Le leggi della meccanica
… ed il “punto materiale” …
Flavio
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
1
Il I principio
Il moto “naturale” di un punto materiale è
rettilineo e uniforme
… quindi non circolare (le sfere celesti di
Dante!)
z Possibili correzioni, per ora: la relatività
generale di Einstein
z
Flavi
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
2
La seconda legge della dinamica
z
LA LEGGE DEL MOTO
Forza ed accelerazione sono
proporzionali a meno di una
costante detta
massa del corpo
F = ma
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
FlavioINAMICA
3
Le quantità meccaniche
z
Inventato da Newton
Quantità di moto
Momento lineare
M
Flavio
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
4
Definizione del momento lineare
z
Ecco le unità di misura
[ p ] = [ m v ] = ⎡⎣ m
1
kg s ⎤⎦
1
−1
z Non
ha nome nel SI
z Una
nuova formulazione del II
principio
dp
F=
dt
Flavio
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
5
Definizione del momento lineare
Questa vale anche quando la massa NON
è costante
d p d ( m v ) dm
dv
F=
=
=
v+m
dt
dt
dt
dt
z Esempi di massa non costante
z
z Aerei
(consumano carburante)
z Razzi
z Scale
mobili
z
Flar
Non occorre scomodare Einstein!
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6
Il III principio
Azione e reazione
Flavio r
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
7
Il III principio
z
Newton (ca. 1650)
Le forze si manifestano, in Natura, sempre a
coppie con risultante nulla
Fla W
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
8
Il III principio
z
Attenzione: non necessariamente sulla
stessa linea d’azione
z Esempio?
TUTTO l’elettromagnetismo!
Le forze si manifestano sempre a coppie
z Le forze sono la causa del moto
z Quindi le forze sono il risultato di
interazioni
z
z Che
Flavio
si trasmettono nel vuoto
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
9
Il III principio
z
Non si conoscono eccezioni a questo
principio
Il volume della capocchia di un fiammifero contro
quello di una sfera col diametro da qui alla Luna ….
z Il volume di un granello da 1/10 mm di diametro
(appena visibile ad occhio nudo) contro quello di una
sfera dal diametro di 300 km
z Però, se ci fossero delle eccezioni …
z
Flavio
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
10
Il III principio
QUANDO VEDIAMO CHE
QUALCOSA SI MUOVE,
CERTAMENTE SI È MOSSO
QUALCOS’ ALTRO
o magari si muoverà fra un po’ …
Waldner
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
11
La terza legge della dinamica
z
Attenzione:
necessariamente le forze sono “allineate”
z Non necessariamente appaiono allo stesso istante
z Sono pur sempre dovute a interazioni che si
propagano con velocità c
z Non
z
Lo spazio (il vuoto) viene nel frattempo in
qualche modo modificato
È il campo
a Wald
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
12
La terza legge della dinamica
z
Esempio di due corpi (con masse
costante)
1
⎧massa m1 , forza F
⎨
⎩massa m 2 , forza − F
z
Per la II legge
d p1
F=
dt
Flavio
dp2
−F =
dt
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
2
13
La terza legge della dinamica
z
Quindi otteniamo
d p1 d p 2 d
F −F =
+
= (p1 + p 2 ) = 0
dt
dt
dt
p1 + p 2 = cost
Flavio
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
14
La terza legge della dinamica
Il terzo principio della
dinamica
È equivalente alla
Conservazione del momento
lineare
z
Flavior
Non si può muovere qualcosa, senza che da qualche
parte, prima o poi, si muova qualcos’altro!
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
15
Il momento angolare
z
… lo schema
O
z … e la definizione
θ
P
p
r
LO = r ∧ p = r ×p
LO = r p sin θ
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
16
Il momento angolare
z
È un vettore
z
Perpendicolare
z alla
velocità
piano individuato dalla velocità e da un punto
fisso
z al
z
Ha senso solo se è specificato un punto di
riferimento
z Momento
angolare di P rispetto ad O
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
17
Il momento angolare
z
Unità di misura:
[ L ] = ⎡⎣ m
2
kg s ⎤⎦
1
−1
unità che non ha nome nel SI
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
18
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
19
Il momento angolare
z
Partiamo da un punto materiale
z Prendiamo
un punto fisso O
z Individuiamo il punto con un raggio vettore r
z Teniamo presente il momento lineare del punto
z Infine costruiamo il vettore momento angolare (o
momento della quantità di moto)
Lo = r ∧ p
z
Il momento angolare è sempre definito
rispetto ad un punto (polo)
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
20
Il momento angolare
z
Calcoliamo le sue componenti cartesiane
xˆ
Lo = r ∧ p = x
px
yˆ
y
py
zˆ
z =
pz
= xˆ ⎡⎣ ypz − zp y ⎤⎦ + yˆ [ zpx − xpz ] + zˆ ⎡⎣ xp y − ypx ⎤⎦
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
21
Il momento angolare
z
Esplicitamente
⎧ Lx = ypz − zp y
⎪
⎨ Ly = zpx − xpz
⎪ L = xp − yp
y
x
⎩ z
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
22
E per un sistema di punti?
