Se i valori di mi
sono ragionevolmente grandi ( mi
5 ), H
è distribuita
2
approssimativamente come una χ ( n -1), sotto l’ipotesi nulla di uguaglianza delle
medie. Scelto il livello di significatività α = 0.05, se H > χ , si rifiuta l’ipotesi nulla.
Eseguendo il test per ognuna delle sei classi, si ottengono i seguenti risultati:
Classe A: H =4.61, p-value=0.032
si rifiuta l’ipotesi nulla
Classe B: H =0.09, p-value=0.766
non si può rifiutare l’ipotesi nulla
Classe C: H =2.14, p-value=0.144
non si può rifiutare l’ipotesi nulla
Classe D: H =5.48, p-value=0.019
si rifiuta l’ipotesi nulla
si rifiuta l’ipotesi nulla
Classe E: H =14.09, p-value=0.000
Classe F: H =0.00, p-value=0.969
non si può rifiutare l’ipotesi nulla.
Il risultato dei test conferma differenze tra le due facce per i simboli antropomorfi,
utensili e religiosi ( classi A, D e E) mentre rileva uguaglianza tra le due facce per i
simboli zoomorfi, fitomorfi e vari ( classi B, C e F).
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Successivamente si è operata una suddivisione in classi leggermente differente:
Classe 1 Simboli antropomorfi: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Classe 2 Simboli zoomorfi: 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34
Classe 3 Simboli fitomorfi: 35, 36, 37, 38, 39
Classe 4 Simboli raffiguranti armi: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Classe 5 Simboli raffiguranti utensili: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27
Classe 6 Simboli indumenti: 7, 8, 9 (classe esigua, conglobata con la successiva)
Classe 7 Simboli vari: 40, 41, 42, 43, 44, 45
Questa suddivisione corrisponde ad un tentativo di raffinare la classificazione
precedente che, conservando le classi dei simboli: antropomorfi, zoomorfi e
fitomorfi, cerca innanzi tutto di ridurre la classe dei simboli vari. Allora alcuni di
questi simboli sono inseriti nella classe dei simboli utensili; a sua volta, suddivisa in
armi ed utensili propriamente detti. Infine la classe dei simboli religiosi può essere
vista come una classe di indumenti, collocando il simbolo del tempio nella classe dei
simboli utensili dopo averlo interpretato in modo diverso.
Lo scopo secondario di questa suddivisione parte dal riconoscere, come la classe
utensili (grazie anche ai nuovi inserimenti) sia, di gran lunga, la maggiore. Pertanto
la sua suddivisione (in armi e utensili propriamente detti) è opportuna e facilita lo
studio delle forme di dipendenza, tra queste parti suddivise e le altri classi.
Dapprima si prende in considerazione la dipendenza in termini di connessione,
mediante la cluster analysis. Successivamente lo studio della dipendenza è raffinato
in termini di dipendenza funzionale, con i cosiddetti piani 2k (cioè con l’analisi di
varianza applicata a voci qualitative, caratterizzate solo da presenza o assenza).
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99
Analisi Statistica del Disco di Festo
Un’analisi successiva è calcolare le frequenze assolute e relative per ogni simbolo,
sulla faccia A e sulla faccia B. Come per la suddivisione precedente, per prima cosa
si può notare che le due facce non presentano simmetria nella distribuzione dei
simboli, dato che alcuni simboli sono presenti in una sola delle due facce, mentre
altri, presenti in maniera cospicua in una faccia, sono quasi assenti nell’altra. In
particolare, i simboli 2 e 12 sono presenti nella faccia A, mentre sono quasi assenti
nell’altra e viceversa si può dire per il simbolo 7.
Questo lascia supporre che le due facce abbiamo significati diversi, ma
probabilmente collegati. Per quanto riguarda invece, le classi si può notare che sono
ugualmente rappresentate sulle due facce, con l’eccezione della classe A e della
classe C, presenti in misura maggiore nella prima faccia, rispetto alla seconda, e della
classe B, presente quasi esclusivamente nella seconda faccia. La situazione è
rappresentata nei due istogrammi delle varie classi sulle due facce.
Frequenze relative classi
faccia A
Frequenze relative classi
faccia B
antropomorfi
antropomorfi
zoomorfi
zoomorfi
fitomorfi
fitomorfi
utensili
utensili
religiosi
religiosi
vari
vari
Figura 1: Frequenze relative faccia A e faccia B
(prima suddivisione)
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100
Analisi Statistica del Disco di Festo
Frequenze relative classi
faccia A
Frequenze relative classi
faccia B
antropomorfi
antropomorfi
zoomorfi
zoomorfi
fitomorfi
fitomorfi
armi
armi
utensili
utensili
vari
vari
Figura 2: Frequenze relative faccia A e faccia B
(seconda suddivisione)
Il disco risulta diviso in parole, contenenti ognuno un numero variabile tra 2 e 7
simboli; per questo si è deciso di rintracciare eventuali relazioni tra simboli di classi
diverse. Nei grafici riportati di seguito per ogni classe, è segnato quante volte un suo
elemento appare insieme ad un elemento di una delle altre classi in tutte e due le
suddivisioni.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
antropomorfi
Lato A
antropomorfi
Lato B
9
39
21
9
8
religiosi
vari
zoomorfi fitomorfi utensili
antropomorfi
Lato
A
37
8
religiosi
vari
antropomorfi
Lato B
9
5
18
zoomorfi fitomorfi
7
6
5
1
zoomorfi fitomorfi utensili
9
8
9
8
6
6
armi
utensili
vari
zoomorfi fitomorfi
armi
utensili
vari
Per quanto riguarda la classe dei simboli antropomorfi è possibile notare una
differenza tra le due facce sia per la prima che per la seconda suddivisione. Nei due
istogrammi della faccia A l’accoppiata più frequente risulta essere quella con gli
utensili e con la classe delle armi; mentre in quelli della faccia B si nota un rapporto
più omogeneo tra le varie classi.
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zoomorfi
Lato A
zoomorfi
Lato B
10
9
10
10
13
9
7
5
2
1
zoomorfi
Lato9 A
9
zoomorfi
Lato B
9
14
10
2
3
5
11
4
Per la classe dei simboli zoomorfi è possibile notare una differenza tra le due facce
sia per la prima che per la seconda suddivisione. Nel primo istogramma della faccia
A le accoppiate più frequenti sono quelle con gli antropomorfi, gli utensili e i
simboli vari mentre nel secondo istogramma quelle più frequenti sono quelle con
gli antropomorfi, le armi e gli utensili; nella faccia B si nota un rapporto più
omogeneo tra le varie classi sia per la prima che per la seconda suddivisione.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
fitomorfi
Lato A
fitomorfi
Lato B
14
12
15
8
9
2
10
6
0
fitomorfi
Lato A
fitomorfi
Lato B
15
14
11
8
2
12
9
1
16
10
3
Anche per la classe dei simboli fitomorfi è possibile notare una differenza tra le
due facce sia per la prima che per la seconda suddivisione. Nel primo istogramma
della faccia A le accoppiate più frequenti sono quelle con gli antropomorfi, gli
utensili e i simboli vari mentre nel secondo istogramma quelle più frequenti sono
con gli antropomorfi, le armi e gli utensili; nella faccia B si nota un rapporto più
omogeneo tra le varie classi sia per la prima che per la seconda suddivisione.
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utensili
Lato A
utensili
Lato B
39
17
33
8
10
9
9
6
12
2
armi
Lato A
37
9
11
armi
Lato B
32
6
6
4
14
6
3
Si evidenzia anche qui la differenza tra le due facce sia per la prima che per la
seconda suddivisione. Nell’istogramma della faccia A relativo alla classe degli
utensili le accoppiate più frequenti sono quelle con gli antropomorfi, e i simboli
vari mentre nel secondo istogramma, quello relativo alle armi, quelle più frequenti
sono con gli antropomorfi e gli utensili; nella faccia B l’istogramma relativo agli
utensili evidenzia l’accoppiata con i simboli religiosi invece in quello relativo alle
armi spicca l’accoppiata con i simboli vari.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
religiosi
Lato A
religiosi
Lato B
8
1
1
13
15
0
utensili
Lato B
32
9
17
6
2
utensili
Lato A
18
15
14
9
15
16
14
6
5
Ancora una volta, per quanto riguarda la classe dei simboli zoomorfi, è possibile
notare una differenza tra le due facce sia per la prima che per la seconda
suddivisione. Nel primo istogramma della faccia A l’accoppiata più frequente è
quella con i simboli vari, mentre nel secondo istogramma, quello relativo agli
utensili, la più numerosa è quella con le armi; nella faccia B si nota un rapporto più
omogeneo tra le varie classi sia per la prima che per la seconda suddivisione.
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vari
Lato A
vari
Lato B
33
12
21
10
14
8
7
7
vari
Lato A
6
15
9
vari
Lato B
6
16
5
8
3
11
14
16
1
Infine, permangono differenze tra le due facce anche per gli istogrammi dei simboli
vari nelle due suddivisioni. Si nota, nel primo istogramma l’accoppiata con gli
utensili mentre sono abbastanza omogenei gli altri.
Pertanto la faccia A della prima suddivisione è caratterizzata da parole con
prevalenza di simboli delle classi A, D e F; mentre la stessa faccia, per la seconda
suddivisione evidenzia la presenza di parole con simboli A, D ed E.
Nella faccia B, in tutte e due le suddivisioni, si evince una certa omogeneità nelle
accoppiate.
In generale si può dire che, in ognuna delle due facce esistono delle combinazioni
ricorrenti di simboli, essenzialmente a coppie prese dalle sei classi, ma si trovano
anche combinazioni più complesse con tre o quattro simboli.
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107
Analisi Statistica del Disco di Festo
PIANI 2K
I piani 2K sono un strumento statistico, relativamente nuovo e innovativo, capace di
misurare la dipendenza funzionale o meno, in presenza di variabili qualitative.
Infatti le varie entità che caratterizzano le variabili qualitative si prestano male a
essere trasformate in dati quantitativi, con parecchi valori argomentali diversi, ma
possono essere rappresentate, tramite numeri, adottando i soli zero e uno, per
esprimere la presenza o l’assenza di un certo attributo.
Come evidente lo zero e l’uno sono puramente convenzionali; meno uno ed uno
sarebbero ugualmente plausibili, mentre uno e due (altrettanto validi) si
presenterebbero come ranghi, cioè numeri d’ordine. Tutto ciò significa che,
mancando un terzo numero diverso, i due numeri scelti, non esprimono una metrica,
ma solo un traduzione di parole in numeri (verrebbe quasi voglia di scrivere di lettere
in cifre).
Una seconda osservazione mette in luce come variabili qualitative complesse
debbano essere opportunamente articolate in più variabili, a loro volta, caratterizzate
anche da più attributi, così da ridurre eventuali classificazioni plurime, alla sola
presenza o assenza di qualcosa. In caso contrario, una metrica è automaticamente
forzata sui dati.
Allora i piani 2K sono indicati per studiare la dipendenza funzionale o meno di queste
variabili, perché prendono in considerazione la varianza spiegata (o qualche altro
indice della dispersione, eventualmente robusto) e la confrontano con la varianza
residua (o qualche altro indice identico della dispersione, se del caso, ancora
robusto). Il confronto, condotto con la statistica della normalità (ovvero con i test
non-parametrici), permette di concludere l’inferenza.
Nel caso di verifica della dipendenza funzionale, il risultato dei test si colloca in zona
critica, mentre in caso contrario, l’ipotesi fondamentale (o nulla) è accettata. In
questo secondo caso, ciò non significa automaticamente indipendenza stocastica, in
quanto si è solo provata l’indipendenza in media (o correlativa).
Infatti le variabili possono essere connesse e solo un test specifico d’indipendenza
può decidere sulla presenza (con un risultato in zona critica) o assenza di
connessione (viceversa).
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108
Analisi Statistica del Disco di Festo
PIANI 2K prima prova
Osservando il Disco di Festo si è deciso di considerare la seguente suddivisione in
classi:
Classe A (1) - Simboli antropomorfi: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Classe B (2) - Simboli zoomorfi: 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34
Classe C (3) - Simboli fitomorfi: 35, 36, 37, 38, 39
Classe D (4) - Simboli raffi. utensili: 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 23
Classe E (5) - Simboli religiosi: 7, 8, 9, 24
Classe F (6) - Simboli vari: 14, 21, 22, 25, 26, 27, 40, 41, 42, 43, 44, 45
Nelle due facce del disco si è poi proceduto ad individuare le classi d’appartenenza dei
diversi simboli che compongono le parole per le due facce del disco.
A mo’ d’esempio preliminare è trattata brevemente la costruzione del piano 22,
relativamente alle classi A (antropomorfi) e E (religiosi) della sola faccia A del disco.
Come evidente lo studio relativo al piano 22 = 4 è rappresentabile tramite un quadrato i
cui vertici indicano le condizioni di presenza/assenza di ciascuna delle due classi. Gli
elementi delle quattro combinazioni sono illustrati con lettere minuscole, per l’assenza, e
con lettere maiuscole, per la presenza: ae, Ae, aE, AE.
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109
Analisi Statistica del Disco di Festo
Si noti che tutte le coppie sono ordinabili, ma non richiedono metriche. Pertanto il
passaggio da lettere, a segni
e a ranghi (1,2) non altera, in alcun modo, il contenuto
raccolto e il significato relativo.
A31
A30
A29
A28
A27
A26
A25
A24
A23
A22
A21
A20
A19
A18
A17
A16
A15
A14
A13
A12
A11
A10
A9
A8
A7
A6
A5
A4
A3
A2
A1
A
antropo
morfi
2,1
E
religiosi
1
2
1
1
A
E
E
7
8
2
1
1
2
A
E
E
A
7
1
2
1
A
AE
A
2
1
2
2
1
1
1
1
A
A
A
A
2
2
1
2
2
6
1
1
1
1
1
1
A
A
A
A
A
A
2,1
2
A
3
2
1
3
1
1
1
1
A
A
A
A
24
7
2,4
2,6
2
1
2
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110
Analisi Statistica del Disco di Festo
1
2
3
4
2
1
1
4
6
10
1,4
0,24
2
1
20
21
1,047619
0,045351
ae
Ae
aE
AE
6
20
4
1
5
26
31
1,16129
0,135276
0,108141
1,2
1,769231
1,677419
1,16129
0,135276
0,250916
31
0,16
0,177515
0,218522
0,17469
0,043833
1,677419
0,218522
0,027134
0,250916
0,200586
0,200586
1
2
2
74
-74
5
1
-74
74
26
10
21
31
260
0,569231
0,447868
0,435294
0,200586
420
0,352381
Fischer
Pearson
Bonferroni
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
15;45 1,45
15 25,00
30 43,80
16 26,30
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5A
1A
0,25
0,00
0,00
0,00
5A
0,25
0,00
111
Analisi Statistica del Disco di Festo
Lo svolgimento dell’analisi si compie effettuando il test F di Fisher e preliminarmente
quello di Bartlett sull’omogeneità delle varianze. Ad eccezione del caso
monodimensionale, la pluralità delle componenti permette altresì il test di Lawley sui
coefficienti di correlazione.
Inoltre a partire dal piano 22 è possibile conglobare tutte le varianze in un unico test di
Bartlett, mentre a partire dal piano 23 è possibile riunire tutti i coefficienti di correlazione
in un unico test di Lawley.
Nelle due tabelle sottostanti sono riportati i simboli e le classi che compongono le parole
nelle due facce del disco.
A31
A30
A29
A28
A27
A26
A25
A24
A23
A22
A21
A20
A19
A18
A17
A16
A15
A14
A13
A12
A11
A10
A9
A8
A7
A6
A5
A4
A3
A2
A1
A
antropo
morfi
2,1
2,4
B
zoomorfi
C
fitomorfi
12,13,18
12
29
29,29,34
33
12
12
2,6
2
1
2
2
2
2
1
2
2
6
32
35
35
38
39
28
31
35,37
33
31
28
31
32
31
2,1
3
2
1
3
E
religiosi
F
vari
24
7
40
45
7
8
40
27,45
27,44
7
26
41
41,40
12,18
31
2
1
2
D
utensili
35
38
35,37
38
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
12,19
12,23
11
10,23,18
27,25
12
12
23
12
10,23,18
26
27,27,21
12
12,18
18,17,19
12
12,13
23,19
10
12
13
10
26
27,14,27
26
27,25
26
27,27,21
5
3
3
3
5
4
3
4
3
5
4
5
2
6
2
4
7
2
4
6
2
4
7
4
3
4
3
3
7
2
3
AD
DEF
BEF
B
ABDF
DEF
EF
AD
BCF
ACDF
AEF
ABCD
CD
ADF
AB
ABDF
ACDF
BD
ABDF
ADF
AB
ABDF
ABDF
AD
BDF
AD
CD
ACD
ACDF
AD
ACD
112
Analisi Statistica del Disco di Festo
Tabella 1: Simboli e classi che compongono le parole della faccia A.
B30
B29
B28
B27
B26
B25
B24
B23
B22
B21
B20
B19
B18
B17
B16
B15
B14
B13
B12
B11
B10
B9
B8
B7
B6
B5
B4
B3
B2
B1
A
antropom
orfi
2
B
zoomorfi
C
fitomorfi
35
37
2,5
D
utensili
E
religiosi
F
vari
12
7
7
22,40
27,45
23
22,25,27
33
1
1
33
39
29
37
35
36
38
35
2
1
1
6
2,1
29,33
32,33
29
29
29
29
34
20,12
16,23,18
13
15,13,18
7
7,24
20
16,18
36
13
36
23
18
23,18
2,6
43
22,42,25
40
26,40
27,25
24,24
14
35,39
35
29
30
24
36
39
35
29,34
18
23
23
9
7,8
8
7
7,8
27
45
22
27,25
7
7,7
7,24
7,8
9,7
7
7
45
22
25
45
5
4
4
3
4
4
4
5
4
4
4
4
5
3
3
5
4
4
3
3
5
4
3
3
4
5
5
5
4
2
ADEF
CEF
ACD
F
BDE
DF
ABCD
ADE
CF
CEF
ACF
ACF
BCDE
DF
AB
ABC
AEF
BCE
BDE
BEF
BCEF
BDF
CDE
EF
DE
BCEF
BCDE
ACDE
BDF
EF
Tabella 2: Simboli e classi che compongono le parole della faccia B.
Con specifico riferimento allo studio del disco e alla suddivisione in sei classi, l’analisi a
seguire può essere condotta dal piano 21 = 2 fino al piano 26 = 64.
La tabella 3 mostra l’elenco completo di tutte le combinazioni e le tabelle 4 e 5
dispongono i dati raccolti in accordo con le combinazioni possibili.
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113
Analisi Statistica del Disco di Festo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
abcdef
Abcdef
aBcdef
abCdef
abcDef
abcdEf
abcdeF
ABcdef
AbCdef
AbcDef
AbcdEf
AbcdeF
aBCdef
aBcDef
aBcdEf
aBcdeF
abCDef
abCdEf
abCdeF
abcDEf
abcDeF
abcdEF
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
ABCdef
ABcDef
ABcdEf
ABcdeF
AbCDef
AbCdEf
AbCdeF
AbcDEf
AbcDeF
AbcdEF
aBCDef
aBCdEf
aBCdeF
aBcDEf
aBcDeF
aBcdEF
abCDEf
abCDeF
abCdEF
abcDEF
ABCDef
ABCdEf
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
ABCdeF
ABcdEF
AbcDEF
abCDEF
ABcDeF
AbCdEF
aBcDEF
ABcDEf
AbCDeF
aBCdEF
AbCDEf
aBCDeF
aBCDEf
aBCDEF
AbCDEF
ABcDEF
ABCdEF
ABCDeF
ABCDEf
A B C D EF
Tabella 3: Elenco di tutte le combinazioni possibili.
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114
Analisi Statistica del Disco di Festo
1
abcdef
23
ABCdef
45
2
Abcdef
24
ABcDef
46
3
aBcdef
25
ABcdEf
47
4
abCdef
26
ABcdeF
48
5
abcDef
27
AbCDef
6
abcdEf
28
AbCdEf
50
7
abcdeF
29
AbCdeF
51
ABCde
F
ABcdE
F
AbcDE
F
abCDE
F
ABcDe
F
AbCdE
F
aBcDEF
8
ABcdef
30
AbcDEf
52
ABcDEf
9
AbCdef
31
AbcDeF
2
53
10
AbcDef
32
AbcdEF
1
54
11
AbcdEf
33
aBCDef
55
12
AbcdeF
34
aBCdEf
56
13
aBCdef
35
aBCdeF
AbCDe
F
aBCdE
F
AbCDE
f
aBCDe
F
aBCDEf
14
aBcDef
36
aBcDEf
15
aBcdEf
37
aBcDeF
1
59
16
aBcdeF
38
aBcdEF
1
60
17
abCDef
39
abCDEf
61
18
abCdEf
40
abCDeF
62
19
abCdeF
41
abCdEF
63
20
abcDEf
42
abcDEF
2
21
abcDeF
43
ABCDef
1
22
abcdEF
44
ABCdEf
1
2
5
1
2
1
2
1
49
57
58
64
5
3
aBCDE
F
AbCDE
F
ABcDE
F
ABCdE
F
ABCDe
F
ABCDE
f
ABCDE
F
Tabella 4: Dati raccolti in accordo con le combinazioni possibili della faccia A.
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
115
Analisi Statistica del Disco di Festo
1
abcdef
23
ABCdef
1
2
Abcdef
24
ABcDef
46
3
aBcdef
25
ABcdEf
47
4
abCdef
26
ABcdeF
48
5
abcDef
27
AbCDef
6
abcdEf
28
AbCdEf
7
abcdeF
1
29
AbCdeF
2
51
ABCde
F
ABcdE
F
AbcDE
F
abCDE
F
ABcDe
F
AbCdE
F
aBcDEF
8
ABcdef
1
30
AbcDEf
1
52
ABcDEf
9
AbCdef
31
AbcDeF
53
10
AbcDef
32
AbcdEF
11
AbcdEf
33
aBCDef
12
AbcdeF
34
aBCdEf
13
aBCdef
35
aBCdeF
AbCDe
F
aBCdE
F
AbCDE
f
aBCDe
F
aBCDEf
14
aBcDef
36
aBcDEf
2
58
15
aBcdEf
37
aBcDeF
2
59
16
aBcdeF
38
aBcdEF
1
60
17
abCDef
39
abCDEf
1
61
18
abCdEf
40
abCDeF
19
abCdeF
1
41
abCdEF
20
abcDEf
1
42
abcDEF
21
abcDeF
2
43
ABCDef
22
abcdEF
2
44
ABCdEf
1
45
49
50
1
54
55
1
56
57
62
2
63
64
1
2
1
2
aBCDE
F
AbCDE
F
ABcDE
F
ABCdE
F
ABCDe
F
ABCDE
f
ABCDE
F
1
Tabella 4: Dati raccolti in accordo con le combinazioni possibili della faccia B.
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
116
Analisi Statistica del Disco di Festo
Di conseguenza la tabella 6 riassume i soli casi non nulli e costituisce i dati d’ingresso
per l’analisi dei piani 2K.
aBcdef
ABcdef
AbcDef
aBcDef
abCDef
abcdEF
AbCDef
AbcDeF
AbcdEF
aBCdeF
aBcDeF
aBcdEF
abcDEF
ABCDef
ABcDeF
AbCDeF
Dati
16
Lato A
121111
221111
211211
121211
112211
111122
212211
211212
211122
122112
121212
121122
111222
222211
221212
212212
1
2
5
1
2
1
2
2
1
1
1
1
2
1
5
3
Connessioni
31
abcdeF
ABcdef
abCdeF
abcDEf
abcDeF
abcdEF
ABCdef
AbCDef
AbCdeF
AbcDEf
AbcdEF
aBCdEf
aBcDEf
aBcDeF
aBcdEF
abCDEf
abCdEF
ABCDef
AbcDEF
aBCdEF
AbCDEf
aBCDEf
Dati
22
Lato B
111112
221111
112112
111221
111212
111122
222111
212211
212112
211221
211122
122121
121221
121212
121122
112221
112122
222211
211222
122122
212221
122221
1
1
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
Connessioni
30
Tabella 6: Casi non nulli nelle due faccie del Disco.
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
117
Analisi Statistica del Disco di Festo
L’analisi monodimensionale fornisce indicazioni sulle presenze/assenze di ciascuna delle
sei classi relativamente ad entrambe le facce del disco.
Tabella analisi monodimensionali lato A
gdl
5%
1°
Fisher 14;24 1,45 1,26
Bartlett 31 43,80 0,00
2°
1,91
0,00
3°
1,43
0,00
4°
5°
6°
3,65 99,00 1,45
0,00 0,00 0,00
Visualizzazione grafica relativa all’analisi monodimensionale del lato A
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
118
Analisi Statistica del Disco di Festo
Tabella analisi monodimensionali lato B
gdl
5%
1A
Fisher 14;24 1,45 1,86
Bartlett 31 43,80 0,00
2A
0,64
0,00
3A
0,61
0,00
4A
2,21
0,00
5A
2,93
0,00
6A
5,31
0,00
Visualizzazione grafica relativa all’analisi monodimensionale del lato B
Tutte le analisi a seguire si muovono conformemente allo schema prefissato.
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
119
Analisi Statistica del Disco di Festo
L’analisi bidimensionale fornisce indicazioni sulle presenze/assenze di ciascuna delle
quindici coppie di classi distinte relativamente ad entrambe le facce del disco.
Tabella analisi bidimensionale lato A
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
2A
0,99
0,00
2A
1A
0,60
0,00
0,00
0,00
5A
3,19
0,00
5A
1A
0,69
0,00
0,00
0,00
4A
0,85
0,00
4A
2A
0,77
0,00
0,00
0,00
4A
1,32
0,00
4A
3A
0,68
0,00
0,00
0,00
5A
2,59
0,00
5A
4A
1,32
0,00
0,00
0,00
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
3A
0,63
0,00
3A
1A
0,67
0,00
0,00
0,00
6A
0,06
0,00
6A
1A
0,68
0,00
0,00
0,00
5A
5,29
0,00
5A
2A
1,31
0,00
0,00
0,00
5A
7,39
0,00
5A
3A
1,04
0,00
0,00
0,00
6A
0,63
0,00
6A
4A
0,96
0,00
0,00
0,00
4A
2,10
0,00
4A
1A
0,89
0,00
0,00
0,00
3A
0,38
0,00
3A
2A
0,66
0,00
0,00
0,00
6A
0,56
0,00
6A
2A
0,78
0,00
0,00
0,00
6A
0,62
0,00
6A
3A
0,50
0,00
0,00
0,00
6A
1,12
0,00
6A
5A
7,39
0,00
0,00
0,00
120
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa analisi bidimensionale del lato A
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
121
Analisi Statistica del Disco di Festo
Tabella analisi bidimensionale lato B
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
2A
0,40
0,00
2A
1A
1,29
0,00
0,00
0,00
5A
0,62
0,00
5A
1A
0,35
0,00
0,00
0,00
4A
1,76
0,00
4A
2A
0,49
0,00
0,00
0,00
4A
1,53
0,00
4A
3A
0,42
0,00
0,00
0,00
5A
1,37
0,00
5A
4A
1,12
0,00
0,00
0,00
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
3A
0,47
0,00
3A
1A
1,38
0,00
0,00
0,00
6A
4,53
0,00
6A
1A
1,67
0,00
0,00
0,00
5A
2,25
0,00
5A
2A
0,49
0,00
0,00
0,00
5A
1,70
0,00
5A
3A
0,36
0,00
0,00
0,00
6A
0,63
0,00
6A
4A
0,32
0,00
0,00
0,00
4A
1,90
0,00
4A
1A
1,50
0,00
0,00
0,00
3A
0,59
0,00
3A
2A
0,62
0,00
0,00
0,00
6A
2,75
0,00
6A
2A
0,37
0,00
0,00
0,00
6A
4,20
0,00
6A
3A
0,53
0,00
0,00
0,00
6A
1,60
0,00
6A
5A
1,06
0,00
0,00
0,00
122
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa analisi bidimensionale del lato B
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
123
Analisi Statistica del Disco di Festo
L’analisi tridimensionale fornisce indicazioni sulle presenze/assenze di ciascuna delle
venti triplette di classi distinte relativamente ad entrambe le facce del disco.
