Esercizio 3.1 La tabella 3.1 del testo presenta tutti i panieri di serate

Microeconomia - Introduzione all'economia politica
Stefano Staffolani
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Esercizio 3.1
La tabella 3.1 del testo presenta tutti i panieri di serate in discoteca (per colonna)
e di cene al ristorante (per riga), per valori compresi tra 0 e 8 delle due grandezze.
Un reddito di 260, prezzi della serata in discoteca di 20 e della cena al ristotante di 20,
come indicato dal testo, fanno si che solo in panieri indicati nella tabella seguente siano
raggiungibili dall’individuo:
cene al
ristorante
1
2
3
4
5
6
7
8
1
6
8
10
12
13
15
16
17
2
8
11
14
16
18
19
21
22
serate in discoteca
3
4
5
6
9 10 11 12
13 15 16 17
16 18 20 21
19 21 23 25
21 23 26 27
23 26 28 30
25 28 30 33
26 30 32
7
13
18
23
26
29
32
8
14
19
24
28
31
In effetti, dato il reddito e prezzi, l’individuo può permettersi un massimo di 13
uscite.
L’utilità massima raggiungibile dall’individuo si trova in corrispondenza del paniere composto da 6 serate in discoteca e 7 cene al ristorante. Questo sarà quindi il paniere
scelto dall’individuo.
1
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Esercizio 3.2
Data la funzione di utilità presentata nel testo, e ricordando che il saggio marginale
di sostituzione tra i beni x1 e x2 è il rapporto tra l’utilità marginale del bene 1 e l’utilità
marginale del bene 2, cioè che:
MRS(x2 , x1 ) =
du
dx1
du
dx2
calcoliamo l’utilità marginale rispetto x1 :
MU1 (x1 , x2 ) =
√
du
= 7 x2
dx1
e l’utilità marginale rispetto x2 :
MU2 (x1 , x2 ) =
du
7 x1
= √
dx2
2 x2
Il rapporto tra le due equazioni dal luogo al saggio marginale di sostituzione:
√
7 x2
x2
MRS(x2 , x1 ) = 7 x1
⇒
MRS(x2 , x1 ) = 2
√
x
1
2 x
2
2
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Esercizio 3.3
Il vincolo di bilancio con m = 1000, p1 = 4 e p2 = 16 è quello più marcato della
figura seguente, in quanto la sua intercetta verticale è data da pm2 = 1000
16 = 62.5 e la sua
m
1000
intercetta orizzontale da p1 = 4 = 250.
I vincoli richiesti dal testo dell’esercizio sono indicati con lettere (le modifiche
indicate nel testo fanno tutte riferimento al vincolo iniziale, quello più marcato della
figura):
• a) se p1 raddoppia, l’intercetta verticale non cambia mentre quella orizzontale
diventa 1000
8 = 125;
• b) se p2 si dimezza, l’intercetta verticale diventa
zontale non cambia;
• c) se m si dimezza, l’intercetta verticale diventa
diventa 500
4 = 125;
1000
8
500
16
= 125 mentre quella oriz-
= 31.25 e quella orizzontale
• d) se p1 si dimezza e m raddoppia, l’intercetta verticale diventa
quella orizzontale 2000
2 = 1000;
2000
16
= 125 e
• e) se p1 e p2 raddoppiano, l’intercetta verticale diventa 1000
32 = 31.25 e quella
1000
orizzontale 8 = 125. Si noti che si ottiene lo stesso vincolo di bilancio che
nel caso del reddito che si dimezzava, infatti per un individuo avere un reddito
ridotto della metà o avere i prezzi di tutti i beni acquistati che raddoppiano è
equivalente,
• f) se p2 raddoppia e m si dimezza, l’intercetta verticale diventa
quella orizzontale 500
4 = 125
500
32
= 15.725 e
Figura 1: Differenti vincoli di bilancio
x2
125
b
62.5
31.25
15.725
c,e
d
a
f
250
125
3
500
x1
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Esercizio 3.4
Riprendiamo il sistema 3.6 del testo che permette di risolvere in generale problemi
di scelta ottima del consumatore:
(
|MRS(x2 , x1 )| = pp21
x2 =
m
p2
−
p1
p2 x1
Nel caso proposto nell’esercizio il |MRS(x
2 , x1 )|, che sappiamo essere dato dal rapdu
porto tra l’utilità marginale del bene 1, dx
= 4x1 x2 e utilità marginale del bene 2
1
2x1 x2
x2
du
2
dx2 = 2x1 , quindi MRS(x2 , x1 ) = 2x2 = 2 x1 . Inoltre sappiamo che m = 150 e che
1
p2 = 1. Applicando questi dati al sistema precedente:
(
2 xx12 = p1
x2 = 150 − p1 x1
dalla prima equazione: x2 =
Risolvendo in x1 otteniamo:
p1
2 x1 .
Sostituendo nella seconda:
x1∗ =
p1
2 x1
= 150 − p1 x1 .
100
p1
che rappresenta la funzione di domanda del bene 1 da parte del consumatore.
4
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Esercizio 3.5
Sappiamo che il sistema 3.6 del testo ci permette di calcolare le funzioni di domanda dei due beni. Al fine di rispondere alla domanda posta nell’esercizio ci è però sufficiente conoscere il rapporto tra x1 e x2 , che sappiamo essere definito dall’uguaglianza
tra saggio marginale di sostituzione e rapporto dei prezzi (cioè, ci basta impostare la
prima equazione del sistema 3.6).
Data la funzione di utilità dell’esercizio, il saggio marginale di sostituzione è:
|MRS(x2 , x1 )| =
2 2
1 −3 3
x
x2
1
3
1 −1
2 3
3
3 x1 x2
Sappiamo che |MRS(x2 , x1 )| =
p1
p2 ,
⇒
MRS(x2 , x1 ) =
1 x2
2 x1
cioè che deve valere:
1 x2
1
=
2 x1
5
che può essere risolto in x2 :
2
x2 = x1
5
Fra le tre opzioni presentate nel testo, soltanto quella indicata con la lettera a) (x1 =
1000, x2 = 400) soddisfa l’equazione precedente e rappresenta quindi l’unica soluzione
“ottima” per il consumatore.