z
Il momento angolare viene definito come
la somma dei momenti angolari dei singoli
punti
L o = ∑ rk ∧ p k
k
z
...oppure come un integrale, per un
sistema continuo
Lo = ∫ r ∧ d p = ∫ r ∧ vρ dV
C
C
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
23
UN PUNTO...
z
…con moto circolare nel piano xy
z
y
x
r
P
z
p
È il caso più semplice
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
24
Qualche ricordo...
z
…delle espressioni di coordinate e
velocità nel moto circolare
⎧⎪ x = r cos (ω t + ϕ )
⎨
⎪⎩ y = r sin (ω t + ϕ )
z
⎧⎪ x& = − rω sin (ω t + ϕ ) = −ω y
⎨
⎪⎩ y& = rω cos (ω t + ϕ ) = ω x
…e poi torniamo all’espressione standard
del prodotto esterno
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
25
UN PUNTO...
xˆ
yˆ
zˆ
Lo = r ∧ p = x
y 0 = m ( xy& − yx& ) zˆ
mx& my& 0
= m ( x [ω x ] − y [ −ω y ]) zˆ
2
ˆ
= m ( x + y ) ω z = mω r zˆ
2
2
= ( mr 2 ) ω zˆ = I zω zˆ = I z ω
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
26
ATTENZIONE
•
•
•
•
D’ora in avanti la velocità angolare sarà
un
VETTORE
Modulo: quello della solita velocità
angolare
Direzione: perpendicolare al piano di
rotazione
Verso: quello per cui si vede la rotazione
avvenire in senso antiorario
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
27
Caso particolare
z
Viene definito il
momento d’inerzia
di un punto
I z = mr
2
z
... rispetto ad un asse!
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
28
Alcune prime analogie...
z
...per evitare di ricordarsi troppe formule
Lo = I z ω
P = mv
⎧m → I z
⎨
⎩v → ω
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
29
Conservazione del momento
angolare
z
Riprendiamo la definizione...
Lo = r ∧ p
z
...e deriviamola
dLo dr
dp
=
∧p +r ∧
dt
dt
dt
= v ∧ mv + r ∧ F = 0 + τ 0
dLo
= τ0
dt
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
τ0 = r ∧ F
30
Conservazione del momento
angolare
z
Definiamo così una nuova quantità
r ∧ F = τ0
il momento meccanico di una forza
rispetto ad un punto fisso O
(o momento della forza rispetto ad O)
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
31
Conservazione del momento
angolare
z
Anzitutto otteniamo la legge per il moto
rotatorio
dLo
= τ0
dt
z
Notate di nuovo le analogie con la II legge
⎧F → τ0
d
P
della dinamica = F
⎨
dt
⎩P → L0
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
32
Conservazione del momento
angolare
z
Quindi abbiamo che
L o = cost ⇒
z
dLo
= 0 ⇒ τ0 = 0
dt
Questo succede in tre casi
⎧r = 0 forza su O
⎪
τ 0 = 0 ⇒ r ∧ F = 0 ⇒ ⎨F = 0 moto uniforme
⎪r // F forza centrale
⎩
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
33
Analogie
z
Le formule della meccanica rotazionale
per corpi con asse fisso sono analoghe a
quelle del punto materiale a patto di fare
le sostituzioni
⎧m → I z
⎪v → ω
⎪
⎨
P
→
L
0
⎪
⎪⎩F → τ 0
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34
Le quantità meccaniche
z
Se si fa del lavoro su un punto …
dL = F ds
… vale il teorema dell’energia cinetica
⎛1
2⎞
dL = F ds = d ⎜ Mv ⎟
⎝2
⎠
⎛1
2⎞
L = Δ ⎜ Mv ⎟ = K fin − K in
⎝2
⎠
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
35
Il lavoro fatto da tutte le
forze su un punto è pari
alla
variazione di energia
cinetica
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
36
Le quantità meccaniche
z
L’energia cinetica
1
2
K = Mv
2
è definita a meno di una costante additiva
(!)
z Nel SI l’unità di misura è il joule
[ K ] = ⎡⎣ m kg s
2
1 −2
⎤⎦ = J
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
37
ALTRE CONSEGUENZE
d LO d (r ×p ) d r
dp
=
=
= ×p + r ×
dt
dt
dt
dt
= r ×F = τ 0
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
38
ALTRE CONSEGUENZE
d LO
= r ×F = τ 0
dt
La quantità τ 0si chiama momento
meccanico
z Le dimensioni sono
z
[τ 0 ] = ⎡⎣ m kg s
2
1 −2
⎤⎦ = N m (... = J ? )
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
39
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
40
ALTRE CONSEGUENZE
z
Attenzione:
Nm
e non viceversa (confusione con
milli-newton )
z Non joule …
z
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
41
ALTRE CONSEGUENZE
dLOz E se
= r ×F = τ 0 = 0
dt
z
z
L O = cost
… allora
… e questo succede solo in uno dei tre casi
r=0
1.
2.
3.
Siamo sull’asse
F
=
0
A forza totale è nulla
La forza è diretta sempre verso lo stesso punto
(forza centrale) r // F
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
42