Tabella analisi tridimensionale lato A
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
1A
0,24
0,00
2A
5A
7,20
2,72
1A
0,37
0,00
3A
4A
4,39
3,63
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
1,83
0,49
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
2A
3A
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
1A
0,53
0,00
1A
0,44
0,00
3A
6A
2,56
2,51
36,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
2A
0,50
0,00
0,00
3A
0,30
0,00
2A
4A
2,11
3,52
2A
0,61
0,00
0,00
5A
1,62
0,00
4A
0,77
0,00
3A
0,25
0,00
0,00
6,77
9,40
2,17
0,95
1A
0,24
0,00
1A
3A
6,42
11,47
7,63
5,61
1A
0,49
0,00
2A
6A
1,75
9,28
3A
0,26
0,00
0,00
1A
0,31
1,04
6A
0,41
0,00
7,73
4,67
1A
0,37
0,00
4A
5A
3,50
4,28
2A
0,24
0,46
0,00
4A
0,37
0,00
8,36
17,16
2A
0,50
0,00
0,00
6A
0,45
0,00
1,96
4,03
3A
0,29
0,00
0,00
5A
1,17
0,00
6,07
14,67
4A
0,84
0,00
0,00
5A
0,91
0,00
5,83
10,82
124
Analisi Statistica del Disco di Festo
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
3A
4A
6,68
5,83
2A
0,37
0,00
3A
6A
4,96
2,28
2A
0,31
0,00
4A
6A
7,00
6,46
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
2A
0,19
0,00
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
6,23
6,66
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
4A
6A
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
1A
0,42
0,00
3A
0,50
0,00
4A
5A
6,77
2,10
36,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
4A
0,51
0,00
0,00
6A
0,27
0,00
1A
5A
7,67
16,34
3A
0,12
0,00
0,00
4A
0,41
0,00
6A
0,35
0,00
4A
0,34
0,00
0,00
6A
0,21
0,00
4A
0,63
0,00
0,00
5,83
11,68
5,91
2,86
2A
0,24
0,00
5A
6A
6,61
15,95
8,94
5,83
2A
0,46
0,00
2A
4A
6,25
10,72
6,22
6,57
2A
0,40
0,00
3A
5A
6,72
15,28
3A
0,16
0,00
0,00
1A
0,15
0,00
5A
1,80
0,00
6A
0,38
0,00
6,33
15,20
3A
0,20
0,00
0,00
5A
2,15
0,00
4,67
15,45
4A
0,35
0,00
0,00
5A
1,50
0,00
5,44
11,29
5A
0,80
0,00
0,00
6A
0,18
0,00
10,50
10,70 10,89
25,50
3A
0,41
0,00
4A
6A
5A
0,82
0,00
0,00
1,78
3,13
4A
0,71
0,00
0,00
6A
0,33
0,00
2,59
5,96
125
Analisi Statistica del Disco di Festo
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
36,40
3A
0,18
0,00
5A
6A
5A
1,52
0,00
0,00
5,83
10,96 5,83
17,98
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
6A
0,30
0,00
4A
0,36
0,00
5A
6A
6,22
5,78
5A
1,58
0,00
0,00
6A
0,39
0,00
2,67
11,65
126
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa all’analisi tridimensionale del lato A
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
127
Analisi Statistica del Disco di Festo
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
128
Analisi Statistica del Disco di Festo
Tabella analisi tridimensionale lato B
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
2A
5A
1A
0,82
0,00
3A
4A
3,50
3,03
36,40
1A
0,54
0,00
3A
6A
2A
0,37
0,00
0,00
3A
0,43
0,00
0,31
3,57
2A
0,24
0,00
0,00
3A
0,18
0,00
0,00
5A
0,40
0,00
11,80
10,11 10,63
25,86
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
4,08
2,04
1A
0,69
0,00
2A
6A
4A
1,06
0,00
6A
1,55
0,00
4A
1,45
0,00
3,01
7,26
2A
0,07
0,21
0,00
6A
1,58
0,00
3A
0,26
0,00
0,00
5A
0,40
0,00
2,19
15,24 3,29
16,47
1A
0,18
0,00
4A
5A
2A
0,26
0,00
0,00
9,33
6,94 10,89
21,58
1A
0,25
0,00
3A
5A
4,74
8,96
3A
0,11
0,18
0,00
1A
0,95
0,00
2A
4A
3,89
14,45 2,47
16,53
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
1,96
2,22
1A
0,15
0,00
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
2A
3A
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
1A
0,98
0,00
4A
0,77
0,00
0,00
5A
0,18
0,00
4,84
13,97 10,27
23,11
129
Analisi Statistica del Disco di Festo
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
2A
0,26
0,00
3A
6A
1,87
5,33
2A
0,28
0,00
4A
6A
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
1,15
3,03
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
2A
0,41
0,00
3A
4A
6A
0,31
0,00
3A
0,36
0,00
0,00
4A
1,03
0,00
6A
1,90
0,00
3,12
8,20
4A
0,24
0,00
0,00
6,51
8,22
36,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
4A
0,53
0,00
0,00
7,78
17,88
0,64
2,22
2A
0,23
0,00
4A
5A
6A
0,37
0,00
7,05
7,02
2A
0,14
0,00
5A
6A
5A
0,48
0,00
6A
0,99
0,00
3A
0,33
0,00
0,00
5A
1,23
0,00
6,24
7,23
4A
0,67
0,00
0,00
5A
0,83
0,00
7,99
17,53
5A
0,61
0,00
0,00
6A
0,75
0,00
7,41
10,40 9,52
21,72
3A
0,35
0,00
4A
6A
5A
0,07
0,18
0,00
19,83
6,35 12,96
31,11
2A
0,45
0,00
3A
5A
4,01
6,51
3A
0,42
0,00
0,00
1A
0,16
0,00
5A
6A
1,45
2,90 10,71
11,97
3A
0,06
0,02
4A
5A
4A
0,08
0,13
0,00
7,26
6,74 23,07
29,46
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
4A
6A
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
1A
0,82
0,00
4A
0,17
0,00
0,00
6A
0,51
0,00
3,55
1,58 13,69
14,95
130
Analisi Statistica del Disco di Festo
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
3A
0,15
0,00
5A
6A
8,94
4,80
36,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
5A
0,42
0,00
0,00
9,85
18,75
6A
0,92
0,00
4A
0,17
0,00
5A
6A
5A
0,71
0,00
0,00
6A
0,30
0,00
3,37
14,29 5,08
18,07
131
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa all’analisi tridimensionale del lato B
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
132
Analisi Statistica del Disco di Festo
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
133
Analisi Statistica del Disco di Festo
L’analisi quadridimensionale fornisce indicazioni sulle presenze/assenze di ciascuna delle
quindici quartine di classi distinte relativamente ad entrambe le facce del disco.
Tabella analisi quadridimensionale lato A
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
3,76
9,43
1A
0,37
0,00
2A
0,31
0,00
2A
3A
6A
3,50
4,59
5,08
1A
0,29
0,56
2A
4A
6A
36,40
3A
4A
5A
3A
0,09
0,00
0,00
4A
0,21
2,93
4,35
26,58
3A
0,09
0,00
0,00
2A
0,17
0,51
3,24
5,91
0,54
9,85
1,30
1A
0,02
0,27
3A
0,08
1,55
4A
0,19
1,34
0,00
6A
0,23
0,00
13,21
8,08 12,36
2,91 1,87 1,67
35,96
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
5,37
3,51
9,36
1A
0,03
0,33
2A
4A
5A
6A
0,19
0,00
5A
0,18
0,00
3A
4A
6A
2A
0,29
0,00
3A
0,10
0,00
0,00
5A
0,72
0,00
7,73
6,39 13,77
41,37
2A
0,08
0,43
4A
0,07
0,00
0,00
5A
0,36
0,00
20,52
14,84 21,88
5,95 3,76 6,27
65,66
1A
0,13
0,00
2A
5A
6A
4,53
22,75
4A
0,27
0,00
0,00
1A
0,15
0,08
2A
3A
5A
1,84
1,87 13,52
27,25
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
3,15
0,79
8,15
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
2A
3A
4A
2A
0,09
0,30
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
1A
0,27
0,49
0,69
7,05
4,35
2A
0,23
0,00
5A
0,29
0,00
0,00
6A
0,08
0,00
7,98
9,98 14,17
39,66
1A
0,32
0,00
3A
0,24
0,00
2,50
5,17
1,40
0,33
0,36
4A
0,48
0,00
0,00
6A
0,25
0,00
2,98
11,43
134
Analisi Statistica del Disco di Festo
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
3A
5A
6A
36,40
6A
0,16
0,00
3A
0,04
0,47
4A
0,14
2,67
0,00
3A
0,05
0,00
5A
0,40
0,00
0,00
4A
0,23
3,71
5A
0,43
0,00
0,00
1A
0,02
0,10
4A
5A
6A
5A
0,87
0,00
3A
4A
6A
6A
0,04
0,13
5,53
20,67 7,62
16,55 8,06 23,94
73,86
3A
0,07
1,58
4A
5A
6A
5A
0,64
0,00
0,00
19,78
14,51 8,85
7,62 5,71 13,06
62,34
2A
0,12
0,05
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
3A
4A
5A
3A
0,14
0,00
2,87
7,77 2,27
7,32 10,49 7,29
34,09
2A
0,03
0,10
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
3A
5A
6A
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
1A
0,09
0,19
4A
5A
6A
4A
0,16
0,00
5A
0,21
0,00
0,00
6A
0,03
0,02
14,41
10,85 7,36
21,65 20,29 6,96
73,11
2A
0,10
0,00
3A
0,12
0,00
7,80
9,79
3,81
0,62
0,00
2A
0,09
0,70
4A
0,13
0,00
4A
0,31
0,00
0,00
6A
0,21
0,00
2,27
21,78
5A
0,58
0,00
0,00
6A
0,05
0,11
13,94
8,16 4,09
21,09 13,69 7,78
61,66
6A
0,02
0,01
5,65
14,55 17,41
18,97 11,06 16,50
75,46
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
135
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa all’analisi tridimensionale del lato A
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
136
Analisi Statistica del Disco di Festo
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
137
Analisi Statistica del Disco di Festo
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
138
Analisi Statistica del Disco di Festo
Tabella analisi quadridimensionale lato B
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
2A
4A
6A
4A
0,57
3,19
2A
0,01
0,03
3A
0,05
0,04
6,68
2A
0,04
0,05
4A
0,05
0,04
4,24
3A
0,04
0,00
0,61
2,84 8,97
10,69 5,60
36,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
4A
0,41
0,00
0,00
9,27
34,06
1A
0,09
0,33
2A
3A
5A
6A
0,66
2,43
6A
0,09
0,71
5A
0,03
1,52
5A
0,26
0,40
6,19
48,29
4A
0,56
0,00
0,00
5A
0,05
0,34
2A
0,01
0,03
5A
0,01
0,04
0,00
6A
0,60
0,00
5,58
18,49 2,55
5,74 10,02 13,62
50,21
1A
0,25
0,00
3A
4A
6A
2A
0,12
0,07
3A
0,25
0,00
0,00
4,72
4,90 5,41
22,96 6,77 18,05
56,32
1A
0,04
0,28
2A
5A
6A
2A
0,24
0,00
5,80
4,20 0,12
33,18 4,35
1A
0,07
0,51
2A
4A
5A
9,22
8,89 1,27
17,30 10,58 28,46
67,91
1A
0,16
0,00
3A
4A
5A
3A
0,06
0,12
0,00
9,79
16,24 2,55
19,79 16,40 16,48
72,86
1A
0,46
1,52
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
2A
3A
6A
2A
0,14
0,20
7,98
10,28 5,50
10,53 10,83 14,80
53,73
1A
0,20
1,83
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
2A
3A
4A
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
1A
0,45
0,00
3A
0,04
0,00
4A
0,01
0,00
0,00
6A
0,16
1,05
13,96
8,34 3,50
16,32 7,86 25,24
67,46
139
Analisi Statistica del Disco di Festo
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
3A
5A
6A
36,40
6A
0,53
0,00
3A
0,05
0,02
4A
0,31
0,75
0,00
3A
0,09
0,06
5A
0,20
0,61
4,30
4A
0,04
0,01
5A
0,26
0,00
0,00
1A
0,06
0,59
4A
5A
6A
5A
0,29
0,00
6A
0,39
2,64
4,12
3,63
7,62
2A
0,05
0,13
4A
5A
6A
4A
0,05
0,02
5A
0,04
0,10
1,22
6A
0,16
0,31
6,53
22,19 1,31
6,04 19,96 6,28
55,87
2A
0,18
0,00
3A
4A
6A
3,46
9,61 14,56
16,41 9,96 17,77
64,36
3A
0,03
0,02
4A
5A
6A
5A
0,01
0,02
0,00
0,12
7,72 10,43
6,65 16,12 14,39
49,70
2A
0,08
0,31
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
3A
4A
5A
3A
0,05
0,02
4,91
18,13 2,84
8,27 8,62 16,33
53,00
2A
0,23
0,00
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
3A
5A
6A
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
1A
0,08
1,01
3A
0,28
1,01
4A
0,10
0,11
0,00
6A
0,26
0,00
8,18
5,66 17,41
41,80
4A
0,06
0,03
5A
0,38
2,14
3,36
6A
0,09
0,15
5,94
16,53 9,04
10,10 17,49 11,04
62,90
6A
0,27
0,00
6,62
11,42 4,81
1,02 14,42 5,80
39,54
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
140
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa all’analisi tridimensionale del lato B
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
141
Analisi Statistica del Disco di Festo
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
142
Analisi Statistica del Disco di Festo
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
143
Analisi Statistica del Disco di Festo
L’analisi penta dimensionale fornisce indicazioni sulle presenze/assenze di ciascuna delle
sei cinquine di classi distinte relativamente ad entrambe le facce del disco.
Tabella analisi penta dimensionale lato A
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
2A
3A
4A
6A
31,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
4A
0,00
0,02
5A
0,19
0,00
3A
0,09
0,00
0,00
4A
0,18
0,90
6A
0,19
0,00
3,32
0,92 3,58
7,07 11,11 0,22
0,58 1,50 0,02 0,96
27,84
1A
2A
73,76 0,12
0,20 0,02
2A
3A
5A
6A
3A
0,02
0,23
0,00
1,10
1,46 3,52
6,32 14,43 4,46
10,70 3,59 3,76 9,04
55,49
1A
2A
89,21 0,04
0,02 0,37
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
2A
3A
4A
5A
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
1A
2A
65,59 0,01
0,05 0,03
3A
5A
0,03 0,18
0,86 4,38
10,35
6A
0,00
0,00
0,24
3,67 4,82
8,81 16,98 5,00
5,16 11,36 5,31 18,76
76,17
144
Analisi Statistica del Disco di Festo
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
3A
4A
5A
6A
31,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
5A
0,09
0,00
6A
0,02
0,00
4A
5A
0,12 0,04
2,93 2,77
10,95
6A
0,01
0,01
0,31
4,50 2,63
13,23 5,78 16,74
0,47 0,68 7,26 9,91
58,48
2A
3A
23,08 0,00
0,01 0,00
3A
4A
5A
6A
4A
0,03
1,39
0,00
1,33
9,01 14,06
9,23 3,11 4,66
1,60 0,36 4,96 5,97
51,60
1A
3A
66,34 0,07
0,10 1,31
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
2A
4A
5A
6A
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
1A
2A
65,12 0,07
0,00 0,41
3,68
6,58
5,79
0,74
2,19
8,97
3,75
6A
4A
5A
0,09 0,25 0,01
1,63 10,28 0,01
18,63
9,61
2,54 14,37
55,36
145
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa all’analisi penta dimensionale del lato A
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146
Analisi Statistica del Disco di Festo
Politecnico di Milano
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147
Analisi Statistica del Disco di Festo
Tabella analisi penta dimensionale lato B
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
5,17
0,57 0,03
1,57 6,16
15,24 1,24
1A
2A
19,09 0,00
0,50 0,00
2A
3A
4A
6A
7,54
15,13 2,30
5,35 0,84
14,67 8,17
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
2A
3A
4A
5A
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
1A
2A
17,70 0,12
0,39 0,06
1A
2A
15,00 0,00
0,00 0,00
2A
3A
5A
6A
31,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
3A
0,04
0,00
1,05
4A
0,28
0,09
5A
0,03
0,09
8,65
1,14 10,65
47,95
3A
0,00
0,00
0,98
4A
0,00
0,00
6A
0,03
0,05
3,62
4,03 17,74
75,50
3A
0,04
0,00
1,01
5A
0,00
0,00
6A
0,28
0,40
4,19
2,44 0,45
9,78 0,45 0,72
4,84 11,26 9,91 11,95
53,24
148
Analisi Statistica del Disco di Festo
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
3A
4A
5A
6A
31,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
5A
0,00
0,00
6A
0,04
0,05
4A
0,00
0,00
0,71
5A
0,00
0,00
6A
0,12
0,06
1,42
2,33 2,62
14,10 2,25 0,42
7,29 2,24 15,16 2,28
47,65
2A
3A
24,93 0,02
0,10 0,00
3A
4A
5A
6A
4A
0,04
0,00
0,33
2,40
1,26 0,45
16,30 2,21 0,72
2,73 5,82 19,56 2,53
51,32
1A
3A
16,69 0,00
0,35 0,00
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
2A
4A
5A
6A
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
1A
2A
15,92 0,00
0,16 0,00
4A
0,00
0,00
0,32
5A
0,09
0,06
6A
0,06
0,01
0,53
2,57 2,67
9,78 14,06 6,29
11,28 1,76 12,95 7,58
66,04
149
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa all’analisi penta dimensionale del lato B
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150
Analisi Statistica del Disco di Festo
A conclusione dell’analisi dei piani 2k, alcune considerazioni statistiche possono essere
evidenziate. Innanzitutto occorre rilevare che l’analisi, giocoforza qualitativa, non può
pretendere spiegazioni troppo forti, anche per l’esiguità dei dati raccolti e sottoposti a
test.
Una seconda osservazione deve rilevare come per la maggior parte dei test di Fischer,
l’essere finito in zona critica del valore atteso (cosa che pone il prevalere delle varianze
spiegate sulle varianze residue) sia spesso limitato a poche componenti, tra le tante prese
in considerazione.
Una terza osservazione mette in luce comunque come il numero di test di Fischer il cui
valore atteso è finito in zona critica è pari a 16, per la faccia A, e 19, per la faccia B,
come riassunto nella tabella 7
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151
Analisi Statistica del Disco di Festo
Tabella casi significativi
Lato A
monodimensionale
3
bidimensionale
6
tridimensionale
1
quadri dimensionale
0
penta dimensionale
6
totale
16
Lato B
4
9
0
0
6
19
Tabella 7: Casi significativi nelle due facce del Disco.
Pertanto essendo 64 il numero totale di casi analizzati, il rapporto 16/64 è 0,25 e quello
19/64 circa 0,30, cosa che prova come 1/4 dei test, per la faccia A, e circa 1/3 dei test, per
la faccia B, abbia evidenziato sperimentalmente un certo legame tra le classi di simboli
catalogate.
Resta da osservare come il superamento dell’ipotesi nulla, per le quasi totalità dei test di
Bartlett, permette l’adozione, senza riserve, del test di Fischer (senza richiedere l’impiego
del test di Welch).
Infine per quanto riguarda il test di Lawley volto a correlare a due a due le singole classi
di simboli catalogate, si considera meglio costruito quello globale sulla totalità dei dati,
caso per caso, rispetto a quelli singoli per dati partizionati. La ragione di questa
affermazione sta nell’acclamata significatività di questo test per numerosità via, via
crescenti e comunque significativamente grandi. Allora il test di Lawley sulla totalità dei
dati fornisce valori attesi in zona critica per tutti i casi della faccia A (ad eccezione di
uno) e per tutti i casi della faccia B (senza alcuna eccezione) relativamente all’analisi
pentadimensionale. Il test di Lawley è forse meno significativo di quello di Fischer, ma
una risposta così univoca è certamente una conferma di legami tra le varie classi di
simboli catalogate.
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152
Analisi Statistica del Disco di Festo
PIANI 2K seconda prova
Osservando il Disco di Festo si è deciso di considerare la seguente suddivisione in
classi:
Classe A (1) - Simboli antropomorfi: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Classe B (2) - Simboli zoomorfi: 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34
Classe C (3) - Simboli fitomorfi: 35, 36, 37, 38, 39
Classe D (4) - Simboli raffiguranti armi: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Classe E (5) - Simboli raffiguranti utensili: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27
Classe F (6) - Simboli vari: 7, 8, 9, 40, 41, 42, 43, 44, 45
Nelle due facce del disco si è poi proceduto ad individuare le classi d’appartenenza dei
diversi simboli che compongono le parole per le due facce del disco.
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153
Analisi Statistica del Disco di Festo
Nelle due tabelle 8 e 9, sottostanti, sono riportati i simboli e le classi che compongono le
parole nelle due facce del disco.
A31
A30
A29
A28
A27
A26
A25
A24
A23
A22
A21
A20
A19
A18
A17
A16
A15
A14
A13
A12
A11
A10
A9
A8
A7
A6
A5
A4
A3
A2
A1
A
antropo
morfi
2,1
2,4
B
zoomorfi
C
fitomorfi
29
29,29,34
33
2
2
1
2
2
6
32
35
35
38
39
28
31
35,37
33
31
12,13,18
12
24
40
7,45
27
27
40
7,45
8,44
26
12,19
28
31
32
31
35
38
35,37
38
41
7,40,41
12
11
10,18
23
12
12
26
21,27,27
23
26
23,25,29
12
10,18
2,1
3
2
1
3
F
vari
12,18
31
2
1
2
2
E
utensili
12
12
2,6
2
1
2
D
armi
12
12,14,18
17,18,19
12
12,13
19
10
12
13
10
23,25,27
26
27,27
26
23
21,27,27
5
3
3
3
5
4
3
4
3
5
4
5
2
6
2
4
7
2
4
6
2
4
7
4
3
4
3
3
7
2
3
AD
DEF
BF
B
ABDF
DEF
EF
AD
BCE
ACDF
AF
ABCDE
CD
ADE
AB
ABDE
ACDE
BE
ABDE
ADE
AB
ABDE
ABDE
AD
BDE
AD
CDE
ACD
ACDE
AD
ACD
Tabella 8: Simboli e classi che compongono le parole della faccia A.
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154
Analisi Statistica del Disco di Festo
B30
B29
B28
B27
B26
B25
B24
B23
B22
B21
B20
B19
B18
B17
B16
B15
B14
B13
B12
B11
B10
B9
B8
B7
B6
B5
B4
B3
B2
B1
A
antropom
orfi
2
B
zoomorfi
C
fitomorfi
E
utensili
F
vari
12
22
27
23
22,25,27
20,24
23
7,40
7,45
35
37
2,5
33
1
1
D
armi
33
39
29
37
35
36
38
35
2
1
12
16,18
13
13,15,18
22,25
24
26
25,27
20,24,24
43
7
42
7,40
40
14,16,18
1
6
2,1
29,33
32,33
35,39
27
29
29
29
29
34
36
13
36
35
22
23,25,27
18
18
29
30
2,6
36
39
35
23,24
22
18
29,34
23
23,25
9
7,8
8
7,45
7,8
7
7,7,45
7
7,8
7,9
7
7,45
5
4
4
3
4
4
4
5
4
4
4
4
5
3
3
5
4
4
3
3
5
4
3
3
4
5
5
5
4
2
ADEF
CEF
ACE
E
BDE
DEF
ABCD
ADF
CEF
CEF
ACEF
ACE
BCE
D
AB
ABC
AEF
BCF
BDF
BF
BCEF
BE
CDF
F
DEF
BCEF
BCDF
ACEF
BE
F
Tabella 9: Simboli e classi che compongono le parole della faccia B.
Con specifico riferimento allo studio del disco e alla suddivisione in sei classi, l’analisi a
seguire può essere condotta dal piano 21 = 2 fino al piano 26 = 64.
La tabella 10 mostra l’elenco completo di tutte le combinazioni e le tabelle 11 e 12
dispongono i dati raccolti in accordo con le combinazioni possibili.
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155
Analisi Statistica del Disco di Festo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
abcdef
Abcdef
aBcdef
abCdef
abcDef
abcdEf
abcdeF
ABcdef
AbCdef
AbcDef
AbcdEf
AbcdeF
aBCdef
aBcDef
aBcdEf
aBcdeF
abCDef
abCdEf
abCdeF
abcDEf
abcDeF
abcdEF
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
ABCdef
ABcDef
ABcdEf
ABcdeF
AbCDef
AbCdEf
AbCdeF
AbcDEf
AbcDeF
AbcdEF
aBCDef
aBCdEf
aBCdeF
aBcDEf
aBcDeF
aBcdEF
abCDEf
abCDeF
abCdEF
abcDEF
ABCDef
ABCdEf
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
ABCdeF
ABcdEF
AbcDEF
abCDEF
ABcDeF
AbCdEF
aBcDEF
ABcDEf
AbCDeF
aBCdEF
AbCDEf
aBCDeF
aBCDEf
aBCDEF
AbCDEF
ABcDEF
ABCdEF
ABCDeF
ABCDEf
ABCDEF
Tabella 10: Elenco di tutte le combinazioni possibili.
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
156
Analisi Statistica del Disco di Festo
1
abcdef
23
ABCdef
45
2
Abcdef
24
ABcDef
46
3
aBcdef
25
ABcdEf
47
4
abCdef
26
ABcdeF
48
5
abcDef
27
AbCDef
6
abcdEf
28
AbCdEf
50
7
abcdeF
29
AbCdeF
51
ABCde
F
ABcdE
F
AbcDE
F
abCDE
F
ABcDe
F
AbCdE
F
aBcDEF
8
ABcdef
30
AbcDEf
52
ABcDEf
4
9
AbCdef
31
AbcDeF
53
1
10
AbcDef
32
AbcdEF
54
11
AbcdEf
33
aBCDef
55
12
AbcdeF
34
aBCdEf
13
aBCdef
35
aBCdeF
AbCDe
F
aBCdE
F
AbCDE
f
aBCDe
F
aBCDEf
14
aBcDef
36
aBcDEf
15
aBcdEf
1
37
aBcDeF
59
16
aBcdeF
1
38
aBcdEF
60
17
abCDef
1
39
abCDEf
18
abCdEf
40
abCDeF
62
19
abCdeF
41
abCdEF
63
20
abcDEf
42
abcDEF
21
abcDeF
43
22
abcdEF
ABCDe
f
ABCdE
f
1
2
5
1
1
44
2
2
1
49
56
57
1
1
2
58
61
64
aBCDE
F
AbCDE
F
ABcDE
F
ABCdE
F
ABCDe
F
ABCDE
f
ABCDE
F
1
2
1
Tabella 11: Dati raccolti in accordo con le combinazioni possibili della faccia A.
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
157
Analisi Statistica del Disco di Festo
1
abcdef
23
ABCdef
1
2
Abcdef
24
ABcDef
46
3
aBcdef
25
ABcdEf
47
4
abCdef
26
ABcdeF
48
5
abcDef
1
27
AbCDef
49
6
abcdEf
1
28
AbCdEf
7
abcdeF
2
29
AbCdeF
51
ABCde
F
ABcdE
F
AbcDE
F
abCDE
F
ABcDe
F
AbCdE
F
aBcDEF
8
ABcdef
1
30
AbcDEf
52
ABcDEf
9
AbCdef
31
AbcDeF
1
53
10
AbcDef
32
AbcdEF
1
54
11
AbcdEf
33
aBCDef
12
AbcdeF
34
aBCdEf
1
56
13
aBCdef
35
aBCdeF
1
57
AbCDe
F
aBCdE
F
AbCDE
f
aBCDe
F
aBCDEf
14
aBcDef
36
aBcDEf
1
58
15
aBcdEf
2
37
aBcDeF
1
59
16
aBcdeF
1
38
aBcdEF
60
17
abCDef
39
abCDEf
61
18
abCdEf
40
abCDeF
1
62
19
abCdeF
41
abCdEF
3
63
20
abcDEf
42
abcDEF
2
64
21
abcDeF
43
1
22
abcdEF
44
ABCDe
f
ABCdE
f
2
45
50
55
1
2
2
1
aBCDE
F
AbCDE
F
ABcDE
F
ABCdE
F
ABCDe
F
ABCDE
f
ABCDE
F
Tabella 12: Dati raccolti in accordo con le combinazioni possibili della faccia B.
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
158
Analisi Statistica del Disco di Festo
Di conseguenza la tabella 13 riassume i soli casi non nulli e costituisce i dati d’ingresso
per l’analisi dei piani 2K.
aBcdef
ABcdef
AbcDef
AbcdeF
aBcdEf
aBcdeF
abCDef
abcdEF
AbCDef
AbcDEf
aBCdEf
aBcDEf
abCDEf
abcDEF
ABcDeF
ABcDEf
AbCDeF
AbCDEf
ABCDEf
Dati
19
Lato A
121111
221111
211211
211112
121121
121112
112211
111122
212211
211221
122121
121221
112221
111222
221212
221221
212212
212221
222221
1
2
5
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
1
4
1
2
1
Connessioni
31
abcDef
abcdEf
abcdeF
ABcdef
aBcdEf
aBcdeF
ABCdef
AbCdEf
AbcDeF
AbcdEF
aBCdEf
aBCdeF
aBcDEf
aBcDeF
abCDeF
abCdEF
abcDEF
ABCDef
AbcDEF
AbCdEF
aBCdEF
aBCDeF
Dati
22
Lato B
111211
111121
111112
221111
121121
121112
222111
212121
211212
211122
122121
122112
121221
121212
112212
112122
111222
222211
211222
212122
122122
122212
1
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
3
2
1
1
2
2
1
Connessioni
30
Tabella 13: Casi non nulli nelle due faccie del Disco.
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
159
Analisi Statistica del Disco di Festo
L’analisi monodimensionale fornisce indicazioni sulle presenze/assenze di ciascuna delle
sei classi relativamente ad entrambe le facce del disco.
Tabella analisi monodimensionali lato A
gdl
5%
1°
Fisher 14;24 1,45 1,42
Bartlett 31 43,80 0,00
2°
2,27
0,00
3°
0,71
0,00
4°
4,09
0,00
5°
1,26
0,00
6°
3,65
0,00
Visualizzazione grafica relativa all’analisi monodimensionale del lato A
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
160
Analisi Statistica del Disco di Festo
Tabella analisi monodimensionali lato B
gdl
5%
1A
Fisher 14;24 1,45 2,57
Bartlett 31 43,80 0,00
2A
1,43
0,00
3A
1,65
0,00
4A
1,50
0,00
5A
5,17
0,00
6A
3,18
0,00
Visualizzazione grafica relativa all’analisi monodimensionale del lato B
Tutte le analisi a seguire si muovono conformemente allo schema prefissato.
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
161
Analisi Statistica del Disco di Festo
L’analisi bidimensionale fornisce indicazioni sulle presenze/assenze di ciascuna delle
quindici coppie di classi distinte relativamente ad entrambe le facce del disco.
Tabella analisi bidimensionale lato A
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
2A
1,82
0,00
2A
1A
0,97
0,00
0,00
0,00
5A
0,85
0,00
5A
1A
0,86
0,00
0,00
0,00
4A
0,65
0,00
4A
2A
0,70
0,00
0,00
0,00
4A
2,24
0,00
4A
3A
0,45
0,00
0,00
0,00
5A
0,57
0,00
5A
4A
1,23
0,00
0,00
0,00
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
3A
0,45
0,00
3A
1A
1,13
0,00
0,00
0,00
6A
1,17
0,00
6A
1A
0,61
0,00
0,00
0,00
5A
0,43
0,00
5A
2A
0,96
0,00
0,00
0,00
5A
1,09
0,00
5A
3A
0,59
0,00
0,00
0,00
6A
1,03
0,00
6A
4A
1,23
0,00
0,00
0,00
4A
1,37
0,00
4A
1A
0,56
0,00
0,00
0,00
3A
0,30
0,00
3A
2A
1,34
0,00
0,00
0,00
6A
0,41
0,00
6A
2A
0,62
0,00
0,00
0,00
6A
1,65
0,00
6A
3A
0,32
0,00
0,00
0,00
6A
1,39
0,00
6A
5A
0,68
0,00
0,00
0,00
162
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa analisi bidimensionale del lato A
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
163
Analisi Statistica del Disco di Festo
Tabella analisi bidimensionale lato B
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
gdl
Fisher 15;45
Bartlett 15
30
Lawley
16
5%
1,45
25,00
43,80
26,30
2A
0,66
0,00
2A
1A
1,04
0,00
0,00
0,00
5A
1,22
0,00
5A
1A
0,65
0,00
0,00
0,00
4A
1,11
0,00
4A
2A
1,04
0,00
0,00
0,00
4A
0,32
0,00
4A
3A
0,42
0,00
0,00
0,00
5A
0,84
0,00
5A
4A
0,25
0,00
0,00
0,00
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
3A
0,80
0,00
3A
1A
1,00
0,00
0,00
0,00
6A
0,52
0,00
6A
1A
0,37
0,00
0,00
0,00
5A
1,27
0,00
5A
2A
0,43
0,00
0,00
0,00
5A
1,14
0,00
5A
3A
0,52
0,00
0,00
0,00
6A
1,32
0,00
6A
4A
0,67
0,00
0,00
0,00
4A
0,86
0,00
4A
1A
1,33
0,00
0,00
0,00
3A
1,25
0,00
3A
2A
1,04
0,00
0,00
0,00
6A
1,32
0,00
6A
2A
0,64
0,00
0,00
0,00
6A
0,91
0,00
6A
3A
0,58
0,00
0,00
0,00
6A
0,64
0,00
6A
5A
0,92
0,00
0,00
0,00
164
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa analisi bidimensionale del lato B
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
165
Analisi Statistica del Disco di Festo
L’analisi tridimensionale fornisce indicazioni sulle presenze/assenze di ciascuna delle
venti triplette di classi distinte relativamente ad entrambe le facce del disco.
