per Scienze Geologiche
Parte
2
prof. Maurizio Spurio
[email protected]
1
11. La carica elettrica e legge di
Coulomb
2
Esiste in Natura una forza di natura non
gravitazionale, che può essere attrattiva o repulsiva
Questa forza e’ dovuta all'esistenza
di cariche elettriche di due tipi: + -
Cariche dello stesso segno si
respingono, cariche di segno opposto
si attraggono.
I materiali che si conoscono possono essere isolanti o conduttori, a
seconda del fatto che la carica deposta rimanga localizzata o meno.
La carica elettrica e’ una grandezza fondamentale nel SI, la cui unita’ di
misura e’ il Coulomb ( C) (*vedi nota al cap. 1)
3
Legge di Coulomb
Sperimentalmente, C.A. Coulomb determinò (1785) che una carica q1
induce una forza sulla carica q2 che è proporzionale al prodotto delle
intensità q1 , q2 delle cariche e inversamente proporzionale al
quadrato delle distanze.
r
F=
q1q2
rˆ
2
4πε o r
1
Con la carica misurata in Coulomb, la
costante vale:
La legge di Coulomb ha natura vettoriale.
La forza risultante da più cariche e’ la
somma vettoriale delle singole forze.
In generale, F= ΣFi
1
4πε o
= 8.99 109 N ⋅ m 2 / C 2
q
F+
F=F++FF-
+Q
-Q
4
1
E+
E=E++EE-
+Q
-Q
5
Quantizzazione della carica elettrica
Oggi noi conosciamo che la carica elettrica e’ quantizzata, ossia esiste
una carica elementare molto piccola, di cui tutte sono multiple:
q = ne con
e=carica elettrone= 1.6 10-19 C
Inoltre, la carica elettrica e’ conservata: possono esistere dei
processi in cui cariche elettriche vengono create, ma in modo che la
carica risultante sia nulla. Ad es: γ→ e+e-
6
Il campo elettrico E
Il campo elettrico E è un campo vettoriale: ad ogni
punto dello spazio si può immaginare associato un
vettore. In fisica moderna il concetto di campo
vettoriale è di importanza fondamentale.
Se qo è una carica di prova, il campo elettrico E è definito come:
E= F/qo
ossia, come quel vettore che, moltiplicato per la carica
di prova, dà la forza (in Newton) agente sulla carica
stessa. Per definizione, l’unità di misura del campo
elettrico è:
Campo E = [Newton/C]
7
Il caso semplice di campo elettrico
generato da una carica q è:
r
1 q
F r
≡E=
rˆ
2
4πε o r
qo
Già con 2 cariche, la situazione
si complica. In ciascun punto
dello spazio, il campo è la risultante della somma di 2 vettori
8
Linee di forza del campo E
Il metodo per visualizzare il campo elettrico utilizza il concetto di
linee di forza.
La linea di forza in un punto rappresenta la direzione in cui muoverebbe
una carica positiva posta in quel punto. Il numero delle linee di forza
qualitativamente rappresenta l’intensità del campo elettrico stesso.
Il campo E in un punto, essendo una
grandezza vettoriale, gode delle
proprietà vettoriali: ad es., il campo
risultante da due o più cariche si
ottiene della somma dei vettori
9
Dipolo elettrico
Un dipolo elettrico è composto da due cariche di
segno opposto, poste ad una distanza d (e’ un caso
importante perché in Natura esistono molte
situazioni paragonabili ad un dipolo). Il campo E di un
dipolo in un punto lontano z dal centro del dipolo:
1 q q
2 − 2 =
E = E+ + E− =
4πε o r+ r−
1
q
q
≅
−
4πε o ( z − d ) 2 ( z + d ) 2
2
2
2 d 2 d
1+
− 1 −
=
2
4πε o z
2z
2 z
q 2d
=
1 p
4πε o z 3
E≅
q
E=
Campo di dipolo
elettrico
2πε o z
3
,
p = qd
dipolo elettrico
10
Esempi:
Esercizio 12.2: studiare il moto di
Esercizio 11.1: cosa accade ad un
dipolo elettrico se immesso in un
campo E costante ed uniforme?
una goccia d’inchiostro di massa m e
carica Q tra i piatti di deflessione di
una stampante a getto d’inchiostro. La
velocità iniziale della goccia m è vx. Tra
i piatti vi è un campo E come il figura.
Determinare la deflessione lungo y.
(m=1.3 10-10 kg, Q=1.5 10-13 C, E=1.4 106
N/C, L=1.6 cm, vx =18 cm/s).
R: y=0.64 mm
11
12. Uno sguardo dentro la materia
Early microscope
Today microscope
12
Abbiamo conosciuto due tra le forze fondamentali della natura: la forza
gravitazionale e la forza elettrica. La prima e’ legata alla massa, la
seconda alla carica di una particella. Ma come e’ costituita la materia?
1. Molecole. Gran parte dei materiali, sono
costituiti da molecole, che sono
agglomerati di atomi legati da forze
elettriche di tipo di “dipolo” (talvolta
molto piu’ complicate).
2. Atomi. Gli atomi sono aggregati neutri
composti da nuclei (carichi +) ed
elettroni (carichi -). Il numero Z di
protoni (od elettroni) determina il nome
dell’elemento: dall’idrogeno (Z=1)
all’Uranio (Z=92). Gli atomi sono stabili
per forze di natura elettrica.
3. Nuclei. Anche i nuclei sono composti da protoni (carichi +) e neutroni (neutri).
La carica dei p e’ la stessa degli e, cambiata di segno. I nuclei sono tenuti da
forze nucleari.
4. I protoni e neutroni sono composti da quark….
13
Atomi
Gli atomi possono essere immaginati come
piccoli sistemi planetari, in cui nuclei ed
elettroni (e- ) sono legati dalla forza di
Coulomb. La differenza e’ che gli e- non
possono ruotare che su orbite definite
(modello di Bohr degli stati stazionari). Ad
ogni orbita, corrisponde un preciso valore di
energia (U+T). E’ possibile che gli e- cambino
orbita: in tal caso assorbono o emettono un
quanto di energia (fotone).
