Soluzioni approssimate dell`equazione di Navier- Stokes

Çengel Y. - Cimbala J.: Meccanica dei fluidi
a cura di Giuseppe Cozzo e Cinzia Santoro
Cap. 10 – Soluzioni approssimate
dell'equazione di Navier-Stokes
Capitolo 10
SOLUZIONI APPROSSIMATE DELL’EQUAZIONE DI NAVIER-STOKES
Problemi di base
10.1
Spiegare la differenza tra soluzione esatta e soluzione approssimata dell'equazione di NavierStokes.
Una soluzione dell'equazione di Navier-Stokes è detta esatta se essa è la soluzione dell’equazione
completa di tutti i suoi termini. Una soluzione è detta approssimata se essa è la soluzione di una forma
semplificata dell'equazione, cioè priva di uno o più termini, che possono anche essere diversi per regioni
diverse del campo di moto.
10.2
Un ventilatore è appoggiato sul pavimento di una stanza molto grande. Individuare le regioni dello
spazio in cui (a) l’aria può essere considerata in quiete; (b) il moto può essere considerato
irrotazionale; (c) può essere considerata valida l’approssimazione di strato limite e (d) nessuna
approssimazione può essere considerata valida e, quindi, è necessario risolvere l'equazione di
Navier-Stokes completa.
In prossimità del pavimento, si sviluppa uno strato
limite di velocità, sia a monte che a valle del
ventilatore. A monte del ventilatore, a grande distanza
da esso l’aria è in quiete, mentre in vicinanza del
ventilatore il moto può essere considerato irrotazionale.
A valle del ventilatore, a causa della presenza di vortici
turbolenti, non può essere considerata valida alcuna
approssimazione e, quindi, bisogna risolvere
l’equazione completa.
10.3
Spiegare come una appropriata adimensionalizzazione dell'equazione di Navier-Stokes possa
essere di aiuto per ottenere soluzioni approssimate.
Se le grandezze assunte per rendere adimensionali le variabili sono scelte in maniera opportuna, tale cioè
che ciascuna di esse caratterizzi effettivamente il campo di moto, l’ordine di grandezza delle variabili
adimensionali è 1. Ne consegue che, a parte i coefficienti, i termini dell’equazione di Navier-Stokes
scritta in forma adimensionale sono tutti di ordine di grandezza 1. Pertanto, l’importanza relativa di
ciascun termine dipende solo dall'ordine di grandezza del proprio coefficiente rispetto a quello degli altri.
In tal modo, è facile capire se e quale termine può essere trascurato perché molto piccolo rispetto agli
altri.
10.4
Qual è il criterio che consente di determinare se un'approssimazione dell'equazione di NavierStokes è appropriata o meno?
Il criterio è quello di confrontare l’ordine di grandezza dei diversi termini nell’equazione: quando i
termini trascurati risultano tanto piccoli da non essere significativi rispetto agli altri, l’approssimazione è
appropriata. Affinché tale criterio sia utile, è indispensabile che le variabili vengano adimensionalizzate
usando grandezze effettivamente rappresentative del campo di moto. In caso contrario, l’analisi degli
ordini di grandezza può condurre a risultati errati.
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10.5
Cap. 10 – Soluzioni approssimate
dell'equazione di Navier-Stokes
Nella forma adimensionale 10.11 dell'equazione di Navier-Stokes per un fluido incomprimibile
figurano quattro parametri adimensionali. Descrivere il significato fisico di ciascuno di essi,
spiegando cosa succede fisicamente quando il parametro è molto piccolo o molto grande.
Nell'equazione di Navier-Stokes per un fluido incomprimibile scritta in forma adimensionale
St
∂v *
∂t
*
(
)
+ v * ⋅ ∇∗ v * =
1
Fr
2
g* − Eu ∇∗ p* +
1 *2 *
∇ v
Re
figurano il numero di Strouhal, il numero di Froude, il numero di Eulero e il numero di Reynolds.
• Il numero di Strouhal St = fL/V è il rapporto tra un tempo caratteristico del moto L/V e un periodo
caratteristico 1/f. Se il moto è permanente, il periodo è infinito (f = 0) e, quindi, St = 0 per cui è nullo il
primo addendo della 10.11 che contiene le derivate parziali rispetto al tempo. Se il periodo è molto
grande rispetto al tempo caratteristico del moto, St è molto piccolo e il moto può essere considerato
quasi-permanente, per cui il termine che contiene le derivate parziali rispetto al tempo può essere
considerato trascurabile. Se, al contrario, St è molto grande, la frequenza caratteristica f è grande e il moto
è vario, per cui il termine contenente le derivate parziali rispetto al tempo non può essere trascurato.
• Il numero di Froude Fr = V/(gL)1/2 è proporzionale al rapporto tra forze di inerzia e forze di gravità.
Nell'equazione esso appare al denominatore. Per cui, se Fr è molto grande, il termine della gravità può
essere trascurato in quanto le forze dovute alla gravità sono piccole rispetto alle forze di inerzia.
• Il numero di Eulero Eu = (p0 − p ∞)/ρV2 è il rapporto tra una differenza di pressione caratteristica del
moto (forza di pressione) ed una pressione dinamica (forza di inerzia). Se Eu è molto piccolo, il termine
di pressione può essere trascurato perché la forza di pressione è molto piccola rispetto alla forza di
inerzia.
• Il numero di Reynolds Re = ρVD/µ è proporzionale al rapporto tra forze di inerzia e forze viscose.
Nell'equazione esso appare al denominatore. Per cui, se Re è molto grande, il termine viscoso può essere
trascurato perché le forze viscose sono piccole rispetto alle forze di inerzia.
Discussione Le approssimazioni di cui sopra possono essere valide in alcune regioni del campo di moto
e non in altre; pertanto, nello stesso campo di moto è possibile che in regioni diverse valgono
approssimazioni diverse.