5
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Esercizio 3.6
Rispetto agli esercizi precedenti, la “novità” dell’esercizio sta nel fatto che il consumatore, invece di disporre di un reddito monetario, dispone di determinate quantità
dei due beni, di cui conosciamo i prezzi.
Per risolvere l’esercizio si possono utilizzare differenti metodologie, ma la più semplice ci sembra essere quella di considerare che l’individuo venda le quantità di beni di
cui dispone, ottenga il tradizionale reddito monetario e decida quindi quanto acquistare
dei due beni. Ovviamente, questo è solo un modo per risolvere l’esercizio utilizzando
la solita metodologia, perchè, come vedremo alla fine dell’esercizio, nella realtà non
c’è nessun motivo per cui venda tutto e poi acquisti di nuovo.
Se vende tutti i suoi beni ottiene un reddito monetario pari a m = 3 · 10 + 2 · 3 = 36.
Quindi è “come se” l’individuo avesse un reddito di 36. Impostiamo il sistema 3.6 con
i dati dell’esercizio:
(
x2
3
x1 = 2
3
x2 = 36
2 − 2 x1
Dalla prima equazione: x2 = 32 x1 ; sostituendo nella seconda:
3
3
x1 = 18 − x1
2
2
Quindi, x1∗ = 6 e x2∗ = 9
Ma l’individuo, in realtà, disponeva di 10 unità del bene 1 e 3 unità del bene 2. Questo vuol dire che effettivamente dovrà vendere 4 = 10 − 6 unità del bene 1 e acquistare
6 = 9 − 3 unità del bene 2.
Al fine di controllo, verifichiamo che l’incasso derivante dalla vendita del bene 1
sia uguale alla spesa per il bene 2. Vendendo 4 unità del bene 1, incassa 4 · 3 = 12.
Acquistando 6 unità del bene 2, spende 6 · 2 = 12. Quindi gli incassi e la spesa si
equivalgono.
L’individuo, grazie a questi scambi, ottiene una utilità maggiore. Infatti, la sua
utilità prima dello scambio era data da:
u = 7 · 10 · 3 = 210
La sua utilità dopo lo scambio è invece data da:
u = 7 · 6 · 9 = 378
Lo scambio dei beni ha migliorato il suo benessere.
6
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Esercizio 3.7
Il testo ci fornisce già il saggio marginale di sostituzione, quindi possiamo subito
impostare il sistema 3.6:
(
2 xx12 = p21
p1
x2 = 60
2 − 2 x1
Dalla prima equazione, x2 =
p1
4 x1
(sentiero di espansione). Sostituendo nella seconda:
p1
120 p1
x1 =
− x1
4
2
2
da cui: x1∗ = 80
p1 è la funzione di domanda del bene 1.
Se p1 = 6, la quantità consumata del bene 1 è pari a 80
6 e la spesa per il bene 1 è
pari a 6 · 80
=
80.
Dato
che
il
reddito
è
pari
a
120,
la
quota
del
reddito spesa per il bene
6
80
2
1 è: 120 = 3
Quindi il nostro individuo spenderà i 23 del proprio reddito per il bene 1 e il restante
1
3 per il bene 2.
7
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Esercizio 3.8
La soluzione è sempre basata sul sistema 3.6 del testo. Il saggio marginale di
sostituzione della funzione del testo è dato da MRS(x2 , x1 ) = 2 xx12 . L’uguaglianza del
MRS con il rapporto dei prezzi porta a: x2 = 2 pp21 x1 .
p1
Sostituendo questo risultato nel vincolo di bilancio: 2 pp12 x1 = 100
p2 − p2 x1 , da cui
otteniamo la funzione di domanda per il bene 1:
x1∗ =
100
3p1
Sostituendo nell’equazione che emergeva dall’eguaglianza tra MSR e rapporto tra i
prezzi:
p1 100
200
x2 = 2
⇒
x2∗ =
p2 3p1
3p2
Abbiamo quindi ottenuto le funzioni di domanda dei due beni. Si noti che in questo
caso i beni sono indipendenti tra loro, perché il prezzo di ognuno dei due beni influenza
soltanto la quantità consumata dello stesso bene.
8
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Esercizio 3.9
La metodologia per la soluzione dell’esercizio è sempre basata sul sistema 3.6:
(
p1
2+5x2
5x1 = 2
p1
x2 = 500
5 − 5 x1
La prima equazione, risolta in x2 , porta a:
x2 =
1
2
p1 x1 −
2
5
Sostituendo nella seconda:
2
p1
1
p1 x1 − = 100 − x1
2
5
5
Che è la funzione di domanda del bene 1.
9
⇒
x1∗ =
1004
7p1
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Esercizio 3.10
Due beni sono perfettamente sostituibili tra di loro quando il saggio marginale di
sostituzione è costante, cioè quando non dipende né da x1 né da x2 . In questo caso,
infatti, la pendenza dell’isoquanto deve essere costante e, pertanto, l’isoquanto deve
essere una retta.
Nel caso A), MRS = c32 ; dipende quindi dal consumo del bene 2 (qui indicato con
la lettera c), pertanto i beni non sono perfetti sostituti.
Nel caso B), MRS = 4c22 ; pertanto i beni non sono perfetti sostituti.
Nel caso C), MRS = cc21 : pertanto i beni non sono perfetti sostituti.
Nel caso D), MRS = 53 ; quindi non dipende né da c1 né da c2 . I beni sono perfettamente sostituibili tra loro.
10
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Esercizio 3.11
La perfetta complementarierà descritta nell’esercizio riguarda la produzione, ma la
metodologia di analisi è la stessa che per il consumo. Dato che per produrre una unità
del bene finale si utilizzano 3 unità di capitale, 6 unità di materie prime e 2 di terra, tutte
le quantità eccedenti questi rapporti fissi non servirebbero ad aumentare la produzione
(o, se fossimo nel caso del consumatore, non aumenterebbero l’utilità).
Con 18 unità di capitale sarebbe possibile produrre 6 unità del bene, con 36 unità di
materie prime sarebbe possibile produrre 6 unità dl bene, con 10 unità di terra sarebbe
possibile produrre 5 unità del bene.
Ma, dato che i tre fattori produttivi devono essere utilizzati congiuntamente, il
“vincolo” è costituito dalle 10 unità di terra.