14
Teoria (semiclassica) di Bohr
1. I raggi delle orbite sono tali che il momento
angolare (L=mvr) degli e- assume valori multipli di una
costante fondamentale (h=cost. di Plank)
h
L=n
2π
2. In una transizione dal raggio r1 a quello r2 viene
emessa (assorbita) una quantità di energia pari a:
hν = Ei − E f
me = 9 ⋅10 −31 kg
h = 6.6 ⋅10 −34 J ⋅ s
e = 1.6 ⋅10 −19 C
ε 0 = 8.85 ⋅10 −12 F / m
Esercizio 12.1. Determinare il raggio
dell’orbita fondamentale dell’H.
Esercizio 12.2. Se le dimensioni di un atomo sono di 10-10 m, quanti atomi sono
all’ incirca presenti in un cm3 di materiale (liquido o solido)?
15
Tabella Periodica
Gli atomi successivi a quello di idrogeno sono caratterizzati da un
numero di elettroni (o protoni nei nuclei) via via crescenti. L’ultimo
elemento stabile in natura e’ l’Uranio (Z=92). Ciascun atomo puo’
aggregarsi con altri atomi (dello stesso o di altri tipi) per formare
cristalli o molecole.
16
Conduttori ed isolanti
La classificazione dei materiali in isolanti e conduttori è data dalla loro maggiore
o minore capacità di "condurre" l'elettricità. I materiali che trasmettono meglio
l'elettricità sono i materiali "conduttori" (come i metalli) mentre i materiali
isolanti non possono trasmetterla, ma solo trattenerla.
Oggi sappiamo che i materiali isolanti, non trasmettono l'elettricità perché i
nuclei e gli elettroni dei loro atomi non possono variare il loro stato di equilibrio
elettrico.
In pratica, ciascun nucleo di un isolante lega tutti gli elettroni dell’atomo, che non
possono allontanarsi dal nucleo stesso.
Gli atomi dei metalli si dispongono in strutture regolari (reticoli cristallini): in
queste, gli e- più vicini ai nuclei sono fortemente legati ai nuclei stessi. Gli “ultimi
elettroni” (ossia, quelli più lontani) sono invece condivisi dai nuclei nel cristallo, e
costituiscono l’insieme degli "elettroni liberi“ (o elettroni di conduzione).
Questi elettroni possono muoversi indipendentemente
uno dall'altro sulla superficie del metallo, anche molto
velocemente nei materiali conduttori. In un metallo
“alcalino”, per ogni atomo vi è un elettrone libero,
nell'atomo dell'alluminio ve ne sono invece tre,
essendo l'alluminio un buon conduttore, e così via.
17
Nuclei
Non e’ difficile immaginare gli e- legati ai nuclei (carichi +) da
forze di natura elettrica. Ma chi mantiene stabile i protoni nei
nuclei? Oltre alla gravitazione ed alle forze di natura
elettrica, vi sono delle forze dette nucleari.
Per avere una idea delle “scale di distanza”: se il raggio del nucleo fosse di 1
cm, gli elettroni disterebbero dal nucleo alcuni km. La materia è “vuota”
Queste forze sono sempre attrattive per i protoni ed i neutroni, su distanze
molto piccole (circa uguali al raggio dei p,n). Sono inefficaci a distanze piu’
grandi, dove domina la repulsione coulombiana.
Fissione nucleare
Esercizio 12.3. I raggi dei nuclei sono ∼10-5
più piccoli di quelli atomici. Sareste in grado
di mostrare che la disintegrazione di un
nucleo fornisce ∼105 piu’ energia delle
reazioni chimiche tra atomi?
18
Oggi sappiamo che i protoni ed i neutroni sono anch’essi composti da quark…
Chi ha formato i Nuclei?
(O,C, Cu,Au, Pb,…)
I grandi ammassi nell’Universo (Galassie) sono composti da stelle, legate dalla
forza gravitazionale. Anche le singole stelle (composte principalmente da H
ed He) sono mantenute dalla gravitazione.
La teoria sull’evoluzione dell’Universo (Big Bang) predice che ∼15
miliardi di anni fa l’universo sia “nato” con una composizione chimica
di circa 76% di H e 24% di He. Come si sono potuti formare gli
elementi piu’ pesanti?
Nelle stelle, l’enorme pressione avvicina i protoni a distanze
tali da poter far innescare la cattura da parte delle forze
nucleari, che liberano energia. Si formano cosi’, a partire da
H ed He nuclei piu’ pesanti (sino al Ferro).
I nuclei piu’ pesanti del
Fe (sino all’U) si
formano durante le
catastrofiche morti
delle stelle
(supernovae)
19
13. Il Flusso di E e la Legge di Gauss
20
Flusso di una grandezza vettoriale
Il “flusso” Φ di una grandezza vettoriale (ad es., di un liquido): e’ un
numero (scalare !) che e’ proporzionale alla quantità di liquido che
intercetta una certa area. Dipende:
(i) dal modulo ν del vettore;
(ii) dell’area A;
(iii) dall’orientazione dell’area rispetto al vettore (θ).
r r
Φ = vA cos ϑ = v ⋅ A
Nel seguito, considereremo il flusso del campo elettrico
21
Conteggio delle linee di forza di E
Sperimentalmente: il
numero di linee del campo
vettoriale E che
attraversano una
qualunque superficie
chiusa e’ direttamente
proporzionale alla carica
racchiusa dalla superficie.
