Esercitazioni di Elettrotecnica: doppi-bipoli

A. Maffucci: Esercitazioni sui doppi-bipoli
ver1.2-2015
Università degli Studi di Cassino e del Lazio Meridionale
Esercitazioni di Elettrotecnica:
doppi-bipoli
prof. Antonio Maffucci
[email protected]
www.docente.unicas.it/antonio_maffucci
ver.1.2 – dicembre 2015
2
A. Maffucci: Esercitazioni sui doppi-bipoli
ver1.2-2015
1. Doppi-bipoli in regime stazionario
A. Maffucci: Esercitazioni sui doppi-bipoli
ver1.2-2015
L’elemento G22 è la conduttanza di ingresso alla porta 2 della rete seguente:
ES. 1.1 – Con riferimento al seguente doppio-bipolo:
G 22 =
a) calcolare la matrice delle resistenze;
i2
v2
RA
RB
RC
v1 = 0
G 22 = G D +
RD
G B (G A + G C )
= 2.47 S
G B + G A + GC
b) calcolare la matrice delle conduttanze.
i1
Infine l’elemento Gm si può valutare dalla rete seguente, utilizzando un partitore di corrente:
i2
+
RA
v1
+
RB
−
RB
RA = 2 Ω, RB = 1 Ω,
RD v2
RC
RC = 2.5 Ω, RD = 0.5 Ω.
−
i
Gm = 2
v1
v1
+
RA
i2 = −
vB
i2
RC
v2 = 0
Gm = −
a) L’elemento R11 è la resistenza di ingresso alla porta 1 della rete descritta in basso. Applicando
le regole di equivalenza serie e parallelo si ottiene:
R11 =
v1
i1
RA
RB
RC
i2 =0
RD
R11 = R A +
RC (RB + RD )
= 2.94 Ω
RC + RB + RD
v2
i2
+
RB
RC
i1 =0
RD
R 22 =
v2
−
RC
= −0.26 S
R A R C + R A R B + R B RC
ES. 1.2 - Con riferimento alla seguente rete:
a. valutare la matrice G il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei generatori;
b. utilizzare la matrice G per calcolare la potenza assorbita dal doppio-bipolo;
Analogamente, l’elemento R22 è la resistenza di ingresso alla porta 2 della rete seguente (nella
quale si è trascurata R A che si trova in serie ad un circuito aperto):
R22 =
vB
RC // R B
1
=−
vB
RB
RB
R A + RC // R B
E1
+
R1
R1
R2
+
R1
R1
E2
E1 = E 2 = 10 V
R1 = 2 Ω R2 = 1 Ω
R D ( R B + RC )
= 0.44 Ω
R D + R B + RC
a) L’elemento G11 è la conduttanza di ingresso della rete descritta in seguito. Applicando le
regole di equivalenza serie e parallelo di conduttanze si ottiene:
Infine l’elemento Rm si può valutare dalla rete seguente, utilizzando un partitore di tensione:
Rm =
v1
i2
+
v1
i1 =0
−
RB
RC
Rm =
+
v2
RD
−
i2
R22
v2 v1
i2 v2
= R22
i1 = 0
v1
v2
=
i
G11 = 1
v1
i1 = 0
RC
= 0.31 Ω
R B + RC
b) L’elemento G11 è la conduttanza di ingresso alla porta 1 della rete seguente, nella quale si è
tenuto conto del fatto che RD si trova in parallelo ad un corto-circuito:
G11 =
i1
v1
RA
v2 = 0
RB
RC
G11 =
R1
v2 = 0
R1
R2
R1
R1

2G1G2 

G1  G1 +
2
G1 + G2 

G11 =
= 0.33 S
2G1G2
2G1 +
2G1 + G2
Per la simmetria della rete rispetto alle due porte, si ha anche G11 = G22 (si provi a dimostrarlo).