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10.6
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Si consideri l’efflusso da una luce praticata sul fondo di un serbatoio cilindrico di diametro D,
molto più grande del diametro d della luce e dello stesso ordine di grandezza dell’altezza d’acqua
h. Si vuole giustificare matematicamente l’assunzione di fluido in quiete ovunque tranne che in
prossimità della luce. Si assuma come velocità caratteristica la velocità V s nel serbatoio, come
lunghezza caratteristica l’altezza d’acqua h, come tempo caratteristico il tempo ts necessario
perché il serbatoio si svuoti e come differenza di pressione caratteristica la quantità ρ gh, pari alla
differenza tra le pressioni sul fondo del serbatoio e sulla superficie libera, nell’ipotesi di fluido in
quiete. Sostituendo queste quantità nella forma adimensionale 10.11 dell'equazione di NavierStokes per un fluido incomprimibile, verificare, analizzando gli ordini di grandezza, che per d  D
rimangono solo i termini di pressione e di gravità. Confrontare, in particolare, l’ordine di
grandezza di ciascun termine e i parametri adimensionali St, Eu, Fr e Re, ricordando che la
velocità di efflusso Ve  gh .
Analisi Indicando con il simbolo ~ l'ordine di grandezza, si ha ts
~ h/Vs e, pertanto,
fL
h
=
1
V
tsVs
St =
Per la continuità, si ha
πd2
π D2
Ve =
V
4
4 s
Q=
da cui Ve / Vs = D 2 / d 2 e, essendo Ve  gh ,
Eu =
p0 − p∞
ρVs2
=
ρ gh
ρVs2

Ve2
Vs2

D4
d4
Analogamente, si ha
Fr =
Re =
Vs
gh
Vs d 2

Ve D 2

ρVs h ρVs D ρVe d Vs D
d2 D
d

=
 Re e 2
 Re e
µ
µ
µ Ve d
D
D d
Pertanto, nell’equazione di Navier-Stokes adimensionale 10.11 i termini a primo membro hanno ordine di
grandezza 1, mentre i termini a secondo membro risultano
1
Fr 2
g* 
D4
d4
Eu ∇∗ p* 
D4
d4
1 *2 *
1 D
∇ v 
Re
Re e d
Essendo D  d, i termini a primo membro sono trascurabili rispetto ai primi due a secondo membro,
mentre l’ultimo termine a secondo membro ha ordine di grandezza 1 ed è, quindi, trascurabile se D/d ~
Ree. In tale ipotesi, nell’equazione rimangono solo i termini di gravità e di pressione, per cui la forma
dimensionale dell’equazione approssimata è
∇p = ρg
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Moto non viscoso
10.7
In che senso l’equazione di Eulero può essere considerata un'approssimazione dell'equazione di
Navier-Stokes? In quali regioni del campo di moto ne costituisce un’approssimazione
ragionevole?
Analisi Poiché l’equazione di Eulero coincide con l’espressione che l’equazione di Navier-Stokes
assume quando si trascura il termine viscoso, essa può essere considerata un’approssimazione
dell’equazione di Navier-Stokes per un fluido perfetto, cioè privo di viscosità. Tale approssimazione
risulta valida anche per i fluidi reali nelle regioni del campo di moto in cui le forze viscose risultano
trascurabili, cioè quelle in cui il moto è caratterizzato da numeri di Reynolds molto alti.
Discussione In prossimità di pareti solide le forze viscose sono sempre significative. Pertanto, in tali
regioni l’equazione di Eulero non è valida. Essa è, invece, valida nelle regioni di moto irrotazionale.
10.8
Scrivere l’equazione di Eulero nella forma più esplicita possibile in coordinate cartesiane,
assumendo che la gravità agisca secondo una direzione qualunque.
Analisi Dalla forma vettoriale 10.12
⎡ ∂v
⎤
ρ ⎢ + v ⋅ ∇ v ⎥ = ρg − ∇p
⎣ ∂t
⎦
(
)
si ottengono le corrispondenti relazioni scalari
⎛ ∂v
∂v
∂v
∂v ⎞
∂p
ρ ⎜ x + vx x + v y x + vz x ⎟ = ρ g x −
∂x
∂y
∂z ⎠
∂x
⎝ ∂t
⎛ ∂v y
∂v y
∂v y
∂v y ⎞
∂p
ρ⎜
+ vx
+ vy
+ vz
⎟ = ρg y −
∂t
∂x
∂y
∂z
∂y
⎝
⎠
⎛ ∂v
∂v
∂v
∂v ⎞
∂p
ρ ⎜ z + vx z + v y z + vz z ⎟ = ρ g z −
∂x
∂y
∂z ⎠
∂z
⎝ ∂t
uguali alle espressioni scalari dell’equazione di Navier-Stokes 9.61b, 9.61c e 9.61d senza i termini
viscosi.
10.9
In una regione di un campo di moto permanente bidimensionale di un fluido incomprimibile il
campo di velocità è dato dalla
v = (vx , v y ) = (ax + b)i + (−ay + cx)j
Provare che in questa regione il moto può essere considerato non viscoso.
Analisi Essendo
∂2 vx
∂x 2
=
∂2 vx
∂y 2
=
∂2 v y
∂x 2
=
∂2 v y
∂y 2
=0
i termini viscosi delle 9.61b e 9.61c risultano identicamente nulli. Pertanto, nella regione data, il moto
può essere considerato non viscoso.
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Moto irrotazionale
10.10 Quale proprietà determina se in una regione il moto è rotazionale o irrotazionale?
La vorticità. Se essa è zero (o, comunque, trascurabile), il moto è irrotazionale; nel caso contrario, il moto
è rotazionale.
Discussione Un’altra proprietà che può essere usata per determinare se il moto sia rotazionale o
irrotazionale è la velocità angolare: il vettore velocità angolare è infatti pari alla metà del vettore vorticità.
