A. Maffucci: Esercitazioni sui doppi-bipoli ver1.2-2015 Università degli Studi di Cassino e del Lazio Meridionale Esercitazioni di Elettrotecnica: doppi-bipoli prof. Antonio Maffucci [email protected] www.docente.unicas.it/antonio_maffucci ver.1.2 – dicembre 2015 2 A. Maffucci: Esercitazioni sui doppi-bipoli ver1.2-2015 1. Doppi-bipoli in regime stazionario A. Maffucci: Esercitazioni sui doppi-bipoli ver1.2-2015 L’elemento G22 è la conduttanza di ingresso alla porta 2 della rete seguente: ES. 1.1 – Con riferimento al seguente doppio-bipolo: G 22 = a) calcolare la matrice delle resistenze; i2 v2 RA RB RC v1 = 0 G 22 = G D + RD G B (G A + G C ) = 2.47 S G B + G A + GC b) calcolare la matrice delle conduttanze. i1 Infine l’elemento Gm si può valutare dalla rete seguente, utilizzando un partitore di corrente: i2 + RA v1 + RB − RB RA = 2 Ω, RB = 1 Ω, RD v2 RC RC = 2.5 Ω, RD = 0.5 Ω. − i Gm = 2 v1 v1 + RA i2 = − vB i2 RC v2 = 0 Gm = − a) L’elemento R11 è la resistenza di ingresso alla porta 1 della rete descritta in basso. Applicando le regole di equivalenza serie e parallelo si ottiene: R11 = v1 i1 RA RB RC i2 =0 RD R11 = R A + RC (RB + RD ) = 2.94 Ω RC + RB + RD v2 i2 + RB RC i1 =0 RD R 22 = v2 − RC = −0.26 S R A R C + R A R B + R B RC ES. 1.2 - Con riferimento alla seguente rete: a. valutare la matrice G il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei generatori; b. utilizzare la matrice G per calcolare la potenza assorbita dal doppio-bipolo; Analogamente, l’elemento R22 è la resistenza di ingresso alla porta 2 della rete seguente (nella quale si è trascurata R A che si trova in serie ad un circuito aperto): R22 = vB RC // R B 1 =− vB RB RB R A + RC // R B E1 + R1 R1 R2 + R1 R1 E2 E1 = E 2 = 10 V R1 = 2 Ω R2 = 1 Ω R D ( R B + RC ) = 0.44 Ω R D + R B + RC a) L’elemento G11 è la conduttanza di ingresso della rete descritta in seguito. Applicando le regole di equivalenza serie e parallelo di conduttanze si ottiene: Infine l’elemento Rm si può valutare dalla rete seguente, utilizzando un partitore di tensione: Rm = v1 i2 + v1 i1 =0 − RB RC Rm = + v2 RD − i2 R22 v2 v1 i2 v2 = R22 i1 = 0 v1 v2 = i G11 = 1 v1 i1 = 0 RC = 0.31 Ω R B + RC b) L’elemento G11 è la conduttanza di ingresso alla porta 1 della rete seguente, nella quale si è tenuto conto del fatto che RD si trova in parallelo ad un corto-circuito: G11 = i1 v1 RA v2 = 0 RB RC G11 = R1 v2 = 0 R1 R2 R1 R1 2G1G2 G1 G1 + 2 G1 + G2 G11 = = 0.33 S 2G1G2 2G1 + 2G1 + G2 Per la simmetria della rete rispetto alle due porte, si ha anche G11 = G22 (si provi a dimostrarlo). L’elemento G12 è definito come: G A (G B + G C ) = 0.37 S G A + G B + GC 3 4 A. Maffucci: Esercitazioni sui doppi-bipoli ver1.2-2015 i1 G12 = i2 v1 ix R1 v1 R1 R2 + R1 v2 = 0 A. Maffucci: Esercitazioni sui doppi-bipoli ver1.2-2015 ES. 1.4 - Analizzando i seguenti doppi-bipoli: i1 i2 