Tabella analisi tridimensionale lato A
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
1A
0,45
0,00
2A
5A
6,74
7,73
1A
0,44
0,00
3A
4A
1,99
7,26
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
4,68
1,19
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
2A
3A
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
1A
0,84
0,00
1A
0,53
0,00
3A
6A
1,05
4,12
36,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
2A
1,03
0,00
0,00
3A
0,18
0,00
2A
4A
5,61
9,12
2A
0,48
0,00
0,00
5A
0,15
0,00
4A
0,87
0,00
3A
0,21
0,00
0,00
2,13
5,79
6A
0,77
0,00
4A
0,22
0,00
7,81
13,32
2A
0,48
0,00
0,00
6A
0,12
0,00
3A
0,15
0,00
0,00
5A
0,42
0,00
6,62
11,46 6,64
19,64
1A
0,33
0,00
4A
5A
2A
0,44
0,00
0,00
1,76
3,31 12,75
14,17
1A
0,38
0,00
1A
3A
5,19
11,47
2,93
6,03
1A
0,44
0,00
2A
6A
8,80
18,49
3A
0,26
0,00
0,00
1A
0,38
0,00
4A
0,41
0,00
0,00
5A
0,36
0,00
11,36
4,67 4,47
16,29
166
Analisi Statistica del Disco di Festo
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
2A
0,45
0,00
3A
6A
5,96
4,83
3A
0,37
0,00
4A
5A
6A
0,36
0,00
7,19
16,37
3A
0,12
0,00
0,00
3A
0,18
0,00
0,00
5,50
1,04
36,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
4A
0,60
0,00
0,00
4A
0,35
0,00
5,19
9,32
7,34
5,94
2A
0,48
0,00
3A
5A
6A
0,23
0,00
9,46
7,48
2A
0,27
0,00
2A
4A
6A
0,38
0,00
5A
0,48
0,00
6A
0,34
0,00
7,21
16,28
3A
0,21
0,00
0,00
5A
0,34
0,00
2,35
15,33
4A
0,31
0,00
0,00
5A
0,19
0,00
5A
0,29
0,00
0,00
6A
0,33
0,00
3,69
11,67 1,36
13,28
3A
0,22
0,00
4A
6A
5A
0,28
0,00
0,00
11,88
7,29 4,62
18,90
2A
0,29
0,00
5A
6A
0,30
8,81
4A
0,77
0,00
0,00
1A
0,23
0,00
1A
5A
2,44
12,93 2,89
14,51
2A
0,32
0,00
4A
6A
4A
0,58
0,00
0,00
8,24
12,06 6,21
21,06
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
3A
4A
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
8,09
5,31
2A
0,33
0,00
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
4A
6A
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
1A
0,20
0,00
1,98
4,83
4A
1,00
0,00
0,00
6A
0,56
0,00
7,23
11,15
167
Analisi Statistica del Disco di Festo
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
3A
0,16
0,00
5A
6A
3,36
5,97
36,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
5A
0,47
0,00
0,00
7,99
13,76
6A
0,55
0,00
4A
0,60
0,00
5A
6A
4,27
5,50
5A
0,31
0,00
0,00
6A
0,65
0,00
3,59
10,61
168
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa all’analisi tridimensionale del lato A
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
169
Analisi Statistica del Disco di Festo
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
170
Analisi Statistica del Disco di Festo
Tabella analisi tridimensionale lato B
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
2A
5A
1A
0,83
0,00
3A
4A
5,23
1,67
36,40
1A
0,28
0,00
3A
6A
2A
0,34
0,00
0,00
3A
0,46
0,00
6,96
20,75
2A
0,19
0,00
0,00
3A
0,24
0,00
0,00
5A
0,49
0,00
2,35
10,62 4,57
13,94
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
4A
0,23
0,00
6A
0,26
0,00
2A
0,19
0,00
0,00
6A
0,13
0,11
3A
0,19
0,00
0,00
5A
0,33
0,00
10,26
10,40 10,69
24,91
1A
0,49
0,00
4A
5A
4A
0,53
0,00
7,30
20,94 10,12
30,48
1A
0,23
0,00
3A
5A
2A
0,41
0,00
0,00
10,86
7,97 6,48
20,11
1A
0,03
0,20
2A
6A
6,16
10,38
3A
0,47
0,00
0,00
1A
0,52
0,00
2A
4A
4,30
10,20 10,12
19,57
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
9,49
9,67
1A
0,35
0,00
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
2A
3A
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
1A
0,30
0,00
4A
0,17
0,00
0,00
5A
0,32
0,00
2,28
9,93 13,38
20,34
171
Analisi Statistica del Disco di Festo
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
3A
6A
2A
0,37
0,00
4A
6A
6,48
8,71
3A
0,26
0,00
4A
5A
6A
0,31
0,00
3A
0,34
0,00
0,00
4A
0,24
0,00
4,36
2,26
36,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
4A
0,37
0,00
0,00
6A
0,30
0,00
6A
0,56
0,00
4A
0,05
0,00
0,00
7,60
11,30
1,69
7,89
2A
0,19
0,00
5A
6A
5A
0,60
0,00
6A
0,18
0,00
9,66
19,29
3A
0,40
0,00
0,00
5A
0,33
0,00
4A
0,19
0,00
0,00
5A
0,27
0,00
9,40
15,08
5A
0,34
0,00
0,00
6A
0,33
0,00
10,56
6,68 10,37
21,94
3A
0,11
0,00
4A
6A
5A
0,47
0,00
0,00
2,32
11,45 6,55
16,15
2A
0,33
0,00
4A
5A
8,75
19,03
4,99
9,63
2A
0,30
0,00
3A
5A
8,49
8,60
3A
0,35
0,00
0,00
1A
0,17
0,00
5A
6A
6,34
11,46 9,92
22,02
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
1,17
1,17
2A
0,37
0,00
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
2A
0,87
0,00
3A
4A
4A
0,47
0,00
0,00
2,85
12,03 4,47
15,38
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
4A
6A
36,40
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
1A
0,25
0,00
7,86
4,95
4A
0,18
0,00
0,00
6A
0,64
0,00
2,96
12,53
172
Analisi Statistica del Disco di Festo
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
7;49 2,10
7
14,10
21 32,70
8
15,50
24
3A
0,26
0,00
5A
6A
5,09
4,21
36,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
5A
0,46
0,00
0,00
8,09
13,82
6A
0,35
0,00
4A
0,23
0,00
5A
6A
8,23
0,42
5A
0,35
0,00
0,00
6A
0,61
0,00
5,44
11,20
173
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa all’analisi tridimensionale del lato B
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
174
Analisi Statistica del Disco di Festo
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
175
Analisi Statistica del Disco di Festo
L’analisi quadridimensionale fornisce indicazioni sulle presenze/assenze di ciascuna delle
quindici quartine di classi distinte relativamente ad entrambe le facce del disco.
Tabella analisi quadridimensionale lato A
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
2A
0,13
0,00
4,77
11,86 8,08
10,16 6,76
36,40
1A
0,14
1,28
3A
4A
5A
3A
0,06
0,00
0,00
4A
0,07
0,98
3A
0,09
0,00
0,00
3A
0,13
0,00
4A
0,15
0,00
0,00
6A
0,05
0,89
7,90
16,04 13,21
2,20 6,61 6,24
46,82
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
6A
0,06
0,00
2A
5A
6A
5A
0,20
0,00
3A
4A
6A
2A
0,37
0,00
3A
0,07
0,00
0,00
5A
0,03
0,01
7,62
7,46 22,20
2,50 12,00 9,25
54,74
1A
0,20
0,00
2A
4A
5A
1,64
38,81
4A
0,34
0,00
0,00
1A
0,26
1,31
2A
3A
5A
3,38
2,27 6,07
5,28 25,79 4,45
42,36
1A
0,07
0,80
2A
4A
6A
2A
0,35
2,79
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
2A
3A
6A
2A
0,21
0,00
5,55
2,53 10,45
7,79 14,54 6,32
42,31
1A
0,39
0,00
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
2A
3A
4A
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
1A
0,31
0,00
2A
0,11
0,00
4A
0,10
0,00
0,00
5A
0,05
0,00
3,45
5,90 6,92
8,98 11,00 3,66
35,79
1A
0,21
0,00
2A
0,28
0,00
0,79
6,09
5,01
5,43
7,29
1A
0,13
2,87
3A
0,11
0,00
5A
0,10
0,00
0,00
6A
0,09
0,00
2,03
23,90
4A
0,46
1,44
0,00
6A
0,16
0,00
3,34
11,46 8,56
3,54 4,84 13,81
40,83
176
Analisi Statistica del Disco di Festo
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
3A
5A
6A
36,40
6A
0,31
0,00
3A
0,11
0,00
4A
0,20
3,14
0,00
3A
0,06
0,00
5A
0,19
0,00
0,00
4A
0,48
2,80
5A
0,17
0,26
8,26
1A
0,02
0,10
4A
5A
6A
5A
0,18
0,00
6A
0,12
2,91
3A
0,01
0,09
5A
0,08
0,00
0,00
6A
0,08
0,00
7,74
45,07
4A
0,28
0,00
0,00
6A
0,17
0,00
15,92
19,35 10,77
14,62 7,34 3,79
64,38
2A
0,09
0,70
4A
5A
6A
4A
0,22
0,00
16,44
6,05 9,67
5,26 5,10
2A
0,10
0,25
3A
4A
6A
3,81
5,89 20,33
7,07 8,18 4,17
44,35
3A
0,07
1,58
4A
5A
6A
5A
0,17
1,11
0,00
10,55
16,71 15,40
5,34 0,20 5,98
48,59
2A
0,20
0,35
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
3A
4A
5A
3A
0,13
0,00
1,74
18,41 4,46
5,59 1,02 15,00
41,45
2A
0,07
0,09
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
3A
5A
6A
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
1A
0,19
0,73
4A
0,24
0,00
15,85
11,19 7,88
9,36 1,49
5A
0,08
0,08
0,00
6A
0,27
0,00
4,06
44,68
6A
0,19
1,14
4,29
8,52 14,27
10,73 9,60 13,96
55,03
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
177
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa all’analisi tridimensionale del lato A
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
178
Analisi Statistica del Disco di Festo
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
179
Analisi Statistica del Disco di Festo
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
180
Analisi Statistica del Disco di Festo
Tabella analisi quadridimensionale lato B
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
2A
4A
6A
36,40
4A
0,10
1,04
2A
0,08
0,10
3A
0,32
0,00
0,00
2A
0,14
0,29
4A
0,36
0,00
0,00
3A
0,03
0,03
4A
0,01
0,10
0,00
15,45
4,47 17,85
7,52 10,93 16,75
65,44
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
1A
0,05
0,21
2A
3A
5A
6A
0,02
0,11
6A
0,04
0,11
5A
0,10
0,10
5A
0,10
0,14
2A
0,14
0,30
4A
0,12
0,60
2,06
5A
0,05
0,07
2A
0,05
0,09
5A
0,34
0,00
0,00
6A
0,03
0,08
7,15
0,18 18,13
3,76 7,89 3,70
36,61
1A
0,21
0,00
3A
4A
6A
3A
0,11
0,08
0,50
7,52
3,26 10,10
3,17 11,26 14,93
45,07
1A
0,02
0,18
2A
5A
6A
2A
0,11
0,04
8,40
18,41 9,90
5,51 10,61 12,28
58,39
1A
0,27
0,49
2A
4A
5A
8,63
0,47 20,24
3,41 10,15 3,74
41,82
1A
0,15
0,00
3A
4A
5A
3A
0,05
0,01
3,61
8,74
1,08 15,35
5,18 17,19 3,02
45,34
1A
0,02
0,17
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
2A
3A
6A
2A
0,21
0,81
23,54
13,03 7,11
9,15 7,07 11,07
63,65
1A
0,01
0,06
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
2A
3A
4A
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
1A
0,19
1,27
3A
0,08
0,35
4A
0,11
0,62
0,00
6A
0,14
0,32
1,55
3,02 14,36
11,24 7,83 5,29
38,83
181
Analisi Statistica del Disco di Festo
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
3A
4A
5A
3A
5A
6A
6A
0,12
0,65
8,18
42,61
4A
0,02
0,26
0,00
3A
0,11
0,13
5A
0,09
0,07
0,41
4A
0,01
0,07
11,66
3,72 8,27
7,46 2,33
36,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
5A
0,27
0,00
0,00
1A
0,06
0,59
4A
5A
6A
5A
0,14
0,89
6A
0,06
0,07
5A
0,14
1,69
4,08
6A
0,14
0,29
3A
0,04
0,03
4A
0,10
0,70
0,00
6A
0,19
1,48
5,22
4,84 18,28
10,44 12,09 7,65
52,48
2A
0,05
0,13
4A
5A
6A
4A
0,14
1,45
4,67
8,72 14,49
17,10 1,59 7,56
48,55
2A
0,28
0,00
3A
4A
6A
14,41
16,72 18,13
10,30 17,20 9,87
77,67
3A
0,03
0,02
4A
5A
6A
3A
0,20
0,84
5A
0,18
0,82
2,53
3,84
3,02 19,37
8,79 5,96 12,58
48,04
2A
0,05
0,10
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
6,96
8,53 9,53
12,17 2,14
2A
0,24
0,00
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
3A
5A
6A
3A
0,14
0,66
36,40
gdl
5%
Fisher 3;45 2,70
Bartlett
3
7,81
12 21,00
Lawley
4
9,49
24
1A
0,05
0,35
4A
0,09
0,82
5A
0,02
0,05
3,57
6A
0,22
2,07
9,75
17,86 18,55
12,81 6,25 11,28
68,62
6A
0,28
0,00
6,81
36,09
182
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa all’analisi tridimensionale del lato B
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
183
Analisi Statistica del Disco di Festo
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
184
Analisi Statistica del Disco di Festo
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
185
Analisi Statistica del Disco di Festo
L’analisi penta dimensionale fornisce indicazioni sulle presenze/assenze di ciascuna delle
sei cinquine di classi distinte relativamente ad entrambe le facce del disco.
Tabella analisi penta dimensionale lato A
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
2A
3A
4A
6A
31,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
4A
0,05
0,45
5A
0,01
0,00
3A
0,00
0,03
2,45
4A
0,03
0,55
6A
0,01
0,24
4,13
0,24 15,13
5,87 5,35 8,10
12,37 8,87 3,09 2,28
62,21
1A
2A
81,47 0,19
0,32 0,04
2A
3A
5A
6A
3A
0,03
0,86
2,64
1,95
7,74 9,37
4,52 4,28 12,24
5,86 17,12 4,08 1,44
65,22
1A
2A
71,72 0,03
0,71 0,05
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
2A
3A
4A
5A
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
1A
2A
73,76 0,02
0,20 0,10
3A
0,05
1,39
3,71
5A
0,03
0,01
6A
0,05
0,76
1,07
2,61 5,10
3,77 7,25 16,38
12,39 3,03 2,77 0,24
51,94
186
Analisi Statistica del Disco di Festo
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
1,33
11,38 6,95
15,35 5,45
3,25 7,99
1A
3A
66,34 0,07
0,10 1,31
3A
4A
5A
6A
0,31
9,35
2,37
5,79
3,35
8,50
6,14
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
2A
4A
5A
6A
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
1A
2A
65,12 0,07
0,00 0,41
2A
3A
23,08 0,00
0,01 0,00
3A
4A
5A
6A
31,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
3,68
12,25 0,31
3,35 5,06
4,24 4,94
4A
0,05
1,75
5,11
5A
0,00
0,00
6A
0,03
1,39
2,27
2,13 4,58
57,69
4A
0,19
3,26
7,09
5A
0,03
0,01
6A
0,02
0,68
2,66
9,57 9,64
54,83
4A
0,17
1,84
5,82
5A
0,07
0,08
6A
0,09
1,63
8,44
1,45 3,90
45,28
187
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa all’analisi penta dimensionale del lato A
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
188
Analisi Statistica del Disco di Festo
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
189
Analisi Statistica del Disco di Festo
Tabella analisi penta dimensionale lato B
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
4,97
12,44 0,12
1,21 4,63
0,70 8,00
1A
2A
15,00 0,07
0,00 0,03
2A
3A
4A
6A
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
2A
3A
4A
5A
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
1A
2A
16,79 0,11
0,21 0,02
31,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
4A
0,01
0,09
5A
0,00
0,01
4,29
2,10 5,95
42,21
3A
0,02
0,00
0,82
4A
0,09
0,50
6A
0,00
0,02
9,01
1,15 1,10
4,23 11,31 6,44
0,26 11,65 1,64 0,68
45,14
1A
2A
15,11 0,00
0,02 0,00
2A
3A
5A
6A
3A
0,00
0,00
0,57
3A
0,09
0,06
0,31
5A
0,09
0,06
6A
0,01
0,06
1,96
0,93 4,22
3,92 12,11 6,14
0,25 2,00 0,88 0,47
31,25
190
Analisi Statistica del Disco di Festo
Fisher
Bartlett
Lawley
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
Fisher
Bartlett
Lawley
Fisher
Bartlett
Lawley
1A
3A
16,69 0,00
0,35 0,00
3A
4A
5A
6A
1,42
0,43
6,01
9,81
3,74
5,61
7,83
2A
3A
24,93 0,02
0,10 0,00
3A
4A
5A
6A
31,40
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
4A
0,09
0,73
1,25
5A
0,02
0,05
6A
0,00
0,02
2,40
0,18 6,63
2,58 14,82 6,84
0,05 10,78 1,40 1,69
45,03
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
2A
4A
5A
6A
31,40
gdl
5%
1;31 3,94
1
3,84
5
11,10
2
5,99
20
1A
2A
15,92 0,00
0,16 0,00
4A
0,00
0,02
1,14
5A
0,07
0,12
6A
0,11
0,39
1,69
0,50 1,75
36,89
4A
0,00
0,02
0,35
5A
0,00
0,00
6A
0,04
0,10
0,53
0,39 1,26
5,45 5,66 8,97
18,86 13,97 1,41 7,74
61,07
191
Analisi Statistica del Disco di Festo
Visualizzazione grafica relativa all’analisi penta dimensionale del lato B
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
192
Analisi Statistica del Disco di Festo
A conclusione dell’analisi dei piani 2k, alcune considerazioni statistiche possono essere
evidenziate. Innanzitutto occorre rilevare che l’analisi, giocoforza qualitativa, non può
pretendere spiegazioni troppo forti, anche per l’esiguità dei dati raccolti e sottoposti a
test.
Una seconda osservazione deve rilevare come per la maggior parte dei test di Fischer,
l’essere finito in zona critica del valore atteso (cosa che pone il prevalere delle varianze
spiegate sulle varianze residue) sia spesso limitato a poche componenti, tra le tante prese
in considerazione.
Una terza osservazione mette in luce comunque come il numero di test di Fischer il cui
valore atteso è finito in zona critica è pari a 12, per la faccia A, e 11, per la faccia B,
come riassunto nella tabella 14
Tabella casi significativi
Lato A
monodimensionale
3
bidimensionale
3
tridimensionale
0
quadri dimensionale
0
penta dimensionale
6
totale
12
Lato B
5
0
0
0
6
11
Tabella 14: Casi significativi nelle due facce del Disco
Politecnico di Milano
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193
Analisi Statistica del Disco di Festo
Pertanto essendo 64 il numero totale di casi analizzati, il rapporto 12/64 è 0,20 e quello
11/64 circa 0,17, cosa che prova come 1/5 dei test, per la faccia A, e circa 1/6 dei test, per
la faccia B, abbia evidenziato sperimentalmente un certo legame tra le classi di simboli
catalogate.
Resta da osservare come il superamento dell’ipotesi nulla, per le quasi totalità dei test di
Bartlett, permette l’adozione, senza riserve, del test di Fischer (senza richiedere l’impiego
del test di Welch).
Infine per quanto riguarda il test di Lawley volto a correlare a due a due le singole classi
di simboli catalogate, si considera meglio costruito quello globale sulla totalità dei dati,
caso per caso, rispetto a quelli singoli per dati partizionati. La ragione di questa
affermazione sta nell’acclamata significatività di questo test per numerosità via, via
crescenti e comunque significativamente grandi. Allora il test di Lawley sulla totalità dei
dati fornisce valori attesi in zona critica per tutti i casi della faccia A (senza alcuna
eccezione) e per tutti i casi della faccia B (ad eccezione di uno). Il test di Lawley è forse
meno significativo di quello di Fischer, ma una risposta così univoca è certamente una
conferma di legami tra le varie classi di simboli catalogate.
Ulteriori considerazioni mettono in evidenza come altre ancora potrebbero essere le classi
di simboli e, anche all’interno di una data classe di simboli, sia diverso analizzare un
singolo dato, una coppia di dati, una loro tripletta, ecc. singolarmente, oppure inserita in
una ennupla più grande (come mostrato dal singolo caso 22 isolato, presentato solo a
mo’d’esempio, e l’insieme di tutti i casi 22, inseriti invece in una sestina). Infatti un
diverso raggruppamento determina diverse statistiche condizionate e, di conseguenza,
diversi indici doppi e diversi valori attesi dei test inferenziali. Tutto ciò serve ad
evidenziare come l’analisi statistica condotta, per quanto abbastanza estesa, possa essere
ripercorsa sotto differenti ipotesi e scelte alternative, perché la ricerca non ha mai fine.
Politecnico di Milano
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194
Analisi Statistica del Disco di Festo
CONCLUSIONE
I COMMENTI DI UN’ARCHEOLOGA, FILOLOGA E LINGUISTA
La Dr. Adele Franceschetti dell’Dipartimento di Discipline Storiche “Ettore Lepore”
dell’Università degli Studi di Napoli “Federico II”, interpellata sull’argomento, ha molto
cortesemente fornito alcuni commenti a riguardo, qui riportati in sintesi.
La studiosa, data qualche difficoltà, verso analisi statistiche e matematiche complesse e
sofisticate, essendo studiosa di Filologia Micenea, non entra nel merito della qualità del
lavoro che comunque sembra bene articolato in una logica di osservazioni e deduzioni,
ma si permette di fare qualche osservazione che riguarda il lessico del disco.
I 45 segni che compaiono sulle due facce sono unanimemente riconosciuti dagli studiosi
di micenologia come sillabogrammi, ossia segni che notano fonemi, costituiti da una
vocale o consonante + vocale, che nel loro insieme costituiscono un sillabario. Il termine
“simbolo”, usato per analizzarli, cui forse dà un significato generico e di ampio respiro,
appartiene nella terminologia della filologia antica esclusivamente alla sfera degli
ideogrammi, ossia delle forme concettuali. Pertanto il Disco di Festo rappresenta un
testo scritto, in una lingua finora sconosciuta, i cui 45 segni rientrano nello standard di
un sistema scrittorio sillabico e non-alfabetico (in quanto troppi), né tanto meno
ideografico (in quanto troppo pochi). Di conseguenza, denotando questa scrittura una
lingua, la non casualità della disposizione dei segni potrebbe essere ricondotta alle
strutture fonetiche di quella lingua.
L’ipotesi di vedere descritte delle attività all’interno dei riquadri del disco sembra
interessante, ma sempre nell’ottica di una descrizione da parte dell’ignoto scriba di
segnalare, in una sorta di calendario, gli eventi dell’anno (forse). Pertanto non bisogna
cedere alla suggestione di avvicinare la grafia di un segno alla realtà cui esso sembra
automaticamente rimandare, perché nelle scritture antiche questo legame (che
costituisce il punto di partenza della creazione dei segni di scrittura) va scomparendo,
fino a perdersi in una stilizzazione sempre più corrente nella quale non è più
rintracciabile il punto di partenza. In ogni caso, anche se questi segni sono ancora
“trasparenti”, essi hanno già assunto la valenza non più di ideogrammi, ma di
sillabogrammi per cui ciascuno di essi indica una sequenza fonica, svincolata dalla
rappresentazione grafica.
Comunque il disco rappresenta un enigma e il fatto che, in più di cento anni, si siano
spesi fiumi di inchiostro, senza riuscire a leggerlo, ha dissuaso dall’approfondire
ulteriormente questo argomento. Il Prof. Louis Godart si è occupato dell’argomento,
anni fa, in un libro famoso. Il suo contenuto è molto chiaro e, dando indicazioni precise
Politecnico di Milano
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195
Analisi Statistica del Disco di Festo
sulle prospettive di lettura (non certamente di traduzione), può ben sintetizzare il parere
del micenologo, da affiancare così a quello dello statistico.
A valle di questo interessante commento, occorre subito precisare che l’interesse
specifico di questo lavoro è superare gli ambiti ristretti della matematica applicata,
ibridandola con i contributi ed i giudizi delle scienze umane. Di conseguenza, nessun
problema a mettere in chiaro che simbolo è un termine generico, spesso usato nelle
tecnologie dell'informazione, ma nello specifico riservato agli ideogrammi. In altre
parole, nessun problema a definire sillabogrammi i segni finora chiamati simboli,
riconoscendo le proprie limitate conoscenze nell'ambito della linguistica e della filologia.
Dopodichè si concorda pienamente e, conformemente a quanto scritto anche dal Prof.
Louis Godart, si è contrari a tentativi di traduzione, perché fare finta-scienza (diversa
dalla fantascienza) è una pura sciocchezza. Rimangono le concordanze statistiche, ma si
ribadisce che l'ipotesi calendario, con la lettura tematica della rappresentazione grafica, è
solo un modo lessicale per svincolarsi dall'aridità numerica. Quello che conta sono i
riscontri matematici che sono lasciati a linguisti e filologi per loro valutazioni, se da tutti
questi numeri qualche passo in avanti può essere fatto.
La stessa Dr. Adele Franceschetti, lette e valutate le brevi risposte, riscontra una comune
intesa ed aggiunge qualche altro commento, perché pienamente convinta, che questo
lavoro, rigoroso nella sua logica matematica, possa essere di supporto a chi voglia
riprendere in mano questo oggetto, così affascinante, per il mistero che lo avvolge,
ripartendo proprio da questi dati concreti.
Inoltre un confronto con il passato fa tornare alla memoria il decifratore della scrittura
Lineare B. Michael Ventris non è un “addetto ai lavori” (infatti non è né filologo, né
linguista), ma un architetto che riusce a mettere a frutto le conoscenze acquisite dalla
sua laurea unite a una dote naturale, caratterizzata da una non-comune memoria
fotografica che gli permette di realizzare un metodo statistico-combinatorio, innovativo
per l’epoca (1934 – 1952), sull’occorrenza di ogni segno all’interno di ciascuna parola,
per potere verificare se un sillabogramma sia più frequente in posizione finale, centrale o
iniziale. Questo è il punto di partenza cui seguono tanti altri ragionamenti, sempre logici
e basati sull’osservazione visiva (che è lungo scrivere qui, per non raccontare tutta la
storia della sua decodificazione), ma fondamentali al successo della sua impresa. A lui il
merito di avere scoperto che la scrittura Lineare B nasconde un dialetto greco.
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
196
Analisi Statistica del Disco di Festo
Un doveroso ringraziamento deve far seguito a questa dotta digressione, ancora ben
consci della limitatezza del disco e della sua non-traducibilità.
Una comunicazione aggiuntiva, sempre Dr. Adele Franceschetti, dà informazioni sulle
scritture cretesi la Lineare B, minecea, (composta di 86 sillabe di cui 71 decifrate) e la
Lineare A, minoica, (composta da 87 sillabe di cui 78 graficamente uguali alla scrittura
Lineare B e 9 diverse, completamente non decifrate). Entrambe le scritture, costituite da
circa un'ottantina di segni standard, rientrano nei canoni dei sistemi sillabici. Il numero di
dati raccolti è la situazione aggiornata ad oggi e modifiche sono possibili in seguito a
scoperte di nuovi testi.
Due tavolette cretesi dei periodi minoico (verso la metà del 2° millenio a.C.) e miceneo
(verso la fine del 1° millennio a.C.), con iscrizioni in lingua Lineare A e Lineare B. La
decifrazione della prima scrittura è ancora problematica, nonostante qualche probabile
progresso recente (in quanto la lingua potrebbe anche essere non indo – europea, forse
antico – fenicia od altro ancora), mentre la seconda scrittura è stata da tempo decifrata
come una forma antica di greco. Sono forse queste tavolette iscritte, così come
l’intraducibile Disco di Festo, esempi eloquenti della contiguità fra scritture, mappe e
Politecnico di Milano
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197
Analisi Statistica del Disco di Festo
immagini. Pertanto non stupisca questa apparente rincorsa all’infinito; del resto in greco,
infinito deriva dall’antico semitico: polveroso (cioè praticamente non calcolabile).
Un reperto archeologico, rinvenuto a Terrasini (PA), è una tavoletta di terracotta, trovata
a circa cento metri dalla spiaggia tra Cinisi e Terrasini, ad una profondità di circa due
metri, in una zona pertinente ad un antico ancoraggio. I segni di una scrittura, tuttora
sconosciuta, procedono con andamento circolare dall'esterno verso l'interno, in senso
antiorario (contrariamente al Disco di Festo le cui due spirali hanno verso orario),
separati a gruppi da linee verticali, per staccare singoli termini del testo. Il reperto di
Terrasini, consegnato nel 1974 al Museo di Palermo, risulta fotografato: arch. fotografico,
negativo n. 22451. Numerose lineole verticali centrali possono forse essere riferite ad un
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198
Analisi Statistica del Disco di Festo
calcolo. Molti segni caratteristici sono simili a minuscoli oggetti simbolici, ma anche in
questo caso non si è trovato alcun riscontro.
Una delle ipotesi accreditate sull'origine riconduce le prime utilizzazioni della scrittura
nel mondo egeo alle cretule impresse con simboli o nomi di consegnatari, di generi e
quantità di prodotti forniti. Probabilmente queste cretule sono realizzate per render conto
di derrate palaziali, consegnate o affidate ad esibitori di validi contrassegni od addirittura
di modelli miniaturistici. Esse corrispondono, in numero e genere, ai prodotti forniti da
chi li custodiva, per conto dell'autorità, in modo da trasmettere i simboli dell’autorità
stessa, anche in sua absentia. Recentemente poi è stata rinvenuta in Sicilia, nel fossato
neolitico di Stretto Partanna (TP), ovvero in un contesto archeologico assai antico, una
cretula sigillo con segni di "cordami che dovevano legare un contenitore di ignote
caratteristiche".
A mo’ di commento conclusivo, si può rilevare come quasi tutti gli esempi più antichi
presentino difficoltà di traduzione, innanzitutto per l’esigità del materiale raccolto.
Questa osservazione porta a considerare la nascita della scrittura, non come un unico
evento, magico o divino, ma come una prassi, quasi ordinaria, inventata autonomamente
da singoli, per esigenze soprattutto commerciali e più raramente funerarie. Le scritture
antiche (ma più tarde), oggi tradotte, sono un passo successivo, frutto di unificazioni,
certamente più colte, ad opera di sacerdoti, re, poeti, ecc..
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Analisi Statistica del Disco di Festo
GIOCANDO CON LE PRIME OTTO TERZINE DELL’INFERNO E
CON UNA PRIMA PAGINA DEL NEW YORK TIMES
Come arcinoto, Dante Alighieri compone la Divina Commedia, suddivisa in tre cantiche
(Inferno, Purgatorio e Paradiso), composta ciascuna di trentatre canti (tranne l'Inferno,
che contiene un ulteriore canto proemiale). Proprio da questo canto proemiale sono
estratte le prime otto terzine, per un totale di ventiquattro versi, di seguito riportati.
Nel mezzo del cammin di nostra vita
mi ritrovai per una selva oscura
ché la diritta via era smarrita.
Ahi quanto a dir qual era è cosa dura
esta selva selvaggia e aspra e forte
che nel pensier rinova la paura!
