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L’entropia
Misurare l’irreversibilità
Un processo irreversibile è un processo che avviene spontaneamente in una direzione, ma non nella
direzione opposta. Il passaggio di calore da un corpo più caldo a uno più freddo e la trasformazione
completa di lavoro meccanico in calore sono processi irreversibili; il secondo principio della
termodinamica infatti stabilisce che è impossibile far passare calore da un corpo più freddo ad uno
più caldo senza altri effetti (enunciato di Clausius), come pure realizzare una macchina che
trasformi interamente in lavoro il calore preso da una sola sorgente (enunciato di Kelvin). Ci
domandiamo allora se esista una funzione matematica, calcolabile per i vari processi, che ci dica se
e in quale misura un processo è irreversibile.
Una nuova funzione di stato: l’entropia
Attraverso una serie di complessi passaggi matematici che per semplicità non riportiamo, si può
mostrare che una funzione che misuri il grado di irreversibilità delle trasformazioni termodinamiche
esiste realmente. A tale funzione è stato dato il nome di entropia e si indica con la lettera S.
L’entropia gode di una importante proprietà: essa è una funzione di stato. Ciò significa che essa
dipende solo dallo stato termodinamico del sistema, e quindi in una trasformazione in cui il sistema
passa dallo stato iniziale i allo stato finale f la variazione di entropia è data da ∆S = Sf – Si, cioè dalla
differenza dei valori dell’entropia negli stati finale e iniziale, indipendentemente dai dettagli della
trasformazione. Ricordiamo che anche l’energia interna è una funzione di stato. La variazione di
entropia in una trasformazione è definita come il rapporto tra il calore scambiato e la
J
temperatura a cui tale scambio avviene. Pertanto, nel SI l’unità di misura dell’entropia è il
. In
K
Q
una trasformazione a temperatura costante ∆S = , dove Q è il calore assorbito o ceduto dal
T
sistema e T è la temperatura costante del sistema durante la trasformazione. Se invece la
temperatura del sistema varia durante la trasformazione dovremo suddividere la trasformazione
stessa in tante piccole sottotrasformazioni in cui la temperatura varia così poco da potersi
considerare costante, calcolare per ognuna di esse il rapporto tra calore scambiato e temperatura e
infine sommare tutti i contributi. Se il sistema assorbe calore la sua variazione di entropia è positiva,
altrimenti negativa.
Esempio 1 – calcolo della variazione di entropia in un passaggio di stato
Calcola la variazione di entropia nella liquefazione di un pezzo di ghiaccio di 1,50 kg
Scriviamo i dati del problema
Massa del ghiaccio: M = 1,50 kg
Calore latente di fusione del ghiaccio: LF = 3,34 ⋅ 10 5
J
kg
Temperatura di fusione del ghiaccio: TF = 273 K
Incognita
Variazione di entropia del ghiaccio nel processo di fusione ∆S
Analisi e soluzione
Poiché si tratta di un cambiamento di stato il processo avviene a temperatura costante, quindi:
∆S =
Q LF ⋅ M
=
=
T
TF
J
⋅ 1,50 kg
J
kg
= 1,83 ⋅ 10 3
273 K
K
3,34 ⋅ 10 5
La legge dell’aumento dell’entropia
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In che senso l’entropia è una misura dell’irreversibilità delle trasformazioni? Consideriamo un
processo al quale partecipano vari sistemi (per esempio una quantità di gas, una massa di ghiaccio,
un vaso pieno d’acqua…), per ognuno di essi calcoliamo dapprima la variazione di entropia durante
il processo: ∆S1, ∆S2, ∆S3… e poi la variazione di entropia totale: ∆S = ∆S1 + ∆S2 + ∆S3 +… (detta
anche variazione dell’entropia dell’universo). Si può dimostrare che in qualsiasi trasformazione
l’entropia dell’universo non diminuisce mai. Questa legge è la legge dell’aumento
dell’entropia. Essa ci dice che una trasformazione termodinamica irreversibile avviene sempre
nella direzione in cui l’entropia dell’universo aumenta, in un processo reversibile invece rimane
costante; comunque l’entropia non può mai diminuire. In pratica in questo modo viene definita la
direzione secondo cui un dato processo avviene spontaneamente: essa è quella che corrisponde ad
un aumento dell’entropia dell’universo e viene anche chiamata freccia del tempo. Per comprendere
il legame profondo tra entropia e irreversibilità osserviamo che l’entropia può anche essere
interpretata in termini della probabilità che un certo stato termodinamico si realizzi: stati che
possono essere realizzati in un numero maggiore di modi, e quindi più probabili e meno ordinati,
avranno una entropia più alta. La legge dell’aumento dell’entropia ci dice quindi che i sistemi
evolvono sempre da configurazioni più ordinate a configurazioni meno ordinate. Osserviamo
infine che i due enunciati del secondo principio della termodinamica, esprimendo l’irreversibilità di
due particolari processi (il passaggio di calore da un corpo più caldo a uno più freddo e la completa
trasformazione di lavoro meccanico in calore), possono essere visti come casi particolari della legge
dell’aumento dell’entropia, la quale è dunque la più generale formulazione del secondo principio
della termodinamica.