Con 10 unità di terra, servono 15 unità di capitale e 30 d materie prime. Pertanto le
ulteriori 3 unità di capitale e 6 di materie prime disponibili sono completamente inutili.
11
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Esercizio 3.12
L’esercizio ci fornisce il valore dell’elasticità della domanda rispetto al prezzo, pari
a −3. Conosciamo inoltre il prezzo del bene, px = 10 e la quantità acquistata del bene,
x = 100. Conosciamo quindi anche la spesa per il bene x: Ex = 10 · 100 = 1000.
L’esercizio di chiede di calcolare la variazione della spesa totale se il prezzo au1
= 0.01). Consideriamo la definizione di elasticità
menta dell’1% (cioè se dpp = 100
della domanda al prezzo:
εx,px =
dx
x
dp
p
Di questa equazione conosciamo il valore dell’elasticità εx,p = −3 e il valore della
variazione relativa del prezzo: dppx = 0.01. Conosciamo anche la quantità consumata,
x = 100. Sostituendo nella precedente equazione:
−3 =
dx
100
0.01
⇒
(−3 · 0.01) · 100 = dx
da cui, dx = −3. Pertanto, la quantità che verra consumata dopo la variazione del
prezzo sarà pari a 100 − 3 = 97. Quindi, dato che il prezzo è pari a 10.1 (era pari a
10 ed è aumentato dell’1%), la spesa complessiva dopo l’aumento di prezzo è pari a
Ex = 10.1 · 97 = 979.7. La spesa si è pertanto ridotta di 1000 − 979.7 = 21.3.
Si noti che l’esercizio poteva essere risolto anche utilizzando il concetto di elasticità
della spesa al prezzo εEx ,px = εx,px − 1.
12
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Esercizio 3.13
La funzione di utilità proposta nel testo porta al saggio marginale di sostituzione:
MRS(x2, x1) =
x2
x1
Impostiamo il sistema 3.26 considerando che il prezzo del bene 2 è pari a a p2 = 1 e il
reddito pari a m:
(
x2
x1 = p1
x2 = m − p1 x1
Risolviamo in x2 la prima equazione e sostituiamo nella seconda:
p1 x1 = m − p1 x1
⇒
x1 =
m 1
2 p1
Che rappresenta la funzione di domanda per il bene 1, che dipende positivamente dal
reddito e negativamente dal prezzo.
Per il calcolo dell’elasticità della domanda al prezzo possiamo:
• passare ai logaritmi: ln(x1 ) = ln m2 − ln(p1 ). L’elasticità può essere scritdln(x1 )
e pertanto è sufficiente differenziare l’equazione, ottenendo
ta: εx1 ,p1 = dln(p
1)
εx1 ,p1 = −1
• applicare la formula dell’elasticità: εx1 ,p1 = ddxp11 xp11 alla funzione di domanda,
ottenendo:
p1
m 1
m 1 p1
⇒
εx1 ,p1 = −
εx1 ,p1 = −
2 p21 x1
2 p21 m2 p1
1
che semplificando, da ovviamente lo stesso risultano visto prima: εx1 ,p1 = −1.
Un aumento del prezzo dell’1% porterebbe quindi ad una riduzione della quantità
domandata dall’individuo dell’1%.
13
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Esercizio 3.14
Data la funzione di domanda proposta nell’esercizio, possiamo calcolare facilmente
l’elasticità della domanda al prezzo:
εx,p = −6
p
120 − 6p
Sappiamo che l’elasticità della domanda al prezzo è pari a −3. Pertanto:
−3 = −6
p
120 − 6p
⇒
da cui si ottiene p = 15.
14
120 − 6p = 2p
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Esercizio 3.15
Il testo dell’esercizio ci fornisce informazioni sull’elasticità della domanda al prezzo, pari a −3, e ci dice il livello del prezzo, p = 10 e della quantità consumata dall’individuo, x = 100. Ci dice anche, quindi, che la spesa dell’individuo (E = p · x) per il
bene x è pari a 1000 = 10 · 100. Dato che il prezzo aumenta del 10%, sappiamo che la
quantità domandata dal consumatore si ridurra del 30%. Cioè sappiamo che il prezzo
aumenta da 10 a 11 (aumento del 10%) e che la quantità domanda si riduce da 100 a
70 (riduzione del 30%). La spesa dell’individuo sarà allora pari a 770 = 11 · 70.
In seguito all’aumento del prezzo, l’individuo spenderà 230 euro in meno per il
bene x.
Un metodo alternativo per ottenere la soluzione parte dalla definizione dell’elasticità della spesa al prezzo εE,p = εx,p + 1 (vedi testo). Pertanto, nel nostro caso vale
εE,p = −2. Se il prezzo aumenta del 10%, la spesa si deve ridurre del 20%, cioè deve
passare da 1000 a 800, cioè ridursi di 200.
Si noti che non otteniamo precisamente la stessa riduzione di spesa che avevamo
ottenuto prima. Questo perché le definizioni di elasticità che utilizziamo sono valide per variazione infinitamente piccole del prezzo, mentre nel testo dell’esercizio la
variazione del prezzo era del 10%, cioè di dimensione rilevante.
I due procedimenti descritti vanno comunque ambedue bene per ottenere la soluzione.
15
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Esercizio 3.16
Il testo ci fornisce una funzione di domanda lineare, e ci chiede di calcolare il
prezzo al quale corrisponde la spesa massima da parte del consumatore. Dato che la
spesa (E) è data dal prodotto tra prezzo e quantità acquistata, cioè dato E(p) = p · x(p),
e data la funzione di domanda, possiamo scrivere:
1
1
⇒
E(p) = 8p − p2
E(p) = p 8 − p
2
2
La massimizzazione della spesa si ottiene per
8− p = 0
⇒
dE
dp
= 0, cioè per:
p=8
Al prezzo di p = 8, la spesa sostenuta dal consumatore è data da E(8) = 64 − 32 = 32.
Controlliamo adesso che per p = 8 l’elasticità della domanda al prezzo è uguale
all’unità (come deve verificarsi per avere un massimo nella funzione di spesa).