Tant'è amara che poco è più morte;
ma per trattar del ben ch'i' vi trovai,
dirò de l'altre cose ch'i' v'ho scorte.
Io non so ben ridir com'i' v'intrai,
tant'era pien di sonno a quel punto
che la verace via abbandonai.
Ma poi ch'i' fui al piè d'un colle giunto,
là dove terminava quella valle
che m'avea di paura il cor compunto,
guardai in alto, e vidi le sue spalle
vestite già de' raggi del pianeta
che mena dritto altrui per ogne calle.
Allor fu la paura un poco queta
che nel lago del cor m'era durata
la notte ch'i' passai con tanta pieta.
E come quei che con lena affannata
uscito fuor del pelago a la riva
si volge a l'acqua perigliosa e guata.
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200
Analisi Statistica del Disco di Festo
Il totale di 289 sillabe pareggia il totale di 241 sillabogrammi del Disco di Festo. Tuttavia
occorre subito rilevare come le sillabe distinte presenti siano ben 130, contro i soli 45
simboli del disco. Inoltre riordinando l’istogramma (a riguardo, si veda
la figura
sottostante) per frequenze decrescenti (come mostrato nella figura seguente), le prime
diciannove sillabe hanno frequenza assoluta solo maggiore di quattro, mentre i primi
diciannove simboli del disco hanno già una frequenza assoluta già maggiore di cinque.
Tutto ciò mette in luce come, al crescere delle sillabe dantesche, si riduca la loro
frequenza, mentre cresca la frequenza dei simboli del disco, al loro ridursi. Questa
osservazione evidenzia una scarsa confrontabilità tra linguaggi evidentemente molto
diversi: insiemi più grandi possono forse riprodurre frequenze simili, ma in questo caso è
la numerosità a mettere in discussione la correttezza di un simile confronto.
Istogramma delle frequenze assolute
Istogramma riordinato delle frequenze assolute
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Analisi Statistica del Disco di Festo
In aggiunta, si vuole altresì ripetere il confronto con una pagina del New York Times, per
rilevare differenze tra un italiano antico e un inglese contemporaneo.
Suicide Car Bomber
Convoy in Afghanistan
Hits
U.S.
The Taliban on Tuesday took responsibility for the attack in Kabul,
which killed at least five U.S. troops and 12 civilians and wounded at
least 47.
Primaries to
Incumbents
Test
Voters’
Mood
Toward
Voters in Pennsylvania, Arkansas and Kentucky will vote on Tuesday
in Senate primary contests that will offer clues for the rest of the
midterm election season.
Candidate’s Words on Vietnam Service Differ
From History
Richard Blumenthal, a Democrat of Connecticut who is running for
the Senate, told veterans he “served in Vietnam.” But he did not.
In Russia, Journalists Face Blatant Attacks
Journalists, human rights activists and opposition leaders are being
battered in a wave of unsolved attacks, an unnerving deterrent to
those who question authority.
Thai Government Rejects Cease-Fire Talks
Officials
on
Tuesday
said
they
would
not
negotiate
until
demonstrators leave the protest zone in the capital.
Questa ricerca conferma numeri simili (addirittura un po’ più grandi, nello specifico),
perché a fronte di un totale di 250 sillabe, si trovano ben 173 sillabe distinte.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
10
8
6
4
2
1
6
11
16
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
101
106
111
116
121
126
131
136
141
146
151
156
161
166
171
0
Istogramma delle frequenze assolute NYT
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E’ altresì noto, dalla teoria dei modelli, che già solo i fattori di scala costituiscono
problemi non indifferenti, perché a fronte di variazioni lineari nelle lunghezze, si hanno
variazioni quadratiche nelle aree e variazioni cubiche nei volumi. Cosa poi fare per il
tempo è certamente un problema aperto e di difficile soluzione. Allora costruire un
modello confrontabile con variabili qualsiasi, in questo caso specifico, neppure fisiche,
ma linguistiche e riferite ad un’epoca antichissima, è forse un problema mal-posto di cui
è conseguentemente dubbia qualsiasi soluzione, tentata o proposta. Allora restano, ancora
e solo, le concordanze statistiche ed i riscontri matematici che sono lasciati a linguisti e
filologi per loro valutazioni, se da questi numeri qualche passo in avanti può essere fatto.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Appendice
Relazione da:
Douglas C. Montgomery
Controllo statistico della qualità
Ed. McGraw-Hill
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Controllo statistico della qualità
1 – Il miglioramento della qualità nel moderno ambiente produttivo
Questa relazione si riferisce all’impiego di metodi statistici per la soluzione di problemi
finalizzati al miglioramento della qualità dei processi, dei prodotti industriali o dei servizi.
1.1 Significato dei termini “qualità” e “miglioramento della qualità”
Il termine “qualità” può essere definito in relazione a una o più caratteristiche che il prodotto
o servizio deve possedere. Essa costituisce uno dei fattori più rilevanti nel processo di
decisione del consumatore; di conseguenza comprendere e migliorare la qualità è un fattore
decisivo per raggiungere il successo nell’impresa produttiva, per la crescita e il
miglioramento della propria posizione nel mercato.
1.1.1
Le componenti della qualità
La qualità di un prodotto può essere valutata secondo diversi aspetti.
- Prestazione:
- Affidabilità:
- Durata:
- Manutenibilità:
- Aspetti formali:
- Funzionalità:
- Livello di qualità percepito:
- Conformità alle normative:
La definizione tradizionale del termine qualità si basa sul presupposto che beni e servizi
devono soddisfare le richieste di coloro che li utilizzano.
Qualità significa essere appropriato all’uso
Ci sono due aspetti generali dell’essere appropriato per l’uso:
- la qualità di progetto, tutti i beni e servizi sono prodotti con vari gradi o livelli di qualità
- la conformità alle normative, relativa a quanto il prodotto risulta conforme alle specifiche
che sono richieste dal progetto. Questa definizione è stata associata più agli aspetti della
conformità alle normative che a quelli della qualità di progetto si preferisce, quindi, una più
recente definizione del termine qualità:
La qualità è inversamente proporzionale rispetto alla variabilità.
Ciò implica che se diminuisce la variabilità nelle caratteristiche di un prodotto, aumenta la
qualità del prodotto stesso. Minori riparazioni e minori reclami significano una minore
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205
Analisi Statistica del Disco di Festo
rilavorazione e una riduzione di spreco di tempo, di sforzo e di denaro. Pertanto la qualità è
davvero inversamente proporzionale alla variabilità e i suoi effetti possono essere
comunicati usando un linguaggio che ognuno può comprendere, cioè in termini di denaro.
Questo conduce alla seguente definizione di miglioramento della qualità.
Il miglioramento della qualità è la riduzione della variabilità nel processo produttivo o
nel prodotto.
La variabilità eccessiva nella prestazione del processo spesso conduce a una perdita; si
consideri per esempio la perdita di denaro, di tempo e lo sforzo che sono associati alle
riparazioni. Pertanto, una definizione alternativa è quella che definisce il miglioramento
della qualità come la riduzione della perdita.
1.1.2
Terminologia tecnica nell’ingegneria della qualità
Ogni prodotto possiede un numero di elementi che congiuntamente descrivono ciò che
l’utilizzatore o il consumatore ritengono sia la qualità dell’oggetto. Tali elementi sono
spesso definiti caratteristiche di qualità e possono essere di diversi tipi.
- Fisiche: lunghezza, peso, viscosità, tensione elettrica.
- Sensoriali: sapore, aspetto, colore.
- Comportamento nel tempo: affidabilità, durata, manutenzione.
Le tecniche della qualità sono un insieme di attività, operative, gestionali e tecnologiche,
che un’azienda utilizza per assicurarsi che le caratteristiche di qualità di un prodotto siano
quelle di livello nominale o richiesto.
Molte organizzazioni trovano difficile fornire agli acquirenti prodotti che abbiano
caratteristiche di qualità che siano sempre uguali in ciascun elemento prodotto, o che siano
al massimo livello dell’aspettativa dell’acquirente. La causa principale di ciò è la
variabilità, dalla cui presenza consegue che non ci sono mai due prodotti identici. Le origini
di questa variabilità comprendono differenze nei materiali, diversità nelle prestazioni e
nell’operatività degli strumenti di produzione e differenze nelle modalità con cui gli
operatori compiono il loro lavoro.
Poiché la variabilità può essere descritta solamente in termini statistici, i metodi statistici
hanno un ruolo centrale negli sforzi per il miglioramento della qualità. Nell’applicazione dei
metodi statistici all’ingegneria della qualità è abituale classificare i dati delle caratteristiche
di qualità in:
-
attributi di solito di tipo discreto , spesso espressi in termini di conteggio
variabili che producono in genere misure di tipo continuo, quali la
lunghezza, tensione elettrica, viscosità.
Le caratteristiche della qualità sono spesso valutate in relazione alle specifiche. Per un
prodotto manufatto, le specifiche sono le misure stabilite per alcune caratteristiche tangibili
dei componenti o sottocomponenti che costituiscono il prodotto, come pure i valori
desiderati per le caratteristiche di qualità del prodotto finale. Nelle società di servizi, le
specifiche sono espresse tipicamente in termini di ammontare massimo di tempo necessario
per evadere un ordine o per fornire un particolare servizio.
Il valore di misura che corrisponde al valore desiderato per una caratteristica di qualità è
definito il valore nominale o per quella caratteristica. Questi valori nominali possono anche
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206
Analisi Statistica del Disco di Festo
costituire un intervallo di valori che, tipicamente, si ritiene sufficientemente prossimi al
valore teorico di riferimento, da non incidere sulla funzione o sulla prestazione del prodotto
se la caratteristica di qualità rientra in tale ambito. Il maggior valore ammissibile
(accettabile) per una caratteristica di qualità è definito limite di specifica superiore, Upper
Specification Limit (USL) e il valore minore accettabile per una caratteristica di qualità è
definito limite di specifica inferiore, Lower Specification Limit (LSL). Alcune
caratteristiche di qualità hanno limiti di specifica solo unilaterali.
Le specifiche e i limiti di specifica sono solitamente stabiliti dai progettisti durante la
progettazione tecnica del prodotto e forniti ai reparti di produzione. Ci si può riferire a tutto
ciò come a un approccio alla progettazione di genere non convenzionale (over the wall).
I problemi relativi alla qualità di un prodotto sono di solito maggiori quando viene usato tale
tipo di approccio, nel quale le specifiche sono spesso stabilite senza considerare la variabilità
dei materiali, dei processi e delle altre parti del sistema. Questo si evidenzia in componenti o
prodotti che sono non conformi, cioè che non riescono a raggiungere una o più specifiche.
Uno specifico tipo di difetto è definito non conformità. Un prodotto non conforme non è
necessariamente inadatto allo scopo mentre è considerato difettoso se ha uno o più difetti,
costituiti da non conformità abbastanza gravi, tali da impedire in modo significativo
l’utilizzazione del prodotto.
La progettazione di sistemi di lavorazione e di assemblaggio si è rilevata importante nel
superamento dei problemi connessi all’approccio “over the wall” e molti tecnici ricevono
oggi una formazione in queste aree come parte integrante della loro preparazione
professionale. La recente enfasi sulla tecnica convergente ha indotto a un approccio di team
con specialisti in processi produttivi, tecnici della qualità ed esperti in diverse discipline che
operano insieme con il progettista fin dalle prime fasi della procedura progettuale al fine del
miglioramento della qualità.
1.2 Metodi statistici per il miglioramento della qualità
Tre sono gli aspetti fondamentali per il miglioramento della qualità:
- il controllo statistico di un processo produttivo,
- la programmazione degli esperimenti,
- il campionamento in accettazione.
La carta di controllo è una delle principali tecniche adottate per il controllo
statistico di un processo o più brevemente, SPC (Specific Process Control).
La carta di controllo ha una linea centrale (CL) e limiti di controllo superiore (UCL) e
inferiore (LCL). La linea centrale indica il punto dove dovrebbe posizionarsi la caratteristica
del processo se non fossero presenti fonti di variabilità anomale, mentre i limiti di controllo
sono stati individuati sulla base delle semplici considerazioni statistiche sviluppate
successivamente.
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207
Analisi Statistica del Disco di Festo
tipica carta di controllo
UCL
2,0000
CL
LCL
1,0000
-1,0000
media
campionaria
-2,0000
0,5000
-0,5000
1,0000
0,3000
0,0451
-2,0000
La carta di controllo è un’utile tecnica per il monitoraggio del processo e un valido
strumento per ridurre la variabilità del processo. Infatti, quando sono presenti fonti di
variabilità anomale, può accadere di osservare alcuni punti al di fuori dei limiti di controllo:
questa è un’indicazione della necessità di effettuare indagini per rimuovere e correggere gli
eventuali errori intervenuti.
Un esperimento programmato è invece estremamente utile per scoprire quali
sono state le variabili che hanno maggiormente influenzato la realizzazione del livello
qualitativo osservato e per sapere in che misura è influenzato dalle variazioni di livello
dei fattori studiati. Tale strumento è quindi essenziale per ridurre la variabilità nel
livello della qualità del prodotto e nel determinare i livelli che devono assumere le
variabili controllabili per avere una resa ottimale.
Il tipo più diffuso di esperimento programmato è quello fattoriale in cui i livelli dei fattori
vengono fatti variare in modo da esaminare l’effetto di tutte le possibili combinazioni dei
livelli testati. Fondamentalmente gli esperimenti programmati sono uno strumento per il
controllo della qualità di tipo off-line, perché vengono impiegati nello sviluppo e nella
progettazione dell’attività produttiva prima che il processo inizi la sua normale evoluzione,
avendo come obiettivo l’individuazione dei trattamenti che garantiscono la minore
variabilità possibile.
Una volta che sono state individuate le relazioni funzionali tra le variabili che regolano la
produzione possono essere utilizzate con grande efficacia le tecniche di monitoraggio e di
sorveglianza della produzione. Per esempio, le carte di controllo possono fornire
un’indicazione di quando un processo ha subito variazioni e quindi la necessità di riportare
la produzione sotto controllo. Se gli interventi correttivi vengono impiegati in modo
continuativo si parla di controllo ingegneristico, controllo automatico o controllo
feedback.
Il campionamento in accettazione è definibile come l’ispezionamento e la
classificazione di un campione di unità, selezionate a caso da un lotto, per la valutazione
della qualità del lotto stesso. Le diverse tipologie di campionamento in accettazione sono:
-
l’operazione d’ispezione in uscita che viene realizzata immediatamente
dopo la produzione e prima della consegna al cliente,
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208
Analisi Statistica del Disco di Festo
-
l’operazione d’ispezione in entrata che viene realizzata quando il controllo
dei pezzi è effettuato immediatamente prima della loro acquisizione,
l’operazione d’ispezione di rettifica dove i campioni esaminati possono
portare all’accettazione o al rifiuto del lotto e in quest’ultimo caso i pezzi
esaminati possono essere rilavorati o scartati.
1.3 Aspetti gestionali di miglioramento della qualità
Le tecniche statistiche, che includono SPC e programmazione degli esperimenti, sono, con
altri strumenti di risoluzione di problemi, le basi tecniche per il controllo e il miglioramento
della qualità. La gestione effettiva della qualità comprende la corretta esecuzione delle
seguenti attività:
-
Pianificazione della qualità
è un’attività strategica, ed è altrettanto vitale per la positiva evoluzione di un
lungo termine di un’organizzazione quanto il piano per lo sviluppo del
prodotto, il piano finanziario, il piano di marketing e i piani per
l’utilizzazione delle risorse umane.
-
Assicurazione della qualità
costituisce l’insieme delle attività che garantiscono che la qualità dei prodotti
e dei servizi siano mantenuti ad un livello adeguato e che le questioni
inerenti la qualità dei fornitori e dei clienti siano risolte opportunamente.
-
Miglioramento della qualità
comprende l’insieme delle attività destinate ad assicurare che i prodotti e i
servizi soddisfino le richieste degli utilizzatori e siano migliorati in modo
continuo. Poiché la variabilità è la causa principale di cattiva qualità, le
tecniche statistiche, incluse SPC e programmazione degli esperimenti, sono i
migliori strumenti di controllo e di miglioramento.
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209
Analisi Statistica del Disco di Festo
Parte I
Metodi statistici utili nel miglioramento della qualità
Il termine statistica indica un insieme organico di tecniche impiegabili per prendere decisioni
riguardanti un processo o una popolazione basandosi sulle informazioni contenute in un
campione prodotto da tale processo o rilevato su tale popolazione. Perciò i metodi statistici
hanno un ruolo importante nel miglioramento della qualità, sono i principali strumenti con cui
un bene o un servizio prodotto viene analizzato, verificato o valutato in modo da impiegare le
informazioni così disponibili al fine di controllare e migliorare il processo di produzione.
Inoltre il metodo statistico è il linguaggio mediante il quale comunicano tra loro gli addetti allo
sviluppo, alla produzione, alla gestione e altri settori dell’impresa.
2
– Modelli della qualità del processo
Gli obiettivi di questo capitolo sono:
-
-
Definire quali strumenti di statistica descrittiva si possono impiegare per
valutare quantitativamente le variazioni che una caratteristica o indicatore di
qualità presenta tra i valori considerati in un campione.
Introdurre le distribuzioni di probabilità e spiegare come esse siano in grado
di fornire uno strumento per la realizzazione del modello o la descrizione
delle caratteristiche di qualità di un processo produttivo.
2.1 La descrizione della variabilità
2.1.1
I grafici “rami e foglie”
Due unità di un bene prodotto da un processo produttivo non sono mai identiche, qualche
variazione è inevitabile e in questa prospettiva si può considerare la statistica come la
scienza che dall’analisi dei dati trae delle conclusioni prendendo in considerazione la
presenza della variabilità dei dati stessi. Ci sono diversi metodi grafici utili per sintetizzare e
presentare i dati osservati che possono considerarsi un’indagine preliminare. Una di queste
tecniche è costituita dai grafici “rami e foglie” (steam-and-leaf plot).
Supponiamo che i dati vengono indicati con x1, x2,…,xn e che ciascun numero xi sia
composto da almeno due cifre. Per ottenere un grafico “rami e foglie”, si suddividano le
cifre del numero xi in due parti: l’una costituita da una o più cifre iniziali, il “ramo”; l’altra
costituita dalle rimanenti cifre, le “foglie”. Per esempio possiamo scindere un valore
generico 76 nella cifre 7 inteso come “ramo” e 6 come “foglia”. In generale,i valori “rami”
saranno relativamente pochi rispetto al numero delle osservazioni. Di solito è meglio
scegliere il numero di “rami” tra 5 e 20. Definito l’insieme dei “rami”, essi vengono elencati
al margine sinistro ponendo a fianco tutte le “foglie”, corrispondenti ai valori osservati,
nell’ordine in cui sono riscontrate nell’insieme dei dati.
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210
Analisi Statistica del Disco di Festo
La versione del grafico foglie e rami prodotta da Minitab è talvolta chiamata
grafico rami-foglie ordinato, poiché le foglie sono disposte per grandezza. Ciò rende facile
trovare i percentili dei dati. Generalmente il 100k-esimo percentile è un valore tale che
almeno 100k% dei dati sono minori o uguali di questo valore e almeno 100(1 – k)% dei dati
sono maggiori di questo valore. Il 50-esimo percentile della distribuzione dei dati osservati
è detto mediana campionaria x (x0.5 o x50%). La mediana può interpretarsi come quel valore
che separa il campione in due metà di cui una è costituita dai valori inferiori e l’altra da
quelli superiori a esso. Se n è il numero delle osservazioni ed è dispari trovare la mediana è
facile: una volta posti i valori delle osservazioni in ordine crescente si ottengono così i
“ranghi”dei dati dal valore più piccolo a quello più grande. Quindi la mediana sarà
l’osservazione in posizione di rango [(n – 1)/2 + 1].
Il decimo percentile è l’osservazione di rango0.1x40+0.5=4.5 (cioè il valore intermedio tra
la quarta e la quinta osservazione ordinata.
Il primo quartile, in analogia con quanto detto sulla mediana, è l’osservazione di rango
0.25x40+0.5=10.5 (valore intermedio tra la decima e l’undicesima osservazione)
Il terzo quartile, sempre in riferimento al concetto di mediana, è l’osservazione di rango
0.75x40+0.5=30.5(valore intermedio tra la trentesima e la trentunesima osservazione).
Avendo indicato con Q1 e Q3 rispettivamente il primo e il terzo quartile, la differenza Q3-Q1è
impiegata occasionalmente come misura di variabilità e viene definita differenza
interquartile.
Infine, benché la rappresentazione mediante il grafico “rami e foglie” sia un’ottima modalità
per visualizzare la variabilità dei dati, essa non tiene conto dell’ordine temporale con cui
vengono effettuate le osservazioni. Spesso però il tempo è un fattore importante che
contribuisce alla variabilità, in particolare nei problemi che riguardano il miglioramento
della qualità. E’ possibile rappresentare semplicemente i valori dei dati rispetto al tempo;
tale grafico è chiamato grafico della serie temporale o carta a scorrimento temporale.
2.1.2
L’istogramma
Un istogramma è una sintesi compatta dei dati simile al grafico rami e foglie che divide il
campo di variazione dei dati in intervalli, che sono solitamente chiamati intervalli di classe.
Un istogramma che usi un numero eccessivo di classi , come pure troppo limitato, risulterà
poco informativo. Solitamente si usano tra 5 e 20 classi e tale numero dovrebbe aumentare
all’aumentare di n (numero delle osservazioni).
L’istogramma può essere abbastanza sensibile al numero e all’ampiezza delle classi e, nel
caso di dati poco numerosi, esso può addirittura cambiare radicalmente aspetto. Perciò
l’istogramma è una tecnica adatta soprattutto per insiemi numerosi di dati. Si noti che nel
passare dai dati originari o dal grafico rami e foglie a un istogramma si perdono alcune
informazioni perché i valori puntuali delle osservazioni originarie non sono presenti nel
grafico. Tuttavia questa perdita di informazioni è solitamente piccola se confrontata con la
capacità di sintesi e la facilità di interpretazione dell’istogramma.
Grafici simili agli istogrammi possono essere usati con alcuni tipi di dati qualitativi oppure
dati di conteggio (discreti). Per costruire un grafico per dati discreti, prima si determina la
frequenza (o la frequenza relativa) di ogni valore di x. Ognuno dei valori di x corrisponde a
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Analisi Statistica del Disco di Festo
una classe. L’istogramma è tracciato rappresentando graficamente le frequenze (o le
frequenze relative) sull’asse delle ordinate e i valori della x sull’asse delle ascisse e sopra
ogni valore di x, si traccia un rettangolo la cui altezza è la frequenza (o la frequenza relativa)
corrispondente a quel valore.
2.1.3
Sintesi numerica dei dati
Date le osservazioni di un campione x1, x2,…,xn; la più importante misura della tendenza
centrale in un campione è la media campionaria si noti che è semplicemente la media
aritmetica delle n osservazioni.
La media campionaria rappresenta il punto baricentrico della massa delle osservazioni
campionarie.
La variabilità presente nel campione è misurata dalla varianza campionaria.
La varianza è semplicemente la somma dei quadrati degli scarti di ogni osservazione dalla
media campionaria divisa per la numerosità campionaria meno uno. Se non c’è variabilità
nel campione, per ogni osservazione si ha = ; allora la varianza campionaria vale
.
In generale quanto più grande è la varianza campionaria tanto maggiore risulta la variabilità
presente nelle osservazioni campionarie.
Di solito si preferisce impiegare la radice quadrata di
standard campionaria S:
, che viene detta deviazione
La deviazione standard non è influenzata dall’entità del valore centrale dei dati campionari,
ma riflette solo la diversità o dispersione di questi dalla media.
2.1.4
Rappresentazione dei dati mediante “box plot”
Il “box plot” è una rappresentazione grafica che presenta diversi importanti indicatori dei
dati osservati, quali tendenza centrale o locazione, dispersione o variabilità, allontanamento
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Analisi Statistica del Disco di Festo
dalla simmetria distributiva e identificazione di quelle osservazioni anomale che sono
distanti dal nucleo centrale dei dati (outliers).
Il grafico box plot presenta i tre quartili, il valore minimo e il massimo in una scatola
rettangolare che può disporsi sia orizzontalmente che verticalmente; l’ampiezza del
rettangolo rappresenta la differenza interquartile con il primo quartile Q1 a sinistra (o in
basso) e il terzo quartile Q3 all’estremo a destra (o in alto). La linea intermedia corrisponde
al secondo quartile (che indica il valore 50% o mediano) Q2. Due segmenti esterni al
rettangolo si estendono fino ai valori estremi, minimo a sinistra (in basso) massimo a destra
(in alto) e sono detti whisker (baffi). In alcuni software i “baffi” sono estesi ad a un valore
pari a 1.5 (Q3 – Q1) oltre gli estremi del rettangolo e le osservazioni che non cadono entro
questi limiti sono assunte come outliers. Questo modo di procedere è chiamato box plot
modificato.
L’impiego dei grafici box plot è utile per immediati confronti tra i dati disponibili poiché
essi sono di facile comprensione.
2.1.5
Distribuzioni di probabilità
Un campione è un insieme di elementi scelti da una popolazione più ampia e una
distribuzione di probabilità è un modello matematico che collega il valore della variabile
alla probabilità che tale valore si trovi all’interno della popolazione.
-
Distribuzioni continue. Quando la variabile da misurarsi viene espressa
mediante una scala continua, la sua distribuzione di probabilità viene definita
una distribuzione continua. Si presenta come una curva regolare, avente
l’area sottostante la curva uguale alla probabilità, in modo tale che la
probabilità che x sia compreso nell’intervallo da a a b è
=
-
Distribuzioni discrete. Quando il parametro da misurarsi può assumere solo
determinati valori,quali gli interi 0, 1, 2,…, la distribuzione di probabilità
viene definita una distribuzione discreta. Si presenta come una serie di
segmenti di altezza proporzionale alla probabilità, in modo tale che la
probabilità che una variabile casuale x assuma uno specifico valore xi è
)
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La media μ di una distribuzione di probabilità è una misura della tendenza centrale della
variabile casuale , o la sua posizione. La media è definita come:
La media è il punto in cui la distribuzione è esattamente “bilanciata” e rappresenta il
baricentro della distribuzione di probabilità. Si noti che la media non è necessariamente il
50-esimo percentile della distribuzione (la mediana) e che essa non è necessariamente il
valore più probabile della variabile (che è chiamato moda). La media determina
semplicemente la posizione delle distribuzioni.
La variabilità di una distribuzione è espressa dalla varianza σ2. La definizione di varianza è:
nella popolazione vi sono N elementi, la varianza è
Pertanto, la varianza è la media del quadrato della distanza di ciascun elemento della
popolazione della media. Si noti la somiglianza con la varianza campionaria S 2 perciò è
usuale operare con la radice quadrata della varianza definita variazione standard σ.
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214
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2.2 Le principali distribuzioni discrete
Alcune distribuzioni discrete compaiono frequentemente nel controllo statistico della
qualità. In questo paragrafo vengono prese in considerazione le principali e vengono
elencate tramite la propria formula e la rispettiva media e varianza.
2.2.1
La distribuzione ipergeometrica
La distribuzione ipergeometrica è
x = 0, 1, 2, …,min(n ,D)
La media e la varianza della distribuzione ipergeometrica sono
e
2.2.2
La distribuzione binomiale
La distribuzione binomiale con parametri
e
è
x = 0, 1, 2, …,n
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Analisi Statistica del Disco di Festo
La media e la varianza della distribuzione binomiale sono
e
2.2.3
La distribuzione di Poisson
La distribuzione di Poisson è
x = 0, 1, …
dove il parametro λ vale :
Poisson sono
La media e la varianza della distribuzione di
e
2.2.4
La distribuzione di Pascal
La distribuzione di Pascal è
x = r, r +1, r +2…
dove
è un numero intero. La media e la varianza della distribuzione di
Pascal sono
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e
2.3 Le principali distribuzioni continue
2.3.1
La distribuzione normale
La distribuzione normale è probabilmente quella di maggiore importanza sia sotto il profilo
teorico sia per le applicazioni statistiche. Se x è una variabile casuale normale, allora la
distribuzione di x si definisce nel modo seguente.
La distribuzione normale è
La media della distribuzione normale è
e la varianza è
.
La distribuzione normale è così frequentemente utilizzata che si usa una speciale notazione,
per indicare che x è normalmente distribuita con media μ e varianza
L’andamento della rappresentazione della distribuzione normale è quello di una curva
simmetrica, unimodale a campana.
C’è una semplice interpretazione della deviazione standard σ di una distribuzione normale,
che è rappresentata nel
Si osservi che il 68.26% dei valori della popolazione è contenuto nei limiti definiti dalla
media meno o più una deviazione standard
; il 95.46% dei valori della popolazione
cade all’interno dei limiti definiti dalla media meno o più 2 deviazioni standard
; il
99.73% dei valori della popolazione è all’interno dei limiti definiti dalla media meno o più 3
deviazioni standard
. Pertanto la deviazione standard misura la distanza sulla scala
orizzontale associata ai limiti di contenimento del 68.26%, del 95.46% e del 99.73%. E’
pratica comune arrotondare queste percentuali a 68%, 95% e 99%.
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Il Teorema del Limite Centrale.
La distribuzione normale è spesso impiegata come modello di probabilità idoneo per una
generica variabile casuale. Più avanti verrà analizzato il modo in cui può essere dimostrata la
validità di questa assunzione; comunque, una giustificazione di normalità sia pure
approssimata è basata sul seguente teorema.
Se
sono variabili casuali indipendenti con media
, allora la distribuzione
e varianza
,
e se
tende alla distribuzione N(0,1) per n tendente all’infinito.
Il teorema del limite centrale implica che la somma di n variabili casuali indipendentemente
distribuite sia approssimativamente normale, senza riferimento alle distribuzioni delle
singole variabili. L’approssimazione è migliore al crescere di n. In molti casi
l’approssimazione sarà già buona per valori piccoli di n, mentre in taluni casi si necessita di
valori molto elevati di n per ottenere un’approssimazione soddisfacente. In generale, se gli xi
sono identicamente distribuiti e la distribuzione di ciascun xi non si discosta radicalmente da
quella normale, il teorema del limita centrale è soddisfatto per n = 3 o 4.
2.3.2
La distribuzione lognormale
Se ω segue una distribuzione normale con media θ e varianza
variabile casuale lognormale, la cui distribuzione è
, allora
è una
La media e la varianza di x sono:
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2.3.3
La distribuzione esponenziale
La distribuzione esponenziale è
dove λ
è una costante. La media e la varianza della distribuzione esponenziale sono:
2.3.4
La distribuzione gamma
La distribuzione gamma2 è
con parametro di forma
distribuzione gamma sono:
e parametro di scala
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. La media e la varianza della
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2.3.5
La distribuzione di Weibull
La distribuzione di Weibull è
dove
è il parametro di scala e
della distribuzione di Weibull sono:
è il parametro di forma. La media e la varianza
2.4 Grafici di probabilità
2.4.1
Grafici di probabilità normali
Come verifichiamo se una particolare distribuzione di probabilità è un modello
ragionevole per i dati? La rappresentazione detta grafico di probabilità è un metodo
euristico per determinare se i dati campionari sono conformi a una distribuzione
ipotizzata a seguito di un esame visivo e soggettivo dei dati. La procedura generale è
molto semplice e può essere eseguita velocemente. La rappresentazione usa una
speciale rappresentazione grafica, nota come carta di probabilità, che viene realizzata
per la specifica distribuzione ipotizzata. Le più comuni applicazioni si riferiscono alle
distribuzioni normale, lognormale, Weibull e gamma. In questo paragrafo tratteremo
il grafico della distribuzione normale.