10.11 Con riferimento al campo di moto attorno ad un asciugacapelli, identificare le regioni in cui il
moto può essere considerato irrotazionale e quelle in cui l’approssimazione di moto irrotazionale
risulterebbe inadeguata.
Analisi Se l’aria parte dalla quiete, il moto può certamente essere considerato irrotazionale lontano
dall’asciugacapelli. Esso si mantiene irrotazionale anche via via che l'aria si avvicina all'asciugacapelli,
tranne che nelle immediate vicinanze della superficie di aspirazione. All’interno dell’asciugacapelli,
invece, il moto è certamente rotazionale.
10.12 Qual è la differenza tra l’equazione di Bernoulli per una regione di moto non viscoso rotazionale e
una di moto viscoso irrotazionale? Quale delle due rappresenta una condizione più restrittiva?
L’equazione di Bernoulli è la stessa
gz +
p v2
+
=C
ρ 2
sia per una regione di moto non viscoso rotazionale che per una di moto viscoso irrotazionale. Però, nella
prima l’equazione è valida solo lungo ciascuna linea di flusso, per cui il valore di C è lo stesso su
ciascuna linea di flusso ma può variare da linea a linea. In una regione di moto viscoso irrotazionale,
invece, il valore di C è lo stesso in tutto il campo di moto. Pertanto, l’approssimazione di moto
irrotazionale è più restrittiva dell’approssimazione di moto non viscoso.
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10.13 In figura sono tracciate alcune linee di flusso relative ad un moto permanente bidimensionale di un
fluido incomprimibile, in una regione in cui il moto può essere considerato anche irrotazionale.
Tracciare qualitativamente alcune curve equipotenziali.
Per tracciare le linee equipotenziali si deve tenere conto del fatto che esse intersecano le linee di flusso
sempre perpendicolarmente. A questo scopo, può essere utile tracciare per interpolazione alcune linee
aggiuntive tra le linee di flusso assegnate, riportate in figura con tratto più sottile.
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10.14 Si consideri il campo di velocità di un moto permanente bidimensionale di un fluido
incomprimibile
v = (vx , v y ) = (ax + b)i + (−ay + c)j
Provare che in questa regione il moto è irrotazionale e scrivere un’espressione della funzione
potenziale di velocità.
Analisi Affinché il moto sia irrotazionale la vorticità deve essere ovunque nulla. Essendo il moto
bidimensionale nel piano xy, l’unica componente della vorticità che potrebbe essere non nulla è quella in
direzione z
∂v y
wz =
∂x
−
∂vx
∂
∂
=
−ay + c −
ax + b = 0 − 0 = 0
∂y ∂x
∂y
(
)
(
)
che risulta identicamente nulla. Pertanto, il moto è irrotazionale. È, quindi, possibile generare una
funzione potenziale di velocità φ. Per le 10.22, si ha
vx =
∂φ
∂x
vy =
∂φ
∂y
Esplicitando la componente della velocità secondo x, dalla prima si ha
vx =
∂φ
= ax + b
∂x
che, integrando e aggiungendo una funzione arbitraria di y, piuttosto che una costante, perché
l’integrazione è parziale, fornisce
φ=
( )
1 2
ax + bx + f y
2
Per la seconda delle 10.22, si ha
v y = −ay + c =
∂φ
∂y
che, eguagliando con la derivata dell'espressione di φ, fornisce
v y = −ay + c =
∂φ
= f' y
∂y
( )
Integrando, si ha
( )
1
f y = − ay 2 + C
2
per cui l’espressione finale di φ è
φ=
(
)
1
a x 2 − y 2 + bx + cy + C
2
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10.15 Commentare le differenze e le analogie tra l’approssimazione di moto irrotazionale e quella di
moto non viscoso. Citare un esempio per ciascun tipo di moto.
L’approssimazione di moto irrotazionale e quella di moto non viscoso comportano entrambe
l'eliminazione del termine viscoso dall’equazione di Navier-Stokes, che si semplifica così nell’equazione
di Eulero. In entrambi i casi, per integrazione, si ottiene l’equazione di Bernoulli. Nell’approssimazione
di moto non viscoso si assume che il termine viscoso sia trascurabile: per esempio, in un fluido in moto di
rotazione rigida gli effetti della viscosità sono nulli e quindi il fluido, pur essendo viscoso, può essere
studiato come se non lo fosse. Nell’approssimazione di moto irrotazionale si assume che la vorticità, che
è una misura della rotazionalità delle particelle di fluido, sia tanto piccola da risultare trascurabile. In tal
caso, le particelle di fluido non ruotano anche se si deformano per effetto della viscosità. In altre parole,
in una regione di moto irrotazionale ciascuna particella di fluido è soggetta a sforzi viscosi a risultante
nullo. Esempi di moto irrotazionale viscoso sono i moti irrotazionali con linee di flusso curve, come i
vortici piani o il moto irrotazionale attorno ad un cilindro.
Discussione In entrambi i casi, l’equazione di Navier-Stokes non contiene i termini viscosi, anche se per
ragioni diverse: nell’approssimazione di moto non viscoso perché si trascura la viscosità;
nell’approssimazione di moto irrotazionale perché, essendo nulla la vorticità, i termini viscosi sono a due
a due uguali e opposti.
10.16 Con riferimento al campo di velocità di un moto permanente bidimensionale e irrotazionale di un
fluido incomprimibile, caratterizzato dalla funzione potenziale di velocità
φ = 5(x 2 − y 2 ) + 2x − 4 y
(a)
(b)
(c)
calcolare le componenti della velocità vx e vy;
verificare che in questa regione il moto sia effettivamente irrotazionale;
scrivere un’espressione della funzione di corrente.