Sappiamo che:
εx, p =
dx p
dp x
⇒
εx, p = −
1 p
2 8 − 12 p
questa elasticità deve essere pari a −1 (1 in valore assoluto), cioè:
−1 = −
1 p
2 8 − 21 p
⇒
1
2(8 − p) = p
2
⇒
16 − p = p
da cui si ottiene ovviamente p = 8. Cioè, il prezzo che massimizza la spesa totale è
anche quello per cui vale che l’elasticità della domanda al prezzo è pari a −1.
16
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Esercizio 3.17
La funzione di domanda del bene x ci permette di calcolare l’elasticità rispetto al
reddito:
dx m
1
1
m
20 − 2m
εx,m =
⇒
εx,m =
− m
⇒
εx,m =
m
m2
dm x
5 50
20 − m
−
5
100
Se calcoliamo l’elasticità per m=12 otteniamo: εx,m = − 12 . Se Il reddito aumenta
dell’ 1%, la quantità domandata del bene x si riduce dello 0.50%. Il bene, per m = 12,
è quindi un bene inferiore.
In generale, dalla funzione di domanda sappiamo che x > 0 se m < 20. Se il reddito
fosse superiore a 20, il bene x non sarebbe acquistato dal nostro consumatore.
Dall’equazione che definisce l’elasticità, sappiamo inoltre che, per m < 20, 20−2m
20−m <
0 se m > 10. Pertanto possiamo concludere che il bene x è un bene normale se m ≤ 10
ed è un bene inferiore per 10 < m ≤ 20.
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Esercizio 3.18
La funzione di utilità del testo permette di calcolare il saggio marginale di sostituzione tra i bene 2 e 1: |MRS(x2 , x1 )| = 2 xx12 . Il rapporto tra il prezzo del bene 1 e
il prezzo del bene 2 è pari 16
4 = 4, dall’uguaglianza tra MRS e rapporto trai prezzi
possiamo scrivere:
x2
2 =4
⇒
x2 = 2x1
x1
Sostituendox2 nel vincolo di bilancio (m = p1 x1 + p2 x2 ):
m = 16x1 + 4(2x1 )
⇒
m = 24x1
⇒
x1 =
1
m
24
che rappresenta la funzione di domanda del bene 1 in funzione del reddito. Il bene x1
è quindi un bene normale, e la sua funzione di domanda engeliana è rappresentata da
una retta inclinata postivamente che esce dall’origine.
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Esercizio 3.19
1 2
Sostituendo p = 10 nella funzione di domanda, possiamo scrivere: x = 5m − 10
m .
Si noti che per avere un consumo positivo (x > 0) occorre che valga m < 50. Per
valutare se il bene x è un bene inferiore, dobbiamo calcolare l’elasticità della quantità
consumata del bene al reddito:
1
m
50 − 2m
dx m
⇒
εx,m = 5 − m
⇒
εx,m =
εx,m =
1 2
dm x
5
50 − m
5m − 10
m
Se questa elasticità è negativa, cioè se vale:
m < 50), allora il bene x è inferiore.
19
50−2m
50−m
< 0, cioè m > 25 (e, ovviamente,
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Esercizio 3.20
Supponiamo che l’individuo, date le sue disponibilità finanziarie, i prezzi dei beni
e le sue preferenze, abbia scelto il paniere contrassegnato con A nella figura in alto.
L’aumento del prezzo del bene 1 sposta il vincolo di bilancio facendolo ruotare in
senso orario con perno sull’intercetta dell’asse verticale, fino a quello descritto dalla
retta tratteggiata della figura in alto.
x2
xA
2
xB
2
A
B
uA
uB
xB
1
xA
1
x1
x2
effetto
sostituzione(+)
C
effetto
reddito(-)
xA
2
xB
2
A
B
uA
uB
xB
1
effetto
reddito (-)
xA
1
x1
effetto
sostituzione (-)
Se i beni 1 e 2 sono complementari, come ipotizzato nel testo, all’aumento del prezzo del bene 1 deve corrispondere una riduzione nella quantità consumata dei due beni.
Supponiamo che la scelta dell’individuo sia quella del paniere B, dove all’aumento del
prezzo del bene 1 corrisponde una riduzione della quantità consumata di ambedue i
beni.
L’analisi dell’effetto reddito e dell’effetto sostituzione è presentata nel secondo grafico, dove abbiamo costruito un nuovo vincolo di bilancio tale che l’individuo si trovi
sulla stessa curva di indifferenza in cui si trovava prima dell’aumento del prezzo (uA)
ma con una pendenza definita dal rapporto tra i prezzi dopo l’aumento del prezzo del
20
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bene 1.
In questo modo individuiamo il paniere C (paniere che sarebbe stato scelto dall’individuo se la sua utilità fosse stata pari a quella iniziale ma i prezzi relativi quelli
successivi all’aumento di p1 ).
Nel passaggio tra A e C l’individuo sostituisce i beni tra di loro a parità di utilità.
Quindi il passaggio da A a C individua l’effetto sostituzione.
Il passaggio tra C e B tiene conto del fatto che l’aumento di p1 , a parità di reddito,
non permette più di raggiungere l’utilità uA e che l’individuo deve accontarsi dell’utilità
uB. Questo passaggio individua l’effetto reddito, per ambedue i beni.
21
Microeconomia - Introduzione all'economia politica
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Esercizio 3.21
La figura seguente rappresenta con il paniere A la scelta ottimale del consumatore
descritto dal testo. La riduzione del prezzo del bene 1 fa ruotare il vincolo di bilancio
in senso antiorario, con perno sull’intercetta verticale ( pm2 ). Il nuovo equilibrio, come
richiesto dal testo, è caratterizzato dal fatto che εx2 ,p1 = 0, che vuol semplicemente dire
che la quantità consumata del bene 2 non dipende dal prezzo del bene 1.
x2
m/p
2
effetto
reddito(+)
xA2=xB
2
A
m/p2
C
B
uA
effetto
sostituzione(-)
xA
1
x1
xB
1
effetto
sostituzione (+)
uB
effetto
reddito (+)
Pertanto, da un punto di vista grafico, la riduzione del prezzo del bene 1 non deve
modificare la quantità consumata del bene 2. Usando la simbologia del grafico, deve
cioè valere xA2 = xB2 . La riduzione del prezzo del bene 1 avrà allora l’effetto di
aumentare il consumo del bene 1 senza modificare quello del bene 2.