Per costruire il grafico di probabilità occorre dapprima ordinare le osservazioni
disponibili, dalla più piccola alla più grande. Cioè il campione x1, x2,…xn è riordinato
nel vettore x(1), x(2),….x(n), dove x(1) rappresenta la più piccola osservazione, x(2) la
seconda, e così via, fino a x(n), la più grande. Il grafico di probabilità viene realizzato
rappresentando le coppie costituite da ciascuna osservazione ordinata x(j) e dalla
corrispondente frequenza cumulata (j-0.5)/n in un opportuno schema nel quale la
graduazione della scala delle ordinate è scelta in funzione della distribuzione
ipotizzata. Se la distribuzione ipotizzata descrive adeguatamente i dati, i punti
disegnati cadranno approssimativamente lungo una linea retta; se i punti disegnati
deviano significativamente e sistematicamente da una linea retta, il modello ipotizzato
non è appropriato.
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I grafici di probabilità sono estremamente utili e sono spesso la prima tecnica
esplorativa usata per la scelta della distribuzione di probabilità più adatta a descrivere
i dati. Nell’usare i grafici di probabilità, la decisione è presa solitamente attraverso
una valutazione soggettiva del grafico di probabilità. Insieme ai grafici di probabilità,
si possono usare anche test statistici più formali, circa la bontà d’adattamento.
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3
– Inferenze riguardanti la qualità dei processi produttivi
Nel capitolo precedente si è considerato l’impiego delle leggi di distribuzione per modellare
o descrivere le manifestazioni di un processo. In tutti gli esempi si è assunto che i parametri
delle distribuzioni e quindi i parametri del processo siano noti. Tale assunzione è
generalmente non realistica. Infatti, se si considera, per esempio, l’impiego della
distribuzione binomiale per rappresentare il numero di unità non conformi trovate in un
campione ottenuto da un processo produttivo, si assumerà che il parametro p della
distribuzione binomiale sia noto. Tale parametro p è da interpretarsi concretamente come la
vera frazione di unità non conformi presenti nel processo, che risulta impossibile conoscere
con esattezza relativamente a un processo produttivo effettivo. Inoltre se il vero valore p è
noto e costante nel tempo, l’attività di monitoraggio e le procedure di controllo sarebbero
inutili.
Si può considerare quindi che i parametri del processo produttivo sono generalmente ignoti
e che possono variare nel tempo, rendendo quindi necessaria l’introduzione di una
procedura per stimare i parametri delle distribuzioni di probabilità coinvolte e risolvere ogni
altro problema di inferenza o di decisione che li riguarda. Si dimostrano così utili i metodi
statistici e le tecniche di stima e di verifica delle ipotesi. Tali tecniche vengono a costituire
il substrato necessario per molte metodologie impiegate nel controllo statistico della qualità.
In questo capitolo sono presentati i metodi statistici di base dell’inferenza precisandone
l’utilità nell’ambito dei problemi che sorgono nell’azione di miglioramento della qualità.
Gli strumenti chiave comprendono le stime puntuali e intervallari di medie e di varianze
delle distribuzioni di probabilità, dei parametri delle leggi binomiali, le verifiche di ipotesi
riguardanti le stesse grandezze e inoltre l’impiego delle carte di probabilità normali.
3.1 Statistiche e distribuzioni campionarie
Lo scopo dell’inferenza statistica è quello di trarre delle conclusioni o assumere delle
decisioni riguardanti una popolazione sulla basa di un campione estratto dalla
popolazione stessa. Spesso si utilizza in queste analisi “campioni casuali”, dove la
parola casualità è sovente riferita a un metodo o selezione campionaria che evita criteri
sistematici. Definiamo un campione casuale di numerosità n, che indichiamo con
(x1,…..xn) quello ottenuto in modo tale che le osservazioni
sono selezionate in
modo indipendente l’una dalle altre.
Una tale definizione è impiegabile per campioni estratti da popolazioni costituite da
infinite unità oppure da popolazioni finite dove il campionamento è effettuato “con
rimessa o reintroduzione”. Nel campionamento senza “reintroduzione” da una
popolazione finita costituita da N unità, diciamo che il campione di n unità è un
campione casuale se ciascuno dei
possibili campioni ha un’eguale probabilità di
estrazione.
Molti dei metodi utilizzati assumono che il campionamento sia casuale, benché ci siano
altre strategie di campionamento impiegate utilmente nell’ambito del controllo di
qualità. Attenzione particolare deve essere rivolta ai metodi di analisi, in modo che
siano congrui con il piano di campionamento; infatti, le procedure inferenziali valide
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per campioni casuali possono comportare errori rilevanti quando siano applicate in
presenza di tecniche di campionamento differenti.
La statistica inferenziale impiega grandezze calcolate sulle osservazioni del campione.
Viene definita come statistica ogni funzione dei dati campionari che non coinvolgano
parametri ignoti. Per esempio se x1,…..xn rappresentano le osservazioni di un campione,
allora la media campionaria
la varianza campionaria
e la deviazione standard campionaria
sono statistiche. Le statistiche e (o
centrale e della variabilità del campione.
) sono rispettivamente misure della tendenza
Se conosciamo la legge di distribuzione della popolazione della quale è estratto il
campione, possiamo determinare la legge di distribuzione delle diverse statistiche
ottenute sui dati campionari. La legge di distribuzione di una statistica è detta
distribuzione campionaria.
3.2 Stima puntuale dei parametri del processo
Una variabile casuale è caratterizzata dalla legge di distribuzione di probabilità. Tale
legge di distribuzione è identificata dai parametri. Per esempio la media e la varianza
sono i parametri della distribuzione normale. Nell’ambito del controllo statistico
della qualità, la funzione di distribuzione è impiegata per descrivere o rappresentare
mediante un modello qualche caratteristica della qualità, come una grandezza o una
dimensione critica del prodotto o la frazione di unità difettose nel processo di
fabbricazione. Ne consegue che si è interessati a effettuare inferenza relativamente ai
parametri delle distribuzioni di probabilità di tali grandezze. Siccome in generale tali
parametri non sono noti, si richiedono procedure per stimarli sulla base dei dati
campionari.
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3.3 Inferenza statistica per un singolo campione
Le tecniche di inferenza statistica possono essere stimate in due grandi categorie: stima
parametrica e test d’ipotesi. Abbiamo già introdotto l’idea di stima puntuale dei
parametri di un processo. Un’ipotesi statistica è un’affermazione circa i valori dei
parametri di una distribuzione di probabilità. Per esempio, supponiamo di pensare che la
media del diametro interno di certi cuscinetti sia 1.5 pollici. Possiamo esprimere questa
dichiarazione in modo formale come
La proposizione
è detta ipotesi nulla e la proposizione
è detta ipotesi alternativa; in tale esempio
specifica i valori della media dei diametri
maggiori o minori del valore 1.5 ed è per questo indicata come ipotesi alternativa
bilaterale. In relazione al problema specifico si possono considerare differenti ipotesi
alternative unilaterali.
Le procedure di verifica dell’ipotesi risulta nodi rilevante utilità in molti problemi di
controllo statistico della qualità. Esse costituiscono, inoltre, la base di differenti tecniche
e procedure impiegate nell’ambito dello studio statistico del controllo di processo.
3.3.1
L’impiego del P-value nelle verifiche d’ipotesi
Il modo consueto per presentare i risultati di una verifica d’ipotesi è quello di indicare
che l’ipotesi nulla sia o non sia rifiutata rispetto a un preassegnato valore α che è detto
livello di significatività. Queste conclusioni risultano spesso inadeguate poiché non
danno nessun idea del valore ottenuto della statistica del test non esprimendo se essa sia
di poco entro la regione di rifiuto oppure se si trovi di gran lunga all’interno della
regione stessa. Inoltre questa modalità impone un livello di significatività α predefinito
anche per altri utilizzatori delle informazioni. Questo approccio può essere
insoddisfacente per il responsabile delle decisioni, che può trovare complesso
confrontare il risultato con i rischi che implica il valore di α.
Per superare tali
difficoltà è stato adottato ampiamente nella pratica l’approccio del P-value. Con il
termine P-value (o valore P), si intende la probabilità che la statistica test assuma un
valore che è almeno come estremo uguale a quello osservato quando l’ipotesi nulla H0
è vera. Quindi il P-value contiene molte informazioni relative all’evidenza di non
validità di H0, così il responsabile delle decisioni può trarre una conclusione per ogni
specifico livello di significatività. Possiamo ora dare una definizione formale del Pvalue.
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224
Analisi Statistica del Disco di Festo
Il P-value è il più piccolo livello di significatività che conduce al rifiuto dell’ipotesi
nulla H0.
E’ abitudine chiamare una statistica test significativa quando l’ipotesi nulla è rifiutata,
quindi il P-value è il più piccolo livello α per il quale i dati osservati sono significativi.
Disponendo del P-value il responsabile delle decisioni può stabilire da solo quanto
siano significativi i dati osservati senza che chi è predisposto all’analisi dei dati debba
imporre un livello di significatività a priori.
Per la verifica d’ipotesi sopra considerata è relativamente semplice calcolare il P-value.
Se Z0è il valore della statistica test calcolato sui dati osservati, allora il P-value è
Essendo
la funzione di distribuzione cumulata della variabile casuale normale
standardizzata.
Non è sempre facile ottenere un esatto P-value per ogni procedura di verifica,
comunque molti programmi per computer dedicati all’analisi statistica presentano il Pvalue; questi ultimi possono essere ottenuti anche con alcuni calcolatori tascabili. E’
possibile inoltre impiegare tabelle statistiche che approssimano i P-value per alcuni
casi specifici.
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Parte II
Il controllo statistico di processo
E’ difficile ispezionare o verificare la qualità di un prodotto: meglio è avere un prodotto che sia
qualitativamente accettabile già in fase di produzione. Questo richiede che il processo
produttivo sia stabile e che le persone impiegate nella produzione siano continuamente
impegnate anche nel miglioramento del processo produttivo e nella riduzione della variabilità
dei fattori coinvolti nella produzione. L’SPC (Statistical Process Control) è lo strumento
primario per conseguire tale risultato e le carte di controllo sono lo strumento più semplice per
definire una procedura di controllo statistico di processo. In questa sezione vengono evidenziati
i tre fondamentali scopi delle carte di controllo:
4
Riduzione della variabilità del processo
Monitoraggio e controllo del processo
Stima dei parametri del prodotto e del processo
– Teoria e metodi del controllo statistico di un processo produttivo
Questo capitolo ha tre obiettivi:
-
-
Presentare gli strumenti statistici di base del controllo statistico di un
processo produttivo (SPC, Statistical Process Control),noti anche col nome
di “magnifici sette”.
Descrivere le basi statistiche delle carte di controllo di Shewhart.
Discutere e illustrare alcuni problemi pratici che si incontrano
nell’applicazione dell’SPC.
4.1 Introduzione
L’SPC può essere applicato a qualsiasi processo. I sette più importanti strumenti statistici di
cui si avvale sono:
1234567-
Istogrammi e grafici “rami e foglie”
Fogli di controllo
Grafici di Pareto
Diagrammi causa ed effetto
Diagrammi sulla concentrazione dei difetti
Grafici a dispersione
Carte di controllo
4.2 Fonti di variabilità nella qualità
Ogni processo produttivo è sempre soggetto ad una certa variabilità intrinseca o naturale.
Questa variabilità naturale o rumore di fondo è il risultato dell’effetto cumulato di molti
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226
Analisi Statistica del Disco di Festo
piccoli ma ineliminabili fattori costanti o casuali. Un processo la cui variabilità sia provocata
solo da fattori casuali verrà detto sotto controllo mentre le fonti di variabilità che non sono
riconducibili a fattori casuali vengono chiamate “fattori specifici” e un processo che stia
funzionando in presenza di fattori specifici verrà detto fuori controllo. In genere i processi
produttivi operano in situazione di controllo , producendo pezzi di qualità accettabile per
lunghi periodi di tempo. Possono tuttavia verificarsi fattori specifici, apparentemente
casuali, tali da comportare la produzione di grandi quantità di pezzi non conformi agli
standard qualitativi. Quando il processo è sotto controllo, la maggior parte dei valori della
grandezza oggetto di controllo cade tra i limiti di specifica superiore e inferiore (indicati
con USL Upper Specifc Limit e LSL Lower Specific Limit); invece, quando il processo è
fuori controllo un elevato numero di determinazioni campionarie cade al di fuori di queste
specifiche. L’obiettivo primario del controllo statistico di un processo è di individuare il più
velocemente possibile il verificarsi di fattori specifici: quanto più veloce è l’individuazione
delle cause, tanto prima potranno essere avviate azioni di correzione , così da evitare la
produzione di molti pezzi di qualità non accettabile. Le carte di controllo sono uno
strumento ampiamente usato per questi scopi e per determinare la capacità del processo
stesso. Per ultimo si ricordi che lo scopo del controllo statistico di un processo è di eliminare
la variabilità all’interno del processo stesso: per quanto non sia possibile eliminarla
completamente, le carte di controllo costituiscono un efficace strumento per ridurla il più
possibile.
4.3 Fondamenti statistici delle carte di controllo
4.3.1
Introduzione
Una tipica carta di controllo è quella riportata in figura, che descrive una certa qualità di un
prodotto misurata in diversi istanti temporali.
La carta riporta una linea centrale che rappresenta il valore medio della qualità, in genere
corrispondente al valore desiderato quando il processo è sotto controllo. Le altre due linee
orizzontali vengono chiamate limite di controllo superiore (UCL, Upper Control Limit) e
limite di controllo inferiore (LCL, Lowre Control Limit). Questi limiti di controllo vengono
scelti in modo tale che, se il processo è sotto controllo, quasi tutti i valori campionari
cadranno al loro interno e nessun intervento correttivo sul processo sarà necessario. Se
invece un punto cade al di fuori di tali limiti, questo dovrà essere interpretato come
un’evidenza del fatto che il processo è fuori controllo e quindi si renderanno necessarie
azioni correttive o di indagine sul processo per individuare ed eliminare le cause che hanno
portato all’insorgere di quei fattori specifici. Si è soliti unire i punti campionari consecutivi
con dei tratti continui, così da rendere più facile la visualizzazione dell’evoluzione del
processo nel tempo.
C’è uno stretto legame tra carte di controllo e test d’ipotesi; si supponga che l’asse verticale
dell’immagine sia la media campionaria . Se il valore osservato di cade tra i limiti di
controllo, concluderemo che la media del processo è sotto controllo, cioè pari a un valore μ0.
D’altra parte, se
supera uno dei limiti di controllo, concluderemo che la media del
processo è fuori controllo, ovvero è pari a un valore
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227
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Possiamo supporre uno schema generico di carta di controllo. Sia ω una statistica
campionaria che misura una certa caratteristica di un prodotto e si supponga che la media di
ω sia
e la deviazione standard sia . Allora l’UCL, la linea centrale CL e LCL saranno:
dove L è la “distanza” dei limiti di controllo della linea centrale, espressa in unità di
deviazione standard. Le carte di controllo costruite secondo questi criteri vengono chiamate
carte di controllo di Shewhard.
La carta di controllo è uno strumento per descrivere in maniera sistematica ciò che viene
chiamato controllo statistico e di conseguenza può essere usata per il controllo di
sorveglianza on-line: i dati campionari vengono raccolti periodicamente e rappresentati nella
carta di controllo; se il valore di cade tra i limiti di controllo e se nel tempo non evidenzia
andamenti non casuali diremo che il processo è sotto controllo. L’uso più importante è
tuttavia quello di contribuire al miglioramento del processo.
Le carte di controllo possono essere usate in due modi, a seconda della
caratteristica della variabile oggetto di studio. Se la caratteristica di un prodotto è
rappresentabile su una scala continua di valori, viene detta variabile ed è possibile
descriverla come una misura di centralità e una di variabilità: le carte di controllo per la
centralità e la variabilità di un processo vengono chiamate carte di controllo per variabili.
E’ pur vero che molte caratteristiche dei prodotti non possono essere misurate né su scala
continua né su scale genericamente quantitative. In questi casi ciascuna unità prodotta viene
valutata conforme a seconda che possieda o meno certi attributi o a seconda del numero dei
difetti presenti nell’unità prodotta. Le carte di controllo costruite sulla base di queste
grandezze vengono chiamate carte di controllo per attributi.
4.3.2
Scelta dei limiti di controllo
La definizione dei limiti di controllo è uno dei passaggi più critici nella progettazione di una
carta di controllo. Più sono collocati lontano dalla linea centrale minore sarà il rischio che un
punto si posizioni al di fuori dei limiti indicando una situazione di fuori controllo quando
invece nessun fattore si è manifestato (rischio tipo I). D’altro canto ampliare i limiti di
controllo comporta il rischio che un punto cada all’interno dei limiti di controllo quando di
fatto il processo non è sotto controllo (rischio tipo II). Se i limiti vengono invece avvicinati
alla linea di controllo si avrà l’effetto opposto: il rischio di tipo I aumenta mentre quello di
tipo II diminuirà.
Per la carta in figura, se si ipotizza che il diametro della fascia elastica del pistone
abbia distribuzione normale e che i limiti controllo siano a 3-sigma, utilizzando la
tavola della variabile casuale normale standardizzata si trova che l’errore di tipo I è
0.0027, ovvero un
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228
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errato segnale di fuori controllo o falso allarme verrà osservato in probabilità 27 volte
ogni 10000 campioni. Inoltre la probabilità che un punto superi uno dei limiti posti a 3sigma quando il processo è sotto controllo è solamente 0.00135. Questi limiti di
controllo vengono chiamati limiti con probabilità 0.001. La scelta dei limiti a 3-sigma
da in genere buoni risultati nelle applicazioni.
Limiti di sorveglianza delle carte di controllo. Alcuni analisti suggeriscono di
utilizzare sulla stessa carta di controllo due differenti limiti come quelli evidenziati
nell’immagine
I limiti esterni, supponiamo posizionati a 3-sigma, sono gli usuali limiti operativi:
quando un punto cade al di fuori di questi deve esser intrapresa una ricerca delle cause e
devono essere predisposti eventuali interventi correttivi. I limiti interni, solitamente
posizionati a 2-sigma, vengono chiamati limiti di sorveglianza superiore (UWL, Upper
Warning Limits) e inferiore (LWL, Lower Warning Limits).
Se uno o più punti cadono tra i limiti di controllo e limiti di sorveglianza o anche solo in
prossimità dei limiti di sorveglianza, si deve ritenere che il processo non stia
funzionando correttamente. Per essere più certi di tale congettura e senza dover
intraprendere azini correttive sul processo, si è soliti aumentare la frequenza di
campionamento e/o la dimensione del campione così che molte più informazioni
vengano analizzate nell’intorno temporale dell’istante in cui il problema può essersi
manifestato. Questi interventi vengono chiamati schemi adattivi o schemi di
campionamento con dimensione campionaria variabile.
4.3.3
Dimensione del campione e frequenza di campionamento
Nel progettare una carta di controllo bisogna specificare la dimensione del campione da
analizzare e la frequenza di campionamento. In genere, quanto più grande è il campione
tanto più facile sarà individuare piccoli spostamenti o regolazioni del processo. Questo lo si
nota in figura
Dove viene rappresentata la curva operativa caratteristica per diverse dimensioni
campionarie della carta
rappresentata precedentemente. Per scegliere la dimensione
campionaria ottimale bisogna quindi avere presente qual è lo scostamento del processo che
si vuole individuare più velocemente.
Dobbiamo inoltre determinare la frequenza di campionamento. La situazione ottimale
sarebbe quella di poter esaminare grandi campioni di frequente, ma questa è una situazione
sicuramente poco accettabile dal punto di vista economico. Si tratta di un problema di
allocazione degli sforzi di campionamento: o si esaminano piccoli campioni di frequente o si
esaminano grandi campioni a intervalli più distanziati.
Due strumenti utili per calcolare la dimensione campionaria e la frequenza di
campionamento ottimali sono la lunghezza media delle frequenze (ARL, Average Run
Lenght) e il tempo medio al segnale (ATS, Average Time to Signal).
L’ARL è il numero medio di punti che devono essere osservati prima che un punto cada al
di fuori dei limiti di controllo.
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229
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dove p è la probabilità che un punto superi i limiti di controllo.
Il tempo medio al segnale ATS è invece il prodotto dell’ARL per l’intervallo medio di
tempo intercorrente tra due campioni, e indica il tempo medio intercorrente tra due segnali
di fuori controllo. Se i campioni vengono esaminati a intervalli di tempo costante, allora
4.3.4
Sottogruppi razionali
Con sottogruppi razionali si intendono quei campioni scelti in modo che se sono presenti
fattori specifici, la probabilità di osservare differenze tra i campioni sia massimizzata mentre
la probabilità di osservare differenze tra le unità che compongono il campione a causa di
fattori specifici sia minimizzata.
Due sono gli approcci per la costruzione di sottogruppi razionali.
Il primo suggerisce di costruire i campioni in modo che contengano unità che siano state
prodotte nello stesso istante temporale. Questo approccio dovrebbe essere seguito quando lo
scopo è di usare la carta di controllo per individuare scostamenti sistematici della
produzione, perché minimizza la probabilità di avere una variabilità attribuibile a fattori
specifici all’interno del campione mentre massimizza la probabilità di avere un’elevata
variabilità tra i campioni se sono presenti scostamenti sistematici del parametro oggetto di
controllo. Fornisce inoltre una migliore stima della deviazione standard del processo se la
carta di controllo è per variabili.
Il secondo approccio consiste nella costruzione di campioni che siano rappresentativi della
produzione intercorsa dall’ultimo controllo effettuato. Sostanzialmente ciascun sottogruppo
è un campione casuale della produzione ottenuta nell’intervallo di campionamento. Questo
approccio viene usato quando si ipotizza che il processo possa uscire di controllo
nell’intervallo di tempo intercorso dall’ultimo campione esaminato.
4.3.5
Analisi degli andamenti tipici di una carta di controllo
Una carta di controllo può indicare una situazione di fuori controllo sia quando uno o più
punti cadono oltre i limiti di controllo sia quando l’andamento descritto dai punti, pur interni
ai limiti, non è casuale: la non casualità dei punti è sintomo di un processo che produce pezzi
le cui misure di qualità possono essere descritte da un modello e quindi tali da essere
prevedibili. Un processo per essere definito sotto controllo deve invece,in genere, avere la
proprietà di produrre pezzi con caratteristiche aventi distribuzione casuale secondo un
modello probabilistico definito.
Una successione di punti avente un andamento crescente o decrescente viene chiamata
sequenza così come viene chiamata sequenza di lunghezza 2 una successione di punti che
stanno uno al di sopra e uno al di sotto della linea centrale. Sequenze di lunghezza maggiore
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230
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di 7 hanno la probabilità di verificarsi, in genere, molto bassa e quindi, essendo di tipo non
casuale, sono spesso un segnale di fuori controllo.
L’abilità nell’individuazione di un comportamento anomalo e la sua attribuzione a fattori
specifici richiede esperienza e una profonda conoscenza del processo produttivo. Alcune
regole decisionali per l’individuazione di comportamenti anomali, in particolare stabiliscono
che un processo è da considerarsi fuori controllo se:
-
un punto cade al di fuori dei limiti di 3-sigma
due punti su tre consecutivi cadono oltre i limiti di sorveglianza posizionati a
2-sigma
- quattro punti su cinque consecutivi cadono oltre la distanza di 1-sigma dalla
linea centrale; oppure
- otto punti consecutivi cadono tutti dalla stessa parte della linea centrale
da notare che queste regole si applicano a una sola parte della carta di controllo. Perciò se un
punto cade oltre l’UWL e il successivo cade sotto l’LWL questo non indica una situazione
di fuori controllo.
4.3.6
Commento alle regole di sensibilità per le carte di controllo
Esistono diversi criteri per stabilire se un processo è fuori controllo. Il criterio di base è che
uno o più punti cadano al di fuori dei limiti di controllo, ma in genere, vengono usati criteri
aggiuntivi per aumentare la sensibilità di una carta nel rilevare regolazioni del processo
anche piccole e se solamente uno di questi criteri viene soddisfatto , dovremo considerare il
processo fuori controllo.
Segnale
intervento
standard
di
1. Uno o più punti cadono al di fuori dei limiti di controllo.
2. Due punti consecutivi su tre cadono oltre i limiti di sorveglianza
posizionati a 2-sigma ma rimangono dentro i limiti a 3-sigma.
3. Quattro punti su cinque consecutivi cadono oltre la distanza di 1sigma dalla linea centrale.
4. Otto punti consecutivi cadono dalla stessa parte della linea
centrale.
5. Sei punti consecutivi sono in ordine crescente o decrescente.
6. 15 punti consecutivi sono in yna definita zona (sia sotto che sopra
la linea centrale).
7. 14 punti consecutivi si alternano a zig-zag.
8. Otto punti consecutivi si alternano intorno alla linea centrale ma
nessuno è nella zona definita
9. Si manifesta un comportamento non casuale dei dati.
10. Uno o più punti si posizionano vicino ai limiti di sorveglianza e di
controllo.
Le regole riassunte nella tabella devono essere usate con una certa cautela se non si
vuole andare incontro a un numero eccessivo di falsi allarmi.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
4.3.7
Fase I e Fase II dell’applicazione delle carte di controllo
Nella fase I si esegue un’analisi preliminare del processo: si raccoglie e si analizza un
insieme retrospettivo di dati del processo, al fine di determinare se rappresentano una
situazione in stato di controllo e costruire quindi i limiti di controllo attendibili per
monitorare correttamente la produzione futura. Le carte di controllo sono utilizzate quindi in
fase I per isolare sequenze di dati del processo in stato di controllo statistico. Nella fase II
usiamo le carte di controllo per monitorare il processo confrontando la statistica campionaria
per ogni campione estratto dal processo, con i limiti di controllo stabiliti in fase I.
Nella fase I vengono stabiliti dei limiti preliminari basandosi sugli m sottogruppi e su tutti i
dati rappresentati sulle carte di controllo. I punti che sono al di fuori dei limiti di controllo
sono esclusi e si calcolano i nuovi limiti di controllo, successivamente vengono esaminati
altri dati e comparati con questi limiti aggiornati. Talvolta questa fase dell’analisi deve
essere ripetuta parecchie volte, fino a ottenere una serie di dati del processo stabilizzato, che
può ritenersi cioè rappresentare l’andamento di un processo in controllo. Generalmente la
carte di controllo di Sheward sono molto efficienti in fase I e sono facili da costruire e
interpretare. Sono efficienti nell’individuare la presenza sia di forti scostamenti di livello dei
parametri del processo che di outliers (singole escursioni che possono derivare da cause
assegnabili di breve durata, errori di misurazione e/o registrazione dei dati e così via).
Nella fase II usualmente si assume che il processo sia in condizioni di stabilità. Spesso le
cause assegnabili che si verificano in fase II sono costituite da limitati spostamenti di livello
poiché la maggior parte delle fonti di variabilità veramente dannose dovrebbero essere state
individuate durante la fase I e le loro cause rimosse anche per il futuro. La nostra enfasi è
quindi, in tale fase, posta sul monitoraggio del processo e non sul suo riassetto verso lo stato
di controllo.
4.4 Altri strumenti dei “magnifici sette”
Sebbene la carta di controllo sia un potente strumento per il controllo e il miglioramento
della qualità, risulta di fatto più efficace se viene usata in un contesto dove si ha un’ampia
integrazione degli strumenti di SPC: questi dovrebbero essere usati diffusamente e
quotidianamente a ogni livello d’impresa. I “magnifici sette” già introdotti nel paragrafo 4.1
sono:
1- Istogrammi e grafici “rami e foglie”
2- Fogli di controllo
3- Grafici di Pareto
4- Diagrammi causa ed effetto
5- Diagrammi sulla concentrazione dei difetti
6- Grafici a dispersione
7- Carte di controllo
Abbiamo già introdotto gli istogrammi, i grafici “rami e foglie” e le carte di controllo
analizziamo gli altri.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Fogli di controllo. I primi passi per l’implementazione dell’SPC richiedono che si provveda
a una raccolta di dati riguardanti il processo oggetto di controllo: per tale scopo un utile
strumento è il foglio di controllo. Quando si progetta un foglio di controllo, è importante
definire in modo chiaril tipo di informazione che deve essere raccolta, la data, l’operatore
che effettua la raccolta e qualsiasi altra nota che renda più intelligibile la provenienza del
dato.
Grafico di Pareto. E’ uno degli strumenti più utili nell’SPC: riporta l’istogramma e
l’associata distribuzione di frequenza cumulata di dati qualitativi distinti per categoria e
ordinati per frequenza di accadimento. Con questo grafico l’utente può facilmente
individuare la più frequente tipologia di difetti. Il grafico di Pareto individua le cause che più
di frequente si sono manifestate, non quelle più importanti per il funzionamento del
prodotto.
Diagramma causa ed effetto. Una volta che un errore, un problema o un elemento difettoso
è stato identificato e isolato, devono essere cercate le cause potenziali di questo
indesiderabile effetto. I passaggi per la costruzione di un diagramma causa ed effetto sono i
seguenti:
Definire il problema o l’effetto da analizzare
Preparare il team che deve eseguire l’analisi
Predisporre la casella dell’effetto e una linea centrale
Specificare le tipologie delle più importanti cause e unirle con tratti come caselle
connesse alla linea centrale
5- Indicare le possibili cause e classificarle nelle tipologie individuate al passo 4. Se
necessario creare altre tipologie
6- Ordinare le cause in base alla maggiore o minore probabilità che possano creare il
problema oggetto di analisi
Quanto più dettagliati sono i diagrammi di causa ed effetto, tanto più efficaci essi saranno
nell’aiutare il management nella soluzione del problema.
1234-
Diagrammi sulla concentrazione dei difetti. E’ un particolare disegno sulla struttura del
prodotto, su cui vengono riportate tutte le visuali rilevanti del prodotto stesso. I diversi tipi
di difetti vengono evidenziati su questo disegno, con lo scopo di verificare se la loro
collocazione può costituire un’utile informazione sulle cause potenziali del difetto rilevato.
Una volta che sono stati raccolti i diagrammi sulla concentrazione dei difetti per un numero
sufficientemente elevato di unità prodotte, spesso si riesce a individuare alcune tipologie che
aiutano a capire le cause e gli effetti.
Grafici a dispersione. Sono utili per individuare potenziali relazioni funzionali tra due
variabili. Si considerino due variabili x e y; di queste vengano raccolte n coppie di dati,
(xi,yi), per i = 1, 2, …, n, che vengono rappresentate su un piano cartesiano. L’andamento del
grafico a dispersione spesso indica quale relazione sussiste tra le due variabili.
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Analisi Statistica del Disco di Festo
5
- Carte di controllo per variabili
Questo capitolo presenta le carte di controllo per caratteristiche qualitative misurate su scala
numerica, come ad esempio la lunghezza, l’ampiezza, la temperatura,il volume, che prendono il
nome di carte di controllo per variabili.
