UNIVERSITA' DI CATANIA-FACOLTA' DI SCIENZE M.F.N.
A.A. 2011-12
Corso di laurea in Fisica
Programma di Geometria
Prof. A. Lizzio - R. Maggioni
Teoria degli insiemi, applicazioni, relazioni, gruppi ed anelli.
Nozioni primitive, insiemi, sottoinsiemi. Intersezione, unione, prodotto
cartesiano; complemento, insieme delle parti. Applicazioni: dominio, codominio
ed immagine di un'applicazione; applicazioni iniettive, suriettive e biiettive;
applicazione inversa e identica. Composizione di applicazioni e sue proprietà.
Relazioni binarie. Proprietà riflessiva, simmetrica, antisimmetrica e
transitiva. Relazioni d'equivalenza. Principio d'induzione*. Relazioni
d'ordinamento parziale; insiemi parzialmente ordinati.
Operazioni algebriche binarie. Semigruppi e gruppi; gruppi abeliani; semigruppo
e gruppo simmetrico su un insieme. Omomorfismi tra gruppi; nucleo ed immagine
di un omomorfismo. Anelli, corpi e campi. Spazi vettoriali su di un campo.
[Appunti]
[GR] Cap. 1 nn. 1.1 - 1.5.
Matrici e determinanti. Sistemi lineari.
Matrici rettangolari e quadrate. Nomenclatura. Lo spazio vettoriale delle
matrici. Prodotto di matrici e sue proprietà. Sottomatrici e minori estratti.
L'anello delle matrici quadrate, matrici invertibili, il gruppo generale lineare
e i suoi sottogruppi. Determinanti. Definizione e proprietà. Classe di un
minore, minori complementari. Teoremi di Laplace*. Teorema di Binet*. Matrice
aggiunta e matrice inversa. Caratteristica di una matrice, rango per righe e per
colonne. Teorema di Kronecker. Riduzione di una matrice per righe e per colonne.
Sistemi di equazioni lineari. Riduzione di un sistema lineare nella forma a
gradini. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari omogenei.
[M] Cap. 5 nn. 1,2,3,4,5,6*,7,8,9,10 e Cap. 6 nn.1,2*,3,5*,6.
[R] Cap. 3 nn. 3.1 - 3.6, 3.7*, 3.8*, 3.10 - 3.18 e Cap. 5.
[GR] Cap. 1 n.1.8 e Cap. 3.
[GV1] Cap 2 nn.1.4,1.5,nn.5-6; Cap. 4, Cap. 5.
Geometria lineare del piano e dello spazio.
Ascisse sulla retta. Coordinate cartesiane nel piano. Segmenti orientati e
vettori ordinari del piano; prodotto scalare e vettoriale. Cambiamenti di
riferimento. Equazione della retta. Numeri direttori e coseni direttori.
Parallelismo e perpendicolarità. Fasci di rette. Luoghi geometrici. Coordinate
cartesiane nello spazio. Vettori ordinari dello spazio. Equazioni della retta e
del piano. Cambiamenti di riferimento. Numeri e coseni direttori. Parallelismo e
perpendicolarità. Fasci e stelle di piani. Distanze ed angoli. Coordinate
cartesiane omogenee nella retta, nel piano e nello spazio. Punto improprio della
retta; punti impropri del piano e delle rette del piano, retta impropria del
piano; punti impropri dello spazio, rette improprie dei piani dello spazio,
piano improprio.
[R] Cap. 1, Cap. 7 e Cap. 8.
[DM] nn. 1 - 31 e 86 - 109. [P] Cap. 1, 2, 3.
[GV2] Cap.1, Cap. 2 n.1, Cap. 3 n.1, Cap. 4 nn.1,4.
Spazi vettoriali su un campo k.
Spazi vettoriali. Sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi. Insiemi di
generatori e insiemi liberi. Criterio di indipendenza lineare. Metodo degli
scarti. Completamento di un insieme libero ad una base. Basi e teoremi sulla
base, dimensione. Somma diretta di sottospazi. Formula di Grassmann. Funzioni
lineari. Funzioni lineari e matrici. Immagine e nucleo di funzioni lineari,
teorema sulle loro dimensioni. Prodotti scalari. Cambiamenti di base. Spazi
euclidei. Basi ortonormali. Ortogonalizzazione. Autovalori, autovettori e
autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Diagonalizzazione delle
matrici.
[R] Cap. 2 e Cap. 4
[GR] Cap. 2 , Cap. 4, Cap. 5 e Cap. 6.
[GV1] Cap. 2 nn.2-4. Cap. 3, Cap. 6, Cap. 7, Cap. 8 nn.1,2,3,4*,5*,6.
Coniche.
Equazione di una conica. Matrice di una conica. Coniche per 5 punti. Invarianti
ortogonali. Intersezione di una retta con una conica: studio della risolvente.
Significato geometrico della caratteristica della matrice di una conica.
Tangenti ad una conica. Polarità definita da una conica non degenere,
reciprocità, rette e punti coniugati. Fasci di coniche. Punti base e coniche
spezzate di un fascio. Classificazione affine delle coniche non degeneri. Centro
e diametri; diametri coniugati. Forma ridotta. Assi e vertici. Asintoti. Fuochi,
direttrici, eccentricità. Studio di ellisse, iperbole e parabola.
[R] Cap. 10 nn. 10.1 - 10.17.
[DM] nn. 32 - 70.
[P] Cap. 4.
[GV2] Cap. 2 n.2, Cap. 4 nn.2,3.
Quadriche.
Equazione di una quadrica. Matrice di una quadrica. Quadriche spezzate e
irriducibili. Intersezione di una retta con una quadrica: studio della
risolvente. Intersezione di un piano con una quadrica. Punti doppi: loro
caratterizzazione. Significato geometrico della caratteristica della matrice di
una quadrica. Coni e cilindri e loro equazioni. Rette tangenti e piano tangente.
Punti parabolici, iperbolici ed ellittici. Polarità definita da una quadrica non
degenere: piani, rette e punti coniugati. Classificazione affine delle quadriche
non degeneri.Invarianti ortogonali*. Centro, piani di simmetria. Equazioni
ridotte: studio della forma di ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi.
[R] Cap. 11 nn. 11.1 - 11.11, 11.14 - 11.18, 11.19 - 11.23*.
[DM] nn. 121 - 127, 130 - 141.
[P] Cap. 5.
[GV2] Cap. 3 nn.2,3,4.
Riferimenti bibliografici:
[DM] G.Dantoni, C.Mammana “Lezioni di Geometria” Di Stefano Ed., Genova.
[GR] S.Giuffrida, A.Ragusa “Corso di Algebra Lineare (con esercizi svolti)”
Il Cigno Galileo Galilei, 1998 Roma.
[GV1] S. Greco, P. Valabrega “Lezioni di Geometria-Algebra lineare”
(vol. I) Levrotto & Bella, 1999 Torino.
[GV2] S. Greco, P. Valabrega “Lezioni di Geometria-Geometria analitica”
(vol. II) Levrotto & Bella, 1999 Torino.
[M] C.Miranda “Lezioni da Analisi Matematica” Parte prima. Liguori Ed., Napoli.
[P] G. Paxia “Lezioni di Geometria” CULC, Catania.
[R] M.Rosati “Lezioni di geometria (nuova edizione)” Ed. Libreria Cortina, 1997
Padova.
Gli argomenti segnati con * si intendono senza dimostrazione.