Al fine di valutare l’effetto reddito e l’effetto sostituzione, costruiamo un nuovo
vincolo di bilancio tale che l’individuo si trovi sulla stessa curva di indifferenza in
cui si trovava prima della riduzione del prezzo (uA) ma con una pendenza definita dal
rapporto tra i prezzi dopo la riduzione del prezzo del bene 1.
Questo nuovo vincolo ci permette di definire il paniere C, e di individuare l’effetto
reddito e sostituzione. Questi due effetti si compensano per quanto riguarda il bene 2
(che è relativamente più costoso e sarebbe quindi consumato di meno, ma l’incremento
di reddito reale spingerebbe a consumarlo in maggiori quantità) mentre vanno ambedue
nella direzione di aumentare il consumo del bene 1.
22
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Esercizio 3.22
Al fine di calcolare l’elasticità della domanda del bene 1 rispetto al prezzo del bene
2 è sufficiente considerare soltanto la funzione di domanda del bene 1, che il testo ci
fornisce in forma inversa:
p1 = 250 − 0.25x1 − 0.1p2
che può essere scritta:
x1 = 1000 − 4p1 − 0.4p2
Visto che ci interessa solo l’elasticità incrociata, possiamo sostituire nell’equazione
p1 = 100, ottenendo:
x1 = 600 − 0.4p2
da cui:
εx1 ,p2 = −0.4 ·
p2
600 − 0.4p2
che, per p2 = 1000, da come risultato εx1 ,p2 = −2.
23
Microeconomia - Introduzione all'economia politica
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Esercizio 3.23
Dalla funzione di domanda proposta nel testo, passando ai logaritmi si ottiene:
ln(x1 ) = a · ln(p1 ) + b · ln(p2 ) + c · ln(m)
Dato che l’elasticità di una funzione è sempre data dalla dalla derivata logaritmica (vedi
paragrafo 2.1.1.3 e equazione 2.7), a, b e c rappresentano rispettivamente l’elasticità
della domanda del bene 1 al proprio prezzo, al prezzo del bene 2 e al reddito.
Per far si che il bene x1 sia a domanda rigida occorre allora che |a| < 1.
Per far si che i beni 1 e 2 siano succedanei (sostituti) occorre che b > 0.
Il bene 1 è un bene di lusso se vale c > 1.
24
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Esercizio 3.24
La funzione di utilità del testo porta ad un saggio marginale di sostituzione tra i
due beni dato da: MRS(x2 , x1 ) = xx12 . L’uguaglianza tra MRS e rapporto tra i prezzi (per
p2 = 1) porta alla relazione che definisce il sentiero di espansione:
x2 = p1 x1
Sostituendo questa relazione nel vincolo di bilancio (sempre per p2 = 1 e con m reddito
esogeno dell’individuo:) otteniamo:
m = p1 x1 + 1 · x2
⇒
⇒
m = p1 x1 + p1 x1
m = 2p1 x1
da cui otteniamo i valori ottimali delle quantità consumate dei due beni:
x1∗ =
m
2p1
m
2
L’utilità indiretta si ottiene sostituendo i valori ottimali nella funzione di utilità:
x2∗ =
u∗ = x1∗ x2∗
⇒
u∗ (m, p1 ) =
m m
2p1 2
⇒
u∗ (m, p1 ) =
m2
4p1
L’utilità che otterebbe l’individuo se p1 aumentasse del 20% sarebbe allora pari a:
u∗ (m, 1.2p1 ) =
m2
4 · (1.2p1 )
⇒
u∗ (m, 1.2p1 ) =
m2
4.8p1
A quanto dovrebbe ammontare il reddito per far si che l’utilità sia pari a quella che
otteneva prima dell’aumento di prezzo? Definiamo questo reddito con M. Deve valere
che u∗ (m, p1 ) = u∗ (M, 1.2p1 ), cioè che:
m2
M2
=
4p1
4.8p1
⇒
1.2m2 = M 2
⇒
M=
√
1.2m
√
Il reddito deve quindi crescere di 1.2 − 1 = 9.545%.
Se a fronte di un aumento del prezzo del bene 1 del 20% il reddito aumentasse del
9.545% l’individuo manterrebbe invariata la sua utilità.
25
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Esercizio 3.25
Per poter calcolare l’indice di Laspeyres, occorre prima di tutto calcolare le quantità
consumate dall’individuo al tempo t e al tempo t − 1.
Data la funzione di utilità, l’uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione e
rapporto tra i prezzi porta a:
p1
x2 = x1
p2
e, sostituendo nel vincolo di bilancio:
p1
m = p1 x1 p2
x1
p2
da cui:
x1∗ =
m
2p1
⇒
m = 2p1 x1
x2∗ =
⇒
m
2p2
Sappiamo che al tempo t − 1, p1 = 2 e p2 = 3. Quindi, x1∗ = m4 e x2∗ = m6 . Sappiamo
anche che al tempo t, p01 = 2 e p02 = 4 (dove l’apice indica il tempo t, come nel testo.).
Siamo allora in grado di calcolare l’indice di Laspeyres (vedi pagina 174 del testo):
2 · m4 + 4 · m6
p01 x1∗ + p02 x2∗
=
p1 x1∗ p2 x2∗
2 · m4 + 3 · m6
⇒
7
p01 x1∗ + p02 x2∗
6m
=
p1 x1∗ p2 x2∗
m
Quindi m si semplifica, e otteniamo:
p01 x1∗ + p02 x2∗
7
= ' 1.167
∗
∗
p1 x1 p2 x2
6
Possiamo quindi anche dire che il tasso di inflazione è del 16.7%.
26
Microeconomia - Introduzione all'economia politica
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Esercizio 3.26
ATTENZIONE: Nel testo è presente un errore di digitazione. Dopo le equazioni,
occorre leggere:
“Se il prezzo di equilibrio del bene 2 è pari a 1 e il prezzo del bene 1 aumenta da 12 a
1”
Dato che, prima dell’aumento, il prezzo del bene 2 è pari a 1 e il prezzo del bene 1
pari a 12 , dalle funzioni di domanda del testo otteniamo che x1 = 10 e x2 = 2.625.
Dopo l’aumento di prezzo del bene 1 (che passa da 21 a 1) otteniamo invece: x1 =
9.5 e x2 = 2.75.