5.1 Introduzione
Una caratteristica misurabile, come una dimensione, il peso o il volume, viene chiamata
variabile; di questa, in un contesto di SPC, è assolutamente necessario per poter controllare
sia la media sia la variabilità, monitorare in genere con carte chiamate , S o R (dove S e R
stanno rispettivamente per deviazione standard campionaria e range).
5.2 Carte di controllo
eR
Si supponga che una caratteristica quantitativa, X, sia distribuita secondo la legge di una
variabile casuale normale con media μ e deviazione standard σ, dove sia μ sia σ si ipotizzano
note. Se indichiamo con x1, x2,…, xn un campione di dimensione n, proveniente da X, allora
il valore medio del campione è
Si dimostra che ha distribuzione normale con media μ e deviazione standard
.
Da questo segue che la probabilità che un’altra media da un campione di dimensione pari a n
cada tra
=
e
=
è pari a 1 – α. Perciò se μ e σ sono note, come visto nel Capitolo precedente, se si
sostituisce
con il numero 3, così da poter utilizzare i limiti di controllo a 3-sigma.
Le soprascritte equazioni potrebbero essere interpretate come limiti di controllo
superiore e inferiore di una carta di controllo per la media campionaria: se una media
campionaria cade al di fuori di questi limiti, è un segnale che la media del processo non
è più pari a μ.
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234
Analisi Statistica del Disco di Festo
Di fatto, l’ipotesi introdotta in precedenza di ritenere noti i valori di μ e di σ, non è quasi
mai soddisfatta. Di conseguenza questi parametri devono essere stimati sulla base di un
certo numero di campioni preliminari (in genere almeno 20 25), opportunamente
estratti in un periodo in cui il processo viene ritenuto sotto controllo. A tale scopo si
supponga che siano disponibili m campioni, ciascuno contenente n determinazioni
casuali della caratteristica qualitativo oggetto di interesse. Tipicamente, n è un numero
piccolo, spesso pari a 4, 5 o 6: una così piccola dimensione campionaria è giustificabile
se sono stati utilizzati sottogruppi razionali o se i costi di campionamento e di ispezione
associati a variabili quantitative sono piuttosto alti. Si indichino, quindi, con
le medie di ciascun campione. Se la media del processo non è nota il
miglior stimatore è la media delle medie degli m campioni:
e verrà usata come linea centrale per la carta .
Per costruire i limiti di controllo, abbiamo tuttavia bisogno anche di una stima della
deviazione standard, σ. E’ possibile stimare usando le deviazioni standard o i range
degli m campioni. Per il momento ci concentreremo solamente sul metodo basato sui
range. Si ricorda che se x1, x2,…, xn è un campione di dimensione n, il range del
campione è la differenza tra la più grande e la più piccola determinazione campionaria;
ovvero
Siano
i range degli m campioni. Lo stimatore del range del processo, da
usare per la costruzione dei limiti di controllo, è il range medio
I limiti della carta
sono in definitiva i seguenti:
Limiti di controllo per la carta
la costante A2 è tabulata per diversi valori di n
La variabilità del processo può essere monitorata, riportando i valori del range di ogni
campione su una carta di controllo R. La linea centrale e i limiti di controllo per la carta
R sono i seguenti:
Limiti di controllo per la carta R
le costanti D4 e D3 sono tabulate per diversi valori di n
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5.3 Carte di controllo per
eS
In presenza di dimensioni campionarie sufficientemente grandi, è opportuno stimare la
deviazione standard del processo con la deviazione standard campionaria S e non con il
range campionario R. Si ottengono così le carte di controllo e S che sono preferibili
alle corrispondenti carte e R quando si verifica una delle seguenti condizioni:
1. la dimensione campionaria n è abbastanza grande, ovvero
o 12;
2. la dimensione campionaria è variabile.
5.3.1
Costruzione e uso delle carte di controllo
eS
La costruzione delle carte di controllo
e S richiede gli stessi passi necessari per la
costruzione delle carte
e R, a eccezione del fatto che per ogni campione dobbiamo
calcolare e S che verranno utilizzati per costruire le corrispondenti carte.
E’ noto che se σ2 è l’ignota varianza di una distribuzione, uno stimatore non distorto di
σ2 è la varianza campionaria
La deviazione standard campionaria S non è invece uno stimatore non distorto di σ. Se
la distribuzione oggetto di studio è normale, allora S stima una grandezza pari a c4σ,
dove c4 è una costante che dipende dalla dimensione campionaria n1. Inoltre la
deviazione standard di S è
. Questa informazione può essere usata per la
costruzione delle carte e S.
Si consideri il caso in cui a σ viene assegnoto un valore standard.
Dal momento che
σ, la linea centrale della carta è
σ. I limiti di
controllo a 3-sigma per S sono quindi
si è soliti definire le costanti
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236
Analisi Statistica del Disco di Festo
I limiti della carta S nell’ipotesi di avere un valore preassegnato per σ saranno quindi
Quando è possibile disporre di valori noti per la media e la deviazione standard della
popolazione, potremmo usare tali valori per la costruzione della carta . Si supponga
che i valori siano μ e σ. I parametri della carta sono:
La grandezza
, che possiamo porre pari ad A, dipende solamente da n ed è
tabulata. Perciò i parametri della carta possono essere riscritti come:
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6
– Carte di controllo per attributi
Molte caratteristiche relative alla qualità di un prodotto non possono essere rappresentate
numericamente. In tali casi si è soliti classificare ciascun oggetto esaminato solamente come
conforme o non conforme a una certa caratteristica qualitativa prescelta. I termini difettoso o
non difettoso vengono spesso usati per identificare tale classificazione. Caratteristiche di questo
tipo prendono il nome di attributi.
6.1 Introduzione
Le carte di controllo per attributi non sono così informative come le carte per variabili.
L’informazione contenuta in una misura è in genere più informativa di quella che si
ottiene classificando una unità semplicemente come conforme o non conforme. In ogni
caso le carte di controllo per attributi hanno importanti applicazioni, specie nelle società
di servizi o per migliorare la qualità nei settori non manifatturieri, essendo le grandezze
che le caratterizzano non facilmente misurabili su scala numerica.
6.2 Carte di controllo per frazioni di non conformi
La frazione di non conformi viene definita come il rapporto tra numero di unità non
conformi presenti in una popolazione e numero di pezzi che compongono quella
popolazione. Un’unità prodotta può avere diverse caratteristiche qualitative che possono
essere esaminate simultaneamente. Se il pezzo non soddisfa una o più caratteristiche
viene classificato come non conforme.
La frazione di non conformi campionaria viene definita come il rapporto fra il numero
di unità non conformi presenti nel campione e la dimensione del campione n; ovvero
Dove p è la probabilità di ottenere un pezzo non conforme, n è la dimensione del
campione e D il numero di unità prodotte che non sono conformi. La media e la
varianza di sono rispettivamente:
e
6.2.1
Costruzione della carta di controllo
Nel capitolo 4 sono stati presentati i fondamenti statistici che sottostanno alle carte di
Shewhart. Indicata con ω una statistica che misura una certa caratteristica qualitativa e
indicate con μω e
rispettivamente la sua media e la varianza , l’impostazione
generale delle carte di Shewhart è la seguente:
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Analisi Statistica del Disco di Festo
dove L, di solito posto pari a 3, è la distanza, espressa in unità di deviazione standard di
ω, dei limiti di controllo dalla linea centrale.
Si supponga che la vera frazione di non conformi p sia nota o che il management abbia
definito un valore standard. Dalle equazioni sopra scritte , la linea centrale e i limiti di
controllo della carta per la frazione di non conformi vengono definiti come segue:
Carte di controllo per frazione di non conformi: valori di riferimento
Per l’utilizzo della carta bisognerà estrarre campioni successivi di n unità, calcolare la
frazione di non conformi e rappresentare tale statistica sulla carta. Finché rimane
all’interno dei limiti di controllo e non si osserva alcun andamento anomalo o non
casuale nella successione di punti, si può affermare che il processo è sotto controllo al
livello p. Se invece il punto cade al di fuori dei limiti o se si osserva un andamento non
casuale dei punti, si dovrà concludere che la frazione di non conformi ha probabilmente
subito uno scostamento a un nuovo livello e che il processo è fuori controllo.
Se la vera frazione di non conformi p non è nota, dovrà essere stimata dai dati osservati.
La procedura consiste nel selezionare m campioni preliminari, ciascun odi dimensione
n. Una regola generale è di scegliere m=20 o 25. Se ci sono Di unità non conformi nel
campione i-esimo, la corrispondente frazione campionaria di non conformi è
,
i = 1, 2, …, m
e la media di tutte le frazioni di non conformi è
=
dove la statistica
è lo stimatore dell’ignota frazione p. La linea centrale e i
corrispondenti limiti della carta di controllo vengono calcolati come segue:
Carte per la frazione di non conformi: valori di riferimento non assegnati
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Analisi Statistica del Disco di Festo
6.2.2
Dimensione campionaria variabile
Se la dimensione campionaria è variabile , ad esempio perché la produzione non
produce sempre lo stesso numero di pezzi, anche i limiti di controllo di una carta per
frazione di non conformi dovranno variare. Per gestire tale situazione, tre sono i criteri
perseguibili.
1. Limiti di controllo ad ampiezza variabile. L’approccio più semplice consiste nel
calcolare i limiti per ogni ampiezza campionaria.
2. Limiti di controllo basati sulla dimensione campionaria media. Tale approccio
consiste nel costruire i limiti di controllo sulla base della dimensione campionaria
media, ottenendo quindi limiti di controllo approssimati.
3. Carta di controllo con valori standardizzati. In presenza di n variabili,
l’approccio consiste nel usare valori standardizzati.
6.3 Carte di controllo per non conformità (numero dei difetti)
Un’unità non conforme è un prodotto che non soddisfa una o più caratteristiche
qualitative. Ciascuna caratteristica qualitativa non soddisfatta è un difetto o non
conformità e in genere, se un bene ha uno o più difetti, è non conforme. Questo attributo
dipende tuttavia anche dalla gravità dei difetti. Se questi non influiscono sul
funzionamento dell’oggetto possono anche non essere tali da classificarlo
necessariamente come non conforme, così come, da un altro punto di vista, pur non
influendo sul suo funzionamento i difetti possono essere tali da rendere l’oggetto
invendibile: dipende dal livello qualitativo che l’azienda si è prefissata.
E’ possibile costruire carte di controllo sia per il numero totale di non conformità per
unità prodotta sia per il numero medio di non conformità per unità prodotta.
6.3.1
Procedure con dimensioni campionarie costanti
Il campione è in genere costituito da un’unica unità di riferimento che può essere anche
una sola parte dell’intero prodotto. Nulla vieta tuttavia che si possa scegliere più di una
unità prodotta, che andrà a costituire l’unità di riferimento. I limiti a 3-sigma della carta
di controllo per non conformità sono definiti come segue:
Carte di controllo per non conformità: valori di riferimento assegnati
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dove si ipotizza che c sia un valore noto e che, se LCL è negativo, questo verrà posto
uguale a 0.
Se nessun valore di riferimento viene assegnato è possibile stimare c con il numero
medio di difetti rilevati in un campione preliminare; la stima verrà indicata con
I
limiti in tal caso saranno i seguenti:
Carte di controllo per non conformità: valori di riferimento non assegnati
che vanno considerati limiti di prova. Le carte di controllo per non conformità vengono
talora indicate come carte c.
6.5 Linee guida per l’applicazione delle carte di controllo
Quasi tutti i processi possono beneficiare dei metodi di SPC. In questo paragrafo
presenteremo alcune linee guida per l’applicazione delle carte di controllo e in
particolare affronteremo i seguenti punti:
1. Determinare quale caratteristica controllare.
2. Determinare dove le carte dovrebbero essere applicate nel processo.
3. Scegliere l’appropriata carta di controllo
4. Attivare interventi migliorativi del processo a fronte di risultati di analisi si SPC.
5. Scegliere quali strumenti impiegare per raccogliere i dati per l’analisi di SPC.
Determinare quale caratteristica controllare e dove applicare le carte (1-2). Queste
scelta non sono facili quindi vengono proposte alcune linee guida:
All’inizio di un nuovo processo produttivo o di una nuova
applicazione di SPC, le carte dovrebbero essere applicate a tutte le
caratteristiche del prodotto che si ritiene siano importanti. Si stabilirà
solo nel seguito dove effettivamente sono necessarie.
Le carte ritenute in seguito non necessarie devono essere eliminate ed
eventualmente ne vanno aggiunte altre, se gli ingegneri o gli
operatori lo ritengono necessario.
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Le informazioni sulle carte di controllo dovrebbero inizialmente
essere tenute separate e nel tempo il numero dovrebbe diminuire in
relazione alla progressiva stabilizzazione del processo produttivo.
In genere, con il passare del tempo, se si osserva che le carte sono
utili per la produzione, si nota un aumento del numero delle carte per
variabili e una riduzione di quelle per attributi.
Spesso si osserva l’applicazione delle carte quando ormai il prodotto
è finito. E’ tuttavia meglio applicarle il più presto possibile al fine di
non incorrere in difettosità che nel seguito potrebbero risultare fatali
per l’intero prodotto.
Le carte dovrebbero essere disponibili in luoghi il più vicino possibile
all’attività produttiva, così da poter garantire un rapido intervento in
caso di una segnalazione di guasto. Inoltre la vicinanza alla
produzione consente di verificare velocemente gli effetti prodotti da
eventuali aggiustamenti sul processo.
Scegliere la carta appropriata (3).
A. Carte e R (o e S). Tali carte dovrebbero essere usate per misurare variabili nei
seguenti casi:
- Un nuovo processo produttivo sta per essere avviato su un processo già
esistente.
- Il processo ha operato per un certo arco di tempo ma ora presenta diversi
problemi di funzionamento.
- Il processo presenta problemi di funzionamento e la carta serve come
strumento di diagnostica.
- I controlli sono distruttivi o molto costosi.
- Si cerca di ridurre il numero di accettazione quando il processo è sotto
controllo.
- Sono state usate carte di controllo per attributi ma il processo è o fuori
controllo o sotto controllo ma la difettosità inaccettabile.
- Le specifiche del prodotto sono molto vincolate o la produzione è
particolarmente delicata.
- L’operatore deve decidere se modificare il processo o come valutare un certo
settaggio.
- Si richiede una modifica nelle specifiche del prodotto.
- Deve essere continuamente certificata la capacità del processo.
B. Carte per attributi (p, c, u). Tali carte dovrebbero essere usate per valutare gli
attributi di un prodotto nei seguenti casi:
- E’ richiesta una riduzione del numero di pezzi non funzionanti.
- Il prodotto è talmente complesso che l’unico strumento di verifica è il suo
attributo di funzionamento o di guasto.
- Non è possibile effettuare misure delle grandezze osservate.
- E’ richiesta la storia passata della produzione. Le carte per attributi sono
estremamente sintetiche e quindi particolarmente utili per effettuare
comparazioni tra processi a livello manageriale.
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C. Carte per misure singole. Queste carte vengono usate insieme alle carte con range
mobile e sono utili nei seguenti casi:
- Non è possibile disporre di più di un dato per campione o la replica
dell’esperimento non dipende dal laboratorio che la effettua.
- Sono disponibili strumenti di controllo automatici che effettuano il controllo
di tutte le unità.
- I dati sono disponibili solo con grande lentezza, al punto da rendere
impraticabile la realizzazione di un campione con più di una unità.
Azioni da intraprendere per migliorare il processo (4). L’applicazione delle carte di
controllo consente di avere informazioni su due aspetti salienti del processo: (1) il suo stato
di controllo, (2) la sua capacità. La figura sottostante da risposta ai due quesiti: “Il processo
è sotto controllo?” e “Il processo ha capacità sufficiente?”.
Il processo ha sufficiente capacità?
Sì
No
SPC
Sì
Il processo è sotto
controllo?
SPC
Piani sperimentali
Verifica delle specifiche del processo
Modifica del processo
SPC
No
SPC
Piani sperimentali
Verifica delle specifiche del processo
Modifica del processo
A seconda delle caselle la figura propone diversi tipi di interventi. La situazione ideale è
quella della tabella in alto a sinistra, in corrispondenza della quale va praticamente tutto
bene e i metodi di SPC sono richiesti solo per garantire il mantenimento di un certo standard
qualitativo. La casella in alto a destra invece evidenzia una situazione in cui, a fronte di uno
stato di controllo, si assiste alla produzione di molte unità difettose. La ragione è
probabilmente dovuta alla eccessiva variabilità del processo o alla scelta dei limiti di
specifica troppo stretti, per la cui revisione si potrebbe procedere con un’indagine
sperimentale e al limite con la sostituzione del processo con uno più moderno. La casella in
basso a destra evidenzia la situazione peggiore, per la quale i metodi do SPC sono quelli che
più velocemente dovrebbero fornire indicazioni della direzione in cui agire per migliorare la
qualità. Infine la situazione rappresentata dalla casella in basso a sinistra può corrispondere
al caso in cui la scelta dei limiti di specifica sono troppo ampi e i metodi di SPC dovrebbero
in tal caso aiutare la loro revisione. Questo a beneficio di una migliore immagine
dell’efficacia del processo di fronte alla clientela.
Strumenti per la raccolta dei dati per l’analisi di SPC (5). Negli ultimi anni si è assistito
a un considerevole aumento dell’offerta del software per SPC. Ad esempio la rivista Quality
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Progress riporta un elenco di software disponibili, suddivisi per categorie, e le
corrispondenti società produttrici. L’uso del computer è particolarmente importante in
questa attività per diverse ragioni:
Inizialmente l’applicazione dei metodi di SPC dovrebbe essere fatta
manualmente al fine di apprendere meglio gli strumenti, ma nel
seguito potrebbero diventare troppo lunghe le operazioni richieste per
effettuare i calcoli.
L’abitudine a memorizzare i dati in formato standard consente di
scambiare velocemente le informazioni tra i diversi settori
dell’azienda.
La presenza di un sistema informatico consente altresì di effettuare
controlli anche su più variabili in brevissimo tempo, aumentando
quindi la produttività dell’operatore.
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7
– Analisi di capacità del processo
Precedentemente è stato formalmente introdotto il concetto di capacità del processo, ovvero
come confrontare la variabilità naturale del processo con le specifiche del prodotto. Ora
affronteremo una discussione più ampia sull’argomento, compresi i diversi modi di studiare e
analizzare tale indicatore. Tra i vari strumenti, la carta di controllo costituisce la tecnica più
semplice ed efficace di analisi della capacità del processo; analizzeremo i rapporti di capacità
mostrando come interpretarli.
7.1 Introduzione
Le tecniche statistiche sono utili durante tutto il ciclo di produzione, a partire dalle attività di
sviluppo preliminari alla fabbricazione vera e propria, per continuare con l’analisi e la
valutazione della variabilità del processo, in relazione ai livelli nominali di specifica, fino
alle operazioni dedicate alla eliminazione o almeno alla riduzione di detta variabilità. Questa
attività generale è detta analisi di capacità del processo.
La capacità del processo viene in generale riferita alla uniformità di comportamento del
processo. Ovviamente la variabilità è una misura della uniformità della caratteristica del
prodotto in uscita. Ci sono due modi di interpretare questa variabilità:
1. la variabilità naturale o inerente a uno specifico istante, detta anche variabilità
istantanea;
2. la variabilità rispetto al tempo.
E’ consuetudine assumere l’intervallo di ampiezza 6-sigma della distribuzione della
caratteristica di qualità del prodotto come misura della capacità del processo. La figura
Immagine
Rappresenta un processo la cui caratteristica di qualità ha distribuzione normale, di media μ
e deviazione standard σ. I limiti di tolleranza naturale superiore e inferiore (UNTL e LNTL)
sono posti ai valori μ +3 σ e μ -3 σ. Cioè
Per la distribuzione normale, l’intervallo tra i limiti di tolleranza naturale corrisponde a una
probabilità del 99.73%, ovvero abbiamo una probabilità dello 0.27% di ottenere valori fuori
da detto intervallo. Ricordiamo i seguenti due punti:
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1. anche se una probabilità pari a 0.27% può sembrare piccola, essa corrisponde
comunque a 2700 unità non conformi ogni milione;
2. se la distribuzione della variabile in uscita del processo non è gaussiana la
percentuale di elementi fuori dai limiti
può anche risultare
considerevolmente diversa da 0.27%.
Definiamo analisi di capacità del processo la procedura di stima della capacità, che viene
effettuata con riferimento alla forma della distribuzione di probabilità, alla sua media e alla
sua deviazione standard. Ad esempio, nel caso di una distribuzione normale di media
e
, si potrebbe condurre l’analisi di capacità senza riferimento alle
specifiche di qualità del prodotto. In alternativa,è possibile esprimere la capacità del
processo come percentuale di elementi fuori specifica. Comunque, le specifiche non sono da
usare necessariamente per eseguire l’analisi.
Uno studio di capacità di un processo misura solitamente alcuni parametri funzionali del
processo, non il processo. Se un analista potesse misurare direttamente il processo e
controllare direttamente l’attività di rilevazione dei dati, allora lo studio sarebbe un vero
studio di capacità, perché potrebbe effettivamente realizzare una procedura inferenziale
indirizzata allo studio della stabilità del processo. Invece, avendo a disposizione solo le unità
campionarie, magari fornite dal fornitore, senza poter osservare direttamente il processo, né
possedere la conoscenza storica del processo di produzione, allora lo studio dovrebbe più
propriamente essere chiamato di caratterizzazione del prodotto. In uno studio di questo tipo,
infatti, viene analizzata la distribuzione della caratteristica di qualità (frazione di elementi
conformi), e non il comportamento dinamico del processo, eventualmente osservato nel solo
stato di controllo statistico.
L’analisi di capacità del processo è parte vitale di un programma complessivo di
miglioramento della qualità e prevede di utilizzare i dati principalmente allo scopo di:
1. prevedere come il processo rispetterà le tolleranze;
2. assistere i tecnici del servizio di ricerca e sviluppo nelle modifiche di processo;
3. stabilire l’intervallo di campionamento per le procedure di sorveglianza;
4. stabilire i requisiti di prestazione di nuove attrezzature;
5. selezionare i fornitori;
6. pianificare la produzione anche in presenza di interazione del processo sulle tolleranze;
7. ridurre la variabilità del processo.
Cosicché, l’analisi della capacità del processo ha applicazione in più parti del ciclo di vita di
un prodotto, inclusa la fase di progettazione, quella di scelta dei fornitori, di pianificazione
della produzione e quella dell’effettiva realizzazione del prodotto.
Per l’analisi della capacità del processo vengono impiegate principalmente tre tecniche:
istogrammi o carte di probabilità, carte di controllo e programmazione degli esperimenti.
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246
Analisi Statistica del Disco di Festo
Parte III
Altre tecniche statistiche di monitoraggio e controllo del processo
La seconda parte si è concentrata sui metodi di base dell’analisi statistica di capacità e controllo
del processo. Molte di queste tecniche, come le carte di controllo di Shewhart, sono state
utilizzate per ben oltre 50 anni. Ad ogni modo la crescente attenzione alla riduzione della
variabilità ha portato al miglioramento dei processi, insieme al successo dei metodi di base, e
ha portato allo sviluppo di molte nuove tecniche per il monitoraggio ed il controllo statistico
del processo. Questa parte contiene argomenti che definiscono alcune di queste tecniche.
8
- Carte di controllo CUSUM ed EWMA
Sommario
Le carte di controllo presentate precedentemente sono dette carte di Shewhart, dal momento
che fanno riferimento alla metodologia sviluppata da Walter A. Shewhart. Caratteristica
principale di dette carte è che fanno uso unicamente delle informazioni sul processo
contenute nell’ultimo istante di osservazione, ignorando tutte quelle precedenti. Ciò rende
la carta di Shewhart relativamente insensibile a piccole modifiche del livello del processo,
di ampiezza in genere non superiore a 1.5σ. Per tale motivo, viene allora suggerito di
corredare tali carte con ulteriori strumenti, quali il test delle sequenze o l’uso dei limiti di
preallarme, allo scopo di considerare, nella procedura decisionale, tutte le informazioni
disponibili. Tuttavia queste procedure, miranti a rendere più sensibile la carta, ne riducono
la semplicità d’uso e l’immediatezza interpretativa.
Due valide alternative alla carta di controllo di Shewhart, in presenza di limitati salti di
livello, sono: le carte CUSUM (CUmulative SUM) o “a somme cumulate” e la carta
EWMA (Exponentially Weighted Moving Average) ovvero “a medie mobili pesate
esponenzialmente”.
8.1 Le carte CUSUM
8.1.1
La procedura maschera a V
Una procedura da usare in alternativa alla CUSUM tabulare è lo schema di controllo
“maschera a V”. La maschera a V si applica ai valori successivi della statistica cumulata
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247
Analisi Statistica del Disco di Festo
dove è la generica osservazione standardizzata:
V è rappresentata in figura
. Una tipica maschera a
La procedura decisionale consiste nel posizionare la maschera a V nel punto O del grafico
dei valori cumulati, in corrispondenza dell’ultimo valore disponibile per , tenendo il
segmento OP parallelo all’asse orizzontale. Se i punti corrispondenti alle precedenti somme
cumulate
giacciono tutti all’interno dei due bracci della maschera a V, il
processo è da considerare in stato di controllo. Se invece almeno uno dei punti si presenta
fuori dalla maschera , allora il processo è da considerarsi fuori controllo. Nelle utilizzazioni
pratiche la maschera dovrebbe essere applicata ad ogni nuovo punto del grafico della
CUSUM e i bracci andrebbero tracciati all’indietro, in direzione dell’origine. Le prestazioni
della maschera a V dipendono dalla distanza d e dall’angolo θ.
……
Si suggerisce al tecnico della qualità di evitare l’uso della maschera a V, principalmente per
i seguenti svantaggi e problemi:
1. La maschera a V è uno schema di controllo bilaterale e quindi inutilizzabile nel caso
di problemi unilaterali.
2. Lo strumento dell’avvio accelerato, molto utile nelle applicazioni pratiche, non può
essere adottato con la maschera a V.
3. Risulta a volte difficoltoso determinare l’estensione da assegnare ai bracci della
maschera, aumentando così le difficoltà interpretative per i non esperti.
4. Forse il problema più grosso con la maschera a V è l’ambiguità associata ai valori α
e β.
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Parte IV
Progetto e miglioramento del processo
programmazione statistica degli esperimenti
produttivo
tramite
la
I miglioramenti della qualità e della produttività sono più efficaci quando sono parte integrante
del ciclo di sviluppo del prodotto e del processo produttivo. In particolare, l’introduzione
formale di una metodologia di programmazione degli esperimenti nei primi stadi del ciclo di
sviluppo è spesso la chiave del successo complessivo, laddove si tratta di progettazione di
nuovi prodotti, di miglioramento del progetto di prodotti esistenti, di ottimizzazione del
processo produttivo. Questo principio è stato verificato in molti differenti settori industriali, tra
cui quelli di: elettronica e semiconduttori, aerospaziale, apparecchiature mediche, alimentari e
farmaceutici, chimica e nelle industrie di processo. L’uso efficace di una solida metodologia di
programmazione statistica degli esperimenti può portare a prodotti che siano più facili da
realizzare , hanno una migliore affidabilità e hanno migliori prestazioni sul campo. La
programmazione degli esperimenti può anche migliorare molto le attività di sviluppo del
processo di messa a punto e tutto questo costituisce il nocciolo di questa parte.
In tutta la parte IV viene usata l’analisi della varianza come base per analizzare i dati
provenienti da esperimenti programmati. Sarebbe possibile introdurre la programmazione degli
esprimenti senza fare ricorso a tale metodo, ma si pensa che sia un errore, soprattutto perché gli
utenti incontrerebbero comunque l’analisi della varianza in ogni software utilizzato.
9
– I principi di base della programmazione degli esperimenti
Sommario
Lo scopo di questo capitolo è di introdurre il lettore alla terminologia della
programmazione degli esperimenti, di presentare alcune brevi illustrazioni dei tipi di
problemi in cui la programmazione degli esperimenti è utile, di discutere i principali metodi
statistici usati. Un obiettivo importante è di sviluppare una comprensione dell’analisi della
varianza, tecnica che viene usata per l’analisi della maggior parte degli esperimenti
programmati. Altri argomenti chiave comprendono: il ruolo del modello sottostante
l’esperimento, i residui e il loro uso nella verifica delle ipotesi, il principio del bloccaggio,
che è utile negli esperimenti in cui sono coinvolte variabili di disturbo.
9.1 Che cos’è la programmazione degli esperimenti?
Un esperimento programmato è una prova, o serie di prove, in cui vengono fatte variare
deliberatamente le variabili di ingresso di un processo, in modo da poter osservare e
identificare le corrispondenti variazioni della risposta in uscita. I processo come illustrato
nella figura,
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249
Analisi Statistica del Disco di Festo
può essere visualizzato come un complesso di macchine, metodi e persone che trasformano
il materiale in ingrasso nel prodotto in uscita. Questo prodotto in uscita ha una o più
caratteristiche di qualità o risposte osservabili. Alcune delle variabili di processo, siano x1,
x2,…, xp, sono controllabili, mentre altre, siano z1, z2,…, zq, sono incontrollabili (anche se
queste ultime potrebbero essere controllabili nel corso dell’esperimento). A volte questi
fattori incontrollabili sono detti fattori di rumore. Gli obiettivi dell’esperimento possono
comprendere:
1. la determinazione di quali variabili hanno più influenza sulla risposta y;
2. la determinazione di come aggiustare le x più influenti in modo che la risposta y sia
vicina alla richiesta della specifica;
3. la determinazione di come aggiustare le x influenti in modo che la variabilità di y sia
piccola;
4. la determinazione di come aggiustare le x influenti in modo che l’effetto delle
variabili non controllabili z sia minimizzato.
I metodi della programmazione degli esperimenti possono dunque essere usati sia nello
sviluppo sia nella messa a punto del processo per migliorare le prestazioni o per ottenere un
processo robusto ovvero insensibile alle sorgenti esterne di variabilità.
I metodi di controllo statistico del processo e la programmazione degli esperimenti, due
strumenti potenti per il miglioramento e l’ottimizzazione del processo , sono strettamente
collegati. Per esempio, se un processo è sotto controllo statistico, ma ha ancora una bassa
capacità, sarà necessario ridurre la variabilità per migliorare il processo. Esperimenti
programmati possono fornire un modo di ottenere il risultato più efficiente del semplice
controllo statistico del processo SPC. In sostanza, l’SPC è un metodo statistico passivo:
osserviamo il processo in attesa di certe informazioni che potranno condurre a cambiamenti
utili. Tuttavia, se il processo è sotto controllo, l’osservazione passiva non può produrre
molta informazione utile. Viceversa, la programmazione degli esperimenti è un metodo
statistico attivo: si faranno in effetti una serie di prove sul processo, effettuando
cambiamenti negli ingressi e osservando i corrispondenti cambiamenti nelle uscite, cosa che
produce informazione che può condurre a un miglioramento del processo.
I metodi di programmazione degli esperimenti possono anche essere molto utili nella messa
sotto controllo statistico del processo. Ad esempio, si supponga che una carta di controllo
indichi che il processo è fuori controllo, e che il processo abbia molte variabili di ingresso
controllabili. Può essere difficile ricondurre il processo sotto controllo a meno che non
conosciamo quali variabili di ingresso hanno importanza. I metodi di programmazione degli
esperimenti possono essere usati per identificare queste variabili di ingresso influenti.