Analisi (a) Per le 10.22 è
vx =
∂φ
= 10x + 2
∂x
vy =
∂φ
= −10 y − 4
∂y
(b) Affinché il moto sia irrotazionale, la vorticità deve essere ovunque nulla. Essendo il moto
bidimensionale nel piano xy, l’unica componente della vorticità non nulla può essere quella in direzione z
wz =
∂v y
∂x
−
∂vx
∂
∂
=
−10 y − 4 −
10x + 2 = 0 − 0 = 0
∂y ∂x
∂y
(
)
(
)
che risulta identicamente nulla. Pertanto, il moto è effettivamente irrotazionale.
(c)
Per la prima delle 9.21, si ha
∂ψ
= vx = 10x + 2
∂y
che, integrando rispetto a y e aggiungendo una funzione arbitraria di x, piuttosto che una costante, perché
l’integrazione è parziale, fornisce
ψ = 10xy + 2y + f ( x )
Derivando rispetto a x, uguagliando a v y per la seconda delle 9.21, integrando e sostituendo
nell'espressione di ψ , si ha
−
∂ψ
= −10 y − f ' x = v y = −10 y + 4
∂x
f' x =4
()
ψ = 10xy + 4x + 2 y + C
()
f x = 4x + C
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()
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10.17 Si consideri un moto bidimensionale di un fluido incomprimibile, con direzione inclinata di α
sull’orizzontale e distribuzione di velocità V costante in direzione trasversale. Nell’ipotesi in cui il
moto sia irrotazionale, derivare la funzione potenziale di velocità e la funzione di corrente.
Analisi Si tratta di un moto irrotazionale piano, per il quale le componenti della velocità rispetto agli assi
coordinati valgono
vx =
∂φ ∂ψ
=
= V cos α
∂x ∂y
vy =
∂φ
∂ψ
=−
= V sen α
∂y
∂x
Integrando la prima rispetto a x e aggiungendo una funzione arbitraria di y, piuttosto che una costante,
perché l’integrazione è parziale, si ottiene
( )
φ = Vx cos α + f y
Derivando rispetto a y, uguagliando a vy e integrando, si ha
vy =
∂φ
= f ' y = V sen α
∂y
( )
( )
f y = Vy sen α + C1
Poiché la funzione potenziale è definita a meno di una costante, C1 può assumere un valore arbitrario, che
conviene porre uguale a zero. Per cui, l’espressione finale di φ è
φ = Vx cos α + Vy sen α
Analogamente, integrando la vx rispetto a y e aggiungendo una funzione arbitraria di x, piuttosto che una
costante, perché l’integrazione è parziale, si ottiene
()
ψ = Vy cos α + g x
Derivando rispetto a x, uguagliando a vy e integrando, si ha
vy = −
∂ψ
= −g ' x = V sen α
∂y
()
()
g x = Vx sen α + C2
Poiché la funzione di corrente è definita a meno di una costante, C2 può assumere un valore arbitrario, che
conviene porre uguale a zero. Per cui, l’espressione finale di ψ è
ψ = Vy cos α − Vx sen α
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Cap. 10 – Soluzioni approssimate
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Strati limite
10.18 Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni, che si riferiscono allo strato limite laminare su una
lastra piana, è vera o falsa, giustificando la risposta:
(a) in qualunque punto sulla lastra, di ascissa generica x, all’aumentare del numero di Reynolds,
aumenta anche lo spessore dello strato limite;
(b) all’aumentare della velocità all’esterno dello strato limite, aumenta anche lo spessore dello
strato limite;
(c)
all’aumentare della viscosità del fluido, aumenta anche lo spessore dello strato limite;
(d) all’aumentare della densità del fluido, aumenta anche lo spessore dello strato limite.
(a) Falso. All’aumentare del numero di Reynolds, a
parità di tutto il resto, il rapporto tra le forze viscose e
le forze di inerzia diminuisce e lo spessore dello strato
limite diminuisce.
(b) Falso. All’aumentare di V , aumenta anche il
numero di Reynolds e lo spessore dello strato limite
diminuisce.
(c) V e r o . Poiché il numero di Reynolds è
inversamente proporzionale alla viscosità, quando essa
aumenta Re diminuisce e, pertanto, lo spessore dello
strato limite aumenta.
(d) Falso. Poiché il numero di Reynolds è proporzionale alla densità, quando essa aumenta Re aumenta
anch’esso e, pertanto, lo spessore dello strato limite diminuisce.
10.19 Gli strati limite sono di solito associati alla presenza di una parete solida. Ci sono, però, altri casi
in cui l’approssimazione di strato limite risulta appropriata. Citare tre di tali casi, spiegando perché
è possibile usare l’approssimazione di strato limite.
Altre regioni di moto per le quali l'approssimazione di strato limite può essere appropriata sono i
cosiddetti strati limite liberi, cioè quei casi in cui, pur in assenza di pareti solide, le forze viscose e la
vorticità non sono trascurabili. È questo il caso di getti, scie e strati di mescolamento.
10.20 Nella figura, che schematizza lo strato limite laminare che si sviluppa lungo una lastra piana, sono
riportati alcuni profili di velocità e lo spessore dello strato limite δ (x). Tracciare qualitativamente
alcune linee di flusso nel campo di moto e indicare se la curva δ (x) è una linea di flusso.
In figura sono riportate 5 linee di
flusso, le quali per rispettare la
conservazione della massa devono
attraversare la curva δ (x), che,
pertanto, non può essere essa stessa
una linea di flusso.
Discussione S e m p r e p e r l a
conservazione della massa, all’aumentare dello spessore dello strato limite, le linee di flusso devono
allontanarsi l’una dall’altra e, al crescere di x, dalla parete solida. Lo spostamento verso l’alto delle linee
di flusso con x è, però, inferiore all’aumento di δ .