L’elemento G12 è definito come:
G A (G B + G C )
= 0.37 S
G A + G B + GC
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i1
G12 =
i2
v1
ix
R1
v1
R1
R2
+
R1
v2 = 0
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ver1.2-2015
ES. 1.4 - Analizzando i seguenti doppi-bipoli:
i1
i2
i2
+
R1
RA
+
+
v2
v1
−
−
RB
v1
RC
−
RAB
i1
i2
+
R AC RBC
−
Il circuito per il calcolo di tale parametro è disegnato in alto. Si osservi che:
G12 =
quindi ci si riporta al calcolo di
i2
v1
v2 = 0
i2
i1
v2 = 0
=
i1
v1
⋅
v2 = 0
i2
i1
= G11 ⋅
v2 = 0
i2
i1
schema a Π (triangolo)
schema a T (stella)
v2 = 0
v2
a) verificare che lo schema a T realizza una qualunque matrice R con le posizioni seguenti
(formule di sintesi): R A = R11 − Rm , R B = R22 − Rm , RC = Rm ;
, che può essere effettuato con l’applicazione reiterata del
b) verificare che lo schema a Π realizza una qualunque matrice G con le posizioni seguenti
(formule di sintesi): G AC = G11 + Gm , G BC = G22 + Gm , G AB = −Gm ;
partitore di corrente:
c) verificare le seguenti formule di trasformazione stella-triangolo (suggerimento: imporre
l’equivalenza tra gli schemi a T e a Π):
i2 − i x / 2
1
R1
=
=−
i1
= −0.25
i1
i1
2i1 R1 + R2 + R1 / 2
Y →∆
da cui: G12 = −0.25 ⋅ G11 = −0.08 S .
Si provi a verificare che G12 = G21 = Gm , proprietà valida per tutti i doppi-bipoli reciproci.
b) Tenuto conto delle convenzioni adottate sui generatori, la potenza assorbita dal doppio-bipolo
è esprimibile come:
P = E1 I1 + E 2 I 2 = G11 E12 + G22 E 22 + 2Gm E1 E 2 = 50 W .
∆ →Y
R AB =
R A RB + R A RC + RB RC
RC
RA =
R AB R AC
R AB + R AC + RBC
R AC =
R A RB + R A RC + RB RC
RB
RB =
R AB RBC
R AB + R AC + RBC
RBC =
R A RB + R A RC + RB RC
RA
RC =
R AC RBC
R AB + R AC + RBC
Introdotti i vettori-colonna di tensioni e correnti E, I , la potenza assorbita si esprime anche
come P = ET ⋅ I = E T ⋅ G ⋅ E.
ES. 1.3 - Con riferimento alla seguente rete:
ES. 1.5 - Con riferimento al seguente doppio-bipolo:
a) caratterizzarlo attraverso la matrice R;
b) sintetizzare un doppio-bipolo equivalente con uno schema a T;
a) caratterizzare attraverso la matrice H il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei
generatori;
b) utilizzare la matrice H per calcolare la potenza assorbita da tale doppio-bipolo;
+
R2
R1
J
+
E = 50 V
E
R3
i2
R2
i1
R4
J = 20 A
v1
R1 = 1 Ω R2 = 5 Ω
−
R3 = R4 = 10 Ω
+
R1
R5
R3
R4
v2
−
R1 = R3 = R4 = R
R2 = 4 R
R5 = 2 R
R =8Ω
Ris.: a) R11 = 6.61 Ω, R22 = 7.65 Ω, Rm = 0.70 Ω ; b) R A = 5.91 Ω, RB = 6.95 Ω, RC = 0.70 Ω .
Risultato: a) H 11 = 0.909 Ω, H 22 = 0.073 S , H 12 = − H 21 = 0.045 ; b) P = 0.546 kW .
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2. Doppi-bipoli in regime sinusoidale.
ES. 1.6 - Con riferimento alla seguente rete in regime stazionario valutare la resistenza
equivalente vista ai capi dei morsetti a-b.
ES. 2.1 - Con riferimento al seguente circuito, valutare:
n
a
R3
R1
a) la matrice delle ammettenze Y& del doppio-bipolo visto ai capi dei generatori;
b) la potenza complessa A& erogata dai generatori;
n = 10
R1 = 2 Ω, R2 = 1 Ω
R2
R3 = 0.02 Ω
b
i1 (t )
i 2 (t )
Applicando la formula del trasporto di impedenza, la rete in esame è equivalente a:
e1 (t ) = 10 cos(1000t ) V
L
R
e1 (t )
+
C
R
+
e2 (t )
e2 (t ) = 20sin(1000t ) V
R = 1 Ω L = 1 mH
C = 1 mF
a
R2
n 2 R3
R1
Req =
R1 ( R2 + n 2 R3 )
2
R1 + ( R2 + n R3 )
Risultato:
= 1.20 Ω
a) Y&11 = 0.5 Ω −1 , Y&m = 0.5 j Ω −1 , Y&22 = 0.5 − j Ω −1 ;
b) A& er = 75 W , A& er = 50 W + j 200 VAr .