La programmazione degli esperimenti è per l’ingegnere uno strumento di importanza critica
per il miglioramento di un processo produttivo. Ha anche estese applicazioni nello sviluppo
di nuovi processi. L’applicazione tempestiva di queste tecniche nello sviluppo di processi
può condurre a:
1. un aumento del volume prodotto;
2. una riduzione della variabilità e un più preciso rispetto delle specifiche;
3. una riduzione dei tempi di sviluppo;
4. una riduzione dei costi complessivi.
I metodi di programmazione degli esperimenti possono anche giocare un ruolo importante
nelle attività di progetto, quando si sviluppano nuovi prodotti o si migliorano quelli esistenti.
Alcune applicazioni della programmazione statistica degli esperimenti comprendono:
1. la valutazione e il confronto di fondamentali configurazioni di progetto;
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250
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2. la valutazione di alternative sui materiali;
3. la determinazione dei parametri di progetto chiave in quanto a influenza sulle
prestazioni.
L’uso della programmazione degli esperimenti in queste aree può condurre a un
miglioramento della fabbricabilità del prodotto, migliorate prestazioni operative e
affidabilità, minori costi di produzione e tempi di sviluppo del prodotto più corti.
9.2 Esempi di esperimenti programmati nel miglioramento della qualità e del
processo
Vengono ora presentati vari esempi che illustrano l’applicazione di esperimenti programmati
al miglioramento del processo e del prodotto.
Esempio 1 - Caratterizzazione di un processo
Un ingegnere di produzione ha applicato il controllo statistico di processo al prodotto di
saldatura di componenti elettronici a una scheda di circuito stampato. Tramite l’uso delle
carte u e dell’analisi di Pareto, ha ha realizzato il controllo statistico del processo di
saldatura onda e ha ridotto il numero medio di saldature difettose per piastra a circa l’1%.
Malgrado ciò, dato che la scheda tipica contiene più di 2000 giunti di saldatura, anche l’1%
di difetti comporta che troppe saldature richiedono una rilavorazione. L’ingegnere vorrebbe
ridurre il livello di difettosità ancora di più; d’altra parte, dato che il processo è in stato di
controllo statistico, non è ovvio quali regolazioni della macchina sarebbero necessarie.
La macchina per la saldatura a onde ha diverse variabili che possono essere controllate. Tra
queste vi sono:
1. la temperatura di saldatura;
2. la temperatura di pre-riscaldamento;
3. la velocità di efflusso del fondente;
4. il tipo di fondente;
5. la densità relativa del fondente;
6. la profondità dell’onda di fondente;
7. l’angolo di efflusso.
In aggiunta a questi fattori controllabili, molti altri possono essere facilmente controllati
durante la fabbricazione ordinaria, benché non possano essere controllati nel corso di una
prova. Essi sono:
1. lo spessore della scheda di circuito stampato;
2. il tipo di componenti montati sulla scheda;
3. la disposizione dei componenti sulla scheda;
4. l’operatore;
5. la produttività.
In questa situazione l’ingegnere è interessato alla caratterizzazione della saldatrice a onda,
cioè vuole determinare quali fattori causano l’insorgere di difetti nelle schede di circuito
stampato. Per raggiungere questo scopo, egli potrà programmare un esperimento che lo
metta in grado di determinare la grandezza e la direzione dell’effetto dei fattori. Cioè:
quanto cambia la variabile di risposta (il numero di difetti per unità) quando uno dei fattori è
modificato, e il cambiamento congiunto dei fattori produce effetti diversi da quelli ottenuti
con l’aggiustamenti dei fattori singoli? A volte questo tipo di esperimento è detto
esperimento di selezione.
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Esempio 2 – Ottimizzazione di un processo
In un esperimento di caratterizzazione siamo di solito interessati a determinare quali
variabili del processo influenzano la risposta. Il successivo passo logico è l’ottimizzazione,
cioè la determinazione della regione di valore dei fattori importanti che conduce alla
migliore risposta possibile. Se, ad esempio, la risposta è la resa, cercheremo una regione di
massima resa, mentre se la risposta è la variabilità di una dimensione critica del prodotto,
allora cercheremo una regione di minima variabilità.
Esempio 3 – Un esempio di progetto di prodotto
È spesso possibile applicare esperimenti programmati per la progettazione di un prodotto.
Per illustrazione, supponiamo che un gruppo di ingegneri stia progettando una cerniera per
una portiera d’automobile. La caratteristica di qualità interessante è la forza di tenuta, cioè la
capacità di tenuta del dispositivo di arresto della portiera che impedisce alla portiera aperta
di richiudersi quando l’auto è parcheggiata in salita. Il meccanismo di tenuta è costituito da
una molla e da un rullo. Quando la portiera viene aperta, il rullo si muove lungo un arco
causando la compressione della molla a balestra. Quando la portiera viene chiusa, la molla
viene forzata lateralmente, creando la forza di tenuta. Il gruppo di ingegneri ritiene che la
forza di tenuta sia una funzione dei seguenti fattori:
1) la corsa del rullo;
2) l’altezza della molla tra base e perno;
3) la distanza orizzontale tra perno e molla;
4) l’altezza a riposo della molla di rinforzo;
5) l’altezza a riposo della molla principale.
Gli ingegneri costruiscono un prototipo di meccanismo di cerniera in cui tutti questi
fattori possono essere modificati in certi intervalli. Una volta che gli appropriati livelli
di questi fattori sono stati determinati, può essere programmato un esperimento
consistente in varie combinazioni dei livelli dei fattori, e il prototipo di cerniera può
essere provato sotto queste combinazioni. Questo produrrà informazioni su quali fattori
sono più influenti sulla forza di tenuta, e il progetto potrà essere migliorato tramite tali
informazioni.
9.3 Criteri per la programmazione degli esperimenti
Gli esperimenti programmati costituiscono un approccio potente al miglioramento del
processo. Per poter usare questo approccio è necessario che tutti coloro che sono coinvolti
nell’esperimento abbiano preliminarmente una chiara idea del suo obiettivo, un’idea esatta
dei fattori che saranno studiati, di come l’esperimento deve essere eseguito, e una
comprensione almeno qualitativa di come i dati saranno analizzati. Segue una traccia della
procedura:
1.
2.
3.
4.
Riconoscimento ed enunciazione del problema.
Scelta dei fattori e dei loro livelli.
Selezione della variabile di risposta.
Scelta del piano sperimentale.
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5. Esecuzione dell’esperimento.
6. Analisi dei dati.
7. Conclusioni e raccomandazioni.
Nel corso dell’intero processo è importante tenere a mente che la sperimentazione è una
parte importante del processo di conoscenza, nella quale formuliamo ipotesi di lavoro
riguardo al sistema, eseguiamo esperimenti per investigare queste ipotesi, sulla base dei
risultati formuliamo nuove ipotesi, e così via. Questo suggerisce che la sperimentazione è
iterativa. Normalmente è un grave errore programmare all’inizio dello studio un unico
grande ed esaustivo esperimento. Un esperimento di successo richiede la conoscenza di
quali sono i fattori importanti, dell’intervallo in cui tali fattori dovrebbero essere fatti
variare, dell’appropriato numero di livelli da usare, e delle appropriate unità di misura per
queste variabili. In generale non conosciamo la risposta a queste domande, ma impariamo
qualche cosa su di esse nel corso del cammino. Man mano che un programma di esperimenti
procede, spesso lasciamo cadere alcune variabili, ne aggiungiamo altre, cambiamo la regione
di esplorazione di alcuni fattori, aggiungiamo nuove variabili di risposta. In conclusione, di
solito sperimentiamo in modo sequenziale e, come regola generale, non più del 25% delle
risorse disponibili dovrebbe essere investito nel primo esperimento. Ciò assicurerà che
saranno disponibili sufficienti risorse per raggiungere l’obiettivo finale dell’esperimento.
9.4 Esperimenti fattoriali
I piani fattoriali dovrebbero essere usati ogni volta che in un esperimento ci sono molti
fattori da studiare. In questo tipo di piano, i fattori sono fatti variare insieme. Precisamente,
con l’espressione “esperimento fattoriale” intendiamo che in ogni insieme completo di prove
o in ogni sua replicazione vengono studiate tutte le possibili combinazioni di livelli dei
fattori. Cioè, se ci sono due fattori A e B con a livelli per il fattore A e b livelli per il fattore
B, allora ogni replicazione contiene tutte le ab possibili combinazioni.
Si definisce effetto del fattore la variazione nella risposta prodotta dal cambiamento di
livello del fattore. Questo si chiama effetto principale perché si riferisce ai fattori principali
dello studio. Si considerino ad esempio i dati della figura.
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In questo piano fattoriale entrambi i fattori A e B hanno due livelli, indicati rispettivamente
“ ” e “+” e chiamati rispettivamente “basso” e “alto”. L’effetto principale del fattore A è la
differenza fra la risposta media al livello alto di A e la risposta media al livello basso di A,
ovvero
In altre parole, il passaggio del fattore A dal livello basso (
al livello alto (
causa in
media un aumento della risposta di 20 unità. Analogamente, l’effetto principale di B è:
In alcuni esperimenti la differenza di risposta fra i livelli di un fattore non è la stessa a tutti i
livelli degli altri fattori. Quando questo avviene c’è un’interazione tra i fattori. Ad esempio,
consideriamo i dati della figura.
Al livello basso del fattore B l’effetto di A è
mentre al livello alto del fattore B l’effetto è
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Dato che l’effetto di A dipende dal livello scelto per il fattore B, c’è interazione fra A e B.
Quando l’interazione è grande, i corrispondenti effetti principali sono poco significativi. Ad
esempio, se usiamo i dati della figura sopra, troviamo che l’effetto principale di A vale
e potremmo essere tentati di concludere che non c’è effetto di A. D’altra parte, se
esaminiamo l’effetto principale di A a livelli diversi del fattore B, vediamo che le cose non
stanno così, perché l’effetto del fattore A dipende dai livelli del fattore B. Dunque la
conoscenza dell’interazione AB è più utile della conoscenza dell’effetto principale. Una
interazione significativa può mascherare la significatività degli effetti principali.
Il concetto di interazione può essere illustrato graficamente.
La figura contiene una rappresentazione dei dati della figura 12.5 in funzione dei livelli di A
per entrambi i livelli di B. Si osservi che le due rette
e
sono approssimativamente
parallele, cosa che indica che i fattori A e B non interagiscono.
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La figura rappresenta i dati della figura 12.6. In questo grafico le linee
e
non sono
parallele, cosa che indica una interazione fra i fattori A e B. Questi tipi di grafico è spesso
utile nella rappresentazione dei risultati degli esperimenti.
12.5 Piani fattoriali 2k
Certi tipi particolari di piani fattoriali sono molto utili nello sviluppo e miglioramento del
processo. Uno di questi è il piano fattoriale con k fattori, ciascuno dei quali ha due livelli.
Dato che ogni replicazione completa del piano ha
prove, tale disposizione si chiama
piano fattoriale . Questi piani hanno un’analisi molto semplificata e costituiscono anche la
base per molti altri utili piani.
12.5.1 Il piano 22
Il più semplice piano
è il piano , cioè con due fattori A e B, ciascuno con due livelli. Di
solito pensiamo a questi due livelli come al livello “basso”, o “ ”, e “alto”, o “+”. Il piano
è illustrato in figura e può essere rappresentato geometricamente come un quadrato con le
prove a formare i vertici del quadrato.
Per rappresentare le prove si usa una notazione speciale. In generale, una prova è
rappresentata da una serie di lettere minuscole: se una lettera è presente, allora il
corrispondente fattore è fissato al valore alto; se è assente, il fattore è tenuto al livello basso.
Ad esempio, la prova a indica che il fattore A è tenuto a livello alto, mentre il fattore B è a
livello basso. La prova con entrambi i valori a livello basso è indicata con (1). Questa
notazione è usata per tutta la serie di piani . Ad esempio, la prova in un
in cui i fattori
A e C sono a livello alto e B e D a livello basso si indica con ac.
Gli effetti che interessano in un piano
sono i due effetti principali A e B e l’interazione fra
i due fattori AB. Indichiamo con i simboli (1), a, b, ab i totali di tutte le n osservazioni in
questi punti del piano. E’ facile stimare gli effetti di questi fattori. Per stimare l’effeto
principale di A, dovremo prendere la media delle osservazioni sul lato destro del quadrato,
dove A è a livello alto, e sottrarre da questa la media delle osservazioni sul lato sinistro del
quadrato, dove A è a livello basso, cioè:
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Analogamente , l’effetto principale di B si determina facendo la media delle osservazioni
sulla parte superiore del quadrato, dove B è al livello alto, e sottraendo la media delle
osservazioni sulla parte inferiore del quadrato, dove B è al livello basso:
Infine, l’interazione AB si stima prendendo la differenza delle medie sulle diagonali nella
figura 12.17, ovvero:
Le quantità in parentesi quadre nelle equazioni sopra scritte sono dette contrasti. Ad
esempio, il contrasto A è
In queste equazioni i coefficienti dei contrasti sono sempre +1 o
Per determinare i segni
in ogni prova di un particolare contrasto si può usare una tabella di segni, del tipo di quella
nella tabella
Effetti fattoriali
prova
I
1
(1)
+
2
a
+
3
b
+
4
ab
+
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A
B
AB
+
+
+
+
+
+
257
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Le intestazioni delle colonne sono gli effetti principali di A e di B, l’effetto dell’interazione
AB e I, che rappresenta il totale. Le intestazioni delle righe sono le prove. Si osservi che i
segni della colonna AB sono i prodotti dei segni delle colonne A e B. Per generare i contrasti
a partire da questa tabella, si moltiplicano i segni della colonna appropriata nella tabella per
le prove elencate nelle righe e si sommi.
Usiamo il seguente risultato per ottenere la somma dei quadrati per A, B, e AB.
Ne segue che le somme dei quadrati per A, B, e AB sono:
L’analisi della varianza è completata calcolando la somma dei quadrati SSTotale (con 4n-1
gradi di libertà) nel modo solito e ricavando la somma dei quadrati dell’errore SSErrore (con
4(n-1) gradi di libertà) per sottrazione.
Esempio: L’esperimento sulla fresatrice
Una fresatrice verticale viene utilizzata per tagliare tacche di registrazione su basette di
circuito stampato. La media delle dimensioni della tacca è soddisfacente e il processo è
sottocontrollo statistico (dalle carte di controllo e R) ma c’è troppa variabilità nel
processo. Questo eccesso di variabilità produce dei problemi nell’assemblaggio della
basetta. I componenti vi sono inseriti usando l’apparecchiatura automatica, e la variabilità
nella dimensione della tacca produce uno scorretto posizionamento della basetta. Come
conseguenza, il dispositivo di inserimento automatico non funziona correttamente.
Dato che il processo è in stato di controllo statistico, il gruppo di miglioramento della qualità
assegnato a questo progetto decide di usare un esperimento programmato per studiare il
processo. Il gruppo prende in considerazione due fattori: la dimensione della punta da taglio
(A) e la velocità (B). Per ciascuno dei due fattori vengono scelti due livelli, la dimensione
della punta A a 1/16" e 1/8", e la velocità B a 40 e 80 giri al minuto (rpm). Viene riproposto
un piano
. Dato che la variazione nella dimensione della tacca risultava difficile da
misurare direttamente, il gruppo decise di misurarla indirettamente. Vennero attrezzate
sedici basette con accelerometri che permettessero la misurazione delle vibrazioni negli assi
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coordinati (X, Y, Z). Il vettore risultante di queste tre misurazioni viene utilizzato come
variabile di risposta. Dato che la vibrazione della superficie della basetta durante il taglio è
direttamente legata alla variabilità della dimensione della tacca, una riduzione del livello di
vibrazione riduce anche la variabilità nelle dimensioni della tacca.
Furono testate quattro piastre per ciascuna delle quattro prove dell’esperimento, e i dati
risultanti sono illustrati nella tabella
Fattori
prova
A
1
(1)
2
a
3
b
4
ab
B
Totale
18.2
27.2
15.9
41.0
64.4
18.9
24.0
14.5
43.9
96.1
+
12.9
22.4
15.1
36.3
59.7
+
14.4
22.5
14.2
39.9
161.7
+
+
Vibrazioni
Usando le equazioni possiamo stimare gli effetti dei fattori nel modo seguente:
Tutti i valori numerici delle stime degli effetti appaiono grandi. Ad esempio, facciamo
passare il fattore A dal valore basso a quello alto, (dimensione della punta da
livello medio di vibrazione aumenta di 16.64 cps.
e
), il
La grandezza di questi effetti può essere confermata dall’analisi della varianza che è
riassunta nella tabella.
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Sorgente
variazione
di
Somma
quadrati
dei
Gradi di libertà
Media
quadrati
dei
F0
P
A
1107.226
1
1107.226
185.25
1.17 x
Velocità
227.256
1
227.256
38.03
4.82 x
AB
303.631
1
303.631
50.80
1.20 x
Errore
71.723
12
5.977
Totale
1709.836
15
L’analisi della varianza conferma le nostre conclusioni, ottenute inizialmente dalla
osservazione della grandezza e della direzione degli effetti dei fattori: sia la dimensione
della punta da taglio sia la velocità sono importanti ed è presente una interazione fra le due
variabili.
Modello di regressione e analisi dei residui
E’ facile ottenere i residui da un piano
adattando un modello di regressione ai dati. Per
l’esperimento della fresatrice il modello di regressione è
dove i fattori A e B sono rappresentati dalle variabili codificate e
e l’interazione AB è
rappresentata dal termine di prodotto incrociato
del modello. Ai livelli basso e alto di
ciascun fattore sono assegnati i valori
e
rispettivamente. I coefficienti
e
sono detti coefficienti di regressione ed è un termine di errore casuale,
analogo al termine di errore nel modello di analisi della varianza. Il modello di regressione
adattato è
dove la stima della intercetta
è la media generale di tutte le 16 osservazioni
e la stima
degli altri coefficienti di regressione
è la metà della stima dell’effetto del corrispondente
fattore. Ogni stima di coefficiente di regressione è metà della stima dell’effetto perché il
coefficiente di regressione misura l’effetto di una variazione unitaria di sulla media delle
y e la stima dell’effetto è basata su una variazione su due unità (da
a +1).
Questo modello può essere utilizzato per ottenere i valori stimati del livello di vibrazione in
ogni punto della regione di sperimentazione, inclusi i quattro punti del piano. Ad esempio, si
consideri il punto con piccola dimensione della punta (
e con bassa velocità
(
. Il livello stimato di vibrazione è
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Analisi Statistica del Disco di Festo
I quattro residui che corrispondono alle osservazioni in questo punto del piano si trovano
prendendo le differenze fra le osservazioni effettive ottenute e il valore previsto, nel modo
seguente:
I residui negli altri tre punti del piano dovranno essere calcolati in modo analogo.
Procedura di analisi per gli esperimenti fattoriali
La tabella riassume la successione dei passi che sono usualmente eseguiti nell’analisi degli
esperimenti fattoriali.
1. Stimare gli effetti dei fattori
2. Costruire il modello iniziale
3. Testare la significatività degli effetti
dei fattori
4. Analizzare i residui
5. Migliorare il modello
6. Interpretare i risultati
Il modello preliminare che abbiamo usato nell’analisi è il modello fattoriale a due fattori con
interazione. In generale, in ogni esperimento fattoriale con replicazioni, useremo quasi
sempre il modello fattoriale completo come modello iniziale.
12.5.2 Il piano 2k con
I metodi che abbiamo presentato nel precedente paragrafo per i piani fattoriali con
fattori possono essere facilmente estesi al caso di più di due fattori. Ad esempio,
consideriamo
fattori, ciascuno a due livelli. Questo piano è un piano fattoriale
e
presenta otto combinazioni di livelli dei fattori. Geometricamente, si tratta di un cubo, con le
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A
B
C
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
otto prove a costituire i vertici del cubo. Questo piano permette di stimare tre effetti
principali (A, B, e C) unitamente a tre interazioni fra due fattori (AB, AC e BC) e a una
interazione fra i tre fattori (ABC). Dunque il modello fattoriale completo potrebbe essere
scritto simbolicamente come
dove
è una media generale, un termine di errore casuale supposto distribuito come
indipendenti, e le lettere maiuscole rappresentano gli effetti principali e le
interazioni.
Gli effetti principali possono essere stimati facilmente. Ricordiamo che le lettere minuscole
(1), a, b, ab, c, ac, bc, e abc rappresentano il totale di tutte le n replicazioni per ciascuna
delle otto prove del piano. Riferendoci al cubo, dovremo stimare l’effetto principale di A
facendo la media delle quattro prove sulla faccia destra del cubo dove A è al livello alto, e
sottraendo da questa quantità la media delle quattro prove sulla fascia sinistra del cubo, dove
A è al livello basso, ottenendo:
In modo analogo, l’effetto di B è la differenza fra la media delle quattro prove sulla faccia
posteriore del cubo meno quella delle quattro di fronte, ovvero
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e l’effetto di C è la differenza fra la media delle quattro prove sulla faccia in alto del cubo
meno quella delle quattro in basso, ovvero
Consideriamo ora l’interazione fra i due fattori AB. Quando C è al livello basso, ABè proprio
la differenza nell’effetto di A ai due livelli di B, ovvero
analogamente, quando C è al livello alto, l’interazione AB è
L’interazione AB è proprio la media di queste due componenti, ovvero
Si noti che l’interazione AB è semplicemente la differenza delle medie su due piani diagonali
nel cubo. Usando un approccio analogo troviamo che le stime degli effetti delle interazioni
AC e BC sono le seguenti:
L’effetto dell’interazione ABC è la differenza delle medie delle interazioni AB ai due livelli
di C. Dunque
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Ovvero
Le quantità in parentesi quadra sono i contrasti nelle otto combinazioni di livelli di fattori.
Questi contrasti possono essere ricavati dalla tabella di segni più e meno.
Combinazioni
di trattamenti
Effetti fattoriali
I
A
B
AB
C
AC
BC
ABC
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
I segni per gli effetti principali (colonne A, B e C) si ottengono associando un più al livello
alto e un meno al livello basso. Una volta che sono stati ottenuti i segni per gli effetti
principali, quelli per le altre colonne di determinano moltiplicando le colonne precedenti
appropriate, riga per riga. Ad esempio, i segni della colonna AB si ottengono moltiplicando i
segni delle colonne A e B.
La tabella ha molte proprietà interessanti.
1. Eccetto che per la colonna identità I, ogni colonna ha egual numero di segni più e
meno.
2. La somma dei prodotti dei segni di ogni coppia di colonne è zero; cioè le colonne
sono ortogonali.
3. Moltiplicando ogni colonna per la colonna I la si lascia invariata; cioè I è l’elemento
identità.
4. Il prodotto di ogni coppia di colonne produce una colonna della tabella; ad esempio,
A x B = AB e AB x ABC = A2B2C = C, dato che ogni colonna moltiplicata per se
stessa è la colonna identità.
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La stima di ogni effetto principale o interazione si determina moltiplicando la combinazione
di livelli di fattori della prima colonna della tabella per i segni nella colonna del
corrispondente effetto principale o interazione, addizionando il risultato per produrre un
contrasto e poi dividendo il contrasto per metà del numero totale di prove nell’esperimento.
In termini matematici
La somma dei quadrati di ogni effetto è
12.5.3 Il piano 2k senza replicazioni
Quando il numero dei fattori in un esperimento fattoriale aumenta, cresce anche il numero
degli effetti che possono essere stimati. Ad esempio, un esperimento
ha 4 effetti
principali, 6 interazioni fra due fattori, 4 interazioni fra tre fattori e 1 interazione fra quattro
fattori; invece un esperimento
ha 6 effetti semplici, 15 interazioni fra due fattori, 20
interazioni fra tre fattori, 15 interazioni fra quattro fattori, 6 interazioni fra cinque fattori e 1
interazione fra sei fattori. In molte applicazioni si applica il principio di economia sparsity
degli effetti: cioè di solito il sistema è controllato dagli effetti principali e dalle interazioni di
ordine basso. Le interazioni fra tre o più fattori sono, in generale trascurabili. Dunque,
quando il numero dei fattori è abbastanza grande, poniamo
, è pratica comune di
eseguire il piano
solo una volta (senza cioè replicazioni) e poi raggruppare o combinare
le stime delle interazioni di ordine alto come stima dell’errore.
12.5.4 Aggiunta di punti centrali al piano 2k
Un potenziale problema nell’uso dei piani fattoriali a due livelli è l’ipotesi di non linearità
negli effetti dei fattori. Naturalmente, una linearità perfetta non è necessaria, e i piani
funzioneranno piuttosto bene quando l’ipotesi di linearità è verificata solo
approssimativamente. Infatti, abbiamo già osservato che quando un termine di interazione
viene aggiunto a un modello di soli effetti principali, viene introdotta una curvatura nella
superficie di risposta. Dato che il piano
supporta un modello con effetti principali e
interazioni, una certa protezione contro la curvatura è inclusa comunque nel piano. In alcuni
sistemi o processi necessario includere effetti del secondo ordine al fine di ottenere un
modello adeguato. Consideriamo il caso
fattori. Un modello che include effetti del
secondo ordine è
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dove i coefficienti
e
misurano gli effetti quadratici puri. L’equazione costituisce un
modello di superficie di risposta del secondo ordine. Questo modello non può essere adattato
usando un piano sperimentale , perché per adattare un modello quadratico è necessario
che tutti i fattori compaiano nelle prove con almeno tre livelli. E’ importante, d’altra parte,
determinare se i termini quadratici puri dell’equazione sono necessari.
Esiste un metodo, basato sull’aggiunta di un piano al piano fattoriale , che può fornire
qualche protezione contro gli effetti quadratici puri, nel senso che è possibile eseguire un
test per determinare se gli effetti quadratici sono necessari. Inoltre, se questo punto viene
replicato, si può ottenere una stima indipendente dell’errore sperimentale. Il metodo consiste
dunque nell’aggiungere punti centrali al piano
. I punti centrali sono costituiti da nC
replicazioni nel punto
. Una ragione importante per aggiungere questi
punti al centro è che non interferiscono con le usuali stime degli effetti del piano
.
Supponiamo che i k fattori siano quantitativi, altrimenti il livello “di mezzo” o centrale non
può esistere.
Per illustrare questo approccio, consideriamo il piano
con una osservazione in ciascuno
dei punti fattoriali (
), (
), (
)e(
), e con nC replicazioni del punto centrale (0,
0). La figura illustra la situazione.
Sia
la media delle quattro prove nei punti fattoriali e sia
la media delle nC osservazioni
nel punto centrale. Se la differenza
è piccola, allora il punto centrale giace sopra o
vicino al piano passante attraverso i piani fattoriali e non c’è curvatura. Se, viceversa,
è grande, allora siamo in presenza di curvatura. Una somma di quadrati con un
grado di libertà per la curvatura quadratica pura è data da
Dove, in generale,
è il numero di punti nel piano fattoriale. Questa quantità può essere
confrontata con la media dei quadrati dell’errore per eseguire un test sulla curvatura. Più
esattamente, quando si aggiungono punti al centro del piano
, allora il modello che
possiamo trarre è
dove le
sono gli effetti quadratici puri. Il test per la curvatura in effetti verifica le ipotesi
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Inoltre, se i punti del piano fattoriale non sono replicati, è possibile utilizzare gli nC punti
centrali per costruire una stima dell’errore con nC – gradi di libertà.
12.5.5 Blocchi e confondimento nei piani 2k
E’ spesso impossibile eseguire tutte le prove di un piano fattoriale
in condizioni costanti
e omogenee. Ad esempio, potrebbe non essere fattibile eseguire tutte le prove in un unico
turno di lavoro, o usando materiale prodotto nelle stesse condizioni, Quando sorge questo
problema, il bloccaggio costituisce una eccellente tecnica per l’eliminazione delle variazioni
indesiderate, che potrebbero essere causate dalle condizioni non omogenee. Se il piano
contiene replicazioni e se i blocchi sono sufficientemente grandi, allora un metodo consiste
nell’eseguire ogni replicazione in un blocco (questo quando un blocco è un insieme di
condizioni omogenee). Ad esempio, si consideri un piano
che deve essere replicato due
volte. Supponiamo che sia necessaria circa un’ora per completare una delle prove. Allora
eseguendo le otto prove di ogni replicazione una in un giorno e l’altra in un altro si può
eliminare ogni effetto temporale, cioè l’effetto del modo differente in cui il processo
funziona nei due giorni. Dunque i due giorni diventano i due blocchi del piano sperimentale.
La differenza media fra le risposte nei due giorni è l’effetto del blocco.
A volte è impossibile eseguire una replicazione completa del piano fattoriale sotto
condizioni sperimentali omogenee. Si chiama confondi mento (confounding) una tecnica di
pianificazione sperimentale per eseguire esperimenti fattoriali in blocchi, quando la
dimensione del blocco è inferiore alla numerosità di una replicazione completa del piano
fattoriale. La tecnica fa si che alcune interazioni siano indistinguibili o confuse con i blocchi.
Illustreremo il confondi mento nel caso di piani fattoriali
in
blocchi, con
Si consideri un piano . Supponiamo che ognuna delle = 4 prove richieda 4h di analisi di
laboratorio, dunque che siano necessari due giorni per completare l’esperimento. Se i giorni
sono considerati blocchi, dobbiamo assegnare due prove a ogni giorno.
Consideriamo il piano illustrato in figura.
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Si noti che il blocco1 contiene le prove (1) e ab e che il blocco 2 contiene le prove a e b. I
contrasti per stimare gli effetti di A e di B sono
Si osservi che questi contrasti non sono influenzati dal bloccaggio, dato che in ciascun
contrasto compaiono una prova con segno positivo e una prova con segno negativo da
ciascun blocco. In altre parole, ogni differenza fra il blocco 1 e il blocco 2 si annulla
algebricamente. Il contrasto per l’interazione AB è
Dato che le due prove con il segno positivo, ab e (1), sono nel blocco 1, mentre le due con il
segno negativo, a e b, sono nel blocco 2, gli effetti del blocco e dell’interazione AB sono
identici, cioè AB è confusa con i blocchi.
La ragione per cui questo si verifica è chiara dalla tabella dei segni per il piano
vista in
precedenza. Da questa tabella vediamo che tutte le prove che hanno segno positivo sono
assegnate al blocco 1, mentre tutte quelle che hanno segno negativo sono assegnate al blocco
2.
Questo schema può essere utile per confondere ogni piano
in due blocchi. Come ulteriore
esempio, consideriamo un piano
, eseguito in due blocchi. Supponiamo di voler
confondere l’interazione fra i tre fattori ABC con i blocchi. Dalla tabella dei segni, illustrata
precedentemente, assegniamo le prove con un meno su ABC al blocco 1 e quelle con più su
ABC al blocco 2. Il piano che ne risulta è illustrato in figura.
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Parte V
Controllo campionario
Il controllo o l’ispezione delle materie prime, dei prodotti semilavorati o finiti è uno degli
aspetti dell’assicurazione della qualità. Quando l’ispezione o il controllo ha come scopo di
accettare o rifiutare il prodotto in base alla corrispondenza agli standard richiesti, il genere di
procedura d’ispezione impiegato è comunemente indicato come campionamento in
accettazione. Questa parte della relazione è costituita da due capitoli che hanno come
argomento la definizione e l’impiego dei piani di campionamento, i vari schemi possibili e i
sistemi disponibili. L’attenzione è focalizzata principalmente sui piani di campionamento lotto
per lotto.