i2 + R1 RA + + v2 v1 − − RB v1 RC − RAB i1 i2 + R AC RBC − Il circuito per il calcolo di tale parametro è disegnato in alto. Si osservi che: G12 = quindi ci si riporta al calcolo di i2 v1 v2 = 0 i2 i1 v2 = 0 = i1 v1 ⋅ v2 = 0 i2 i1 = G11 ⋅ v2 = 0 i2 i1 schema a Π (triangolo) schema a T (stella) v2 = 0 v2 a) verificare che lo schema a T realizza una qualunque matrice R con le posizioni seguenti (formule di sintesi): R A = R11 − Rm , R B = R22 − Rm , RC = Rm ; , che può essere effettuato con l’applicazione reiterata del b) verificare che lo schema a Π realizza una qualunque matrice G con le posizioni seguenti (formule di sintesi): G AC = G11 + Gm , G BC = G22 + Gm , G AB = −Gm ; partitore di corrente: c) verificare le seguenti formule di trasformazione stella-triangolo (suggerimento: imporre l’equivalenza tra gli schemi a T e a Π): i2 − i x / 2 1 R1 = =− i1 = −0.25 i1 i1 2i1 R1 + R2 + R1 / 2 Y →∆ da cui: G12 = −0.25 ⋅ G11 = −0.08 S . Si provi a verificare che G12 = G21 = Gm , proprietà valida per tutti i doppi-bipoli reciproci. b) Tenuto conto delle convenzioni adottate sui generatori, la potenza assorbita dal doppio-bipolo è esprimibile come: P = E1 I1 + E 2 I 2 = G11 E12 + G22 E 22 + 2Gm E1 E 2 = 50 W . ∆ →Y R AB = R A RB + R A RC + RB RC RC RA = R AB R AC R AB + R AC + RBC R AC = R A RB + R A RC + RB RC RB RB = R AB RBC R AB + R AC + RBC RBC = R A RB + R A RC + RB RC RA RC = R AC RBC R AB + R AC + RBC Introdotti i vettori-colonna di tensioni e correnti E, I , la potenza assorbita si esprime anche come P = ET ⋅ I = E T ⋅ G ⋅ E. ES. 1.3 - Con riferimento alla seguente rete: ES. 1.5 - Con riferimento al seguente doppio-bipolo: a) caratterizzarlo attraverso la matrice R; b) sintetizzare un doppio-bipolo equivalente con uno schema a T; a) caratterizzare attraverso la matrice H il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei generatori; b) utilizzare la matrice H per calcolare la potenza assorbita da tale doppio-bipolo; + R2 R1 J + E = 50 V E R3 i2 R2 i1 R4 J = 20 A v1 R1 = 1 Ω R2 = 5 Ω − R3 = R4 = 10 Ω + R1 R5 R3 R4 v2 − R1 = R3 = R4 = R R2 = 4 R R5 = 2 R R =8Ω Ris.: a) R11 = 6.61 Ω, R22 = 7.65 Ω, Rm = 0.70 Ω ; b) R A = 5.91 Ω, RB = 6.95 Ω, RC = 0.70 Ω . Risultato: a) H 11 = 0.909 Ω, H 22 = 0.073 S , H 12 = − H 21 = 0.045 ; b) P = 0.546 kW . 5 6 A. Maffucci: Esercitazioni sui doppi-bipoli ver1.2-2015 A. Maffucci: Esercitazioni sui doppi-bipoli ver1.2-2015 2. Doppi-bipoli in regime sinusoidale. ES. 1.6 - Con riferimento alla seguente rete in regime stazionario valutare la resistenza equivalente vista ai capi dei morsetti a-b. ES. 2.1 - Con riferimento al seguente circuito, valutare: n a R3 R1 a) la matrice delle ammettenze Y& del doppio-bipolo visto ai capi dei generatori; b) la potenza complessa A& erogata dai generatori; n = 10 R1 = 2 Ω, R2 = 1 Ω R2 R3 = 0.02 Ω b i1 (t ) i 2 (t ) Applicando la formula del trasporto di impedenza, la rete in esame è equivalente a: e1 (t ) = 10 cos(1000t ) V L R e1 (t ) + C R + e2 (t ) e2 (t ) = 20sin(1000t ) V R = 1 Ω L = 1 mH C = 1 mF a R2 n 2 R3 R1 Req = R1 ( R2 + n 2 R3 ) 2 R1 + ( R2 + n R3 ) Risultato: = 1.20 Ω a) Y&11 = 0.5 Ω −1 , Y&m = 0.5 j Ω −1 , Y&22 = 0.5 − j Ω −1 ; b) A& er = 75 W , A& er = 50 W + j 200 VAr . 