Il surplus del consumatore (S) è dato dall’area del triangolo disegnato nella figura
3.16 del testo e in generale è definito dall’ intercetta verticale (a) della funzione inversa
di domanda meno il prezzo del bene (p) per la quantità consumata (x) diviso per 2:
S=
(a − p)x
2
Le funzioni inverse di domanda nei due mercati sono:
1
p1 = 10 + p2 − x1
2
⇒
1
p2 = 6 + p1 − 2x2
2
L’intercetta verticale nel mercato 1 è data da a = 10.5 (poiché p2 = 1 vale sempre),
l’intercetta verticale nel mercato 2 è data da a = 6.25 quando p1 = 12 e da a = 6.5
quando p1 = 1
Pertanto, per p1 = 12 :
S1 =
(10.5 − 0.5)10
= 50
2
⇒
S2 =
(6.25 − 1)2.625
= 6.891
2
⇒
S = 56.891
(6.5 − 1)2.75
= 7.563
2
⇒
S = 49.895
Mentre, per p1 = 1:
S1 =
(10.5 − 1)9.5
= 42.32
2
⇒
S2 =
La perdita del surplus per il nostro consumatore è allora pari a 56.891 − 49.895 =
6.996.
27
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Esercizio 3.27
Calcoliamo il surplus del consumatore per p = 1.5, tenendo conto che, per p = 1.5,
la quantità di benzina consumata è pari a 10, y = 10
S=
(2 − 1.5)10
= 2.5
2
Calcoliamo il surplus del consumatore per p = 1.51
S=
(2 − 1.51)9.8
= 2.401
2
dove 9.8 è la quantità di benzina consumata al prezzo p = 1.51.
La perdita di surplus per il consumatore è allora par a 2.5 − 2.401 = 0.09
28
Microeconomia - Introduzione all'economia politica
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Esercizio 3.28
Nel caso presentato dall’esercizio, è opportuno proporre una rappresentazione grafica dei vincoli di bilancio.
Il vincolo di bilancio iniziale è indicato con V 1; infatti la sua intercetta verticale è
m
20
data da pm2 = 20
1 = 20 e la sua intercetta orizzontale da p2 = 2 = 10. Lungo questo
vincolo abbiamo rappresentato con E1 il paniere scelto dall’individuo, come indicato
dal testo (x1∗ = 4 e x2∗ = 12).
x2
20
V1
15
E1
10
V3
5
V2
5
10
15
20
x1
Il reddito aumenta a passa a m = 30, il prezzo del bene 2 aumenta, e passa a 2. Il
nuovo vincolo di bilancio è rappresentato dalla retta tratteggiata V 2. Come si nota, il
paniere E1 non è più raggiungibile dall’individuo, quindi non possiamo sapere se l’individuo sta peggio o meglio dopo la variazione del prezzo e del reddito. In questo caso,
per sapere se l’individuo sta meglio o peggio è necessario conoscere la sua funzione di
utilità.
Se invece, il punto E1 fosse stato interno al nuovo vincolo, avremmo potuto concludere che la variazione dei prezzi e del reddito aumentava il benessere dell’individuo.
Ovviamente, anche nel caso che i prezzi del bene 2 passino a 3, il punto E1 sarebbe
esterno al nuovo vincolo (indicato con V 3).
29
Microeconomia - Introduzione all'economia politica
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Esercizio 3.29
L’esercizio ci chiede di calcolare la funzione di offerta di lavoro dell’individuo, cioè
la relazione tra quantità di lavoro offerta e salario. Per risolvere il problema, utilizziamo
il sistema 3.13 che definisce la quantità di ore di tempo libero scelta dall’individuo e
quindi anche la sua funzione di offerta di lavoro.
Nel caso dell’esercizio, vale p = 1 e T = ` + h = 1, dove ` rappresenta le ore di
tempo libero e h le ore di lavoro.
Sappiamo inoltre che |MRS(x, `)| = αβ x` (in quanto il |MRS(x, `)| non è altro che
il rapporto tra l’utilità marginale del tempo libero e l’utilità marginale del consumo).
Supponendo che l’individuo possa disporre di altri redditi, V (dove V può anche essere
pari ai zero), il sistema 3.13 può quindi essere scritto:
(
α x
β ` =w
x = w +V − w`
Dalla prima equazione otteniamo x = αβ w`. Sostituendo nella seconda, otteniamo:
β
β +α
w` = w +V − w`
⇒
w` = w +V
α
α
Quindi otteniamo la funzione di domanda di tempo libero:
`∗ =
α w +V
α +β w
Da cui, la funzione di offerta di lavoro dell’individuo:
h∗ = 1 −
α w +V
α +β w
Si noti che, se V = 0, la funzione di offerta non dipende dal salario (h∗ è sempre pari a
β
α+β ).
Per V > 0, l’offerta di lavoro dipende positivamente dal salario, infatti:
α
−V
dh∗
=−
>0
dw
α + β w2
30
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Esercizio 3.30
Il testo dell’esercizio fornisce il numero di ore totali a disposizione (250), il reddito
ottenuto dall’attività lavorativa (m = wh = 1000) e il saggio marginale di sostituzione
m
.
tra reddito e tempo libero: |MRS(x, `)| = 4`
Dato che il saggio marginale di sostituzione è espresso rispetto al reddito, la vostra
utilità dipende dal reddito (che è la stessa cosa che supporre che il prezzo del bene sia
pari a 1, p = 1), cosicche m = x (scrivere p non modificherebbe i risultati).
Nell’ipotesi che l’individuo non disponga di redditi non da lavoro (V = 0) abbiamo
a disposizione tutte le grandezze indicate nel sistema 3.13 tranne il salario e il tempo
libero. Nel caso presentato dall’esercizio, possiamo cioè scrivere il sistema 3.13 nel
modo seguente:
(
1000
4` = w
1000 = 250w − w`
Dalla prima equazione conosciamo w, che possiamo sostituire nella seconda:
1000
1000 = (250 − `)
4`
da cui si ottiene:
`∗ = 50
Sostituendo questo risultato nella prima equazione del sistema, otteniamo facilmente
w = 1000
4·50 = 5, che definisce il salario orario dell’individuo.
