Il principio d`indeterminazione di Heisenberg

Il principio d’indeterminazione
di Heisenberg
Il determinismo meccanicistico della fisica classica è andato in crisi con il principio
d’indeterminazione. Sembrava che le leggi della meccanica classica potessero spiegare e
determinare il moto dei corpi con una precisione assoluta ed infallibile; l’universo si
presentava come un grande orologio, una macchina di cui ormai si conosceva il
funzionamento dalle grandi galassie ai piccoli atomi ed elettroni. Questo determinismo
meccanicistico ha ricevuto un duro colpo dalla relazione di Heisenberg. Il principio
d’indeterminazione ha avuto grosse ripercussioni nell’epistemologia, nella filosofia e nella
stessa teologia: dimostra che la precisione dei calcoli fatti dagli uomini ha un limite oltre il
quale non si può andare. Il valore predittivo dei computi è limitato, non si possono
conoscere contemporaneamente la posizione e la quantità di moto d’un corpo con una
precisione assoluta. Qualcuno ha parlato di certificato di morte dello scientismo.
Si può distinguere il principio dalla relazione d’indeterminazione che si scrive solitamente
∆x∆p ≥ h
e che dovrebbe essere scritta
∆ x ∆ p ≥ h/(4 π );
la prima è una volgarizzazione della seconda. La coordinata x rappresenta la posizione, p è
l’impulso o quantità di moto uguale al prodotto della massa per la velocità calcolata lungo
l’asse x e h è la costante di Planck uguale a
h = 6,626176 × 10-34 J s.
Naturalmente il principio vale nelle tre direzioni x, y, z e si traduce in tre relazioni:
∆ x ∆ px ≥ ∼ h,
∆ y ∆ py ≥ ∼ h,
∆ z ∆ pz ≥ ∼ h,
dove il segno di circa uguale significa che si tratta degli ordini di grandezza.
Le tre relazioni scritte derivano dalle altre tre:
1
∆x ∆k x ≥ 1/(4 π)

∆y ∆k y ≥ 1/(4 π)

∆z ∆k z ≥ 1/(4 π)
che possono essere ricavate con dei passaggi matematici e fisici.
La stessa formula si può ripetere per le altre due grandezze coniugate, l’energia E ed il
tempo t, perciò il principio si traduce nella relazione
∆ t ∆ E ≥ h/(4 π )
e significa che non si possono conoscere con precisione assoluta l’energia d’una particella
ed il suo istante di passaggio per un determinato punto.
Il principio d’indeterminazione, introdotto da Werner Heisenberg approssimativamente nel
1927, può essere dimostrato matematicamente.
⋄
Si riportano i passaggi salienti della dimostrazione, che all’inizio è eseguita per i
fotoni. Si considera un treno d’onde di lunghezza infinita. Nell’elettromagnetismo il vettore
di propagazione per definizione è
k= β -j α
dove la parte reale è il vettore di fase ed il coefficiente dell’immaginario è il vettore
d’attenuazione. Se non esiste attenuazione, il vettore di propagazione si riduce a quello di
fase di modulo ω εµ , dove ε è la costante dielettrica e µ è la permeabilità, e, essendo
la velocità λ /T = 1/ εµ , il modulo del vettore di propagazione corrisponde alla pulsazione
spaziale 2 π λ od a quello che è chiamato da qualcuno numero d’onda. Con λ si indica la
lunghezza d’onda e T rappresenta il periodo. Un’onda in generale varia nello spazio e nel
tempo con un andamento cosinusoidale o sinusoidale del tipo sin(kx - ω t) dove ω è
uguale a 2 π /T e k è pari a 2 π λ . Enrico Persico nei Fondamenti della meccanica atomica
descrive la variazione spaziale con una funzione del tipo sin(2 π kx) e conseguentemente in
questo caso k è uguale a 1/ λ . Spazialmente la grandezza 1/ λ rappresenta " il numero
d’onde ", vale a dire il numero delle onde contenute nella lunghezza unitaria di percorso.