Questo deve significare
un qualche tipo di
relazione tra il flusso
attraverso una qualunque
superficie e la carica
elettrica
22
Flusso attraverso superficie chiusa
Se il campo vettoriale E varia da punto a punto, e se la superficie S e’
qualunque, il calcolo del flusso e’ sempre possibile, sebbene più
complicato matematicamente.
r r
r r
Φ = ∑ E ⋅ ∆A → ∫ E ⋅ dA
Il cerchio indica che la
superficie e’ chiusa
23
Legge di Gauss
Il flusso di un campo elettrico attraverso una
qualunque superficie chiusa e’ uguale alla carica
racchiusa all’interno della superficie, diviso la
costante εo.
r r qint
Φ E ≡ ∫ E ⋅ dA =
ε0
24
Legge di Gauss = legge di Coulomb
Dimostriamo la legge di Gauss a partire dalla
legge di Coulomb, nel semplice caso di una carica
puntiforme. Consideriamo come superficie chiusa
una sfera con al centro la carica q.
r r
Φ E ≡ ∫ E ⋅ dA = ∫ (
q
1
=
⋅ 2
4πε o r
qrˆ
4πε or
2
) ⋅ (dA ⋅rˆ) =
q
1
q
2
dArˆ ⋅ rˆ =
⋅ 2 ⋅ 4πr =
∫
4πε o r
εo
sfera
Analogamente, dalla Legge di Gauss si può ottenere la L. di Coulomb.
La L. di Gauss e’ una delle equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo, ed in
casi di simmetria, può essere utilizzata per determinare il campo elettrico.
Per la legge di Gauss, se una carica viene fornita ad un conduttore
isolato, questa si dispone totalmente sulla sua superficie esterna.
Nessuna carica può trovarsi entro il conduttore.
25
14. Il potenziale Elettrico
26
Differenza di potenziale
Il lavoro che si deve compiere per spostare una
carica q tra due punti A e B in presenza di un
campo elettrico E e’:
B
LAB
B r
r r
r
= − ∫ F ⋅ ds = − ∫ qE ⋅ ds
A
A
Poiché il lavoro e’ proporzionale a q, possiamo definire il lavoro per unità di
carica differenza di potenziale (ddp).
B r
r
L
La ddp e’ sempre calcolata tra due punti.
VAB ≡ VB − VA ≡ AB = − E ⋅ ds
Se si fissa il punto di partenza (ad es.
all’infinito) si parla di potenziale elettrico.
q
∫
A
La ddp (ed il potenziale elettrico) sono
grandezze molto usate. L’unita’ di misura e’ il
J/C. Questa grandezza ha il nome di Volt (V).
Nel caso di campo costante e cammino
rettilineo, si ha (sia per il cammino “if”, che
per il cammino “ic,cf”:
B
VAB
r r
= − ∫ E ⋅ ds = − Es cos θ = − Ed
A
27
Esempio: Legge di Gauss per problema a simmetria cilindrica
Consideriamo un filo conduttore indefinito, su cui e’
disposta una cerca quantità di carica λ per unità di
lunghezza.
E2
Il campo elettrico E non può che essere perpendicolare
alla superficie laterale del cilindro (vedi figura), ed il E
modulo può essere determinato con la Legge di Gauss:
ΦE ≡
E =
∫
r
r
q int
E ⋅ d A = E ( 2 π rh ) =
E1
ε0
λ
q int
=
( 2 π rh ) ε 0
2π r ε 0
Il potenziale elettrico tra due punti A e B distanti rA e rA è:
A
V BA = − ∫
B
λ
λ
dr =
2π r ε 0
2 πε
0
r
ln B
rA
B
A
28
Superfici equipotenziali
Nel caso di campo variabile, e di percorso qualunque,
occorre calcolare un integrale di linea. Si puo’
dimostrare che in qualunque caso,in cui il campo
elettrico è generato da distribuzioni di cariche il
risultato dell’integrazione NON dipende dal percorso
scelto. (i campi elettrostatici sono conservativi)
Muovendosi su una linea o superficie di eguale
potenziale, non si compie lavoro . Queste
superfici (reali o immaginarie) sono sempre ad
ogni punto ortogonali alle linee di forza del campo
elettrico (vd. definizione di ddp)
29
Conduttori isolati
La carica in eccesso su un conduttore si distribuisce
sulla sua superficie, ma in generale NON in maniera
uniforme. La densità di carica σ=dq/dA varia da punto
a punto sulla superficie. In una regione di area
sufficientemente piccola, con la LdGauss si può
stimare il campo elettrico E in prossimità di A.
qint
σ
Φ E = EA =
→E=
=
Aε 0 ε 0
ε0
qint
Due piastre conduttrici parallele
σ
E=
2ε 0
σ
E=−
2ε 0
E=
σ
(dentro)
ε0
E = 0 (fuori)
Esempio importante di
dispositivo in cui
“immagazzinare” il campo
elettrico E
30
Il potenziale di una carica puntiforme
Il potenziale di una sfera
f
V
= −
∫ E ⋅ ds
=
i
r
= −
∫
∞
q
4 πε 0 r
2
dr =
1
4 πε
0
q
r
31
Condensatori
Consideriamo due conduttori isolati, inizialmente scarichi. Man mano
che cariche vengono trasferite da un conduttore all’altro, aumenta il
campo elettrico tra i due conduttori. Se si vuole trasferire ulteriore
carica, si deve compiere lavoro contro il campo E formatosi.
Nel caso semplice di due lamine conduttrici piane e parallele, il lavoro
può facilmente essere calcolato:
32
q
E=
Aε 0
(Campo E interno alle lamine)
−
Vlamine
r r
qd
= ∫ E ⋅ ds = Ed =
Aε 0
+
(ddp tra le lamine)
Definiamo condensatore un qualunque dispositivo su cui possono
essere immagazzinate cariche per formare un campo elettrico, ed una
ddp tra le armature (ossia, le pareti conduttrici ove si immagazzina la
carica).
33
Capacità elettrica
Il rapporto tra carica sul condensatore e ddp tra le armature e’ una costante
che dipende solo dalla geometria del dispositivo, e viene definita capacità del
condensatore.
C≡
Q
Vlamine
=
Q
V
l’unità di misura della Capacità nel SI è il Coulomb/Volt, ed ha il nome di
Farad:
1 Farad =1 F = 1 C/V
Nota: si usano spesso i sottomultipli: 1 pF, 1nF, 1 µF, 1 mF corrispondono rispettivamente
a 10-12, 10-9,10-6 ,10-3 Farad.
