PROBLEMI DI PREPARAZIONE AI COMPITINI
Esercizio di elettrostatica
In una regione di spazio isolata sono presenti 4 cariche elettriche disposte ai
vertici di un quadrato di lato ℓ = 1cm. Di queste, due sono positive (blu) e
due negative (rosso), alternativamente. Quelle positive hanno carica q pari ad
un millesimo di miliardesimo di Coulomb, quelle negative invece qN = −2q. a)
Calcolare il campo elettrico nel centro del quadrato e nel centro di un segmento.
b) Calcolare il potenziale elettrico nel centro. c) Se le quattro cariche fossero
incluse in una superficie chiusa, quale sarebbe, e verso dove sarebbe diretto, il
flusso attraverso di essa? d) Supponiamo di poter preparare un elettrone fermo
ad una distanza di d = 10m dal centro del quadrato e di rilasciarlo. Quale
sarebbe la sua posizione, velocità e accelerazione dopo 1/1000 di secondo? e)
Qual è l’energia cinetica dell’elettrone in J e in eV?
Dati: q = 10−12 C
qN = −2q = −1 · 10−12 C
ℓ = 1cm = 0.01m
d = 10m
t = 10−3 s
Soluzione:
~ = 0, per
a) Il campo elettrico al centro del quadrato è sicuramente nullo, E
ragioni geometriche: le due cariche del medesimo segno sono poste in due vertici
opposti alla medesima distanza dal centro e i loro campi si annullano, pertanto
risulta nulla anche la somma totale. Il campo elettrico al centro di un segmento
va invece calcolato, per ottererlo bisogna calcolare le distanze tra le cariche ed il
punto in questione. Con riferimento al disegno, cominciando dal vertice in alto
a destra e andando in senso orario, le componenti sono:
A)Ex = 0
Ey = −4kq/ℓ2~uy
B)Ex = 0
Ey = −8kq/ℓ2~uy
C)Ex = 4kq/(5ℓ2 ) cos (α)~ux
D)Ex = −8kq/(5ℓ2) cos (α)~ux
Ey = 4kq/(5ℓ2 ) sin (α)~uy
Ey = 8kq/(5ℓ2 ) sin (α)~uy
avendo messo
√ i versori come in
√ figura e in cui α = ArcT an(1/2), per cui
cos (α) = 2/ 5 e sin (α) = 1/ 5. La somma, componente per componente,
fa :
144
Ex = −4kq/(5ℓ2) cos (α)~ux ∼ − √ ~ux V /m
5
1
Ey = 12kq/(ℓ2 )(sin (α)/5 − 1)~uy ∼ −1080(1 − √ )~uy V /m
5 5
per cui la risultante punta in basso e a sinistra. Il campo elettrico negli altri
punti medi dei lati si ottiene per simmetria (facendo una operazione di riflessione
speculare attorno ad una semidiagonale). NOTA: si è usato k = 9·109 N m2 /C 2 .
b) nonostante il campo elettrico sia zero, il potenziale elettrico non lo è. Quest’ultimo
è uno scalare, non un vettore, pertanto è sufficiente calcolarlo nel punto centrale
come somma dei due contributi positivi più i due contributi negativi:
4kq
4kq
3.6
2kq
−√
= − √ = − √ V ∼ −2.5V
V = √
2ℓ/2
2ℓ/2
2ℓ
2
c) Si applica la legge di Gauss, ovvero
Φ(E) = QT ot /ǫ0 = −2q/ǫ0
dato che QT ot = q + q − 2q − 2q. Il verso è dall’esterno verso l’interno dato che
la somma dà una carica totale negativa.
d) La distanza di dieci metri , d >> ℓ, è sufficientemente grande da poter pensare
che l’elettrone veda una singola carica da −2q nel centro del quadrato, pertanto
assumendo che l’elettrone sia sull’asse x, calcoliamo la forza elettrostatica:
F = q1 E(r = d)~ux =
k(−2q)(−e)
~ux = 2.88 · 10−23 N
d2
diretta lontano dal quadrato (repulsiva). Quindi, essendo applicata ad un elettrone di massa me = 9.11 · 10−31 Kg fornisce un’accelerazione di
a = F/m =
2.88 · 10−20
∼ 3 · 108 m/s2
9.11 · 10−31
avendo approssimato. Da cui
x=
1 2
at ∼ 150m
2
vf = vi + at ∼ 3 · 105 m/2
NOTA 1: l’obiettivo non è fare i conti algebrici, ma fare il ragionamento
giusto. PUOI fare approssimazioni, ma DEVI indicarle! L’importante è usare
con scioltezza la notazione scientifica con le potenze di 10.
NOTA 2: L’accelerazione in gioco è tale che se la particella venisse accelerata
per un secondo raggiungerebbe la velocità della luce e se venisse accelerata per
più tempo la supererebbe!! Questo è in contrasto con la teoria della relatività
ed è dovuto al fatto che abbiamo applicato le formule del moto uniformemente
accelerato non relativistiche invece di quelle relativistiche che inglobano un effetto di aumento della massa ed una velocità limite. Nonostante quando si abbia
a che fare con campi elettromagnetici si raggungano facilmente tali regimi, noi
non ne terremo conto nel corso e nella soluzione degli esercizi.
e) Per farla facile assumo m ∼ 9 · 10−31 Kg per cui,
K=
1
mv 2 ∼ 4 · 10−20 J ∼ 0.25 eV
2