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Cap. 10 – Soluzioni approssimate
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10.21 Una lastra piana liscia è immersa in aria a 30 °C (ρ = 1,164 kg/m3 e µ = 1,872 × 10−5 Pa⋅s) che si
muove con velocità di 25,0 m/s. Per quale valore di x sulla lastra, all’interno dello strato limite
insorge la turbolenza? E per quale valore di x sulla lastra, all’interno dello strato limite il moto
diventa puramente turbolento?
Analisi Nel caso di una lastra piana liscia in una corrente indefinita e uniforme, il processo di transizione
al regime turbolento inizia per il valore del numero di Reynolds critico Rex,critico ≅ 105 e continua finché lo
strato limite non diventa assolutamente turbolento per Rex ≅ 3 × 106. Pertanto, essendo
Re x, critico =
ρVx
= 105
µ
la turbolenza, all'interno dello strato limite, insorge all'ascissa
xi ≅ 105 ×
µ 105 × 1,872 × 10−5
=
= 0,06 m
ρV
1,164 × 25
Lo strato limite diventa assolutamente turbolento per Rex ≅ 3 × 106, cioè all'ascissa
x f ≅ 3 × 106 ×
µ
= 30 xi = 30 × 0,06 = 2 m
ρV
Discussione I risultati sono riportati con una sola cifra significativa per mettere in rilievo il fatto che essi
derivano da relazioni approssimate. Nei problemi reali, i valori di xi e di xf per i quali, rispettivamente,
insorge la turbolenza e lo strato limite diventa assolutamente turbolento dipendono da diversi fattori, quali
la scabrezza della superficie, disturbi nel campo di moto, curvatura della parete, ...
10.22 Un piccolo mezzo sottomarino si muove in acqua a 5 °C (ρ = 999,9 kg/m3 e µ = 1,519 × 10−3 Pa⋅s)
con una velocità di 10 km/h. Il veicolo ha una pinna con una corda di 50 cm. Lo strato limite sulla
pinna è laminare o turbolento?
Analisi Anche se la pinna non è una lastra piana, si possono usare le relazioni valide per le lastre piane
per avere una risposta corretta con ragionevole approssimazione. In corrispondenza del bordo posteriore
della pinna, ponendo l'ascissa x pari al valore della corda, il numero di Reynolds vale
Re x =
ρVc 999,9 × 10 × 0,50
=
= 9,14 × 105
µ
3,6 × 1,519 × 10−3
Per una lastra piana liscia, il processo di transizione inizia per Rex,critico ≅ 105 e continua finché lo strato
limite non diventa assolutamente turbolento per Rex ≅ 3 × 106. Con riferimento a tali valori e
considerando che, abitualmente, viene ignorata la fase di transizione e si usa il valore Rex,cr = 5 × 105 per
stabilire se uno strato limite sia più probabilmente laminare (Rex < Rex,cr) o turbolento (Rex > Rex,cr), si
può affermare che nel caso in esame lo strato limite sulla pinna è più probabilmente turbolento.
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10-11
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Cap. 10 – Soluzioni approssimate
dell'equazione di Navier-Stokes
10.23 In una piccola galleria del vento, la velocità dell’aria nel tratto in cui si effettuano le prove, lungo
50 cm, è di 2,25 m/s. La temperatura dell’aria è di 25 °C (ρ = 1,184 kg/m3 e µ = 1,849 × 10−5
Pa⋅s). Supponendo che, a monte del tratto in cui si effettuano le prove, lo spessore dello strato
limite sia trascurabile, stabilire se in tale tratto lo strato limite è laminare o turbolento.
Analisi Alla fine del tratto, il numero di Reynolds vale
Re L =
ρVL 1,184 × 2, 25 × 0,50
=
= 7, 20 × 104
−5
µ
1,849 × 10
Essendo ReL inferiore al valore Rex,critico ≅ 105 in corrispondenza del quale nello strato limite insorge la
turbolenza, nel tratto in questione lo strato limite è laminare.
10.24 In corrispondenza di due punti 1 e 2 all’interno di uno strato limite laminare di un fluido di densità
ρ e viscosità µ, tramite due prese statiche vengono misurate, rispettivamente, le pressioni p 1 e p 2.
La distanza tra i due punti è piccola rispetto alla dimensione caratteristica L del corpo (Δx = x2 – x 1
 L). Essendo V1 la velocità all’esterno dello strato limite in corrispondenza del punto 1, scrivere
un'espressione della velocità V2 all’esterno dello strato limite in corrispondenza del punto 2 in
funzione di p1, p2, Δx, V1, ρ e µ.
Analisi In uno strato limite, la pressione nella
direzione normale alla parete è praticamente costante,
pur potendo variare in direzione x lungo la parete.
Pertanto, per ciascun valore di x, la pressione subito
all’esterno dello strato limite è uguale al valore in
corrispondenza della parete solida. All’esterno dello
strato limite, dalla 10.67
1 dp
dV
+V
=0
ρ dx
dx
si ha
dV
1 dp
=−
dx
ρV dx
Se la distanza Δx è piccola, si può porre
V2 ≅ V1 +
dV
Δx
dx
p2 ≅ p1 +
dp
Δx
dx
e
per cui la relazione precedente, moltiplicando ambedue i membri per Δx, diviene
(
V2 − V1 ≅
dV
1 dp
1
Δx = −
Δx ≅ −
p − p1
dx
ρV1 dx
ρV1 2
V2 ≅ V1 −
p2 − p1
ρV1
)
da cui
Discussione La velocità V2 non dipende da Δx né da µ, ma soltanto da p1, p2, V1 e ρ.
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10-12
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Cap. 10 – Soluzioni approssimate
dell'equazione di Navier-Stokes
10.25 Un trasduttore di pressione differenziale molto sensibile collegato a due prese statiche, poste in
corrispondenza di due punti 1 e 2 sulla parete di uno strato limite laminare, indica che p 1 – p2 =
2,44 Pa. Il fluido è aria a 25 °C (ρ = 1,184 kg/m3 e µ = 1,849 × 10−5 Pa⋅s). Essendo V1 = 10,3 m/s
la velocità all’esterno dello strato limite in corrispondenza del punto 1, calcolare la velocità V 2
all’esterno dello strato limite in corrispondenza del punto 2.