1
2
b
ES. 2.2 - Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente i1 (t ) nel circuito
primario.
ES. 1.7 - Con riferimento alla seguente rete in regime stazionario valutare il generatore
equivalente di Norton visto ai capi dei morsetti a-b
n
a
R2
J
J = 10 A, n = 5
R1 = 0.32 kΩ,
R1
b
L1
i1 (t )
e(t )
+
a
e(t ) = 10 2 sin(1000t ) V
R1
R2
L2
a = 0.1, R1 = 1Ω, R2 = 200Ω,
L1 = 1 mH, L2 = 2 mH
R2 = 0.2 kΩ.
Risultato: a) Req = 20.80 Ω, I cc = 30.77 A .
Per la formula del trasporto dell'impedenza in un trasformatore ideale, il circuito è anche
equivalente al seguente:
L1′
i1 (t )
e(t )
+
R1
a 2 R2
Trasformato il circuito in una rete di impedenze, nella quale si è introdotto il fasore E = 10 V ,
l'impedenza equivalente vista dal generatore è:
a 2 R jω L1′′
Z& eq = R1 + jω L1′ + 2 2
= 2+2j Ω
a R2 + jω L ′′
da cui
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I1 =
ver1.2-2015
E
5
5 − jπ / 4
= (1 − j ) =
e
A
Z& eq 2
2
⇒
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Per la formula del trasporto dell'impedenza in un trasformatore ideale, il circuito è anche
equivalente al seguente:
i1 (t ) = 5sin(1000t − π / 4) A .
L′1
i1 (t )
ES. 2.3 - Con riferimento al seguente circuito valutare la potenza complessa assorbita
dal condensatore.
e(t )
+
R1
a 2 R2
a
j (t ) = 10 2 cos(100t ) A
R1 = R2 = 5 Ω
R2
j (t )
C
L1
R1
Trasformato il circuito in una rete di impedenze, nella quale si è introdotto il fasore E = 10 V ,
l'impedenza equivalente vista dal generatore è:
L1 = 1 mH , C = 12.5 mF
a 2 R jω L1′′
Z& eq = R1 + jω L1′ + 2 2
= 2+2j Ω
a R2 + jω L ′′
a = 0.5
da cui
Risultato: A& = − j 5 VAr .
I1 =
E
5
5 − jπ / 4
= (1 − j ) =
e
A
Z& eq 2
2
⇒
i1 (t ) = 5sin (1000t − π / 4) A .
ES. 2.4 - Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente i1 (t ) nel circuito
ES. 2.5 - Con riferimento al seguente circuito valutare la potenza complessa assorbita
primario.
i1 (t )
dal condensatore.
e(t ) = 10 2 sin (1000t ) V
R1 = 1 Ω R2 = 200 Ω
R1
+
e(t )
L2
L1
R2
L1 = 3 mH
j (t ) = 10 2 cos(100t ) A
R2
L2 = 200 mH
j (t )
M = 20 mH
R1
L1
L2
C
R1 = R2 = 5 Ω
L1 = 1 mH ,
L2 = 4 mH
M = 2 mH , C = 12.5 mF
Poiché L1 L2 ≠ M 2 l'accoppiamento non è perfetto.
Posto L1 = L1′ + L1′′ , possiamo scegliere L1′′ in modo che l'aliquota L1′′ verifichi le condizioni di
Risultato: A& = − j 5 VAr .
accoppiamento perfetto L1′′L2 = M 2 :
L1′′L2 = M 2
⇒
L1′′ = M 2 / L2 = 2 mH .
A questo punto il circuito equivalente sarà il seguente
L′1
i1 (t )
e(t )
+
a
R1
L1′′
R2
a=
L1′′
= 0.1
M
9
10