Se l’emissione della radiazione monocromatica è interrotta, si ha un gruppo d’onde di
lunghezza finita che si può indicare con 2l. Questa funzione ha l’espressione
sin ( 2πk 0 x )
f(x, 0) ≜ 
0
per - l < x < l
per x < - l e x > l.
Il numero d’onde k0 = 1/ λ 0 è relativo alla lunghezza d’onda della radiazione
monocromatica.
L’ampiezza delle onde è costante in questo caso. Trasformando con Fourier in k si ha
2
+∞
A(k) =
∫ f(x,0) e
-i2 π kx
dx
−∞
e, siccome la funzione è dispari, risulta
∞
A(k) = ( 2/i )
∫ f(x,0) sin ( 2 π k x ) dx.
0
Applicando l’ultima formula si ha
l
A(k) = ( 2/i )
∫ sin(2πk
0
x) sin ( 2 π k x ) dx
0
da cui deriva
l
A(k) = ( 2/i )
∫
(1/2) {cos [2 π (k - k0)x ] - cos[2 π (k + k0)x ] } dx.
0
Si ottiene
A(k) = (l/i) {sin [2 π (k - k0)l ] }/[2 π (k - k0)l] -(l/i) {sin[2 π (k + k0)l] }/[2 π (k + k0)l]
che contiene una funzione del tipo sin u / u e presenta un massimo assoluto in
corrispondenza di k = k0 cioè per λ = λ 0 ed infiniti massimi rapidamente decrescenti a
destra ed a sinistra. Il secondo termine di A(k) non può mai raggiungere il picco massimo,
poiché k è positivo, conseguentemente si può trascurare rispetto al primo termine.
L’energia associata all’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezza e l’intensità nello
spettro è data approssimativamente da
|A(k)|2 = l2 {sin [2 π (k - k0)l ] }2 /[2 π (k - k0)l]2.
Ignorando le arcate laterali si può affermare che esiste un allargamento della riga centrale
che corrisponde al treno d’onde di lunghezza infinita. In conclusione il gruppo limitato
d’onde presenta uno spettro con un allargamento della riga che rappresenta l’onda
puramente monocromatica. I due minimi della funzione a destra ed a sinistra della riga si
trovano a 2 π (k - k0)l = π ed a 2 π (k - k0)l = - π perciò, se aumenta la lunghezza l del
gruppo d’onde, deve diminuire la grandezza ( k - k0 ) cioè si riduce nel grafico dello spettro
la larghezza della riga spettrale. Questo significa che, se si tronca un treno infinito d’onde
monocromatiche, la riga si allarga e la larghezza della riga spettrale è inversamente
proporzionale alla lunghezza del gruppo d’onde od al tempo d’emissione della radiazione.
Il ragionamento fatto vale anche per gruppi d’onde d’ampiezza non costante; bisogna
definire la semilarghezza della riga spettrale ∆ k e la semilunghezza del gruppo d’onde ∆ x.
L’intensità totale dello spettro è
+∞
I≝
∫
|A(k)|2 dk
−∞
3
ed il centro c della riga spettrale si può definire come il baricentro
+∞
c ≝ ( 1/I )
∫
k |A(k)|2 dk.
−∞
La semilarghezza ∆ k della riga spettrale si può definire con la formula
+∞
∫
( ∆ k)2 ≝ ( 1/I )
(k - c)2 |A(k)|2 dk.
−∞
Spazialmente il centro del gruppo d’onde x è per definizione
+∞
x ≝ ( 1/If )
∫
x |f|2 dx
−∞
dove è
+∞
If ≝
∫
|f|2 dx
−∞
e risulta I = If per il teorema dell’energia di Rayleigh, conseguenza di quello di Parseval.
La semilunghezza ∆ x del gruppo d’onde è definita con la formula
+∞
( ∆ x) ≝ ( 1/ If )
2
∫
(x - x )2 |f|2 dx.
−∞
Si può dimostrare che vale la relazione
∆ x ∆ k ≥ 1/(4 π )
infatti si considera la funzione F(x) = f(x,0) e-i2c π x. La funzione G è definita come
G ≝ | (x- x ) F /[2( ∆ x)2] + ∂ F/ ∂ x |2.