Analisi Nell'ipotesi che la distanza tra i punti 1 e 2 sia piccola, si può utilizzare il risultato del problema
precedente, per cui
V2 ≅ V1 −
p2 − p1
−2, 44
= 10,3 −
= 10,5 m/s
ρV1
1,184 × 10,3
In conseguenza della piccola diminuzione di pressione si ha, quindi, un piccolo aumento di velocità.
10.26 Descrivere le cinque fasi della procedura di risoluzione dello strato limite.
Analisi Quando si usa l’approssimazione di strato limite, si utilizza la seguente procedura di risoluzione:
Fase 1 Risoluzione del moto esterno, ignorando lo strato limite e assumendo che la regione al di fuori
dello strato limite sia approssimativamente non viscosa e/o irrotazionale. Trasformazione delle
coordinate, se necessario, per ottenere Vx(x).
Fase 2 Assunzione dell’ipotesi di strato limite sottile, così da poterlo considerare ininfluente sulla
risoluzione del moto esterno.
Fase 3 Risoluzione delle equazioni dello strato limite 10.51 e 10.68, usando le condizioni al contorno
appropriate. Sulla parete solida, la condizione di aderenza: vx = v y = 0 per y = 0; sul bordo dello strato
limite, le condizioni di moto esterno note: vx → Vx(x) per y → ∞ e in una posizione a monte, per x = xin,
un profilo di velocità iniziale vx = vx,in(y).
Fase 4 Calcolo delle quantità di interesse nel campo di moto: lo spessore δ (x), lo sforzo tangenziale alla
parete, la forza di trascinamento totale, ecc.
Fase 5 Verifica dell’approssimazione di strato limite: lo strato limite deve risultare sottile.
10.27 Elencare alcuni dei limiti dell’approssimazione di strato limite.
Analisi L'approssimazione di strato limite è condizionata dai seguenti fattori:
•
Perché l’approssimazione dello strato limite sia sufficientemente accurata, bisogna che il numero di
Reynolds sia sufficientemente alto (cioè che δ /L sia sufficientemente piccolo). Per la 10.64, se ReL =
1000, si ha δ /L ~ 0,03 (3%); per ReL = 10000, si ha δ /L ~ 0,01 (1%).
•
La 10.59, secondo la quale il gradiente di pressione nella direzione y è nullo, non vale se il raggio di
curvatura della parete è dello stesso ordine di grandezza dello spessore δ (Fig. 10.38). In tal caso,
infatti, non è possibile trascurare gli effetti dell’accelerazione centripeta dovuti alla curvatura delle
linee di flusso. Per cui, affinché lo strato limite sia sufficientemente sottile in modo che
l’approssimazione sia valida, deve essere δ  R.
•
Se il numero di Reynolds è troppo alto, lo strato limite non rimane laminare. In particolare, lo strato
limite laminare su lastra piana liscia comincia la transizione verso la turbolenza per Rex ≅ 105, anche
se, nella pratica, imperfezioni della parete, vibrazioni, rumori e oscillazioni nella corrente possono
portare ad un innesco precoce del processo di transizione. Se il moto è di transizione o turbolento la
10.68 non è valida.
•
Se il fluido si distacca dalla parete, nella regione di separazione l’approssimazione di strato limite non
vale. Il motivo principale è che in tale regione il moto si può invertire, non essendo così soddisfatta la
natura parabolica delle equazioni dello strato limite.
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Cap. 10 – Soluzioni approssimate
dell'equazione di Navier-Stokes
10.28 Immergendo una lastra rettangolare in una corrente di aria, su entrambi i lati della lastra si forma
uno strato limite laminare. Se un lato ha lunghezza doppia dell'altro, la resistenza al moto è
maggiore quando è ortogonale alla velocità (a) il lato minore o (b) il lato maggiore? Perché?
Analisi La resistenza al moto è maggiore nel caso b. Infatti, la resistenza al moto è data dal prodotto
dello sforzo tangenziale medio per l’area della superficie della lastra, che è uguale in entrambi i casi.
All’interno di uno strato limite laminare, lo sforzo tangenziale alla parete è inversamente proporzionale
alla radice quadrata della distanza x dall'origine (vedi Esempio 10.1). Pertanto, tanto minore è la
lunghezza della parete nella direzione del moto, tanto più grande è il valore medio dello sforzo. Ne
consegue che, a parità di area, la resistenza al moto è tanto maggiore quanto più corto è il lato parallelo
alla velocità, come appunto nel caso b.
10.29 Con riferimento al problema 10.23, supponendo che il regime di moto si mantenga laminare,
stimare lo spessore dello strato limite, lo spessore di spostamento e lo spessore di quantità di moto
alla fine del tratto in cui si effettuano le prove. Confrontare i tre risultati e commentarli.
Analisi Alla fine del tratto in cui si effettuano le prove, essendo ReL = 7,20 × 104, lo spessore dello strato
limite, per la (5) dell’Esempio 10.1, risulta
4,91
δ=
Re L
4,91 × 0,50
L=
7, 20 × 104
= 0,00915 m = 9,15 mm
Per la 10.72, lo spessore di spostamento è
δ* =
1,72
Re L
L=
1,72 × 0,50
7, 20 × 104
= 0,00321 m = 3, 21 mm
mentre lo spessore di quantità di moto, per la 10.78, risulta
θ=
0,664
Re L
L=
0,664 × 0,50
7, 20 × 104
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= 0,00124 m = 1, 24 mm
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10.30 In uno strato limite laminare su lastra piana, è maggiore lo spessore dello strato limite o lo
spessore di spostamento? Perché?