L’entropia nel quotidiano
L’irreversibilità caratterizza tutti i processi, sia naturali che artificiali, e ogni trasformazione che cade sotto la
nostra esperienza comporta invariabilmente un aumento di entropia. Sicuramente la classe di fenomeni più
complessi e affascinanti ai quali possiamo applicare le idee di questa lezione sono quelli che riguardano gli
organismi biologici. Se consideriamo un essere vivente anche molto semplice come un batterio ci colpisce
l’elevato grado di ordine e organizzazione che lo caratterizza, ordine che si forma spontaneamente, in
apparente violazione della legge dell’aumento dell’entropia. In realtà se analizziamo in dettaglio i complessi
fenomeni che sovrintendono alla formazione delle strutture viventi ci accorgiamo che l’aumento di entropia
dell’ambiente circostante compensa ampiamente la diminuzione dovuta alla creazione di ordine biologico.
Questa osservazione ci permette di evidenziare una importante caratteristica degli organismi viventi: poiché
si tratta di strutture ordinate e che si mantengono tali, è necessario che siano costantemente in comunicazione
con l’ambiente esterno, sia per acquisire energia che per compensare la propria diminuzione di entropia. In
effetti una delle principali caratteristiche degli esseri viventi è quella di essere sistemi aperti. Più in generale,
tutti i sistemi che producono ordine (come la maggior parte delle macchine costruite dall’uomo) devono
essere aperti; infatti un sistema chiuso non può in alcun modo produrre ordine, altrimenti violerebbe la legge
dell’aumento dell’entropia.
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Verifiche di comprensione
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Che cosa è un processo irreversibile?
Quale processo irreversibile definisce l’enunciato di Clausius del secondo principio?
Quale processo irreversibile definisce l’enunciato di Kelvin del secondo principio?
Quale funzione misura il grado di irreversibilità di una trasformazione termodinamica?
Che cosa è una funzione di stato?
Quale altra funzione di stato si incontra nello studio della termodinamica?
Come è definita la variazione di entropia in una trasformazione?
Quale è l’unità di misura dell’entropia nel SI?
Come si calcola la variazione di entropia in una trasformazione a temperatura costante?
Come si calcola la variazione di entropia in una trasformazione non a temperatura costante?
Come si calcola la variazione di entropia di un sistema composto da più sottosistemi?
Che cosa si intende per “entropia dell’universo”?
Enuncia la legge dell’aumento dell’entropia.
Come si stabilisce la direzione in cui procede spontaneamente un processo irreversibile?
Cosa accade all’entropia in un processo reversibile?
Quale altra interpretazione possiamo dare all’entropia?
Che relazione sussiste tra la legge dell’aumento dell’entropia e il secondo principio?
Come può accadere che un organismo vivente produca spontaneamente ordine?
Che cosa è un sistema aperto?
Come devono essere i sistemi che producono ordine?