1 2 b ES. 2.2 - Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente i1 (t ) nel circuito primario. ES. 1.7 - Con riferimento alla seguente rete in regime stazionario valutare il generatore equivalente di Norton visto ai capi dei morsetti a-b n a R2 J J = 10 A, n = 5 R1 = 0.32 kΩ, R1 b L1 i1 (t ) e(t ) + a e(t ) = 10 2 sin(1000t ) V R1 R2 L2 a = 0.1, R1 = 1Ω, R2 = 200Ω, L1 = 1 mH, L2 = 2 mH R2 = 0.2 kΩ. Risultato: a) Req = 20.80 Ω, I cc = 30.77 A . Per la formula del trasporto dell'impedenza in un trasformatore ideale, il circuito è anche equivalente al seguente: L1′ i1 (t ) e(t ) + R1 a 2 R2 Trasformato il circuito in una rete di impedenze, nella quale si è introdotto il fasore E = 10 V , l'impedenza equivalente vista dal generatore è: a 2 R jω L1′′ Z& eq = R1 + jω L1′ + 2 2 = 2+2j Ω a R2 + jω L ′′ da cui 7 8 A. Maffucci: Esercitazioni sui doppi-bipoli I1 = ver1.2-2015 E 5 5 − jπ / 4 = (1 − j ) = e A Z& eq 2 2 ⇒ A. Maffucci: Esercitazioni sui doppi-bipoli ver1.2-2015 Per la formula del trasporto dell'impedenza in un trasformatore ideale, il circuito è anche equivalente al seguente: i1 (t ) = 5sin(1000t − π / 4) A . L′1 i1 (t ) ES. 2.3 - Con riferimento al seguente circuito valutare la potenza complessa assorbita dal condensatore. e(t ) + R1 a 2 R2 a j (t ) = 10 2 cos(100t ) A R1 = R2 = 5 Ω R2 j (t ) C L1 R1 Trasformato il circuito in una rete di impedenze, nella quale si è introdotto il fasore E = 10 V , l'impedenza equivalente vista dal generatore è: L1 = 1 mH , C = 12.5 mF a 2 R jω L1′′ Z& eq = R1 + jω L1′ + 2 2 = 2+2j Ω a R2 + jω L ′′ a = 0.5 da cui Risultato: A& = − j 5 VAr . I1 = E 5 5 − jπ / 4 = (1 − j ) = e A Z& eq 2 2 ⇒ i1 (t ) = 5sin (1000t − π / 4) A . ES. 2.4 - Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente i1 (t ) nel circuito ES. 2.5 - Con riferimento al seguente circuito valutare la potenza complessa assorbita primario. i1 (t ) dal condensatore. e(t ) = 10 2 sin (1000t ) V R1 = 1 Ω R2 = 200 Ω R1 + e(t ) L2 L1 R2 L1 = 3 mH j (t ) = 10 2 cos(100t ) A R2 L2 = 200 mH j (t ) M = 20 mH R1 L1 L2 C R1 = R2 = 5 Ω L1 = 1 mH , L2 = 4 mH M = 2 mH , C = 12.5 mF Poiché L1 L2 ≠ M 2 l'accoppiamento non è perfetto. Posto L1 = L1′ + L1′′ , possiamo scegliere L1′′ in modo che l'aliquota L1′′ verifichi le condizioni di Risultato: A& = − j 5 VAr . accoppiamento perfetto L1′′L2 = M 2 : L1′′L2 = M 2 ⇒ L1′′ = M 2 / L2 = 2 mH . A questo punto il circuito equivalente sarà il seguente L′1 i1 (t ) e(t ) + a R1 L1′′ R2 a= L1′′ = 0.1 M 9 10