31
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Esercizio 3.31
L’esercizio propone la scelta del numero ottimale di ore da dedicare ad una attività lavorativa (fare lezioni di economia politica). Si conosce il tempo totale a di
disposizione T = 156, il salario orario w = 30 e il saggio marginale di sostituzione:
MRS(m, `) = `m2 . Supponendo V = 0, possiamo impostare il solito sistema 3.13
(
m
= 30
`2
m = 30(156 − `)
Risolvendo in m la prima equazione e sostituendo nella seconda, otteniamo:
30`2 = 30(156 − `)
L’equazione può essere semplificata:
`2 + ` − 156 = 0
e risolta in `. La radice positiva è: `∗ = 12.
Questo vuol dire che farete 144 = 156 − 12 ore di lezione di economia politica al
vostro amico, e che otterrete un reddito pari a m = 4320 = 30 · 144.
32
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Esercizio 3.32
Dire che l’individuo vuole mantenere invariato il consumo nei due periodi equivale
a dire che per l’individuo il consumo nel periodo 1 e il consumo nel periodo 2 sono
perfettamente complementari, o che c1 = c2 . Definiamo con c il livello di consumo
costante.
Il vincolo di bilancio nelle scelte intertemporali ci dice che:
c2 = (m1 − c1 )(1 + r) + m2
e, per c1 = c2 = c, per m1 = 2000 e m2 = 800, otteniamo:
c = (1000 − c)(1 + r) + 800
da cui:
9 + 5r
2+r
La funzione di risparmio è data dal reddito del primo periodo meno la funzione di
consumo del primo periodo (il nostro c), cioè:
c∗ (r) = 200
s∗ (r) = 1000 − 200
9 + 5r
2+r
33
⇒
s∗ (r) =
200
2+r
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Esercizio 3.33
Il saggio marginale di sostituzione intertemporale è dato da:
MRS(c2 , c1 ) =
du
dc1
du
dc2
=
c2
c1
Il sistema 3.19, che definisce le scelte intertemporali ottimali, può essere allora scritto:
(
c2
c1 = 1 + r
c2 = (m − c1 )(1 + r)
In quanto il reddito del primo periodo è pari a m e quello del secondo periodo pari a 0.
Dalla prima equazione:
c2 = (1 + r)c1
sostituendo nella seconda equazione:
(1 + r)c1 = (m − c1 )(1 + r)
⇒
2c1 = m
⇒
c∗1 =
m
2
Il consumo del primo periodo è sempre pari a metà del reddito e non dipende dal tasso
di interesse. Il consumo del secondo periodo è invece dato da:
c∗2 = (1 + r)
m
2
L’elasticità del consumo del secondo periodo al tasso di interesse è quindi:
εc2 ,r =
r
m
2 (1 + r) m2
⇒
34
εc2 ,r =
r
1+r
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Esercizio 3.34
Il sistema 3.19 ci permette di risolvere l’esercizio proposto:
(
c2
c1 = 1 + r
c2 = (200 − c1 )(1 + r) + 160
Dalla prima equazione, c2 = (1 + r)c1 . Sostituendo nella seconda:
(1 + r)c1 = (200 − c1 )(1 + r) + 160
⇒
2(1 + r)c1 = 360 + 200r
quindi:
9 + 5r
1+r
∗
Dato che il risparmio (s) è pari a: s = m1 − c1 , otteniamo:
c∗1 = 20
s = 200 − 20
9 + 5r
1+r
⇒
s = 20
1 + 5r
1+r
Applicando la definizione di elasticità del risparmio al tasso di interesse εs,r =
otteniamo:
εs,r =
r
80
1+5r
2
(1 + r) 20 1+r
⇒
35
εs,r =
4r
(1 + r)(1 + 5r)
ds r
dr s
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Esercizio 3.35
Il saggio marginale di sostituzione che deriva dalla funzione di utilità del testo è
dato da:
r
0.5
√
0.5 c2
c
⇒
MRS(c2 , c1 ) =
MRS(c2 , c1 ) = 0.451
√
0.45 c1
c
2
Uguagliando il saggio marginale di sostituzione ad (1+r) (prima equazione del sistema
3.19), otteniamo:
r
0.5 c2
= 1.1
⇒
c2 = 0.0992 c1
⇒
c2 = 0.9801c1
0.45 c1
Sostituendo questo risultato nel vincolo di bilancio intertemporale:
0.9801c1 = (1000 − c1 )1.1 + 600
⇒
c∗1 = 817.29
Dato che il reddito del primo periodo è pari a 1000 e il consumo ottimale del primo
periodo è pari a 817.29, il risparmio sarà pari a 182.71.
36
Microeconomia - Introduzione all'economia politica
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Esercizio 3.36
Se non sostenete la prova orale, ottenete una utilità certa pari a;
√
u= V
Se decide di sostenere la prova orale la vostra utilità attesa sarà invece data da:
√
√
√
Eu = 0.7 V + 3 + 0.05 0 + 0.25 V
Deciderete di sostenere la prova orale se Eu ≥ u, cioè se:
√
√
√
0.7 V + 3 + 0.25 V ≥ V
⇒
√
√
0.7 V + 3 ≥ 0.75 V
⇒
0.7
≥
0.75
r
V
V +3
quindi:
0.7
0.75
2
≥
V
V +3
⇒
0.871(V + 3) ≥ V
⇒
3 · 0.871 ≥ V (1 − 0.871)
Che, risolta in V, da come risultato V ≤ 20.26.
Quindi tenterete la prova orale solo se ottenete allo scritto un voto pari o inferiore
a 20.
37
Microeconomia - Introduzione all'economia politica
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Esercizio 3.37
Il proprietario dell’auto è neutrale al rischio, quindi la sua funzione di utilità è data
da
u=m
dove m indica la ricchezza di cui dispone.
In questo caso (neutralità al rischio) possiamo ragionare direttamente sul valore
atteso delle due opzioni, quella di assicurarsi e quella di non assicurarsi.
Definendo z il premio di assicurazione, il valore certo nel caso si assicuri è pari a:
u = 6000 − z
Se non si assicura, il valore atteso è pari a
Eu = 0.999 · 6000 + 0.001 · 0 = 0.999 · 6000
Se vale: u ≥ Eu, cioè
6000 − z ≥ 0.999 · 6000
preferirà assicursi.
Risolvendo in z, otteniamo z = 6. Questo è il prezzo massimo che il nostro individuo sarà disposto a pagare per il parcheggio.