Verifiche di conoscenza
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Un processo irreversibile:
a. avviene comunque in una sola direzione
b. avviene in una direzione con maggior probabilità che nell’altra
c. avviene spontaneamente in una sola direzione
d. può avvenire in entrambe le direzioni ma non contemporaneamente
Il passaggio di calore da un corpo più freddo a uno più caldo
a. comporta una diminuzione dell’entropia dell’universo
b. è vietato dal secondo principio e comporta un aumento dell’entropia dell’universo
c. è irreversibile
d. non porta ad alcuna variazione di entropia
In una trasformazione a temperatura costante la variazione di entropia si calcola:
a. moltiplicando la temperatura della trasformazione per il calore scambiato
b. dividendo la temperatura della trasformazione per il calore scambiato
c. dividendo il calore scambiato per la differenza tra la temperatura finale e iniziale
d. dividendo il calore scambiato per la temperatura della trasformazione
In una trasformazione a temperatura non costante la variazione di entropia si calcola:
a. dividendo il calore scambiato per la temperatura media
b. suddividendo la trasformazione in tante sottotrasformazioni a temperatura costante,
calcolando la variazione di entropia per ognuna di esse e sommando i contributi
c. facendo la differenza tra i rapporti del calore scambiato con le temperature iniziale e finale
rispettivamente
d. suddividendo la trasformazione in tante sottotrasformazioni, sommando tutti i calori
scambiati, sommando tutte le temperature, e facendo il rapporto tra le due somme
Un corpo più caldo A viene messo a contatto con uno più freddo B e si lascia che raggiungano
l’equilibrio termico:
a. le variazioni di entropia dei due corpi sono entrambe positive
b. la variazione di entropia di A è minore in valore assoluto di quella di B
c. le due variazioni di entropia sono uguali ed opposte
d. non si può dire nulla senza conoscere le temperature e il calore scambiato
Sostituisci al posto dei puntini il vocabolo o l’espressione adeguata scelto tra alcuni di quelli
indicati: in una qualsiasi … l’entropia … può solo … o … (rimanere costante, macchina
termica, trasformazione, diminuire, del sistema, del gas, dell’universo, costante, aumentare, di
una sola sorgente)
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In quali tra i seguenti processi si ha sicuramente un aumento di entropia dell’universo?
a. mescolamento di due gas diversi
b. passaggio spontaneo di calore da un corpo più freddo a uno più caldo
c. corpo che scivola su un piano con attrito
d. motore che funziona prendendo energia da una sola sorgente di calore
Individua la risposta errata. Un sistema ordinato:
a. ha un basso valore di entropia
b. assorbe calore con difficoltà
c. evolve spontaneamente verso stati a più alta entropia
d. si può realizzare in numero limitato di modi
Problema svolto 1 – produzione di entropia nel passaggio di calore
Una parete in mattoni avente conduttività termica 0,58
W
, spessore 30 cm e superficie 5,0 m2 separa
m⋅K
una stanza in cui la temperatura è di 20˚C dall’esterno in cui la temperatura è –5˚C. Calcola la variazione di
entropia prodotta in un minuto dal passaggio di calore per conduzione dall’interno all’esterno.
Scriviamo i dati del problema
Conduttività termica della parete: k = 0,58
W
m⋅K
Spessore e superficie della parete: d = 30 cm = 0,30 m; A = 5,0 m2
Temperatura interna ed esterna: Ti = 20˚C = 293 K; Te = –5˚C = 268 K
Incognita
Entropia prodotta in un minuto: (t = 60 s)
Analisi e soluzione
Il calore che transita attraverso la parete in un minuto è dato da: Q = k ⋅
A ⋅ (Ti − Te ) ⋅ t
d
=
W 5,0 m 2 ⋅ 25 K ⋅ 60 s
0,58
⋅
= 1,45 ⋅ 10 4 J ; quindi la variazione di entropia della stanza è:
m⋅K
0,30 m
1,45 ⋅ 10 4 J
1,45 ⋅ 10 4 J
J
J
Q
Q
∆S i = − = −
= −49,5
e quella dell’esterno: ∆S e = −
=−
= 54,1 . La
293 K
K
268 K
K
Ti
Te
J
J
J
variazione totale di entropia è ∆S = ∆S i + ∆S e = −49,5 + 54,1 = 4,6
K
K
K
Problemi
1. Due masse molto grandi di acqua a temperatura di 20,0˚C e 80,0˚C vengono poste in contatto per un
breve intervallo di tempo, durante il quale si scambiano 700 J di calore (tale quantità di calore non è
sufficiente per far variare apprezzabilmente la temperatura delle due masse d’acqua). Calcola la
variazione di entropia dell’universo nel processo.
2. Calcola la variazione di entropia di 2,0 kg di acqua inizialmente a 100˚C quando vengono interamente
trasformati in vapore, sempre a 100˚C.
3. Una massa di 3,50 kg di ghiaccio viene posta a contatto con una sorgente di calore a 300 K e fatta
sciogliere completamente. Quanto vale la variazione di entropia dell’universo se durante il processo la
temperatura della sorgente non cambia apprezzabilmente?
4. Ripeti i calcoli del precedente problema con sorgenti a 280 K, 275 K, 274 K. Quali conclusioni puoi
trarre riguardo all’irreversibilità dall’analisi dei risultati?
5. Attraverso una finestra viene trasmessa la quantità di calore di 5,50·103 J ogni secondo. Se la temperatura
della stanza è di 24˚C e quella dell’esterno 5˚C, di quanto variano l’entropia dell’esterno e della stanza in
un’ora?