Essendo
∂ F/ ∂ x = f' e-i2c π x - f 2c π i e-i2c π x
con f' = ∂ f/ ∂ x,
risulta
| F (x- x )/[2( ∆ x)2] + ∂ F/ ∂ x | = | f e-i2c π x(x- x )/[2( ∆ x)2] + f' e-i2c π x - f 2c π i e-i2c π x |.
4
Si ottiene
G = | e-i2c π x { f (x- x )/[2( ∆ x)2] + f' - f 2c π i } |2
e
G = { | e-i2c π x || f (x- x )/[2( ∆ x)2] + f' - f 2c π i | }2.
Essendo
| e-i2c π x | = |cos (2c π x) - i sin (2c π x)|
uguale a 1 in quanto è cos2(2c π x) + sin2(2c π x) = 1, si ha
G = | (x- x ) f /[2( ∆ x)2] + f' - f 2c π i |2
e conseguentemente
G = { (x- x ) f /[2( ∆ x)2] + f' }2 + ( f 2c π )2.
Risulta
G = (x- x )2 f2/[4( ∆ x)4] + f'2 + 2 f f'(x- x )/[2( ∆ x)2] + ( f 2c π )2
ed indicando con l’asterisco la grandezza complessa coniugata, si ha
F ∂ F*/ ∂ x+F* ∂ F/ ∂ x=fe-i2c π x(f2ic π ei2c π x+f'ei2c π x)+ fei2c π x(f'e-i2c π x -f2ic π e-i2c π x),
cioè
F ∂ F*/ ∂ x + F* ∂ F/ ∂ x= f f' + f' f.
Si può scrivere
G = f2 (x- x )2/[4( ∆ x)4] + f'2 +(F ∂ F*/ ∂ x + F* ∂ F/ ∂ x) (x- x )/[2( ∆ x)2] + ( f 2c π )2.
Ovviamente è
F F* = f2
e
( ∂ F/ ∂ x) ( ∂ F*/ ∂ x) = ( f' e-i2c π x - f 2ic π e-i2c π x ) ( f' ei2c π x + f 2ic π ei2c π x )
per cui dall’ultima relazione si ottiene
5
( ∂ F/ ∂ x) ( ∂ F*/ ∂ x) = f'2 + f2 (2c π )2.
La funzione G si può scrivere nella forma
G = f2 (x- x )2/[4( ∆ x)4] + (F ∂ F*/ ∂ x + F* ∂ F/ ∂ x)(x- x )/[2( ∆ x)2] + ( ∂ F/ ∂ x) ( ∂ F*/ ∂ x)
e poiché è
∂ (F* ∂ F/dx)/ ∂ x = F* ∂ 2F/ ∂ x2 + ( ∂ F*/ ∂ x) ( ∂ F/ ∂ x),
si può scrivere
G = f2 (x- x )2/[4( ∆ x)4] +(F ∂ F*/ ∂ x + F* ∂ F/ ∂ x)(x- x )/[2( ∆ x)2] +
+ ∂ (F* ∂ F/dx)/ ∂ x - F* ∂ 2F/ ∂ x2
o
G = f2 (x- x )2/[4( ∆ x)4] + { ∂ [F F*(x- x )]/ ∂ x}/[2( ∆ x)2] - FF*/[2( ∆ x)2] +
+ ∂ (F* ∂ F/dx)/ ∂ x - F* ∂ 2F/ ∂ x2.
Naturalmente G, essendo il quadrato d’una grandezza, deve essere sempre maggiore od
uguale a zero. Moltiplicando per dx ed integrando tra - ∞ e + ∞ , si ha
+∞
∫ Gdx
= ( ∆ x)2 If /[4( ∆ x)4] + [F F*(x- x )] −+∞∞ /[2( ∆ x)2] - If /[2( ∆ x)2] + [F* ∂ F/dx] −+∞∞ +
−∞
+∞
-
∫
F* ( ∂ 2F/ ∂ x2) dx.