Analisi È maggiore lo spessore dello strato limite. Infatti, a parità di x, esso è circa il triplo dello
spessore di spostamento. Quest'ultimo è la distanza di cui, per effetto dello strato limite, viene allontanata
dalla parete la linea di flusso appena fuori lo strato limite. Essendo pari allo spessore di una corrente
uniforme che sostituisce il deficit di portata di massa all’interno dello strato limite, esso deve
necessariamente risultare minore dello spessore dello strato limite.
10.31 In una galleria del vento, il tratto in cui si effettuano misure in regime laminare è lungo 60 cm e ha
un diametro di 400 mm. L’aria è a 20 °C (ρ = 1,204 kg/m3 e µ = 1,825 × 10−5 Pa⋅s). Se all’imbocco
del tratto la velocità dell’aria è di 2,0 m/s, di quanto aumenta alla fine del tratto, in corrispondenza
dell’asse della galleria?
Analisi Alla fine del tratto in cui si effettuano le prove, il numero di Reynolds è
ρV
1, 204 × 2,0 × 0,60
L=
= 7,92 × 104
µ
1,825 × 10−5
Re L =
Pertanto, per la 10.72, lo spessore di spostamento risulta
δ* =
1,72
Re L
L=
1,72 × 0,60
7,92 × 104
= 0,00367 m = 3,67 mm
Se V i e A i sono, rispettivamente, la velocità e l’area della
sezione trasversale della galleria all’imbocco e V f e A f i
corrispondenti valori alla fine del tratto di prova, per la
conservazione della massa, è
Vi Ai = V f A f
A causa dello strato limite, il raggio della sezione finale si
riduce dello spessore di spostamento δ*. Pertanto, Af < Ai e
2
2
⎛
Ai
Di ⎞
⎛
⎞
0, 400
V f = Vi
= Vi ⎜
= 2,08 m/s
⎟ = 2,0 × ⎜
*
Af
⎝ 0, 400 − 2 × 0,00367 ⎟⎠
⎝ Di − 2δ ⎠
cioè, a causa dello spessore di spostamento, la velocità aumenta di circa il 4%.
10.32 Risolvere il problema precedente ipotizzando che la sezione trasversale della galleria sia quadrata,
con lato di 40 cm. Confrontare i risultati con quelli del caso precedente e commentarli.
Analisi Essendo il numero di Reynolds e lo spessore di
spostamento uguali a quelli del problema precedente, la
velocità nella sezione finale del tratto di prova risulta
2
V f = Vi
Ai
⎛ a ⎞
= Vi ⎜
=
Af
⎝ a − 2δ * ⎟⎠
2
⎛
⎞
0, 400
= 2,0 × ⎜
=
⎝ 0, 400 − 2 × 0,00367 ⎟⎠
= 2,08 m/s
cioè la velocità aumenta ancora del 4% circa, come nel caso precedente.
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Cap. 10 – Soluzioni approssimate
dell'equazione di Navier-Stokes
10.33 Su una lastra piana liscia, lunga 3 m, scorre aria a 20 °C (ρ = 1,204 kg/m3 e µ = 1,825 × 10−5 Pa⋅s)
con una velocità di 5 m/s. Stabilire se lo strato limite sulla lastra è più probabilmente laminare, di
transizione o turbolento. Calcolare gli spessori dello strato limite alla fine della lastra, nel caso in
cui lo strato limite sia ovunque laminare e ovunque turbolento e confrontarli.
Analisi Al bordo di uscita della lastra il numero di Reynolds è
Re L =
ρVL 1, 204 × 5,0 × 3
=
= 9,90 × 105
µ
1,825 × 10−5
Per una lastra piana liscia, il processo di transizione inizia per Rex,critico ≅ 105 e continua finché lo strato
limite non diventa assolutamente turbolento per Rex ≅ 3 × 106. Con riferimento a tali valori e
considerando che, abitualmente, viene ignorata la fase di transizione e si usa il valore Rex,cr = 5 × 105 per
stabilire se uno strato limite sia più probabilmente laminare (Rex < Rex,cr) o turbolento (Rex > Rex,cr), si
può affermare che nel caso in esame lo strato limite è laminare nella parte iniziale della lastra e di
transizione più a valle. In presenza di qualche causa di disturbo (quali, per esempio, vibrazioni o
irregolarità nella regione esterna), nella parte finale della lastra lo strato limite potrebbe essere puramente
turbolento. Se lo strato limite è ovunque laminare, al bordo di uscita dalla lastra il suo spessore, per la (5)
dell’Esempio 10.1, è
4,91
δ=
4,91 × 3
L=
Re L
9,90 × 105
= 0,0148 m = 14,8 mm
Se lo strato limite è ovunque turbolento, lo spessore e le altre proprietà dello strato limite possono essere
determinate solo per via empirica o semi-empirica, in funzione dell’espressione adottata per esprimere il
profilo di velocità all'interno dello strato limite. Se tale profilo viene espresso con la legge di potenza
10.79, lo spessore dello strato limite turbolento al bordo di uscita dalla lastra piana liscia risulta
δ=
0,16
Re1/L 7
L=
(
0,16 × 3
9,90 × 105
)
17
= 0,0668 m = 66,8 mm
Quindi, se lo strato limite fosse ovunque turbolento, il suo spessore sarebbe circa 4,5 volte il valore che
avrebbe se fosse ovunque laminare, a parità di numero di Reynolds. Nel caso in esame, il valore reale
dello spessore è compreso, probabilmente, tra questi due valori estremi.
10.34 Su una lastra piana liscia, lunga 40 cm, scorre aria a 20 °C (ρ = 1,204 kg/m3 e µ = 1,825 × 10−5
Pa⋅s) con una velocità di 5 m/s. La lastra, che ha il bordo d’attacco arrotondato, è spessa 7,5 mm.