34
Caso particolare: Capacità elettrica per un
condensatore a facce piane parallele.
La capacità di un condensatore a facce piane parallele e’ molto semplice,
in quanto la differenza di potenziale è:
−
Quindi:
r r
qd
Vlamine = ∫ E ⋅ ds = Ed =
Aε 0
+
Q Aε oQ Aε o
C= =
=
V
Qd
d
C dipende solo da fattori geometrici. Questi, saranno differenti se
differente e’ la forma del condensatore (cilindrico, sferico).
Esercizio 14.1: Determinare la capacità di un condensatore di
forma cilindrica, formato da due cilindri coassiali di raggio
interno a ed esterno b.
35
Energia del campo elettrico
Un modo per caricare un condensatore e’ quello di collegarlo con una
batteria. Del lavoro deve essere compiuto dalla batteria stessa. Il lavoro
infinitesimo per trasportare una quantità di carica dq ammonta a:
dW = V (q) ⋅ dq
Il potenziale dipende dalla carica sulle armature.
Nel caso noto di condensatore piano, il lavoro per
trasferire una quantità di carica Q ammonta a:
Q
Q
d
Q 2d Q 2 1
2
W = ∫ V (q ) ⋅ dq =
qdq
=
=
=
CV
∫
A
ε
2 Aε 0 2C 2
0
0
0
Il lavoro speso viene immagazzinato come energia potenziale U nel
condensatore.
36
L’energia
potenziale di un condensatore può considerarsi come
UE
immagazzinata nel campo elettrico tra le sue armature.
Il campo elettrico non e’ dunque solo una costruzione matematica, ma ha
una realtà fisica. Nel caso del condensatore piano, nel quale il campo
elettrico vale Q/Aεο possiamo esplicitare:
Q2
Q 2 d d( Aε 0 E ) 2 1
U=
=
=
= ( Ad )ε 0 E 2
2C 2 Aε 0
2 Aε 0
2
(nella regione compresa
tra le lamine).
Poiché il volume della regione e’ (Y=Ad), la densità di energia nel volume:
1
u = U / Y = ε0E2
2
Benché ricavata in un caso particolare, questa importante relazione e’
valida per ogni dispositivo, ed ovunque vi sia un campo elettrico !
Esercizio 15.1: mostrare che la relazione e’ valida per il condensatore cilindrico
dell’esercizio 14.1
37
•
•
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contro umidità e pioggia.
Un esempio di
uso:
38
Condensatori in serie e parallelo
Con la combinazione di diversi condensatori, si può aumentare
o diminuire la capacità complessiva del sistema.
C sono in parallelo quando la ddp applicata e’ la stessa. La
carica totale q immagazzinata e’ la somma delle cariche sui C.
q1=C1V ; q2=C2V ; q3=C3V
q= q1+ q2+ q3 = (C1 +C2 +C3 )*V
Ceq = (C1 +C2 +C3 )
C sono in serie quando la
ddp applicata stabilisce
una carica q identica per
tutti. La ddp e’ la
somma delle ddp sui C.
V1=q/C1 ; V2=q/C2 ;V3=q/C3
V=V1 +V2+V3 =q(1/C1 +1/C2+1/C3)
C in
parallelo
1/Cequiv=1/C1+1/C2+1/C3
C in serie
39
15. La corrente elettrica
40
Un moto ordinato di cariche elettriche costituisce una corrente
elettrica. La quantità di carica che fluisce in un punto di un
conduttore nell’intervallo di tempo dt:
∆q dq
=
I (t ) ≡ lim
∆t →0 ∆t
dt
Una corrente elettrica e’ dovuta al moto di cariche
in un conduttore in presenza di una ddp. Per come e’
strutturata la materia, comunemente a muoversi
sono le cariche negative; il verso della corrente e’
quello nel quale si muoverebbero le cariche positive.
L’unita’ di misura della corrente nel SI e’ l’Ampere (A)
E
vd
1 A = 1 Coulomb/ secondo
Abbiamo visto che alcuni materiali (conduttori) mettono a disposizione del reticolo un
elettrone di conduzione per atomo. Questi, possono muoversi liberamente in ogni
direzione. Solamente in presenza di un campo elettrico E, essi possono acquistare una
41
componente lungo la direzione di E.
Moto di cariche nei conduttori
Consideriamo un conduttore che abbia:
• n = numero di cariche libere/unita’ di volume
• q = carica elettrica dei conduttori
• vd = velocità media dei portatori di carica lungo E
• A = area della sezione del conduttore
• L= lunghezza del conduttore
Allora:
∆q =qnAL= carica totale nel conduttore
I=∆q/∆t= ∆q/(L/ vd) = qnA vd
Sperimentalmente, nei conduttori si è trovato che la velocità di deriva è
proporzionale al campo elettrico applicato:
vd = (q/η) E
I= qAnvD = qnA(q/η) E = E A/ρ
42
Definiamo densità di corrente J la quantità di carica che passa attraverso una
qualsiasi sezione di area A del conduttore.
J=I/A = qnvd
Il moto degli elettroni in un conduttore, ricorda il moto di una particella in un
campo gravitazionale ed in presenza di attrito (vedi p. 30- Velocità limite).
In pratica il moto e’ descritto da una equazione del tipo:
ma = qE -η
ηv, la cui soluzione e’ una velocità costante di deriva, vd.
43
Relazione tra J ed E
Nel conduttore, avremo che la velocità di deriva è proporzionale al campo
elettrico applicato: vd = (q/η) E
Poiché esiste una relazione tra densità di corrente J e velocità di deriva vd
J= qnvd , ne deriva che:
J= qnvD = qn(q/η) E =E/ρ
In un dato conduttore, la densità di corrente J dipende dal
campo E applicato, secondo un coefficiente ρ (resistività).
r
r
E
J=
ρ (E )
Se la costante ρ NON dipende da E (ossia, il parametro η non dipende dal campo
elettrico applicato), allora si dice che il materiale segue la Legge di Ohm. Per i
materiali ohmici, si ha che la velocità di deriva dei portatori di carica e’
proporzionale al campo elettrico applicato.