−∞
Tutta l’espressione di G deve essere ≥ 0, allora, se F è infinitesima d’ordine sufficiente per
x = ± ∞ , scompaiono il secondo ed il quarto termine, quindi risulta la disuguaglianza
+∞
- If/[4( ∆ x)2] -
F* ∂ 2F/ ∂ x2 dx ≥ 0.
∫
−∞
Bisogna trovare una relazione tra ∆ x e ∆ k. Essendo per definizione
+∞
( ∆ k)2 ≝ ( 1/I )
∫
(k - c)2 |A(k)|2 dk,
−∞
si ha
+∞
( ∆ k) = ( 1/I )
2
∫
(k - c)2 A A* dk
−∞
6
con
+∞
f(x,0) e-i2 π kx dx.
∫
A(k) =
−∞
Si hanno le seguenti relazioni
+∞
∫
( ∆ k)2 = ( 1/I )
+∞
(k - c)2 A dk
−∞
∫
( ∆ k) = ( 1/I )
+∞
2
(k - c) A dk
−∞
∫
∫
F*(x) e-i2c π x ei2 π kx dx ,
−∞
+∞
( ∆ k)2 = ( 1/I )
f(x,0) ei2 π kx dx,
−∞
+∞
2
∫
+∞
(k - c)2 A dk
−∞
∫
F*(x) ei2 π (k-c)x dx.
−∞
Applicando la formula d’inversione dell’ordine di integrazione risulta
+∞
+∞
∫
( ∆ k)2 = ( 1/I )
F*(x) dx
−∞
(k - c)2 A ei2 π (k-c)x dk.
∫
−∞
Essendo
+∞
f(x, 0) =
∫
A(k) ei2 π kx dk,
−∞
la funzione F(x) si può scrivere come
+∞
F(x) =
∫
A(k) ei2 π (k-c)x dk
−∞
e derivando due volte si ottiene
∂ F/ ∂ x = - 4 π
2
2
+∞
2
A(k) (k - c)2 ei2 π (k-c)x dk.
∫
−∞
Sostituendo si ha
( ∆ k) = - [1/(I 4 π )]
2
2
+∞
∫
F*(x) ( ∂ 2F/ ∂ x2 ) dx.
−∞
Ricordando l’espressione di G ≥ 0, si ottiene
7
- I/[4( ∆ x)2] + ( ∆ k)2 I 4 π 2 ≥ 0
e finalmente
- 1/4 + ( ∆ x)2 ( ∆ k)2 4 π 2 ≥ 0
o
( ∆ x)2 ( ∆ k)2 ≥ 1/( 16 π 2 )
che corrisponde a
∆ x ∆ k ≥ 1/( 4 π )
come si voleva dimostrare.
L’ultima formula scritta significa che quanto meno il gruppo o pacchetto d’onde è esteso
nello spazio tanto più devono differire tra loro i vettori di propagazione e
conseguentemente le lunghezze d’onda. Ricordando la lunghezza d’onda di De Broglie
λ =h/p
con p = mv, si passa alla relazione di Heisenberg con la quantità di moto.
Analizzando il fenomeno nelle tre coordinate spaziali, si ottengono le relazioni
∆x ∆k x ≥ 1/(4 π)

∆y ∆k y ≥ 1/(4 π)

∆z ∆k z ≥ 1/(4 π)
e naturalmente in tre dimensioni gli integrali sono tripli quindi il centro del pacchetto
d’onde, analogo tridimensionale del gruppo d’onde, ha coordinate
+∞
xt ≝ (1/It)
yt ≝ (1/It)
zt ≝ (1/It)
∫ dz
+∞
∫ dy
+∞
∫ x |f|
−∞
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
2
dx ,
2
dy ,
2
dz
∫ dz ∫ dx ∫ y |f|
−∞
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
∫ dy
−∞
∫ dx
−∞
∫ z |f|
−∞
con
+∞
It ≝
∫ dz
−∞
+∞
∫ dy
−∞
+∞
∫
|f|2 dx.
−∞
La semilunghezza secondo l’asse x è definita con la formula
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( ∆ x)2 ≝ (1/It)
∫∫∫
V∞
| f |2 ( x - xt)2 dx dy dz
e le altre due semilunghezze secondo gli assi y e z sono definite con le formule analoghe.