Il concetto che soggiace all’impiego e alla progettazione dei piani di campionamento in
accettazione è che essi non si sostituiscono al controllo del processo di produzione. Infatti,
riteniamo che un uso adeguato delle tecniche di controllo di processo allo stadio iniziale del
processo di produzione, comprendenti l’implementazione di opportuni controlli statistici anche
a livello dei fornitori, possa ridurre drasticamente, e talvolta eliminare, l’esigenza di ispezioni
campionarie molto costose.
10 – Piani di campionamento per attributi lotto per lotto
Sommario
Questo capitolo presenta i piani di campionamento d’accettazione per attributi lotto per
lotto. Gli argomenti principali comprendono il progetto e la predisposizione di singoli piani
di campionamento, l’utilizzazione della curva operativa caratteristica, e i concetti di
ispezione e rettifica, di qualità media risultante e di numerosità media totale. Analoghi
concetti vengono introdotti brevemente per tipi di piani di campionamento in cui si può
considerare più di un campione per determinare l’accettabilità di un lotto (campionamento
doppio, multiplo e sequenziale). Vengono inoltre presentati due sistemi di piani di
campionamento standard: i piani di campionamento noti come MIL STD 105E e i piani
Dodge-Romig. Tali piani sono progettati secondo filosofie differenti: i piani MIL STD
105E sono focalizzati sul livello di qualità accettabile, mentre i piani Dodge-Romig sono
orientati sia all’accertamento della percentuale di elementi difettosi del lotto sia alla
valutazione della qualità media del lotto in uscita.
10.1
Il problema del campionamento in accettazione
Come è stato osservato nel capitolo 1, il campionamento in accettazione si collega
all’ispezione e alla presa di decisione in merito ai prodotti, uno degli aspetti più antichi
dell’assicurazione della qualità. Negli anni trenta e quaranta , il campionamento in
accettazione fu uno degli elementi principali nel campo del controllo statistico della qualità.
In anni più recenti, è diventato usuale lavorare con i fornitori per aumentare le prestazioni
del prodotto, utilizzando lo SPC e la programmazione degli esperimenti, così da non essere
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270
Analisi Statistica del Disco di Festo
dipendenti dal campionamento in accettazione come strumento primario dell’assicurazione
della qualità.
Quella che segue è una tipica applicazione del campionamento in accettazione. Una ditta
riceve un approvvigionamento di prodotti da un fornitore. Tali prodotti sono spesso dei
componenti o dei materiali grezzi utilizzato nel processo di lavorazione dell’azienda. dal
lotto viene preso un campione, e vengono valutate alcune caratteristiche di qualità delle
unità comprese in esso. Sulla base delle informazioni ottenute da questo campione, si prende
una decisione relativamente alla qualità del lotto. Di solito, questa decisione è di accettare o
di rifiutare il lotto. I lotti accettati vengono messi in produzione; i lotti rifiutati possono
venire rinviati al fornitore oppure essere sottoposti ad alcune altre azioni di accertamento.
Mentre si è soliti considerare il campionamento in accettazione come un’attività d’ispezione
nel momento di ricevimento, ci sono altri modi d’impiego dei metodi di campionamento. Ad
esempio, sovente un produttore intende campionare e ispezionare il proprio prodotto nelle
diverse fasi di produzione. I lotti che così accettati sono inviati a ulteriori processi di
lavorazione, mentre quelli rifiutati possono essere rilavorati o scartati.
Tre aspetti del campionamento sono importanti:
1- Lo scopo del campionamento in accettazione è di saggiare i lotti, non di stimar la
qualità del lotto. La maggior parte dei piani di campionamento in accettazione non
viene progettata per scopi di stima.
2- I piani di campionamento in accettazione non forniscono alcuna forma diretta di
controllo della qualità. Il campionamento in accettazione semplice accetta o rifiuta i
lotti. Perfino qualora i lotti siano della medesima qualità, il campionamento ne
accetterà alcuni e ne rifiuterà altri, pur non essendo i lotti accettati migliori di quelli
rifiutati. Il controllo di processo è utilizzato per controllare e migliorare
sistematicamente la qualità, mentre non lo è il campionamento in accettazione.
3- L’uso principale del campionamento in accettazione è di “valutare la qualità nel
prodotto”, ma, quasi fosse uno strumento di certificazione, di assicurare che il
risultato di un processo sia conforme ai requisiti richiesti.
Generalmente ci sono tre modi di intraprendere l’accertamento del lotto: 1) accettazione
senza ispezione; 2) ispezione del 100% del lotto, ossia ispezione di ogni unità del lotto,
eliminando tutte le unità difettose trovate; campionamento in accettazione. L’assenza di
qualsiasi ispezione è utile in quelle situazioni in cui il processo produttivo del fornitore è
talmente buono che non sono state quasi mai riscontrate unità difettose oppure quando non
vi è una giustificazione economica per ricercare unità difettose. Di solito si usa l’ispezione al
100% nei casi in cui il prodotto è estremamente critico e accettare anche una sola unità
difettosa si tradurrebbe in un inaccettabile costo elevato per guasti che si presentano nelle
fasi di produzione successive, ovvero quando la capacità di processo produttivo del fornitore
è inadeguata a rispettare le specifiche richieste. Il campionamento in accettazione è
verosimilmente più utile nelle situazioni seguenti:
1. quando la verifica è distruttiva;
2. quando il costo dell’ispezione 100% è estremamente elevato;
3. quando l’ispezione 100% non è tecnicamente attuabile o richiederebbe così tanto
tempo che la programmazione della produzione ne risentirebbe seriamente;
4. quando vi siano molte unità da ispezionare e il tasso di errore ispettivo sia
sufficientemente alto per cui l’ispezione 100% potrebbe dare luogo all’accettazione
di una percentuale di unità difettose più elevata di quanto accadrebbe utilizzando un
piano campionario;
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5. quando il fornitore ha un’eccellente immagine di qualità, e si preferisce ridurre
alquanto l’ispezione 100%, ma la sua capacità di processo produttivo è
sufficientemente bassa da rendere l’assenza d’ispezione un’alternativa non
soddisfacente;
6. quando vi sono potenzialmente seri rischi di responsabilità produttiva e pertanto,
benché il processo produttivo del fornitore sia soddisfacente, si ritenga necessario un
programma di continua osservazione del prodotto.
10.1.1 Vantaggi e svantaggi del campionamento
Quando il campionamento in accettazione è posto a confronto con l’ispezione 100%,
presenta i seguenti vantaggi;
1.
2.
3.
4.
5.
6.
è sovente meno costoso perché ci sono meno ispezioni;
c’è meno maneggiamento del prodotto, quindi i danneggiamenti sono ridotti;
si può applicare nei casi di verifica distruttiva;
un minor numero di persone è coinvolto nelle attività ispettive;
speso riduce la numerosità degli errori dell’ispezione;
il rifiuto di interi lotti invece del semplice rinvio dei pezzi difettosi spesso induce
una motivazione più forte nel fornitore a migliorare la qualità.
Il campionamento in accettazione ha anche, tuttavia, taluni svantaggi, tra i quali vi sono i
seguenti:
1. vi è il rischi di accettare lotti “cattivi” e di rifiutare lotti “buoni”;
2. si ottengono in generalmente meno informazioni circa il prodotto o il processo di
lavorazione del prodotto;
3. il campionamento in accettazione richiede, al contrario dell’ispezione 100%, una
pianificazione e una documentazione della procedura di campionamento.
Abbiamo indicato il campionamento in accettazione come “un territorio intermedio” tra i
due estremi dell’ispezione 100% e della non ispezione. Esso fornisce spesso una
metodologia per orientarsi tra questi due estremi, dato che si ottiene un grado sufficiente
d’informazione sul controllo del processo produttivo. Mentre non vi è un controllo diretto
della qualità nell’applicazione di un piano di campionamento in accettazione a un lotto
isolato, quando tale piano viene applicato a una seri di lotti da parte del fornitore diventa un
mezzo per ottenere una protezione sia per il produttore del lotto sia per il consumatore.
Inoltre, esso fornisce un insieme di informazioni sulla qualità riguardanti il processo che
produce il lotto, e può produrre una retroazione utile nel controllo del processo, tale da
essere determinante qualora i controlli del processo nell’azienda del fornitore non siano
adeguati. Infine, può costituire una pressione economica o psicologica nei confronti del
fornitore per migliorare il processo produttivo.
10.1.2 Tipi di piani di campionamento
Ci sono numerosi modi per classificare i piani di campionamento in accettazione. Una delle
classificazioni più invalse è quella per attributi e per variabili. Le variabili, ovviamente, sono
le caratteristiche della qualità che vengono misurate con una scala numerica. Gli attributi
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sono le caratteristiche della qualità che vengono espresse sulla base della presenza/non
presenza di “difettosità”. Questo capitolo riguarda i piani di campionamento in accettazione
lotto per lotto per attributi.
Un piano di campionamento semplice è una procedura d’indagine di un lotto in cui è
selezionato in modo casuale dal lotto un campione di n unità, e la condizione del lotto viene
determinata sulla base dell’informazione contenuta in tale campione. Ad esempio, un piano
di campionamento semplice per attributi consisterebbe in una “numerosità” di
campionamento n e in un numero di accettazione c. La procedura sarebbe la seguente:
selezionate n unità a caso dal lotto, se vi è un numero di difettosi nel campione minore o
uguale a c, si accetta il lotto; se ve ne è un numero maggiore di c, il lotto viene rifiutato.
Un piano di campionamento doppio è più complesso. Dopo aver selezionato un
campione iniziale, viene presa una decisione alternativa, basata sulle informazioni
ricavate da tale campione, che consiste in: 1) accettare il lotto, 2) rifiutare il lotto, 3)
prelevare un secondo campione. Se viene prelevato un secondo campione, le
informazioni derivanti sia dal primo che dal secondo campione vengono combinate allo
scopo di raggiungere una decisione sull’accettazione o sul rifiuto del lotto.
Un piano di campionamento multiplo è una estensione del concetto di piano di
campionamento doppio, in cui si possono richiedere più di due campioni per ottenere la
decisione relativa alla situazione del lotto. La numerosità nel campione multiplo è
solitamente più ridotta rispetto sia a quella del campionamento semplice sia a quella del
campionamento doppio. La massima estensione del campionamento multiplo è il
campionamento sequenziale, in cui le unità sono prelevate dal lotto una alla volta, e in
seguito all’ispezione di ciascuna unità, viene presa una decisione sull’accettazione o il
rifiuto del lotto, ovvero sul prelevamento di un’altra unità.
10.1.3 La formazione del lotto
Il modo in cui il lotto è costituito può influenzare l’efficacia del piano di campionamento in
accettazione. Vi sono numerose importanti considerazioni relative alla formazione del lotto
per l’ispezione. Alcune di queste sono le seguenti.
1. I lotti devono essere omogenei. Le unità del lotto dovrebbero essere prodotte dalle
stesse macchine, gli stessi operatori e con materiali grezzi uguali,
approssimativamente nello stesso periodo di tempo. Quando i lotti non sono
omogenei, come quando vengono mischiate le produzioni di due differenti linee
produttive, lo schema di campionamento in accettazione può non funzionare come
di fatto dovrebbe. Lotti non omogenei rendono anche più difficile effettuare azioni
correttive per eliminare la fonte di prodotti difettosi.
2. Loti più grandi sono preferibili rispetto ai lotti più piccoli. E’ in genere
economicamente più efficace ispezionare grandi lotti piuttosto che piccoli lotti.
3. I lotti dovrebbero essere conformi al sistema di trattamento dei materiali
utilizzato dalle fabbriche sia del fornitore sia dell’acquirente. In aggiunta, le
unità dei lotti dovrebbero essere confezionate in modo tale da minimizzare i rischi di
trasporto e di trattamento e da rendere relativamente facile la selezione delle unità
per il campionamento.
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10.1.4 Il campionamento casuale
Le unità selezionate dal lotto per l’ispezione dovrebbero essere scelta a caso e dovrebbero
essere rappresentative di tutti gli elementi del lotto. Il concetto ci campionamento casuale è
estremamente importante nel campionamento in accettazione.
La tecnica spesso suggerisce, per progettare un campionamento casuale, di assegnare in
primo luogo un numero a ciascuna unità del lotto, poi di individuare n numeri casuali, dove
n può andare da 1 al numero massimo di unità presenti nel lotto. Questa sequenza di numeri
casuali determina quali unità del lotto costituiranno il campione.
Non si può prescindere dall’importanza del campionamento casuale. Se vengono utilizzati
metodi che non rispettano le condizioni di casualità per la scelta del campione vengono
meno le basi statistiche della procedura di campionamento in accettazione.
10.2
Piani di campionamento semplice per attributi
10.2.1 Definizione di un piano di campionamento semplice
Si supponga che un lotto di dimensione N sia sottoposto a ispezione. Un piano di
campionamento semplice viene definito mediante la numerosità n del campione e il numero
di accettazione c. Pertanto, se la dimensione del lotto è N = 10000, il piano di
campionamento
Indicherà che da un lotto di dimensione 10000 è stato ispezionato un campione casuale di
n= 89 unità e il numero di elementi non conformi o difettosi osservati è d. Se il numero di
elementi difettosi d è minore o uguale a c = 2, il lotto sarà accettato. Se il numero di
elementi difettosi osservati è maggiore di 2, il lotto sarà rifiutato. Dal momento che la
caratteristica ispezionata è un attributo, ciascuna unità del campione può essere valutata
come conforme o non conforme. Una o più tipi di attributo possono essere ispezionati nel
medesimo campione; in generale, si definisce unità difettosa l’unità che non è conforme alle
specifiche di uno o più attributi. Questa procedura è chiamata piano di campionamento
semplice poiché il lotto è valutato sulla base dell’informazione ricavata da un solo campione
di dimensione n.
10.3
Piani di campionamento doppio, multiplo e sequenziale
10.3.1 Piani di campionamento doppio
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Analisi Statistica del Disco di Festo
Un piano di campionamento doppio è una procedura in cui, in talune situazioni, è richiesto
un secondo campione per valutare il lotto. Un piano di campionamento doppio è definito
mediante quattro parametri
Come esemplificazione, si supponga
,
,
e
. Pertanto, un
campione casuale di
elementi viene estratto dal lotto e viene osservato un numero
di elementi difettosi presenti nel campione. Se
il lotto viene accettato dopo il
primo campionamento. Se
, verrà estratto dal lotto un secondo campione
casuale di dimensione
e verrà osservato il numero
di elementi difettosi in tale
secondo campione,
. Se
il lotto è accettato. Invece, se
il lotto è rifiutato. La procedura di questo piano di campionamento è presentata
graficamente nella figura.
10.3.2 Piani di campionamento multiplo
Un piano di campionamento multiplo è un’estensione del piano di campionamento doppio
nel quale possono essere richiesti più di due campioni per decidere sul lotto. Un esempio di
piano di campionamento multiplo viene fornito da un piano che richiede cinque stadi, come
illustrato di seguito.
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Dim. cumulativa del Campione
Numero di accettazione
Numero di Rifiuto
20
0
3
40
1
4
60
3
5
80
5
7
100
8
9
Questo piano opera nel modo seguente. Se al completamento di ciascuna fase di
campionamento il numero degli elementi difettosi è minore o uguale al numero di
accettazione il lotto viene accettato. Se, nel corso di ogni fase, il numero di elementi difettosi
è uguale o supera quello di rifiuto il lotto viene rifiutato; altrimenti si prende un altro
campione. Questa procedura multipla continua fino a che viene prelevato il quinto
campione; in quel momento deve essere presa una decisione in merito al lotto. Il primo
campione di solito viene ispezionato al 100%, mentre i successivi campionamenti sono di
solito soggetti a procedura abbreviativa.
Il vantaggio principale dei piani di campionamento multiplo consiste nel fatto che i
campioni richiesti a ogni stadio sono solitamente più piccoli rispetto a quelli richiesti dal
campionamento semplice o doppio; pertanto, questa procedura comporta taluni vantaggi
economici. Tuttavia il campionamento multiplo è molto più complesso da impiegare.
10.3.3 Piani di campionamento sequenziale
Il campionamento sequenziale è un’estensione del concetto di campionamento doppio e
multiplo. Nel campionamento sequenziale prendiamo una successione di campioni dal lotto
e facciamo sì che il numero di campioni sia interamente determinato dai risultati del
processo di campionamento. Il campionamento sequenziale può in via teorica continuare
indefinitamente, finché il lotto non venga ispezionato al 100%. Nella pratica, i piani
sequenziali di campionamento vengono solitamente interrotti quando il numero delle
ispezioni è uguale a tre volte il numero delle ispezioni che si sarebbero dovute effettuare
utilizzando un corrispondente piano di campionamento semplice. Se la dimensione del
campione ispezionato a ogni fase è uguale a 1, la procedura è solitamente detta
campionamento sequenziale unitario.
10.4
La normativa MIL STD 105E (ANSI/ASQC Z1.4, ISO2859)
10.4.1 Descrizione della normativa
Le procedure di campionamento mediante piani standard per l’ispezione per attributi
vennero sviluppate durante la Seconda Guerra Mondiale. La normativa MIL STD 105E è il
sistema di piani di accettazione per attributi più ampiamente usato oggi nel mondo. La
versione originale delle tavole di campionamento standard MIL STD 105A fu predisposta
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nel 1950. Da allora sono state fatte quattro revisioni; l’ultima versione, la MIL STD 105E, è
stata predisposta nel 1989.
I piani di campionamento esaminati nei paragrafi precedenti sono piani di campionamento a
sé stanti. Uno schema di campionamento è una strategia complessiva che specifica il modo
in cui i piani di campionamento devono essere utilizzati. La normativa MIL STD 105E è una
collezione di schemi di campionamento, pertanto è un sistema di accettazione campionaria.
La nostra indagine si concentra in primo luogo sulla MIL STD 105E, tuttavia esistono tavole
di campionamento per usi civili derivate da questa, costituenti la normativa ANSI/ASQC
Z1.4, che è del tutto simile. Le tavole di campionamento standard sono state adottate anche
dalla International Organization for Standardization come ISO 2859.
Le tavole di campionamento standard forniscono tre tipi di campionamento: semplice,
doppio e multiplo. Per ciascun tipo di piano di campionamento viene fornito materiale sia
per l’ispezione normale, sia per quella rinforzata, sia per quella ridota. L’ispezione normale
è impiegata all’inizio dell’attività ispettiva. Quella rinforzata viene intrapresa quando la
casistica recente della qualità del fornitore presenta elementi negativi. I requisiti ispettivi per
i lotti nel caso di tale ispezione sono più ristrettivi rispetto a quelli dell’ispezione normale.
L’ispezione ridotta viene adottata quando la casistica recente della qualità del fornitore è
stata eccezionalmente buona. La dimensione del campionamento usata generalmente nel
caso di ispezione ridotta è inferiore a quella utilizzata per l’ispezione normale.
Il primo punto fondamentale della MIL STD 105E è il livello di qualità accettabile (AQL).
La tavola di campionamento standard è indicizzata con riferimento a una serie di AQL.
Quando tali tavole sono utilizzate per la verifica della percentuale degli elementi difettosi,
l’ampiezza del’AQL va dallo 0.10% al 10%. Per la verifica del numero di difetti per unità, vi
è un’aggiunta di dieci valori di AQL sino a comprendere fino a 1000 difetti per 100 unità. Si
deve notare che livelli minori di AQL lo stesso piano di campionamento può essere usato
per controllare sia la frazione di elementi difettosi sia il numero di difetti per unità. I livelli
AQL sono collocati in progressione, e ciascun livello è pari a, approssimativamente, 1.585,
volte il precedente.
La dimensione del campione usata nelle MIL STD 105E è determinata dalla dimensione del
lotto e dalla scelta del livello d’ispezione. Vengono forniti tre livelli generali d’ispezione. Il
livello II è indicato come normale. Il livello I richiede circa la metà dell’ammontare delle
ispezioni del livello II e può essere usato quando si necessita di una minore discriminazione.
Il livello III richiede circa il doppio delle ispezioni del livello II e dovrebbe essere utilizzato
quando si esige maggiore discriminazione. Le procedure di passaggio tra ispezione normale,
rinforzata e ridotta sono descritte nel seguente modo.
1.
2.
3.
4.
5.
Da normale a rinforzata.
Da rinforzata a normale
Da normale a ridotta
Da ridotta a normale
Discontinuità dell’ispezione.
10.4.2 Procedura
Una procedura passo a passo per utilizzare le MIL STD 105E è la seguente:
1. scegliere l’AQL;
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2. scegliere il livello d’ispezione;
3. determinate la dimensione del lotto
4. trovare la lettera di codice appropriata per la dimensione del campione nell’apposita
tabella;
5. determinare il tipo appropriato di piano di campionamento (semplice, doppio,
multiplo),
6. utilizzare la tabella appropriata per individuare il piano da impiegare;
7. determinare il corrispondente piano normale o ridotto per l’ispezione da usare
quando sia richiesto.
11 – Altre tecniche di campionamento in accettazione
Sommario
Questo capitolo presenta in maniera sintetica alcune utili tecniche di campionamento in
accettazione, compresi i piani di campionamento per variabili, che possono essere impiegati
in alternativa ai piani per attributi quando sono disponibili i dati di misurazione.
11.1
Campionamento in accettazione per variabili
11.1.1 Vantaggi e svantaggi del campionamento per variabili
Il principale vantaggio dei piani di campionamento per variabili consiste nel fatto che la
stessa curva operativa caratteristica può essere ottenuta con una dimensione del
campione più ridotta rispetto a quello che sarebbe richiesto da un piano di campionamento
per
attributi. Quindi un piano di campionamento per variabili che abbia la stessa
protezione di
un piano di campionamento per attributi richiede un campionamento
minore. Un secondo
vantaggio è che i dati di misurazione di solito forniscono una
maggiore informazione sul
processo di lavorazione o sul lotto rispetto ai dati per
attributi. In generale, le misure numeriche delle caratteristiche di qualità sono più utili
della semplice classificazione degli
elementi difettosi e non difettosi.
Va sottolineato poi, un ultimo aspetto: quando i livelli di qualità accettabili sono molto
bassi, la dimensione del campione richiesta dal campionamento per attributi è molto
grande. In queste situazioni può essere opportuno rivolgersi alla misurazione per
variabili. Pertanto,
siccome molti produttori iniziano a sottolineare l’importanza di
avere numeri consentiti di
elementi difettosi in termini di parti per milione, il
campionamento per variabili diventa
molto vantaggioso.
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11.1.2 Tipi di piani di campionamento disponibili
Ci sono due tipi generali di procedure di campionamento per variabili: piani che
controllano la frazione di elementi difettosi (o non conformi) del lotto o del processo, e
piani che controllano i parametri (generalmente la media) del lotto o del processo.
Si consideri un piano di campionamento per variabili per il controllo della frazione di
elementi non conformi del lotto o del processo. Poiché la caratteristica di qualità è una
variabile, ci saranno o un limite di specificazione inferiore (LSL), o un limite di
specificazione superore (USL), oppure entrambi, limiti che definiscono i valori
accettabili di questo parametro.
La figura illustra la situazione in cui la caratteristica di qualità x è normalmente
distribuita e su tale grandezza vi è un limite di specificazione inferiore. Il simbolo p
indica la frazione di elementi difettosi nel lotto. Si osservi che la frazione di elementi
difettosi è funzione della media μ del lotto o del processo e della deviazione standard σ
del lotto o del processo.
Si supponga che la deviazione standard σ sia nota. Sotto questa condizione, si vuole
eseguire un campionamento del lotto per determinare quale valore debba assumere la
media affinché la frazione di elementi difettosi p sia accettabile. Come indicato di
seguito, si può procedere al calcolo mediante un piano di campionamento per variabili
in due modi.
Procedura 1 (metodo k).
Si consideri un campione casuale di n elementi estratto da un lotto e si calcoli la
statistica
Si osservi che
nell’equazione esprime proprio la distanza tra la media del
campione
e il limite inferiore di specificazione in unità di deviazione standard.
Quanto più elevato è il valore di
, tanto più la media del campione dista dal limite
inferiore di specificazione e tanto minore è la frazione p di elementi difettosi. Se vi è un
valore critico di p di interesse che non deve essere superato , con una probabilità
stabilita, si può trasformare questo valore di p nella distanza critica, indicata con k, per
Pertanto, se
, dovremo accettare il lotto poiché i dati del campione
implicano che la media del loto è sufficientemente al di sopra del LSL per assicurare
che la frazione di elementi non conformi presenti nel lotto è soddisfacente. Se, invece,
, la media è troppo vicina al LSL e il lotto dovrebbe essere rifiutato.
Procedura 2 (metodo M).
Si consideri un campione casuale di n elementi estratto da un lotto e si calcoli
mediante equazione sopra . Si utilizzi
per stimare la frazione di elementi
difettosi presenti nel lotto o nel processo come area sottostante alla curva normale
standardizzata al di sotto di
( si osservi che l’impiego di
come statistica , con distribuzione normale standardizzata, è migliore, poiché fornisce
una migliore stima di p). Sia la stima di p così ottenuta: se la stima di è superiore
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rispetto al valore massimo specificato M, il lotto viene rifiutato; altrimenti viene
accettato.
11.2
La normativa MIL ST 414 (ANSI/ASQC Z1.9)
La normativa MIL STD 414 è un piano campionario di accettazione loto per lotto per
variabili. Questa normativa è stata introdotta nel 1957. Il suo punto centrale è il livello
di qualità accettabile (AQL), che varia tra 0.04% e il 15%. Ci sono cinque livelli
d’ispezione e il livello IV è definito come quello “normale”. Il livello d’ispezione V
offre una curva OC calcolata per un numero di punti maggiore rispetto a quello al
livello IV. Quando è necessario ridurre i costi di campionamento e quando si possono o
si devono tollerare maggiori rischi, si possono utilizzare livelli ispettivi inferiori. Come
per la MIL STD 105E per attributi, vengono usate lettere di codice per la dimensione
campionaria, ma la stessa lettera non implica stessa dimensione nelle due normative. In
più, le classi di dimensione del lotto sono diverse nelle due normative. Le dimensioni
campionarie sono in funzione della dimensione del lotto e del livello d’ispezione. Sono
fornite indicazioni per l’ispezione normale, rinforzata e ridotta. Sia i piani di
campionamento sia le procedure nelle tavole di campionamento della normativa si
basano sul presupposto che la caratteristica di qualità d’interesse sia distribuita
normalmente.
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BIBLIOGRAFIA DI RIFERIMENTO
Matematica applicata e statistica
1.
2.
3.
4.
Cunietti M. (1964): Corso Teorico Pratico sulle Misure. Libreria Cortina Ed., Milano.
Frosini B.V. (1990): Introduzione alla statistica. La Nuova Italia Scientifica, Roma.
Montgomery D.C. (2000): Controllo statistico della qualità. McGraw-Hill, Milano.
Mood A.M., Graybill F.A., Boes D.C. (1988): Introduzione alla statistica. McGrawHill, Milano.
5. Ricci F. (1975): Statistica ed elaborazione statistica delle informazioni. Zanichelli,
Bologna.
6. Togliatti G. (1976): Fondamenti di statistica. Hoepli, Milano.
Linguistica e filologia
7. Akmajian A, Demers R.A., Farmer A.K., Harnish R.M. (1982): Linguistica. Il Mulino,
Bologna.
8. Canepari L. (1979): Introduzione alla fonetica. Piccola Biblioteca Einaudi, Torino.
9. Chomsky N., Foucault M. (2005): Della natura umana – Invariante biologico e potere
politico. Derive Approdi, Roma.
10. Giacalone Ramat A., Ramat P. (1993): Le lingue indoeuropee. Il Mulino, Bologna.
11. Martinet A. (1994): L’indoeuropeo – Lingue, popoli e culture. Biblioteca Universale
Laterza, Bari.
12. Moro A. (2006): I confini di Babele. Longanesi&C., Milano
13. Zambponi A. (1976): L’etimologia. Zanichelli, Bologna.
Archeologia e storia antica
14. Bara B.G. (2003): Il sogno della permanenza – L’evoluzione della scrittura e del
numero. Bollati Boringhieri, Torino.
15. Barberi Squarotti G. (1990): I mondi impossibili: l’utopia. Collana: L’avventura
letteraria. Teoria e storia dei generi letterari. Tirrenia Stampatori, Torino.
16. Diamond J. (1998): Armi, acciaio e malattie – Breve storia del mondo negli ultimi
tredicimila anni. Einaudi Tascabili, Torino.
17. Giorello G. (2004): Prometeo, Ulisse, Gigamesh. R. Cortina Ed., Milano.
18. Godart L. (1992): L’invenzione della scrittura – Dal Nilo alla Grecia. Einaudi Tascabili,
Torino.
19. Vegetti M. (1979 / 1987): Il coltello e lo stilo. Arnoldo Mondatori Editore – Il
Saggiatore, Milano.
20. Vegetti M. (1983): Tra Edipo e Euclide – Forme del sapere antico. Arnoldo Mondatori
Editore – Il Saggiatore, Milano.
Politecnico di Milano
Dottorato di ricerca in Geomatica e Infrastrutture
281
Analisi Statistica del Disco di Festo
Disco di Festo
21. Balistier T. (2000): The Phaistos Disc - an account of its unsolved mystery, Thomas
Balistier Verlag
22. Bennett, Emmett L. (1996): Alfabeti egei, (in: I sistemi di scrittura nel mondo, Peter T.
Daniels e William Bright (Editori.) Oxford: University Press.
23. Chadwick J. (1958): The Decipherment of Linear B, Cambridge University Press
24. Duhoux Y. (1977): Le disque de Phaestos, Leuven
25. Duhoux Y. (2000): Come non decifrare il disco di Festo, American Journal of
Archaeology, Vol. 104, n° 3 p. 597-600
26. Evans A. J. (1909): Scripta Minoa, i documenti scritti della Creta minoica, con spciale
riferimento agli archivi di Cnosso, Classic Books
27. Faure P. (2003) "Tourne disque", l'enigma del disco di Festo, Notre Histoire n°213
28. Faucounau J.(1999): Le déchiffrement du Disque de Phaistos, L'Harmattan, Paris
29. Gaur A. (1984): Una storia di scrittura, Charles Scribner's Sons.
30. Glotz G., Dobie M. R., Riley E. M. (1925): La Civiltà Egea, A. A. Knopf
31. Godart L.(1994): Il disco di Festo. L'enigma di una scrittura, Einaudi, Saggi, Torino
32. Kober A. (1948): Gli alfabeti minoici: fatti e teorie. American Journal of Archaeology,
Volume 52, pp. 82 – 103.
33. Madau E.G. (2007): "Il disco di Phaistos- un nuovo approccio e una sua traduzione"
Zonza Editori
34. Robinson A. (2008): The Phaistos code: Write only . Nature: 990–991.
35. Sornig K. (2006): L'ultima valutazione . Grazer Linguistische Studien: 151–155.
36. Torsten T.(2005): Der Diskos von Phaistos – Fremdeinfluss oder kretisches Erbe, BoD
37. Trauth M.(1990): Il disco di Festo e l'avvocato del diavolo. Sulle teorie di un antico
argomento di ricerca., Glottometrika 12, pp. 151 – 173.
38. International Phaistos Disk Conference 2008, sponsorizzata da Minerva Magazine
abstracts
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