Legge di Ohm
generalizzata
r
J=
r
E
ρ
44
Legge di Ohm
Consideriamo un filo conduttore di lunghezza l e
sezione A. Si ha:
V
( E ⋅ L) ⋅ A V ⋅ A V
I=
=
=
R
Lρ
R
ρ ⋅L
Lρ R= resistenza del conduttore
con R =
A
I=
La Legge di Ohm afferma che la corrente
che scorre attraverso un dispositivo e’
proporzionale alla ddp applicata al
dispositivo.
Il dispositivo e’ ohmico se la sua resistenza
R non dipende dalla ddp applicata, ma solo
dalla geometria del dispositivo.
45
Generatore di fem
Se si vuol far passare delle cariche attraverso
una resistenza, occorre stabilire una ddp. I
dispositivi capaci di mantenere una ddp costante
nel circuito sono chiamati generatori di forza
elettromotrice (fem).
Un generatore di fem e’ un qualunque dispositivo
capace di convertire qualche altra forma di
energia in lavoro contro il campo elettrico (pompa
di cariche).
46
Non entreremo nei dettagli di tali dispositivi. Gli esempi piu’ comuni
sono quelli della batteria, in cui il lavoro e’ svolto dalle reazioni
chimiche, dalle celle fotovoltaiche (luce solare), celle a combustibile,
dinamo… Tutti, benché notevolmente differenti, compiono lavoro sui
portatori di carica per mantenere costante da ddp.
(I generatori di fem reali hanno una piccola resistenza interna che
diminuisce leggermente la ddp nominale quando circola corrente.)
47
Circuiti elettrici semplici
Consideriamo una resistenza R in serie con un generatore di fem E.
Quanto vale I?
Maglia = insieme di
elementi circuitali
connessi da
conduttori.
La corrente e’ la stessa in tutti gli elementi di una maglia,
non potendoci essere accumulo di carica in un punto.
Ai capi delle tre resistenze, per la legge di Ohm, si avrà:
V1 = R1 I
ovvero :
V2 = R2 I
E = V +V
1
2
V3 = R3 I
+ V3 = ( R1 + R2 + R3 ) I
Legge delle maglie: la somma algebrica delle ddp
rilevate su un circuito chiuso e’ nulla.
La resistenza equivalente di più resistenze in
serie in una maglia e’ la somma algebrica delle
resistenze.
Req= R1+R2+R3
48
Esercizio 15.1 Nel circuito in figura, tre resistenze sono
collegate in parallelo. Determinare Req.
(Risp: 1/ Req=1/R1+1/R2+1/R3)
L’esercizio precedente fa comprendere come la legge di conservazione della
carica elettrica possa essere espressa, nei circuiti:
Legge dei nodi: la somma delle correnti che entrano in un nodo (punti
in cui maglie si incrociano) deve essere uguale alla somma delle
correnti che escono.
49
Potenza Elettrica
Il generatore di fem in un circuito fornisce potenza trasferendo
(trasformando) energia e fornendola ai portatori di carica. La potenza
P netta trasferita e’
dW d (qV+ − ) dq
P≡
=
= V+ − = i (t )V
dt
dt
dt
Nel caso di un circuito con sole
resistenze, i=V/R e la potenza:
V2
P = iV =
= Ri 2
R
W= lavoro del generatore;
i(t)= corrente nel circuito;
V+- = ddp ai capi del generatore
50
Leggi di Kirkoff
Legge delle maglie: la somma algebrica delle ddp rilevate su un
circuito chiuso e’ nulla.
Legge dei nodi: la somma delle correnti che entrano in un nodo (punti
in cui maglie si incrociano) deve essere uguale alla somma delle
51
correnti che escono.
Carica/scarica di un
condensatore
Un condensatore C inizialmente scarico viene
collegato (attraverso una resistenza R) ad una fem
costante. Il C comincerà a caricarsi, sino a quando ci
sarà una carica Q=Cε sulle sue armature.
q(t )
=0
C
dq
Le variabili dipendenti sono legate: i (t ) =
dt
Utilizzando la legge sulle maglie:
ε − Ri(t ) −
d
q (t )
di 1
Sostituendo e derivando :
(ε − Ri −
)=R − i=0
dt
C
dt C
dq ε −t/RC
Si ottiene : i(t) =
= e
q (t ) = Cε 1 − e − t/RC
dt R
(
)
La costante RC e’ chiamata costante di tempo del circuito.
Dimensionalmente, infatti, e’ un tempo e rappresenta in quanto
tempo il condensatore accumula il (1-1/e)=63% della carica totale.
52
Esercizio 15.2: Sapreste determinare la legge di scarica del C nello stesso circuito?
16. Il campo Magnetico
53
Le proprietà magnetiche della materia vennero scoperte dai greci circa
2000 anni fa. I magneti permanenti sono sostanze capaci di attrarre o
respingere pezzi di ferro. Per questo, l’interazione tra magneti non e’
riconducibile a forze di natura elettrica. Per descrivere la nuova
interazione, introdurremo un nuovo campo vettoriale, il campo
magnetico B.
Un magnete permanente presenta sempre
due polarità (Nord e Sud); le linee di
forza di B possono essere evidenziate
con della limatura di ferro.
54
Interazione tra cariche elettriche e B
In presenza di campo magnetico, particelle
cariche in moto vengono deflesse.
Sperimentalmente, la forza che deflette
le cariche e’ proporzionale alla loro
velocità v, ed all’ intensità del campo.
Inoltre, la forza e’ sempre diretta
ortogonalmente sia alla direzione di v che
a quella di B.