Calcolare lo spessore apparente della lastra alla distanza di 25 cm, così come viene percepito dalla
corrente all’esterno dello strato limite.
Analisi Alla distanza di 25 cm dal bordo di attacco, è
Re x =
ρVx 1, 204 × 5,0 × 0, 25
=
= 82500
µ
1,825 × 10−5
per cui lo strato limite è più probabilmente laminare. Lo spessore di spostamento, per la 10.72, è
δ* =
1,72
Re x
x=
1,72 × 0, 25
8, 25 × 104
= 0,00150 m = 1,50 mm
e, pertanto, avendo la lastra spessore h = 7,5 mm, lo spessore apparente ha alla distanza di 25 cm è
ha = h + 2δ* = 7,5 + 2 × 1,5 = 10,5 mm
Discussione Il numero di Reynolds è molto prossimo al valore Rex,critico ≅ 105 in corrispondenza del
quale insorge la turbolenza. Pertanto, se nel campo di moto fossero presenti dei disturbi o se la lastra
fosse scabra, lo strato limite sarebbe di transizione e lo spessore di spostamento risulterebbe maggiore.
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10.35 La separazione del moto è più difficile quando lo strato limite è laminare o quando è turbolento?
Perché?
Quando un fluido scorre a velocità sufficientemente elevata su una superficie curva, esiste un punto in
corrispondenza del quale esso si stacca dalla superficie; tale processo è chiamato separazione dello strato
limite. A valle del punto di distacco, si ha una regione di ricircolo nella quale la direzione del moto in
prossimità della parete solida si inverte.
Infatti, quando un fluido scorre su una superficie curva (ad
esempio, un profilo alare), il fluido può accelerare (attorno alla
parte anteriore del profilo) o decelerare (attorno alla parte
posteriore). Poiché nella regione esterna allo strato limite vale
l’equazione di Bernoulli, dalla quale deriva la 10.67
dV
1 dp
+ Vx x = 0
ρ dx
dx
se il fluido accelera, Vx aumenta nella direzione del moto e la pressione p diminuisce lungo x. Viceversa,
ad una diminuzione di velocità corrisponde un aumento di pressione nella direzione del moto.
Quest’ultima condizione, se il gradiente di pressione è sufficientemente elevato, può determinare la
separazione dello strato limite. Ciò perché, al crescere del gradiente di pressione nella direzione del moto,
aumenta l'inclinazione della tangente al profilo della velocità in prossimità della parete, fino a diventare
verticale, in corrispondenza del verificarsi della separazione, e addirittura ad invertirsi, nella regione di
ricircolo.
In uno strato limite turbolento, il profilo di velocità è molto più pieno di quanto non lo sia in uno strato
limite laminare. Pertanto, affinché uno strato limite turbolento si separi è necessario un gradiente di
pressione molto maggiore di quello sufficiente a far separare uno strato limite laminare.
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Cap. 10 – Soluzioni approssimate
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10.36 Calcolare il fattore di forma H per uno strato limite laminare e per uno turbolento lungo una lastra
piana, supponendo che quello turbolento lo sia fin dall’inizio. Perché H viene chiamato fattore di
forma?
Analisi Il fattore di forma, definito come il rapporto tra lo spessore di spostamento e lo spessore di
quantità di moto,
δ*
θ
H=
è così chiamato perché il suo valore dipende dalla forma del profilo di velocità. Per uno strato limite
laminare lungo una lastra piana, per le 10.72 e 10.78, il fattore di forma Hlam è pari a
1,72
H lam
Re x
δ*
=
=
0,664
θ
Re x
x
= 2,59
x
Per uno strato limite turbolento, lo spessore di spostamento e lo spessore di quantità di moto possono
essere determinati solo per via empirica o semi-empirica, in funzione dell’espressione adottata per
esprimere il profilo di velocità al suo interno. Se tale profilo viene espresso con la legge di potenza 10.79,
lo spessore di spostamento e lo spessore di quantità di moto dello strato limite turbolento (nell’ipotesi che
sia ovunque turbolento) su una lastra piana liscia risultano
δ* =
0,020
Re x1 7
x
e
θ=
0,016
Re x1 7
x
e, pertanto, il fattore di forma Hturb per uno strato limite turbolento su lastra piana liscia è
0,020
H turb
1/ 7
δ * Re x
=
=
0,016
θ
Re1/x 7
x
= 1, 25
x
Quindi, per uno strato limite laminare su lastra piana liscia, il fattore di forma risulta poco più del doppio
di quello che si ha per uno strato limite ovunque turbolento. Se ne deduce che il fattore di forma è tanto
più piccolo quanto più il profilo di velocità è "pieno" e, conseguentemente, quanto meno il fluido tende a
staccarsi dalla parete.
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10-18
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Riepilogo
10.37 Dire quale delle seguenti affermazioni è vera o falsa, spiegando la risposta:
(a) la funzione potenziale di velocità può essere definita per moti tridimensionali;
(b) affinché sia possibile definire la funzione di corrente, la vorticità deve essere nulla;
(c)
affinché sia possibile definire la funzione potenziale di velocità, la vorticità deve essere nulla;
(d) la funzione di corrente può essere definita solo per campi di moto bidimensionali.
Analisi
(a) V e r o . Per definire la funzione potenziale di velocità non è necessario che il moto sia
bidimensionale. Infatti, essa può essere definita per qualunque moto irrotazionale.
(b) Falso. La funzione di corrente può essere definita per qualunque campo di moto bidimensionale,
indipendentemente dal valore della vorticità.
(c) Vero. La funzione potenziale di velocità può essere definita solo per campi di moto irrotazionali,
dove cioè la vorticità è nulla.
(d) Vero. La funzione di corrente è definita dall’equazione di continuità e vale solo per campi di moto
bidimensionali.
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