38
Microeconomia - Introduzione all'economia politica
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Esercizio 3.38
Dato che si assume neutralità al rischio, possiamo considere il valore atteso delle
tre scommesse:
• A) EV A = 78 · 160 − 18 · 700
9
· 2000 − 10
· 250
• B) EV B =
1
10
• C) EV C =
1
1000
EV A = 52.5
⇒
EV B = −25
⇒
999
· 40000 − 1000
· 10
⇒
EV C = 30.01
La scommessa che vi da il valore atteso maggiore è la A). Sceglierete quindi di
partecipare a questa scommessa (perchè il valore atteso è positivo) e il massimo valore
atteso sarà pari a 52.5.
39
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Esercizio 3.39
Sappiamo che l’individuo sceglie il posto di lavoro offerto dall’impresa. Questo
posto di lavoro garantisce un reddito certo di 100.
Se avesse avviato l’attività in proprio, il valore atteso sarebbe stato pari a
60% · 200 + 40% · 40 = 136
Quindi il valore atteso del lavoro in proprio è maggiore del valore atteso del lavoro
dipendente, ma l’individuo sceglie il lavoro dipendente. Questo vuol dire che sicuramente è avverso al rischio.
Le altre opzioni presentate nell’esercizio sono tutti impossibili. Infatti: non può
essere neutrale al rischio, né propenso, perchè in ambedue i casi avrebbe preferito il
lavoro autonomo. E queste possibilità sono tutte incluse nelle altre opzioni possibili
40
Microeconomia - Introduzione all'economia politica
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Esercizio 3.40
Con probabilità del 60% vincete la scommessa, quindi con probabilità del 40% la
perdete. La vostra utilità certa se decidete di non partecipare è pari a
√
u = 36 = 6
Se partecipate, la probabilità attesa è data da:
√
√
Eu = 0.6 36 + 10 + 0.4 36 − z
dove z è la somma che perdereste nel caso non superate l’esame di economia. Accettate
la scommessa se Eu ≥ u, cioè se:
√
√
0.6 46+0.4 36 − z ≥ 6
⇒
√
4.069+0.4 36 − z ≥ 6
⇒
√
6 − 4.069
36 − z ≥
0.4
Quindi,
√
36 − z ≥ 4.826
⇒
36 − z ≥ 4.8262 = 23.305
⇒
z ≤ 12.695
La somma massima che siete disposti a scommettere nel caso non superiate l’esame è
quindi pari a 12.695.
41
Microeconomia - Introduzione all'economia politica
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Esercizio 3.41
L’esercizio vi dice che un individuo neutrale al rischio è indifferente tra un lavoro
dipendente certo retribuito con 1550 euro e un valore che vi rende 4000 euro se le cose
vanno “bene” oppure 500 se le cose vanno “male” e vi chiede qual’è la probabilità che
assegnate all’evento che la crisi continui (che le cose vadano “male”).
Se siete indiffirenti tra i due eventi e neutrali al rischio, vuol dire che deve valere:
1550 = (1 − P) · 4000 + P · 500
dove con P indichiamo la probabilità che le cose vadano “male”
7
= 70%.
Risolvendo in P, troviamo P = 10
Cioè, siete indifferenti tra le due opzioni quando assegnate una probabilità dal 70%
all’ipotesi che la crisi continui.
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Microeconomia - Introduzione all'economia politica
Stefano Staffolani
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Esercizio 3.42
Se scegliete il compito A, superate l’esame con probabilità del 60% e prendete un
voto di 20. Dato che la vostra utilità dipende dal voto ottenuto (e che se siete bocciati
il voto, e quindi l’utilità, sono pari a 0), avrete una utilità attesa pari a:
√
EuA = 0.6 20 = 2.683
Se scegliete il compito B superate l’esame con probabilità incognita che definiamo
P e prendete un voto di 30. La vostra utilità sarà allora:
√
EuB = P 30 = P · 5.477
Per scegliere il compito B deve valere EuB ≥ EuA , cioè la vostra utilità deve essere più
alta scegliendo B. Questo implica:
P · 5.477 ≥ 2.683
⇒
P ≥ 0.49
Se la probabilità di superare l’esame A è maggiore del 49%, preferite l’esame A, se
inferiore, l’esame B.
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Microeconomia - Introduzione all'economia politica
Stefano Staffolani
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Esercizio 3.43
Dovete scegliere se assicurarvi√o meno contro i furti, sapendo che siete avverso al
rischio con funzione di utilità u = m, dove m indica la ricchezza.
Se vi assicurate, la vostra utilità certa è data da:
√
√
u = 4096 − 496
⇒
u = 3600u = 60
Se non vi assicurate, la vostra utilità attesa è data da:
√
√
Eu = P 4096 − 2496 + (1 − P) 4096
⇒
Eu = P · 40 + (1 − P)64
cioè:
Eu = 64 − 24P
dove P indica la probabilità del verificarsi del furto (la grandezza incognita che l’esercizio richiede di calcolare).
Se vale: u ≥ Eu preferite assicurarvi. Questo vuol dire che la condizione per
assicurarsi è:
1
60 ≥ 64 − 24P
⇒
P ≥ ' 16.667%
6
Quindi troverete conveniente assicuravi se ritenete che la probabilità di subire furti sia
uguale o superiore al 16.667%.
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Microeconomia - Introduzione all'economia politica
Stefano Staffolani
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Esercizio 3.44
1
La probabilità di subire furti è pari a 20
. Se non vi assicurate e il furto si verifica,
la vostra ricchezza, che era pari a 500000 euro, si riduce a 350000 euro.
Se vi assicurate la vostra ricchezza è pari a 500000 − z, dove z è il premio di
assicurazione.
Pertanto, se vi assicurate la vostra utilità certa è data da:
u = 4 (500000 − z)
Se non vi assicurate l’utilità attesa è data da:
19
1
500000 + 350000
Eu = 4
20
20
Vi assicurate se u ≥ Eu, cioè se:
19
1
4 (500000 − z) ≥ 4
500000 + 350000
20
20
⇒
500000 − z ≥ 492500
Quindi vi conviene assicurarvi se il premio richiesto dalla compagnia di assicurazione
è al massimo pari a 7500 euro.
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