Moto di elettroni e
positroni in B 55⊗
Forza di Lorentz
(carica in campo magnetico)
Sperimentalmente:
r
r r
F = qv × B
Nel sistema MKS l’unita’ di misura (derivata) del campo
magnetico B e’ il tesla:
1 Tesla = Newton ⋅ s/ Coulomb ⋅ m
La Forza di Lorentz NON compie lavoro, essendo sempre diretta ortogonalmente alla velocità:
Potenza = dW/dt = F ⋅ v = 0
Regola della “mano destra” per
individuare il verso della56forza
Carica in campo B perpendicolare alla
velocità= moto circolare
Come applicazione della Forza di Lorentz, consideriamo una regione in cui B e’
uniforme e costante, e la particella entri con velocità ortogonale al campo. La
forza ha modulo qvB, ed e’ diretta verso il centro. Quindi, dalla II L. di Newton:
v2
qvB = F = ma
=
m
Lorentz
II Newton
moto circolare
r
mv
r=
qB
Raggio
2πr 2πm
; T=
=
v
qB
Periodo
Un cannone di
elettroni e’
semplicemente una
57
ddp applicata!
Esempio: il tubo catodico
Una delle applicazioni piu’ conosciute della
combinazione di E e B. Il campo accelera
gli e, che vengono deflessi sullo schermo
scintillante dall’azione di B.
58
Sorgenti e legge di Gauss per il campo B-1
Contrariamente al campo E (indotto da cariche) NON e’ una analoga
carica magnetica (monopolo magnetico) a generare il campo B stesso.
In qualunque situazione, le linee di forza del campo magnetico sono
linee chiuse. Questo, poiché i poli N e S si presentano sempre insieme.
Matematicamente, si ha:
Legge di Gauss
per il campo
magnetico.
r
∫B
r
⋅ da = 0
superficie chiusa
Poiché non sono stati trovate
cariche magnetiche, chi origina B?
59
Sorgenti e legge di Gauss per il campo B- 2
• Poiché non sono stati trovate cariche magnetiche, chi origina B?
• H.C. Oerted (1820): i campi magnetici vengono generati dal
moto di cariche elettriche
60
Legge di Ampere
=i campi B sono generati dal moto di cariche elettriche
Assumeremo come legge fondamentale per il campo magnetico (analoga
alla legge di Coulomb per E) le legge di Ampere:
r r
B
⋅
d
s
=
µ
i
0
∫
linea chiusa
i = somma delle correnti
racchiuse dalla linea
Il coefficiente µ0 si chiama costante di permeabilità magnetica e nel
SI vale:
µ0= 4π10-7 Tesla m/A
NOTA: La legge di Ampere può essere ricavata dalla forza agente tra
due fili percorsi da corrente, come si vedrà poco avanti
61
Un esempio: filo indefinito
Nel caso di un filo indefinito percorso da corrente, le linee di forza del
campo magnetico sono circonferenze nel piano perpendicolare al filo.
Considerando come linea chiusa una circonferenza sovrapposta alla linea
di forza:
r r
∫ B ⋅ ds =B ⋅ 2πr = µo I
µo I
⇒ B=
2πr
ds
La Legge di Ampere permette facilmente (come Gauss per il campo
E) di ottenere il modulo di B in casi in cui il problema presenti
particolari simmetrie
62
Solenoidi
Un lungo filo avvolto strettamente a forma di
spirale si chiama solenoide. Vogliamo, utilizzando
la Legge di Ampere, determinare il campo
Al centro, sono linee coassiali al S.
magnetico B al suo interno. Per semplicità
assumiamo che il solenoide sia molto lungo rispetto al
raggio, e le spire strettamente serrate (solenoide
ideale).
In prossimità dei fili, le linee di forza sono
analoghe a quelle di un singolo filo.
Consideriamo la linea chiusa (abcd) come integrale
per la legge di Ampere, e della forma in figura, e sia
N il numero di spire abbracciate dal circuito:
b
c
d
a
b
a
b
c
d
a
r r
r r
r r
µ 0 iN = ∫ B ⋅ ds = ∫ + ∫ + ∫ + ∫ B ⋅ ds = ∫ B ⋅ ds = Bh
abcd
Campo magnetico B
nei solenoidi ideali
B=
µ 0 iN
h
= µ 0 in
Solenoide ideale: B=0 fuori
63
Fili percorsi da corrente-1
Quale forza si esercita tra due fili paralleli,
indefiniti, percorsi da due correnti i1 e i2
concordi? Usando la legge di Ampere
determiniamo il campo generato dal primo filo:
µoi1
B1 =
2πd
Nel caso del secondo lungo conduttore, nel tratto L gli
elettroni di conduzione trasportano la carica lungo da
direzione del filo.
q = i2t = i2 (L / vd )
i2
i
Riscriviamo la forza di Lorentz per questa quantità di carica: 1
r
r
r r
r r Li
F = qvd × B = vd L̂ × B = iL × B
vd
64
Fili percorsi da corrente-2
r
r
r r
r r Li
F = qvd × B = vd L̂ × B = iL × B
vd
•Forza di Lorentz su un tratto di filo percorso da una corrente i in un
campo magnetico B esterno.
•Nel nostro caso, il campo B1 è generato dall’altro filo:
µ oi1 µ oi1i2
F 2= i2 LB1 = i2 L
L
=
2πr 2πd
Con la regola della mano destra, fili percorsi da correnti parallele e concordi si
attraggono. Se le correnti sono discordi?
•Queste forze si possono facilmente misurare in laboratorio. La loro
verifica sperimentale rappresenta una dimostrazione a posteriori
della legge di Ampere.
65
17. Induzione magnetica
• “Ho visto macchine che hanno eliminato la necessita' di
impiegare molti lavoratori, che di conseguenza si trovano
ridotti alla fame", lord Byron, primo Camera dei Lords.
Febbraio 1812 (rivolta luddista).
• ~ 1820: il Parlamento britannico approva la legge che fissa in
14 ore il tetto di lavoro giornaliero (6 giorni a settimana) nell'
industria.
• 1848 la Repubblica francese sancì il principio delle 12 ore di
lavoro quotidiano, per sei giorni la settimana (8 per i bimbi
sotto 12 anni)
• 1871 sempre in Francia, si arriva al traguardo delle 10 ore
nella stagione tumultuosa della Comune di Parigi.