Introducendo un vettore di propagazione medio, le sue tre coordinate sono definite da
+∞
cx ≝ (1/IA)
cy ≝ (1/IA)
cz ≝ (1/IA)
+∞
+∞
∫ dk ∫ dk ∫ k
z
y
−∞
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
∫ dk z
∫ dk x
∫k
−∞
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
∫ dk y
−∞
∫ dk x
−∞
∫k
x
|A|2 dkx ,
y
|A|2 dky ,
z
|A|2 dkz
−∞
con
IA ≝
∫∫∫
V∞
| A |2 dkx dky dkz.
La semilarghezza della riga spettrale nella dimensione x è definita dalla formula
( ∆ kx)2 ≝ (1/IA)
∫∫∫
V∞
| A |2 ( kx - cx)2 dkx dky dkz
e le altre due semilarghezze sono definite con le formule analoghe.
Trasformando con Fourier la funzione f del tempo invece che dello spazio, si ottiene ∆ t
invece di ∆ x e la relazione diventa
∆ t ∆ ν ≥ 1/( 4 π ).
Tenendo presente l’espressione dell’energia E = h ν , si ricava l’altra forma della relazione
d’indeterminazione
∆ E ∆ t ≥ h/( 4 π ).
Non si possono conoscere con precisione assoluta l’energia d’un fotone ed il suo istante di
passaggio in una determinata posizione.
Considerando le interazioni tra i fotoni e le particelle come l’emissione, l’assorbimento,
l’effetto Compton eccetera, il principio d’indeterminazione vale anche per le particelle
perché, se così non fosse, non potrebbe valere nemmeno per i fotoni.
Con un’esperienza che duri un tempo ∆ t non si può conoscere l’energia di una particella
con una precisione superiore a quella definita dalla relazione precedente.
In base al principio d’indeterminazione si può conoscere con precisione la posizione d’una
particella o la sua quantità di moto, ma non si possono conoscere con precisione
contemporaneamente la posizione e la quantità di moto ( impulso ).
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Misure pratiche effettuate su fenomeni di diffrazione hanno confermato la validità del
principio.
Intuitivamente si può comprendere la motivazione fisica del principio poiché la misura
( l’osservazione ) effettuata sulla particella ne perturba lo stato e varia qualcuno dei suoi
parametri.
Il principio d’indeterminazione ha messo in moto l’approccio probabilistico in fisica: non si
può parlare con esattezza di traiettoria percorsa da una particella, ma bisogna introdurre
una distribuzione spaziale della densità di probabilità P(x, y, z, t). Eseguendo
un’osservazione al tempo t, la probabilità che la particella si trovi nell’elemento di volume
di coordinate comprese tra x e x+dx, y e y+dy, z e z+dz è data da P(x, y, z, t)dxdydz.
Analogamente si introduce una densità di probabilità Q(vx, vy, vz, t) per la velocità della
particella tale che la probabilità che la particella abbia una velocità compresa tra vx e vx +
dvx per quanto riguarda la coordinata x, tra vy e vy + dvy per quanto riguarda la coordinata
y e tra vz e vz + dvz per quanto riguarda la coordinata z sia uguale a Q(vx, vy,vz,t)dvxdvydvz.
Il significato preciso della semilarghezza ∆ k della riga spettrale e della semilunghezza ∆ x
del gruppo d’onde deve essere ricercato nella formule di definizione fornite: si tratta di
scarti quadratici medi.
Il principio di Heisenberg ha consentito di superare la concezione corpuscolare della luce e
della fisica in generale, ponendo le premesse per lo sviluppo della meccanica quantistica
con la funzione d’onda. La stessa cosmologia per spiegare i primi istanti e la singolarità
iniziale dell’universo ricorre all’impostazione quantistica.
In conclusione non si possono conoscere contemporaneamente la posizione e la quantità
di moto d’una particella o d’un fotone con una precisione superiore a quella definita dalla
relazione di Heisenberg.
Via Roma 40 VT
2007-03-08
Dott. Ing. Rossini Alessandro
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