Vita Scienza
66
Cos’è l’induzione magnetica
Consideriamo una piccola spira, collegata con un misuratore di corrente
(amperometro). M. Faraday (1831) si accorse che una corrente
elettrica veniva indotta nel circuito dal movimento di un magnete in
prossimità del circuito. La stessa cosa si verificava sostituendo il
magnete con un altro circuito percorso da corrente, purché i due
circuiti fossero in moto relativo, OPPURE variandone la corrente.
Compare una corrente
indotta in un circuito ogni
volta che e’ soggetto ad un
flusso di campo magnetico
variabile (ossia, il numero di
linee di forza che attraversa
il circuito, varia col tempo).
Flusso del campo magnetico:
ΦB =
r
∫B
superficie aperta
r
⋅ da
Ricorda: il flusso del campo
magnetico attraverso una
superficie chiusa e’ sempre
67
nullo!!
Legge di Faraday
In un circuito, viene indotta una forza elettromotrice (fem) che e’
direttamente proporzionale alla variazione del flusso del campo magnetico B attraverso qualsiasi superficie avente quel circuito per bordo.
dΦ B
ε =−
dt
Il segno – e’ importante (legge di Lenz). Questo rappresenta il fatto che
la fem indotta e’ tale da opporsi alla variazione che produce tale
corrente. La legge di Lenz e’ diretta conseguenza della legge di
conservazione dell’energia, come spiegato nella pagina successiva.
Es. 17.1 Calcolare la fem indotta attraverso una spira
rettangolare che si muove (a) ortogonalmente (b)
parallelamente ad un filo rettilineo ed indefinito percorso
da una corrente I con velocita’ v.
68
Induzione e trasferimento di energia-1
Una spira (di resistenza equivalente R) viene estratta da una regione
con campo magnetico B uniforme. Occorre determinare la fem e la
corrente i indotta nella spira, ed il verso di percorrenza di i.
Calcoliamo la Fem indotta (Faraday):
Φ B = BLx
dΦ B
dx
= − BL = − BL(−v)
ε =−
dt
dt
ε BLv
I= =
R
R
Potenza dissipata:
( BLv ) 2
P = εI =
R
La corrente ha verso orario nella spira: il flusso di B diminuisce, la legge
di Lenz richiede che la corrente indotta crei un campo B’ che rafforzi
B
69
Induzione e trasferimento di energia-2
Da quale fonte di energia proviene quella che mantiene la potenza
dissipata? Ossia, chi compie il lavoro?
Vi e’ una forza efficace con verso ← dovuta alla corrente.
r
r r
F = IL × B = ILB
r r
( IBL) 2
P = F ⋅ v = − Fv = −( ILB )v = −
R
La potenza in ingresso fornita dal “meccanismo” che estrae la spira
dalla regione col campo magnetico uguaglia la potenza dissipata dalla
resistenza. L’energia si conserva!!
70
Campi elettrici indotti
Come possiamo interpretare la Legge di Faraday?
Consideriamo una qualunque spira (ad es. circolare) su cui un campo
elettrico compia un lavoro sulle cariche. Il lavoro compiuto per far
percorrere lungo un circuito una carica q e’:
r r
r r
∫ F ⋅ ds =q ∫ E ⋅ ds =qε
Se e’ una variazione del flusso del campo magnetico a fornire la
forza elettromotrice, allora il lavoro per unità di carica e’
esattamente:
r r
dΦ B
ε = ∫ E ⋅ ds = −
Faraday
dt
un campo magnetico variabile
produce un campo elettrico!
71
Mutua Induzione
Primario Secondario
Consideriamo due circuiti vicini. Se la corrente
i1 nel primario varia col tempo, nel secondario
compare una corrente indotta i2.:
r r
d
ε2 = −
B ⋅ da
∫
dt secondario
•In un generico punto P del
BP ∝ C⋅ i1
circuito secondario (C= costante
che dipende dal primario):
d
d
d
ε 2 = − ( BP )(A) = − (C ⋅ i1 ⋅ A) = −AC (i1 ) =
• L’integrale sul circuito
dt
dt
dt
secondario dipende dalla sua
di1
ε
=
−
M
geometria (A= costante che
2
12
dt
dipende dal secondario) :
M12= coefficiente di mutua induzione = costante che dipende dalla
geometria dei due circuiti e dalla loro posizione relativa.
Si può dimostrare che M12= M21
72
Auto-induzione
Una corrente indotta da un campo B variabile in un circuito può
perturbare anche il circuito primario stesso (fenomeno di autoinduzione):
1. In un circuito I(t) origina un B variabile
2. Lo stesso circuito, abbraccia una parte delle linee di B
generate, per cui il ΦB concatenato varia col tempo
3. La variazione di ΦB induce una fem variabile
4. La fem tende ad opporsi alla corrente che fluisce nel
circuito primario
Utilizzando la notazione della pagina precedente:
d
d
d
ε 1 = − ( BP )(A′) = − (C′ ⋅ i1 ⋅ A′) = −A′C′ (i1 )
dt
dt
dt
di
=L 1
dt
(C’,A’
=coefficienti che
dipendono dal
circuito primario)
73
Coefficiente di autoinduzione
ε1
di1
=−L
dt
L= coefficiente di
autoinduzione (autoinduttanza
del circuito)
Nel SI il coefficiente di auto(mutua)
induzione (L, M) ha un nome proprio,
henry (H). Poiché il flusso di B si
misura in Tesla m2
1 H = 1 T ⋅ m2 /A
1 H
1mH
1µ
µH
Es. 17.1 Un solenoide rettilineo di area A e lunghezza h è costituito da 100
avvolgimenti. Determinarne il coefficiente di autoinduzione L.
R: L= µ0N2A/h
74
Trasduttori Elettromagnetici
Quella di Faraday, è probabilmente la legge della fisica con il
numero di applicazioni più elevate, ed anche una legge che ha
rivoluzionato il mondo (si vedrà con i generatori di fem alternata).
Tra le numerose applicazioni, vi sono i microfoni, gli altoparlanti, gli
strumenti elettrici…
Tutti questi dispositivi utilizzano un
trasduttore, ossia un dispositivo in cui
vi e’ un filo avvolto su un magnete. Un
dispositivo primario (nella figura, la
corda di una chitarra elettrica che
agisce come un magnete) puo’ vibrare,
e le vibrazioni provocano una
variazione del flusso di B che inducono
una corrente indotta nella spira
connessa all’amplificatore.
75
18. Circuiti e generatori
in corrente alternata
76
Autoinduzione in un circuito-1
Dalla Legge di Faraday deriva che se in una bobina varia l’intensità di
corrente, si genera in essa un fem indotta (autoinduzione). Il
coefficiente L varia con la geometria del circuito: L può venir fatta
divenire grande (ad es., utilizzando una bobina), o resa piccola, ma in
generale non è mai nulla
ε1
di1
=−L
dt
Rappresentazione
grafica di L in un
circuito
Anche un semplice circuito con una sola resistenza ha in
realtà una piccola autoinduttanza L, che genera una
sorta di forza contro-elettromotrice. Applicando la
Legge delle maglie:
ε 0 + εR + εL
=0
77
Autoinduzione in un circuito-2
ε 0 + εR + εL
=0
di
ε 0 − Ri − L = 0
dt
ε0
i (t ) = 1 − e
R
R
− t
L
R
− t
di
ε L = − L = −ε 0e L
dt
Esercizio 17.1 Nel circuito considerato, εo =12 V,
R=1000 Ω, L= 5 mH. Quanto vale I nello stato
stazionario (t>> L/R)? Quanto tempo impiega I a
raggiungere metà del suo valore finale?
R: 12 mA; 3.5 µs.
78
Energia nel campo magnetico
Analogamente al caso del campo E, in una regione in cui vi e’ campo B è
accumulata energia. Possiamo ricavare la relazione Energia ↔ B nel caso
del solenoide
1: Potenza necessaria per far passare la corrente in una
maglia con induttore:
di
P = iLε L = Li
dt
2: lavoro necessario per portare la corrente da 0 a Io:
Io
Io
di
U = ∫ Pdt = ∫ Li dt =
dt
0
0
1 2
U = LI o
2
3: aumentando la corrente, aumenta il campo B Bsol
nel circuito, ove:
N
= µ 0 I (t );
h
Lsol
N2
= µ0
A
h
4: L’energia spesa dal generatore viene utilizzata per aumentare il campo
magnetico:
2
2
2
Bh
1 N
1
=
U = µ 0
A
B 2 ( Ah )
2
h µ 0 N
2µ0
U
1
u= =
B
Y 2µ 0
79
Generatore Elettrico
In
Energia meccanica
energia elettrica
Out
Principio fondamentale su cui si basa il generatore c.a.:
trasformare energia di qualche tipo in energia elettrica.
La spira è rotante nel campo magnetico esterno. Con
accorgimenti tecnici, la corrente indotta viene raccolta e
trasferita verso gli utilizzatori.
80
f.e.m indotta
(Legge di Faraday)
V(t) = −
dΦ B
d
=−
B ⋅ dA
∫
dt
dt area spira
Se la velocità angolare della bobina, con N spire, è costante:
d
V (t ) = (B ⋅ A ⋅ N ⋅ cosθ (t ) ) =
dt
= (B ⋅ A ⋅ N ⋅ ω )sen(ωt ) = Vo sen(ωt )
Corrente in un circuito con resistenza:
Vo
iR = ⋅ senωt
R
81
Potenza dissipata
dW
P≡
[Joule / s ]
dt
Potenza elettrica: P = V (t ) ⋅ i (t )
Nel nostro circuito con resistenza:
P(t ) = Vo ⋅ io ⋅ sen 2ωt
Il valor medio su un periodo T =2π/ω:
1
P = Vo ⋅ io
2
Perché i circuiti c.a. hanno avuto così successo?
82
Il trasformatore
-Un trasformatore è un dispositivo che serve ad aumentare o a
diminuire una tensione c.a.
- Esso è progettato in modo che (quasi) tutto il flusso del campo
magnetico ΦB prodotto da VP, passi anche nel secondario
dΦ B
VP = N P ⋅
dt
(Conservazione del flusso)
dΦ B
VS = N S ⋅
dt
VS
NS
=
VP
NP
NP
I P
I s =
NS
VP I P = VS I S
(Conservazione dell’ energia)
La corrente nel secondario può essere
maggiore o minore (=) che nel primario
83
semplicemente variando il numero di spire
Linee di trasmissione
-minimizzare la dissipazione di energia
-minimizzare la possibilità di folgorazioni domestiche
Esercizio: La centrale elettrica in figura produce una potenza media
di 120 MW. La linea di trasmissione (lunga 100 km) ha una resistenza di
0.2 Ω/km, e la tensione media è VL= 240 kV.
-Determinare la frazione di energia dissipata dal trasporto della
potenza elettrica;
-Cosa succede senza il trasformatore elevatore?
84
-Quante utenze domestiche può servire la centrale ?
Esempio: una centrale a carbone
Il treno in figura è composto da 110 carri
pieni di carbone che giungono ad una
centrale. (Ogni giorno ne giungono 2 treni
come questo). Stimare la potenza della
centrale.
R: 1.5 GW
1- Vcarro= 60 m3
2- ρcarbone=2.3 gcm-3
3- Mcarbone= Vcarro×ρc= 1.5 1010 g
4- Ac=Atomi carbone= 5 × 1022 atomi g-1
5- mw =Mcarbone /week =2.1×1011g/week
6- NM = mw / Ac = 1.0 × 1034 atomi/week ;
7- Ec =Energia rilasciata dalla combustione di ogni atomo ∼ 1 eV= 1.6 10-19 J
8- Ew =Energia rilasciata/week = Ec × NM =1.6×1015 J/week
9- η=Efficienza = 0 .5 ;
10- T = 6×105 s/week
P= Ew η/T= (1.6×1015 ) ×0.5 / 6×105 ≅ 1.5×109 J/s
85
